8.6.2 直线与平面垂直 教学设计（表格式）

直线与平面垂直
一、课题名称
课题名：直线与平面垂直
(二)教材版本与课时：人教A版（2019）数学必修第二册8.6.2第一课时
二、教材分析
内容要点
直线与平面垂直的定义及其相关概念、直线与平面垂直的判定定理及其应用。
地位与作用
本节课是在学习者学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其初步应用。其中，直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况，它既是线线垂直的拓展，也是学习面面垂直的基础，同时它也为研究线面角、二面角、点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平行平面间的距离等内容进行了必要的知识准备。因此它不仅是连接线线垂直和面面垂直的纽带，也是空间中点、线、面位置关系的核心内容。通过将直线与平面垂直的空间关系和实际生活中的示例相结合，再让同学们通过动手实际操作构造线面垂直，强化学生的动手能力与空间想象能力，又让学生进一步发现数学与实际生活的联系，提升学生对数学的兴趣。因此，本节课所学习的内容是教材相关内容的提高和深化，起着承上启下的作用。
三、学情分析
认知基础
在本节课之前，学生在学习基本立体图形和立体图形的直观图的过程以及在生活中，已经观察到很多线面垂直的实例，通过具体直线与平面垂直的直观形象，对线面垂直有了感性认识，但并未和相关知识点紧密结合。同时，学生已经学习了空间点、直线、平面之间的位置关系、直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构（学习者的数学现实），这为学习者学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。并且，在前面学习立体几何的基本内容后，已经有了“通过观察、操作等数学活动抽象概括出数学结论”的体会，参与意识、自主探究能力有所提高，对空间概念建立有一定基础。但是，困难在于如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义，感悟直线与平面垂直的意义。
情意基础
高一学生正值青春期，思维活跃，好奇心强，空间想象能力丰富，认知结构逐渐完善。学生对学习空间几何抱有较大兴趣，并且动手操作能力较强，在动手进行空间演示与实际操作时可以有较好的体会。
四、教学目标
1.理解直线与平面垂直的定义及其相关概念，以及判定定理。
2.掌握线线垂直与线面垂直之间的相互转化关系，从而体会降维化归的思想
3.会用自然语言、图形语言、符号语言来表示定义和判定定理。
4.能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。
五、教学重点、难点
重点：直线与平面垂直的判定定理
难点：1.掌握和运用定理
2.判定定理的猜想与归纳
3.定理的发现
关键：1.“任意”的含义——进行线面垂直判定与部分性质的关键
2.无限到有限的转化——推导线面垂直判定方法的关键
3.两条直线相交垂直——突破直线与平面垂直判定定理难点的关键
六、教学方法与教学手段
教学方法：以“启发—讲述式”教学方法为主，直观演示法为辅
教学手段：教学PPT，三角形纸片（任意形状）
七、教学设计思想
根据高一学生的学习特点及其学习思想理论，本节课将从学生已有的知识与方法出发，以现实生活中的例子为载体，通过合理的猜想，引出“直线与平面平行”的相关新知识。在教学中启发学生对直线与平面垂直的性质定理的探究及其证明，使学生能够灵活地将空间问题转化为平面问题。故创设和谐的课堂环境极其重要，让学生积极动脑，大胆动口，适时动手，调动学生学习的积极性，给予学生思考、探究和表达的机会，充分体现学生的主体作用。
教学设想
环节 教学内容设计 设计意图
（一）
复习引入(3min) 师：空间一条直线与平面有哪几种位置关系？ 【学情预设】：大部分学生可以完整回忆出三种位置关系在平面内、平行、相交，但可能仍有少部分同学不能完整回忆出三种位置关系。
【教师对策】：不论提问哪部分学生教师均可以使用赞赏鼓励的方式帮助学生加深对位置关系的记忆。并在相交的基础上引出垂直关系，从而引出课题。
师：很好这位同学非常完整的帮我们一起复习了三种线面关系，可见他前一段的学习非常认真。而且有一种特殊的相交叫做垂直。 ①通过复习前面所学直线与平面的位置关系，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。 ②通过复习引入，寻找知识的最近发展区，让学生明确本节课将“研究什么”及“研究的重点是什么”。
探究新（二）
新知探究（27min）
1、
创设情境
（3min）
2、
观察探究
（8min）
3、
提出猜想
（8min）
4、
验证实验 （8min） 1、直线与平面垂直的定义 创设情境 师：我们现在已经知道了线面垂直的三种关系，在之前的课程中也分析平行与在平面两种关系，我们这节课主要学习直线与平面相交中特殊的相交—垂直。那么线面垂直又有哪些相关概念和原理？让我们一起来探究一下。在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，那么大家还能能举出一些类似的例子吗？
【学情预设】：学生在教师的实例中对线面垂直有一定的想法与理解，在此基础上通过自身的思考与小组讨论，可以找出生活的相关示例，例如：墙角、篮球框、桌角等等。 师：同学们都找了非常多的直线与平面垂直的例子，其实直线与平面垂直我们的生活中处处存在，可能一个小小的动作就会产生一个线面垂直，比如同学们也尝试把数学书立在桌面，观察书脊与桌面的位置关系。
