直线的倾斜角与斜率（提高训练）
1、直线、的斜率是方程x2－3x－1=0的两根，则与的位置关系是（ ）
A、平行 B、重合 C、相交但不垂直 D、垂直
答案：D
2、如右图中直线、、的斜率分别为k1、k2、k3。则 ()
A、k1＜k2＜k3 B、k3＜k1＜k2
C、k3＜k2＜k1 D、k1＜k3＜k2
答案：B
解析：根据斜率与倾斜角的关系可得此答案
3、已知直线经过点P（3，2），倾斜角是直线x－4y＋3＝0的倾斜角的2倍，求直线l的方程。
解析：设直线x－4y＋3＝0的倾斜角为α
又直线经过点P（3，2）
4、已知直线过点P（-2，3），且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程。
解析：关键是要求出斜率k。
显然，直线l与两坐标轴不垂直，设直线的方程为y－3＝k（x＋2）
5、
线方程
解析：
∴其倾斜角α＝120°
6、已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况。
（1）0°＜α＜90°；（2）90°＜α＜180°。
解析： 本题要讨论的问题有两个：第一，直线斜率的变化情况；第二，直线斜率的绝对值的变化情况。
（2）首先要建立斜率k与倾斜角α之间的关系以及斜率k的绝对值｜k｜与倾斜角α之间的关系，然后讨论变化情况，必要时可先画出函数的图象，根据图象指出直线的斜率及其绝对值的变化情况。
（3）用函数的性质或图象知识去讨论。
解：当0°＜α＜90°时，tanα＞0
（1）k＝tanα，｜k｜＝｜tanα｜＝tanα（0°＜α＜90°）
∴y＝k与y＝｜k｜的图象相同（如图所示）
这时，直线的斜率与直线斜率的绝对值相等，且属于（0，＋∞），直线的斜率及其绝对值随着直线倾斜角的增大而增大。
当90°＜α＜180°时，k＝tanα＜0
当0＜α＜90°时，直线斜率的变化范围是（0，＋∞），随着倾斜角在开区间
当90°＜α＜180°时直线斜率绝对值的变化范围是（0，＋∞），随着倾斜角在开
于0。
《3.1 直线的倾斜角与斜率》同步测试题
一、选择题
1.若直线经过点A(1，2)，B(4，)，则直线的倾斜角是( ? ).
A. ?? B. C. D.
考查目的：考查直线的倾斜角和斜率的定义与斜率计算公式.
答案：A.
解析：∵，∴.∵，∴倾斜角.
?
2.顺次连接A(-4，3)，B(2，5)，C(4，3)，D(-2，1)四点所组成的图形是(???? ).
A.矩形?????? B.正方形????? C.平行四边形?????? D.直角梯形
考查目的：考查直线的斜率计算公式及由斜率判断两条直线的位置关系的方法.
答案：C.
解析：由直线的斜率计算公式得，，，，∴，，∴，，∴四边形是平行四边形.
?
3.(2008四川)将直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位长度，所得到的直线方程为(???? ).
A.?????? B.?????? C.?????? D.
考查目的：考查相互垂直的两条直线的斜率关系及函数图象的变换.
答案：A.
解析：将直线绕原点逆时针旋转所得的直线方程为，再将直线向右平移１个单位长度，得到的直线方程应该为，整理得.
?
二、填空题
4.(2010湖南文)若不同两点P，Q的坐标分别为(，)，(，)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为?????????? .
考查目的：考查相互垂直的两条直线的斜率关系与直线的斜率计算公式.
答案：-1.
解析：∵过P，Q 两点直线的斜率为，又∵直线(设其斜率为)是线段PQ的垂直平分线，∴，∴.
?
5.已知直线的斜率为3，直线经过点(1，2)，(2，).若直线∥，则???????? ；若直线⊥，则???????? .
考查目的：考查相互垂直和平行的两条直线的斜率关系及其应用.
答案：5，.
解析：∵，，∴若∥，则，即，解得；若⊥，则，即，解得.
?
