第三章 指数运算与指数函数 章末综合检测卷-北师大版（2019）必修第一册（Word版含答案）

《第三章　指数运算与指数函数》章末综合检测卷
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|y=},B={x|x>0},则A∩B=(　　)
A.(0,1] B.(1,2]
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
2.已知指数函数f(x)=(2a2-5a+3)ax在(0,+∞)上单调递增,则实数a=(　　)
A. B.1 C. D.2
3.已知三个数a=60.7,b=0.70.8,c=0.80.7,则三个数的大小关系是(　　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.a>c>b
4.化简的结果是(　　)
A.0 B.2(b-a)
C.0或2(b-a) D.2(a-b)
5.函数f(x)=的图象大致为(　　)
6.已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是(　　)
A.[0,) B.(-∞,)
C.(-∞,0) D.[0,2)
7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时, f(x)=2x+x-1,则不等式f(x-1)<2的解集为(　　)
A.(0,2) B.(-∞,2)
C.(2,+∞) D.(-∞,0)
8.已知关于x的方程2×3x+a·2x-2x+1=0(a∈R)的根为负数,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,) B.(0,1) C.(0,) D.(0,2)
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得 0分.
9.已知a>0,b>0,则下列各式运算正确的是(　　)
A.(a2b(ab2
B.(a2b3÷(ab2b
C.(a3()3=
D.[(a3)2(b2)3=a-2b-2
10.已知函数f(x)=3x+x3,若0A.f(m)>f(n)
B.f(2)C.f(1-m)D.f(mn)11.已知函数f(x)=-2x+1,g(x)=x2-2x,则下列结论正确的是(　　)
A. x∈[0,3],g(x)>a,则实数a的取值范围是(-∞,-1)
B. x∈[0,3],g(x)>a恒成立,则实数a的取值范围是(-∞,-1)
C. x∈[-2,2], t∈[0,3],使得f(x)=g(t)
D. x∈[-2,2],f(x)=a,则实数a的取值范围是[-3,]
12.设函数f(x)=|2x-1|,已知a,b,c∈R,且aA.函数y=f(x)有最小值0,无最大值
B.函数y=f(x)的图象与直线y=1有两个交点
C.若f(a)>f(c)>f(b),则2a+2c<2
D.若f(a)=f(b),则22a+2b的取值范围是[,+∞)
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若函数f(x)=ax+m+2(a>0,且a≠1)的图象过定点(2,n),则()m+()n=　　　　.
14.已知函数y=2|x-1|在区间(k-1,k+1)上不单调,则实数k的取值范围是　　　　.
15.[2022安徽宣城七校高一上期中联考]已知函数f(x)=-x3,f(x)+f(-x)=4,则实数a=　　　　,满足不等式f(b)+f(1-2b)>4的实数b的取值范围为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分.)
16.已知函数f(x)=e|x-t|,g(x)=-x+e,h(x)=max{f(x),g(x)},其中max{a,b}表示a,b中的较大者,若h(x)>e对任意x∈R恒成立,则实数t的取值范围是　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)[2022广东佛山高一期末考试]
(1)化简:(x,y>0);
(2)计算:(-8×.
18.(12分)[2022重庆巴蜀中学高一上期末考试]已知指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象过点(3,).
(1)设函数g(x)=,求g(x)的定义域;
(2)已知二次函数h(x)的图象经过点(0,0),h(x+1)=h(x)-2x+1,求函数f(h(x))的单调递增区间.
19.(12分)设函数f(x)=3x,且f(a+2)=18,函数g(x)=3ax-4x(a∈R).
(1)求g(x)的解析式;
(2)若方程g(x)-b=0在[-2,2]内有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.
20.(12分)已知函数f(x)=(a>0,a≠1).
(1)若a=2,求函数f(x)在[0,2)上的值域;
(2)若a=2,解关于m的不等式f(m)-f(1-2m)≤0;
(3)若函数f(x)在(2,3)上单调递增,求实数a的取值范围.
21.(12分)[2022江西新余高一上期末考试]已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)-g(x)=.
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式;
(2)当x∈(-,0)时,不等式f(2x)-ag(x)+1≥0恒成立,求实数a的取值范围.
22.(12分)[2022安徽部分市县高一上期末联考]已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数.
(1)求实数a的值.
(2)求不等式f(x2+2x-3)+f(1-3x)<0的解集.
(3)是否存在实数k,使得函数f(x)在区间[m,n]上的取值范围是[,] 若存在,求出实数k的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、单项选择题
1.A　2.D　3.D　4.C　5.D　6.A　7.A　8.D
二、多项选择题
9.ABD　10.BD　11.BD　12.AC
三、填空题
13.
14.(0,2)
15.3　(1,+∞)
16.(-∞,-1)
四、解答题
17.(1)原式==-10y.(5分)
(2)原式=[(100)-1-(-1)-8++1-8+=10+1-8=3.(10分)
18.(1)由题意知a3=,解得a=,
所以f(x)=()x,g(x)=,(2分)
令1-()x≥0,解得x≥0.