【学情预设】：学生已将知识与生活相联系，通过书脊与桌面的位置关系，更加直观的观察线面垂直，也深刻意识到线面垂直在生活中处处存在
①基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中的特例——直线与平面垂直的形象。 ②通过将知识与实际相联系，促进学生将客观现像和数学知识融为一体，实现“概念的数学化”。
观察探究 师：大家可以看出来书脊与书面师垂直的关系，通过生活中直线与平面垂直实例的观察，我相信大家在脑海中对线面垂直应该有了一个模糊的概念，那么接下来让我们用旗杆与其影子的位置关系进一步探究直线与平面垂直的概念。
(1)如图，在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在的直线与影子所在直线是什么位置关系？（垂直） (2)旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1又是什么位置关系？（垂直）
【教师活动】教师依次展示上述探究，首先让学生通过小组谈论的形式讨论探究，进一步利用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子的移动过程，引导学生思考“应当如何定义直线与平面垂直呢？” 【学情预设】：学生通过观察应可以回答出AB⊥BC，但不一定可以发现AB⊥B1C1。
【教师对策】通过多媒体课件演示B1C1的平移过程，使直线B1C1与AB相交，引导学生发现AB⊥B1C1。
师：通过这个演示我们很清楚的可以看出这两个问题的结果都是垂直，那么我想请问一下大家通过上述探究问题，你认为直线与平面垂直该怎样定义才恰当？ 【学情预设】：学生在思考作出了回答，但是由于学生知识的不全面性，因此给出的定义可能不会太完整，比较有可能没有指出“任意”这一个重点内容也可能在表述中语言不严谨。
【教师对策】教师补充完善定义，并指出定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同意词。教师可以引导学生结合头脑中已有的“任意一个数”，“任意一个人”等来理解其中“任意”与“所有”的关系。由于对于地面上的任意一条直线，总能找到旗杆的一个影子与之平行，从而其与旗杆所在直线垂直。这样，就可以归纳出直线与平面垂直的定义。 师：在得到直线与平面垂直的定义后，为了表述与研究的方便，其实还有一些辅助性的概念需要建立。“直线l叫做平面ɑ的垂线，平面ɑ叫做直线l的垂面，直线与平面垂直时，他们唯一的公共点P叫做垂足。 【师生活动】：教师引导学生，结合直线和直线垂直的相关概念，给出垂线、垂面、垂足等概念，给出直线与平面垂直的图形表示。 师：还有一些易错点需要注意，那么让我们一起看一下以下三道思考题，一起来看一下吧。 1.辨析题：如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂直，则直线 l 和平面 α互相垂直.
师：让我们把桌面看作平面ɑ，再拿出几只笔当作一条条直线。现在将这些笔所代表直线摆放的与桌面宽这条边平行，其实我们发现还有在平面内无数条直线与我们摆放的笔所表述的直线是平行的。我们再准备一根笔l，让这根笔和桌子长边平行，将他放到平面内，我们会发现直线l与之前摆放的笔垂直，也就是相当于与无数条直线垂直，但是l与平面ɑ不垂直，所以这个是错误的。 2.判断l⊥于α，b α→l⊥b( )
师：我们可以通过定义进行判断直线l与平面ɑ相互垂直，那么直线l与平面ɑ内的任意一条直线都垂直，所以l⊥b。
3.我们知道，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？ 师：过一点垂直于已知平面的直线又且只有一条。过一点作垂直于已知平面的直线，则该店于垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，出现段的长度叫做这个点到该平面的距离。 师生活动：教师提出问题，师生共同讨论，直观感知和操作确认“过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条”，进而给出垂线段、点到平面的距离的概念。顺势介绍在棱锥的体积公式中，棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离。 ①在具体的情境中，让学生去体会和感知直线与平面垂直的定义。 ②帮助学生建立感性经验和抽象概念之间的联系，实现从具体到抽象的过渡。 ③第（1）问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直，第（2）问旨在引导学生根据平行直线的概念得出旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，从中概括出：一条直线与一个平面垂直，那么该直线与此平面内的任意一条直线都垂直. ④通过多媒体课件直观展示旗杆和在地面上影子的变化过程，引导学生用“平面化”的思想来思考问题，通过观察，感知直线与平面垂直的本质属性。
①通过观察、思考与讨论，让学生感悟：一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，这条直线就与该平面垂直。
①建立平面的垂线、直线的垂面、垂足等相关概念，知道直线与平面垂直的符号表示，同时让学生理解学习数学概念的“基本思路”。 ①使学生明确平面中直线的“任意性”。