6.下列命题正确的有??????????? .
⑴任何一条直线都有倾斜角，也有斜率；⑵平行于轴的直线的倾斜角是或；⑶直线的斜率范围是；⑷过原点的直线，斜率越大越靠近轴；⑸两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等；⑹两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等.
考查目的：考查直线的倾斜角和斜率的概念，及相互间的关系.
答案：⑶⑸.
解析：⑴倾斜角为的直线没有斜率；⑵直线的倾斜角取值范围是；⑷斜率的绝对值越大，其对应的直线越靠近轴；⑹倾斜角为的直线没有斜率.
?
三、解答题
7.(2011安徽文改编)设直线，，其中实数，满足.求证：直线与相交.
考查目的：考查利用斜率判断两条直线位置关系的基本方法和反证法.
解析：(反证法)假设与不相交，则与平行，∴，代入得，，此时方程中，没有实数解，与题目条件“为实数”相矛盾，∴，即与相交.
?
?
8.已知两点(-3，4)，(3，2)，过点(2，-1)的直线与线段AB有公共点，求直线的斜率的取值范围.
考查目的：考查直线倾斜角、斜率的意义和斜率计算公式，以及数形结合思想.
答案：.
解析：如图，依题意，直线由直线CB开始按逆时针方向旋转，至直线CA止，其间直线与线段AB都有公共点.
直线CB的斜率为，直线CA的斜率.注意到，直线由直线CB开始按逆时针方向旋转时，直线的斜率逐渐增大.直至当直线与轴垂直时，倾斜角为，此时斜率不存在.继续旋转直线，其斜率由负无穷大开始增大，直至直线CA终止，∴直线的斜率取值范围是.
课件19张PPT。§3.1.1 直线的倾斜角和斜率一次函数的图象有何特点?给定函数y=2x+1,如何作出它的图像? 一般地,一次函数y=kx+b的图象是一条直线,它是以满足y=kx+b的每一对x、y的值为坐标的点构成的.复习回顾问题：在直角坐标系中，过点P的一条直线
绕点P旋转，不管旋转多少周，他对
x轴的相对位置有几种情形，请画出
来？ 2、直线的倾斜角与斜率 在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准， x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α 叫做直线l的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为00. 倾斜角不是900的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k来表示.练习3、斜率公式公式的特点:(1)与两点的顺序无关;(2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角;(3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴垂直,α=900例1 如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。例题分析例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2和-3的直线 。例题分析下列哪些说法是正确的（ ）A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率
B、直线的倾斜角越大，斜率也越大
C 、平行于x轴的直线的倾斜角是0或π
D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等
E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等
F 、直线斜率的范围是R练习（3）如图，直线l1的倾斜角α1=300，
直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率.练习3.1.2 两条直线平行与垂直的判定知识回扣1、 求经过A（-2，0），B（-5，3）两点的直线的斜率和倾斜角.
2、 若三点A（5，1），B（a，3），C（-4，2）
在同一条直线上，确定常数a的值.设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2.xOyl2l1α1α2结论1：对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2（ α1、α2≠90°）.结论2：如果两条直线l1、l2都有斜率，且分别为k1、k2，则有例3已知A（2，3），B（-4，0），P（-3，1），Q（-1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论。AXYBPQ例4、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（2，-1），C（4，2），D（2，3），试判断四边形ABCD的形状，并给出证明。例4、已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3）Q（6，6），判断直线AB与PQ的位置关系。例5、已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三点，试判断△ABC的形状。高中数学《3.1 直线的倾斜角与斜率》学案 新人教A版必修2
学习目标
1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；
2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；
3．能用公式和概念解决问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P90~ P91，找出疑惑之处）
复习1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?
复习2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?
二、新课导学
※ 学习探究
新知1：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角（angle of inclination）.
关键：①直线向上方向；②轴的正方向；③小于平角的正角.
注意:当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..
试试：请描出下列各直线的倾斜角.
反思：直线倾斜角的范围？
探究任务二：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？
新知2：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为.
