2021-2022学年黑龙江省绥化市肇东四中高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校
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姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
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绝密★启用前
2021-2022学年黑龙江省绥化市肇东四中高二（下）期末数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )
A. B.
C. D.
设的分布列如表所示，又设，则等于( )
A. B. C. D.
一个不透明的袋子中，放有大小相同的个小球，其中个黑球，个白球，如果不放回的依次取出个球．在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率是( )
A. B. C. D.
为了丰富学生的假期生活，某学校为学生推荐了西游记、红楼梦、水浒传和三国演义部名著．甲同学准备从中任意选择部进行阅读，那么红楼梦被选中的概率为( )
A. B. C. D.
将个相同的小球放入个编号不同的盒子中，每个盒子至多放一个小球，而且小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是( )
A. B. C. D.
若函数的定义域为，值域为，则的定义域和值域分别是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
下列四组函数中，表示相等函数的一组是( )
A.
B.
C.
D.
已知函数满足，则( )
A. B. C. D.
一个袋子中个大小相同的球，其中有个黄球，个白球，从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从( )
A. 二项分布，且 B. 两点分布，且
C. 超几何分布，且 D. 超几何分布，且
设函数，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
集合，，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知随机变量服从正态分布，且，则 ______ ．
下列语句是假命题的是______填序号．
所有的实数都能使成立；
存在一个实数，使成立；
存在一个实数，使．
已知集合或，，若，则的取值范围为______．
的展开式中，的系数是 用数字填写答案
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
某班主任对全班名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，得出以下列联表：
积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 总计
学习积极性高
学习积极性一般
总计
如果随机抽查该班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是．
求，，，的值．
试运用独立性检验的思想方法分析：能否有的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系？并说明理由．
参考公式：，其中．
参考数据：
本小题分
某单位举办年杭州亚运会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“亚运会会徽”或“五环”图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“五环”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．
Ⅰ活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“五环”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率；
Ⅱ现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列及的值．
本小题分
计算：；
已知，；求的值．
本小题分
设函数．
若关于的不等式的解集为，求实数和的值；
若，
若，，求的最小值，并指出取最小值时和的值；
求函数在区间上的最小值．
本小题分
将编号为，，，的四个小球放入编号为，，的三个盒子．把球全部放入盒内，共有多少种放法？
将编号为，，，，的五个小球放入编号为，，，，的五个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有个盒子的编号与放入小球的编号相同，有多少种不同的放法？
将个相同的小球放入编号为，，，，的五个盒子中．若要求每个盒至少放一个小球，有多少种不同的放法？
本小题分
某种商品原来每件售价为元，年销售万件．
据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？
为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两个变量的线性相关，考查相关系数，属于基础题．
根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．
【解答】
解：由给出的四组数据的散点图可以看出，
图和图是正相关，相关系数大于，
图和图是负相关，相关系数小于，
图和图的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于，接近于，
由此可得．
故选：．

2.【答案】
【解析】解：，
则．
故选：．
根据已知条件，结合期望的公式，以及期望的线性公式，即可求解．
本题主要考查期望的公式，以及期望的线性公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查条件概率的概念与计算，属于中档题．
方法：需要算出“第一次取到黑球的概率”和“第一次取到黑球，第二次取到白球的概率”，根据条件概率公式，代入数据即可．
方法根据第一次取出黑球后，剩余球的情况来直接计算第二次取出是白球的概率．
【解答】
解：方法
记事件为“第一次取到黑球”，事件为“第二次取到白球”，
则事件为“第一次取到黑球，第二次取到白球”，
依题意知：，，
故在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率为：
．
方法
在第一次取出的是黑球的条件下，还有个黑球，个白球，
故第二次取出的是白球的概率为：．
故选：．

4.【答案】
【解析】解：某学校为学生推荐了西游记、红楼梦、水浒传和三国演义部名著，
甲同学准备从中任意选择部进行阅读，
基本事件总数，
红楼梦被选中包含的基本事件个数，
红楼梦被选中的概率为．
故选：．
基本事件总数，红楼梦被选中包含的基本事件个数，由此能求出红楼梦被选中的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：将个相同的小球放入个编号不同的盒子中，每个盒子至多放一个小球，而且小球必须全部放入盒中，则只需从个盒子中选择个盒子放入小球小球无差别即可，
因此有种不同的放法，
故选：．
结合排列、组合问题，可以看成从个盒子中选择个盒子放入小球，从而可得出答案．
本题考查了排列、组合知识，重点考查了组合问题，属基础题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了抽象函数的定义域和值域，解题的关键是利用图象的平移，属于中档题．
根据函数是由函数向左平移个单位得到，定义域发生改变，值域不变，从而求出所求．
【解答】
解：函数是由函数向左平移个单位得到，
函数的定义域为，
的定义域为，
函数图象进行左右平移值域不变，故的值域为，
故选C．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查判断两个函数是否为相等函数，判断的标准是判断两个函数的定义域和对应法则是否完全相同，属于基础题．
分别判断两个函数定义域和对应法则是否一致即可．
【解答】
解：函数，两个函数的对应法则和定义域相同，是相等函数．
B.函数，，两个函数的对应法则和定义域不相同，不是相等函数．
C.函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．
D.由，解得，即函数的定义域为，
由，解得或，即的定义域为或，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．
故选：．