所以g(x)的定义域为[0,+∞).(4分)
(2)设h(x)=mx2+bx+c(m≠0),
则h(x+1)=m(x+1)2+b(x+1)+c=mx2+(2m+b)x+(m+b+c),
h(x)-2x+1=mx2+(b-2)x+c+1,
由h(x+1)=h(x)-2x+1,得,解得,
则h(x)=-x2+2x+c,
又h(0)=c=0,所以h(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,(8分)
所以h(x)=-x2+2x在[1,+∞)上单调递减,又f(x)=()x在R上是减函数,
所以函数f(h(x))的单调递增区间为[1,+∞).(12分)
19.(1)∵f(x)=3x,且f(a+2)=18,
∴3a+2=18,∴3a=2.(2分)
∵g(x)=3ax-4x=(3a)x-4x,
∴g(x)=2x-4x.(4分)
(2)方法一(图象法)　由(1)知方程为2x-4x-b=0.
令t=2x,x∈[-2,2],则≤t≤4,(6分)
且方程t-t2-b=0在[,4]上有两个不相等的实数根,
即函数y=t-t2=-(t-)2+的图象与函数y=b的图象在[,4]上有两个交点.(8分)
作出函数y=t-t2的大致图象,如图所示:
由图知当b∈[,)时,方程g(x)-b=0在[-2,2]内有两个不相等的实数根.
故实数b的取值范围为[,).(12分)
方法二(判别式法)　由(1)知方程为2x-4x-b=0.
令t=2x,x∈[-2,2],则≤t≤4,(6分)
且方程t-t2-b=0在[,4]上有两个不相等的实数根,
令h(t)=-t2+t-b,t∈[,4],
则,解得≤b<.
故实数b的取值范围为[,).(12分)
20.(1)当a=2时,f(x)=,
令t=x2-x+1,x∈[0,2),
由二次函数的图象和性质,知t∈[,3),(2分)
所以2t∈[,8),即f(x)在[0,2)上的值域为[,8).(4分)
(2)当a=2时,f(x)=,
又f(m)-f(1-2m)≤0,即f(m)≤f(1-2m),
所以≤,
即m2-m+1≤(1-2m)2-(1-2m)+1,
化简得3m2-m≥0,所以m∈(-∞,0]∪[,+∞).(7分)
(3)当a∈(0,1)时,f(t)=at为减函数,
又t=x2-x+1,其图象的对称轴为直线x=,要使函数f(x)在(2,3)上单调递增,则需满足≥3,解得a≤,则a∈(0,];(10分)
当a∈(1,+∞)时,f(t)=at为增函数,
要使函数f(x)在(2,3)上单调递增,则需满足≤2,解得a≥,则a∈(1,+∞).
综上,实数a的取值范围是(0,]∪(1,+∞).(12分)
21.(1)∵f(x)-g(x)=　①,
∴f(-x)-g(-x)=.
又f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,
∴f(x)+g(x)=　②.
联立①②,解得f(x)=4x+4-x,g(x)=4-x-4x.(3分)
(2)由题意知当x∈(-,0)时,42x+4-2x-a(4-x-4x)+1≥0恒成立,
令t=4-x-4x,x∈(-,0),易知t=4-x-4x为减函数,∴t∈(0,),42x+4-2x=t2+2,
则t2-at+3≥0,t∈(0,)恒成立.(5分)
方法一(轴动区间定)　令h(t)=t2-at+3=(t-)2+3-,
当≤0,即a≤0时,h(t)在(0,)上单调递增,∴h(t)>h(0)=3≥0,符合题意.(7分)
当0<,即0当≥,即a≥3时,h(t)在(0,)上单调递减,∴h(t)>h()=a≥0,解得a≤,
∴3≤a≤.(11分)
综上,实数a的取值范围为(-∞,].(12分)
方法二(分离参数法)　a≤t+,t∈(0,)恒成立,
令φ(t)=t+,t∈(0,).
由对勾函数的性质,知φ(t)=t+在区间(0,)上单调递减,(9分)
∴t+,∴实数a的取值范围为(-∞,].(12分)
22.(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,即=0,解得a=1.(1分)
此时f(x)=,f(-x)==-f(x),满足题意.
∴a=1.(2分)
(2)由(1),知f(x)==1-,
易分析知f(x)在R上为增函数.
∵原不等式可化为f(x2+2x-3)<-f(1-3x),即f(x2+2x-3)∴x2+2x-3<3x-1,
∴x2-x-2<0,解得-1∴原不等式的解集为{x|-1(3)假设存在实数k,使得函数f(x)在区间[m,n]上的取值范围是[,],
∵f(x)为R上的增函数,
∴,即,(8分)
∴方程2xf(x)=k,即2x·=k有两个不相等的实数根,
∴方程(2x)2-(k+1)2x-k=0有两个不相等的实数根.
令2x=t,则t>0,故方程t2-(k+1)t-k=0有两个不相等的正根,
∴,解得-3+2∴存在实数k,使得函数f(x)在区间[m,n]上的取值范围是[,],k的取值范围为(-3+2,0). (12分)