试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为
⑴当时，则 ；
⑵当时，则 ；
⑶当时，则 ；
⑷当时，则 .
新知3：已知直线上两点的直线的斜率公式：.
探究任务三：
1.已知直线上两点运用上述公式计算直线的斜率时，与两点坐标的顺序有关吗？
2．当直线平行于轴时，或与轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？
※ 典型例题
例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷
变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.
⑴；
⑵；
⑶；
⑷不存在.
例2 求经过两点的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.
※ 动手试试
练1. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
⑴；
⑵.
练2．画出斜率为且经过点的直线.
练3．判断三点的位置关系，并说明理由.
三、总结提升
※ 学习小结
1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是.
2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点的坐标来求；⑶当直线的倾斜角时，直线的斜率是不存在的
3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：
直线的倾斜角
直线的斜率
直线的斜率公式
定 义
取值范围
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列叙述中不正确的是（ ）.
A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
B．每一条直线都惟一对应一个倾斜角
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为或
D．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
2. 经过两点的直线的倾斜角（ ）.
A． B． C． D．
3. 过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( ).
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
4. 直线经过二、三、四象限，的倾斜角为，斜率为，则为 角；的取值范围 .
5． 已知直线l1的倾斜角为1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角为________.
课后作业
已知点，若直线l过点
且与线段相交，求直线l的斜率的取值范围.
2. 已知直线过两点，求此直线的斜率和倾斜角.
高中数学《3.1.1 直线的倾斜角与斜率（1）》教案 新人教A版必修2
一、教学内容分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学2》（人教版）第三章直线方程第一节直线
的倾斜角与斜率的第一课时。
直线的倾斜角与斜率是高中数学重要内容之一，有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 直线的倾斜角与斜率与一次函数密不可分；另一方面,学习直线的倾斜角与斜率也为进一步学习直线方程等内容做好准备。
二、学生学习情况分析
本节课学生很容易在以下两个地方产生错误或困惑：
1.由正切函数的单调性得到倾斜角与斜率的变化关系;
2. 斜率计算公式的运用.
三、教学目标
知识与技能
1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．
2.理解直线的倾斜角的唯一性.
3.理解直线的斜率的存在性.
4.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
情感态度与价值观
1.通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．
2.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神
四、教学重点，难点
重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
难点：斜率公式的应用。
五、教学过程
(一)．复习旧知
问题1:正切函数的定义及定义域
问题2: 正切函数的图象与单调性
(二).问题情境
问题3:对于平面直角坐标系内的一条直线,它的位置由哪些条件确定呢?
我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?
(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同.
问题4:怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?
(三).形成定义
定义1:直线倾斜角的概念： x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角
注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.。
问题5:倾斜角的取值范围是什么呢? 0°≤α＜180°.
问题6: 倾斜角的用处是什么?
因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
问题7:直线a∥b∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗?
答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.
结论:确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P和一个倾斜角α,二者缺一不可.
定义2:直线斜率的概念：直线倾斜角的正切值叫直线的斜率. 常用表示,
问题8:当直线倾斜角为度时它的斜率不存在吗?. 倾斜角的大小与斜率为正或负有何关系?
问题9:斜率为正或负时,直线过哪些象限呢?
问题10:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?
定义3:直线斜率的计算:两点确定一直线,给定两点与,则过这两点的直线的斜率
问题11:(1)直线的倾斜角确定后, 斜率的值与点,的顺序是否有关?
(2)当直线平行表于y轴或与y轴重合时,上述公式还适用吗?
(四).归纳总结
对于上面的斜率公式要注意下面四点：
(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；
(2) k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;
(3) 斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.
(五).应用举例
例1．已知 A（3，2），B（-4，1），C（0，-1）求直线AB、AC、BC的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
(六).课堂练习
教材P86面练习第1、2、3题。
(七).归纳总结
1.直线的倾斜角
2.斜率的概念
3.斜率的计算公式.
4. 倾斜角与斜率的关系.
(八).课外作业：
教科书第89面1,2,4