8.【答案】
【解析】解：，
令，
解得；
．
故选：．
根据的解析式，令，求出的值，再计算即可．
本题考查了利用函数的解析式求函数值的应用问题，是基础题目．
9.【答案】
【解析】解：由于是不放回地随机摸出个球作为样本，所以由超几何分布得定义得服从超几何分布，
所以．
故选：．
利用超几何分布的定义判断，再利用超几何分布的期望公式求解．
本题主要考查超几何分布的期望公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：令，则，得，
当时，，则，此方程无解；
当时，，则，解得，或舍去，
，可得，且，解得．
故选：．
令，问题转化为，然后对分类分析，可得，进一步转化为关于的方程求解．
本题考查分段函数的应用，考查数学转化与分类讨论思想，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：由，
得，
即，
于是有，解得，
因为“”不能推出“”，故充分性不成立；
因为“”能推出“”，故必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
利用对数不等式的解法，结合充分条件必要条件的定义即可求解．
本题考查了充分条件与必要条件的判断，对数不等式的解法，解题的关键是掌握充分条件与必要条件的判断方法，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：，，
则，，
阴影部分表示集合为．
故选：．
先得到阴影部分表示的集合为集合、的并集中的元素去掉、的交集中元素得到，再求出，即可．
本题考查图表示集合，关键是分析阴影部分表示的集合满足的条件，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：随机变量服从正态分布，
正态分布曲线的对称轴为，则．
由，得，即，
．
故答案为：．
由已知可得正态分布曲线的对称轴，再由求得，进一步由正态分布曲线的对称性得答案．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为在中，，
所以无解，恒成立．
所以所有的实数都能使成立；是真命题，
不存在实数，使成立，是假命题，
不存在实数，使，是假命题，
所以是假命题．
故答案为：．
由二次方程的判别式可得二次函数的性质，进而可判断是否正确，可得正确答案．
本题考查了一元二次不等式的解的情况，属于基础题．
15.【答案】或
【解析】解：若，则或，
解之得或，
所以的取值范围为：或．
由，分类讨论，即可求实数的取值范围．
本题考查了集合包含关系的应用，注意分类讨论，属于基础题．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
利用二项展开式的通项求出第项，令的指数为，求出，即可求出展开式中的系数．
【解答】
解：的展开式通项为，
令，解得，
的系数为，
故答案为．

17.【答案】解：积极参加班级工作的学生有人，总人数为，
由抽到积极参加班级工作的学生的概率，解得，
所以，
所以，．
，
有的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．
【解析】由抽到积极参加班级工作的学生的概率是，可求出的值，然后根据表中的数据可求出，，的值．
直接利用公式求解，然后根临界值表判断即可．
本题主要考查独立性检验公式，考查计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：Ⅰ设“会徽”卡有张．
因为从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是，所以有，．
所以“五环”图案卡片的张数为，故抽奖者获奖的概率为．
Ⅱ由题意可知本题中的离散型随机变量服从二项分布，即
，，
，，，
的分布列为：
．
【解析】Ⅰ设“会徽”卡有张，利用从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是，可以求出，也就可以求出“五环”图案卡片的张数，然后求出抽奖者获奖的概率；
Ⅱ由题意可知服从二项分布，根据二项分布的概率公式，列出的分布列，计算出的值．
本题考查了古典概型、离散型随机变量分布列、以及期望，属于基础题．
19.【答案】解：，则，
；
，则或，解得或舍去，
，则．
【解析】根据排列数的计算公式即可得解；
根据结合题意可得，利用化简整理，再代入组合数的计算公式计算．
本题考查了排列组合数公式的应用问题，是基础题目．
20.【答案】解：由已知可得，的两根是，，
所以，解得；
，所以，
所以，
当且仅当时取等号，因为，，，解得时取等号，此时的最小值是；
由于，得，则，
函数的图象对称轴为，
当时，在区间上单调递增，则的最小值为，
当时，在区间上单调递减，则的最小值为．
【解析】由已知可得，的两根是，，由韦达定理可得答案；
由条件可得，用基本不等式可求出的最小值，函数的图象对称轴为，分析在区间上单调性，即可求出最小值．
本题考查函数的单调性的性质的应用，以及一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，属中档题．
21.【答案】解：将编号为，，，的四个小球放入编号为，，的三个盒子．把球全部放入盒内，共有种放法．
先选一个球放入其编号与盒子的编号相同的盒子，有种方法；不妨选的球的编号为，则剩下的四个小球符合条件的排法共有以下种：
；；；；；；；；，因此共有方法种．
利用“隔板法”：有种不同的放法．
【解析】利用乘法原理即可得出结论．
先选一个球放入其编号与盒子的编号相同的盒子，有种方法；不妨选的球的编号为，求出剩下的四个小球符合条件的排法，利用乘法原理即可得出结论．
利用“隔板法”即可得出结论．
本题考查了乘法原理、排列与组合数计算公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
22.【答案】解：设每件定价为元，
则，
整理得，
要满足条件，每件定价最多为元；
由题得当时：有解，
即：有解，
又，
当且仅当时取等号，，
即改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件．
【解析】设每件定价为元，则，解之即得所求；
依题意可列，分离参数可得有解，应用均值不等式求不含参数这一边的最值即得所求．
本题考查了实际问题中函数的模型以及基本不等式的应用，属于中档题．
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