②类比平面几何有关性质，结合直线与平面垂直的定义，给出空间类似的性质。既呼应前面棱锥的高的概念，也为后面“平面与平面垂直的性质”定理后的“探究”做必要的铺垫。
2、直线与平面垂直的判定定理 提出猜想
师：能否通过与有限条直线垂直来判别线面垂直？ 【学情预设】学生还未理解有限与无限的区别，可能不能正确回答。
【教师对策】教师继续进行提问引导学生，帮助学生区别有限和无限。
师：那么我们现在先试验一条直线与平面垂直可不可以判断出线面垂直。如果a⊥b，那么a一定垂直于b所在平面吗？ 【学情预设】学生通过试验，有的同学回答可以，有的同学回答不可以。
【教师对策】教师向学生展示试验，举出反例如思考题1，用实例说明一条直线是不可以的。 师：很明显由刚刚的思考题第一题我们就可以知道单单一条直线与平面垂直是不能判断出线面垂直的。那么两条直线是否可以呢？同学们可以试验一下。 【学情预设】有的学生可能在试验时只能想到平行直线的情况，有的学生只能想到相交直线的特殊情况。
【教师对策】教师综合学生的想法，展示试验，向同学们明确平行直线与相交直线的区别。
师：通过刚才的小小动手实验我们可以看出，两条平行直线和一条直线一样是没有办法推出线面平行的，但是两条相交直线是可以推出线面平行的。那么在此基础上，三条、四条等等都是可以的，最少的就是两条。 师:观察跨栏、教室内直立的墙角线与地面等实物，你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗 【学情预设】学生观察后，发现共同点，提出猜想：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
①引发学生认知冲突，激发探索判定定理的需要，将平面内直线条数从无限条转化为有限条。 ②旨在帮助学生寻找具有可操作性的判定方法，体验有限与无限之间的辩证关系。 ①强化平面中两条“相交”直线的条件.
验证实验 师：根据定义，判断直线与平面垂直，需要验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直．类比平面与平面平行的判定定理，有没有判定直线与平面垂直的简单、易行的方法？ 请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触），观察并思考： ①折痕AD与桌面垂直吗？ ②如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？ 教师先展示一个不是BC上的高的折痕，之后提问：同学们看，此时的折痕AD与桌面垂直吗？为什么说此时的折痕AD与桌面不垂直？ 【学情预设】学生可能回答AD与桌面不垂直，但不能回答出与桌面不垂直的原因。 【教师策略】引导学生回想直线与平面垂直的定义是直线与平面内所有直线都垂直，然而AD与BD和CD都不垂直，因此AD与桌面不垂直。 师：如何翻折才能让折痕AD与桌面所在平面垂直呢？大家进行分组试验。 【学情预设】部分学生可以准确回答出当AD是底边BC的高时，折痕AD与桌面所在平面垂直。但是不能回答出原因。 【教师策略】教师引导学生观察, 利用三角形纸片演示翻折过程。并提醒学生：由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系，即AD⊥CD，AD⊥BD发生变化吗？之后引导学生用直角三角板辅助验证，将直角三角板的一条直角边与AD平行，并平移直角三角板，直至该直角边与AD重合。
师：其实折痕AD有两种可能，一种是和底边BC垂直，一种是不和底边BC垂直。通过实验我们可以看出：当折痕AD和底边BC垂直时，AD与桌面垂直，当折痕AD和底边BC不垂直时，AD与桌面不垂直。这个结论其实我们也可以刚刚我们推断出发进行判定，D点将底边BC分成两段BD、CD，当AD垂直于BC时，他就垂直于两条相交的线段BD和CD，也就是垂直于两条相交直线，而在两条相交直线在桌面内，因此AD与桌面垂直。因此我们得到线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 师生活动：教师给出线面垂直的判定定理，请学生用符号语言把这个定理表示出来，并由此向学生指明，判定定理的实质就是通过线线垂直来证明线面垂直，它体现了降维这种重要的数学思想。 师：直线与平面垂直是直线与平面的相交时的一种特殊情况，当它们不垂直时，如图，可以发现，不同的直线与平面相交的情况也是不同的，如何刻画这种不同呢？ 【师生活动】：教师提出问题，给出斜线的概念．引导学生利用发现，斜线与平面相交的位置关系的不同在于它们相对于平面的“倾斜程度不同”．进而给出直线与平面所成的角的概念，并用它来刻画斜线和平面的位置关系。
①让学生从另一个角度来理解直线与平面垂直的定义——只要直线与平面内有一条直线不垂直，那么直线就与平面不垂直。 ②通过分组讨论增强数学学习氛围，让学生在交流中互相学习，共同进步。 ③提高学生抽象概括的能力。 ①设计意图：引出直线与平面所成的角的概念，同时建立平面的一条斜线在平面上的射影的概念。
应用新知 （10min） 例题:如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中, (1)请列举与平面ABCD垂直的直线 ； (2)请列举与直线A1A垂直的平面 ； 【学情预设】有的学生可以列举出与平面ABCD垂直的所有直线，有的学生只能列举出最特殊的AA1，教师加以强调由于平行关系，BB1,CC1,DD1也垂直于平面ABCD。经过提醒后，学生类比可以准确回答出直线A1A垂直的平面有平面ABCD与平面A1B1C1D1。 练习1：练习：已知a∥b，a⊥α. 求证：b⊥α.
