>第二章 平面解析几何 单元过关检测-人教B版（2019）选择性必修第一册（Word版含答案）

RJB版高二数学选择性必修一《平面解析几何》单元过关检测
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的学校、姓名、班级、座号、考号填涂到相应位置。
2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）填涂；非选择题答案必须使用0.5mm的黑色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整、字迹清楚。
3.请按题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．设F是抛物线的焦点，经过点F且斜率为1的直线与C交于A，B两点．若（O为坐标原点）的面积为，则
A． B．1 C． D．2
2．“”是“直线：与直线：互相垂直”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限交于点A，M为的中点，且，则双曲线C的渐近线方程是
A． B． C． D．
4．已知椭圆C：（）的左 右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为
A． B． C． D．
5．数字“8”对应着数学曲线中的双纽线．在xOy平面上，把与定点距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线．曲线C是当时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，下列关于曲线C的四个结论，正确的是
①曲线C关于原点对称
②曲线C上满足的P有且只有一个
③曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过4
④若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为
A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
6．已知直线与圆交于两个不同点，则当弦最短时，圆与圆的位置关系
A．内切 B．相离 C．外切 D．相交
7．在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点且交圆于两点，若的面积的最大值为，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
8．点，是曲线C：的左右焦点，过作互相垂直的两条直线分别与曲线交于A，B和C，D；线段AB，CD的中点分别为M，N，直线与x轴垂直且点G在C上.若以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，则圆面积的最小值为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，部分选对得2分，有选错的得0分。
9．知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
10．已知曲线，点，则下列说法中正确的有
A．曲线关于轴对称
B．曲线与轴围成的封闭图形的面积不超过4
C．曲线上任意点满足
D．曲线与曲线有5个不同的交点
11．直线：与圆：相交于，两点，则
A．直线过定点 B．时，直线平分圆
C．时，为等腰直角三角形 D．时，弦最短
12．已知椭圆的左 右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则下列说法正确的是
A．椭圆的短轴长为 B．当最大时，
C．椭圆离心率为 D．面积最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知曲线与曲线恰好有三个不同的公共点，则实数的取值范围是______.
14．若不等式的解集为，且，则___________．
15．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
16．已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
（12分）
已知圆．
（1）若圆C截轴所得弦的弦长等于半径的一半，求的值；
（2）当时，若圆C的切线在轴和轴上的截距相等，求此切线的方程．
（12分）
已知中心在原点的椭圆的长轴长为，且与抛物线有相同的焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点的坐标为，点，是椭圆上的两点点，，不共线，且，证明直线斜率存在时过定点，并求面积的取值范围．
（12分）
已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与直线相交于点．当直线的斜率不存在时，．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线，与直线分别相交于，两点，为坐标原点，求的最小值．
21．（12分）
已知，为椭圆：的左、右焦点，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为3，过点的直线交于，两点.
(1)求的方程；
(2)若直线的斜率不为0，过，作直线的垂线，垂足分别是，，设与交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.
22．（12分）
已知双曲线C：的右焦点为，O为坐标原点，点A，B分别在C的两条渐近线上，点F在线段AB上，且，.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点F作直线l交C于P，Q两点，问；在x轴上是否存在定点M，使为定值？若存在，求出定点M的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A A B D D C B BCD ABC AD BC
13． 14． 15．13 16．
17．（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，
∴，∴，∴，
∴，∴．
∴C的方程为：；
由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；
总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为,直线方程为,则条件①在上，等价于；
两渐近线的方程合并为,联立消去y并化简整理得：
设,线段中点为,
则,
设,则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得：，,即,
即；由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,
∴由,
∴,所以直线的斜率,
直线,即,
代入双曲线的方程,即中，得：,
解得的横坐标：,
同理：，∴
∴,∴条件②等价于，
综上所述：条件①在上，等价于；条件②等价于；条件③等价于；
选①②推③:由①②解得：,
∴③成立；
选①③推②：由①③解得：，，∴，
∴②成立；选②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.
18．
解：将圆C的方程化为标准方程为，
所以圆C的圆心为，半径为．
因为圆C截轴所得弦的弦长等于半径的一半，
所以，所以，
即，解得．
当时将圆C的方程化为标准方程为，其圆心，半径．
①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线的方程为，所以圆心到切线的距离为，即，
解得．
所以切线方程为或．
②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线的方程为，
所以圆心到切线的距离为，即，
解得或．
所以切线方程为或．
综上所述，所求切线方程为或或或
19．
抛物线的焦点为，
∴E的焦点为，
又，
∴，又，
∴．
∴椭圆E的方程为．
设直线AB的方程为（），，，
由得，，，即，∴，，
又∵，
∴，，
∴，
∴，即，
满足题意直线恒过点，
，
令，则，
，
又，面积的取值范围是．
20．
(1)
解：由题意可知，
当直线的斜率不存在时，的方程为，
将代入，可得点的坐标为．
设点的坐标为，
因为，
所以，
则，即.
所以点的坐标为，
则，解得或（舍），
故抛物线的方程为．
(2)
解：由可知，
当的斜率不存在时，点的坐标为，点的坐标为，
则，，
联立方程组，，
所以，，
则.
当的斜率存在时，设的方程为，，．
联立方程组，整理得，
，
则，．
直线的方程为，联立方程组，
可得点的坐标为，
因为，所以点的坐标为，
同理可得，点的坐标为．
，
所以.当且仅当，即时等号成立．
因为，故的最小值为．
21．
(1)
解：因为过且垂直于轴的直线被截得的弦长为3，
所以，①
因为的右焦点为，所以，②
联立①②可得，，
所以的方程为.
(2)
证明：当直线的斜率不存在时，易知，，，
所以.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立与，
得，
设，，
则，，恒成立，
由题可知，，
则的方程为，①
的方程为，②
②－①得，
因为，所以
，
所以
，
所以，所以的横坐标为，
又，，所以为垂直平分线上一点，所以.
综上，.
22．
(1)
解：不妨设点在第一象限，则.
因为，则，.
由已知，，即，即.
因为，则，即.
因为为渐近线OA的倾斜角，则，即.又，则，.
所以双曲线C的方程是.
(2)
解：解法一：
设点，.
当轴时，直线l的方程为，代入，得.
不妨设点，，则.
当轴时，直线l的方程为，代入，得.
不妨设点，，则.
令，解得，此时.
当直线不与坐标轴垂直时，设直线的方程为，代入，
得，即.
设点，，则，.
对于点，
.
所以存在定点，使为定值.
解法二：
当直线l不与x轴重合时，设了的方程为，代入，得，即.
设点，，则，.
在△PMO中，由余弦定理，得，
设点，则
，
令，得，此时，
.
当直线l与x轴重合时，则点P，Q为双曲线的两顶点，不妨设点，.
对于点，.
所以存在定点，使为定值.