师：结合我们这节课所学的内容，通过所给的a⊥α的条件，我们可以得出什么结论吗？ 【学情预设】大多数学生能够根据a⊥α回答出a垂直于平面α的两条相交直线。 师：既然如此，题目又告诉了我们a∥b，那么我们由平行的性质，可以得出什么结论吗？ 【学情预设】学生回答b也会垂直于平面α的两条直线，结合定义，学生进一步就可推得b⊥α 练习2: 在正方体ABCD-A’B’C’D中． 求证：BD⊥平面ACC’A’ .
师：要求BD⊥平面ACC’A’，结合定义，我们是不是应该找到平面ACC’A’的两条相交直线与直线BD垂直，我们可以判断直线A’A和直线BD垂直吗 为什么呢？ 【学情预设】结合正方体所具有的性质，学生们普遍都能回答直线A’A是垂直于直线BD的，因为直线A’A是垂直平面ABCD的，又因为BD在平面ABCD上，从而A’A⊥BD 结合例题和练习的训练，学生可以认识到正方体的棱长是垂直于每个平面的， 并且我们可以通过平行的性质，推得如果一条直线与平面垂直，那么与该直线平行的直线也会与平面垂直。 3个小题环环相扣，汇集了本节课的学习内容，突出了知识间内在联系和融会贯通，强化了定理的运用。
课堂小结（3min） 师：学了这节课的内容之后，我们可以得到判定直线与平面垂直的方法，那么都有哪些方法呢？ 【学情预设】：部分学生可以准确地说出直接法和定义法，而不能想到间接法。教师着重强调讲解分析间接法的过程。 梳理本节课的主要内容，优化学生的知识结构，培养学生总结反思的习惯，鼓励学生对问题多质疑、多概括。
布置作业(2min) 课本p155练习：1，2，3,4（选做） 旨在满足不同层次学生的需要、巩固本节课所学内容。
九、板书设计
十、反思
本次课虽然基本达到了教学目标，但是还是有很多缺陷和遗憾，对教学的细节没有把握好，经过小组反思与交流，我们对本次教学不足的方面与解决办法列举如下。
PPT过度不流畅，动画没有做好在制作PPT的过程中我们为了节省教学时间，提高教学效率，在通过太阳的移动展示杆子影子的变化时，动画的过渡没有做好，太阳的移动与杆子影子变化之间有卡顿，导致学生觉得很疑惑为什么会这样。
解决方案：将动画做的流畅些，缺失的图片补全，太阳移动与杆子影子的变化互相匹配，使得个过程变的更加的流畅和完善，有助于学生更好的理解。
由于写字比较慢写的很详细，导致在黑板的书写超过了三分钟没有开口与学生交流导致课堂教学沉默时间过长（三分钟间隙）。
解决方案:让学生读定义，然后老师跟着写出定义的关键字不需要完全的照搬下来，这样可以大大减少书写时间。
给出了垂足这个名词，没有深入下去，导致学生上课疑惑，不利于学生构架直线平面垂直的知识体系。
解决方案:向学生给出这些名词的这些定义并且同时解释给学生听帮助学生理解这个概念。
“过空间一点有几个平面与已知直线垂直 ” 这个问题问的不严谨有歧义
解决方案：删掉了这个问题，选择更加严谨的问题代替。
在黑板上操作书写的时候遮住了学生的视线，
解决方案:让老师拿着书和笔面对着学生演示同时让学生跟着老师一起做锻炼学生的动手能力加深它们对于定义的理解
思考题1在前面教学过程中已经演示过了，但是在讲思考题的时候又展示了一遍
解决方案：后面不再演示了，就直接否定就可以了，这样可以节约教学时间。~
需要增加线面角的定义
解决方案：新教材添加了线面角的相关内容，与现在所教的直线平面垂直这个知识点比较贴切，联系性较强，所以应该加在这个地方进行讲解。