高中数学必修五《2.2 等差数列（1）》学案
教学目标： 记住等差数列的概念及通项公式并且能够熟练应用。
一、自主学习：研读教材36-38页，回到下列问题
问题（1）：观察下列数列的特点，归纳规律：
0，5，10，15，…
奥运会女子举重级别48，53，58，63.
3，0，—3，—6，…
10072，10144，10216，10288，10306.
…
规律是： __________________________________
问题（2）：总结等差数列的定义：
问题（3）：等差数列的通项公式：
一般的，如果等差数列根据等差数列的定义推出其通项公式：
问题（4）已知数列的通项公式，其中p,q为常数，那么这个数列一定为等差数列吗？是等差数列时，和一次函数图像之间有什么关系？
问题（5）如何证明一个数列是等差数列：（等差数列的通项公式的作用及变形应用）
问题（6）：写出等差中项概念：
二、合作探究:
例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项；
（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13…的项？如果是，是第几项？
例2.在数列中，，已知该数列的通项公式是序号的一次函数，求
三、课堂练习：，2题，3题.
（2）在等差数列中，已知
（四）课后反思小结：
（五）作业：
2.2 等差数列（2）
教学目标：1、 记住等差数列性质。
2、能熟练运用等差数列性质。
一、自主学习
1、请独立完成以下问题：
（1）等差数列定义： 。
（2）等差数列通项公式： 。
（3）等差数列的公差d= 。
（4）若a，A，b成等差数列，则： 。
（5）则= 。
（6）方程与函数思想的应用：
（7）如何证明一个数列为等差数列：
2：已知等差数列
（1）求 （2）该数列从第几项开始为负？
问题（1）满足什么条件的等差数列有正负分界项？
（2）应如何判断等差数列的正负分界项？
练习：首项为—24的等差数列从第10项开始为非负数，则公差的取值范围为 。
二、合作探究
例1：三个数成等差，其和为15，首尾两项之积为9，求此数列。
问题（3）三个数成等差，应如何设？四个数成等差呢？
练习：已知成等差数列的四个数之和为26，其中第二个数与第三个数的积为40，求这四个数。
三、课堂小结
四、课后作业：
若成等差数列。
2．数列中，求：
（1）数列的通项； （2）从第几项开始为正？
2.2 等差数列（3）
教学目标：1、 记住等差数列性质。
2、能熟练运用等差数列性质。
一、自主学习
1、满足 的等差数列有正负分界项；
正负分界项的判断方法为： 。
2、下面是等差数列的一些常用性质，你能证明他们吗？
①
②若m+n=p+q则
③若2p=m+n,则：
④若项数s，t，r，…成等差，则对应项…成差数列
3、已知数列成等差数列，公差为d首项为，取出该数列中的所有奇数项组成一个新的数列，这个数列是否成等差数列：公差是多少？偶数项呢？取出数列中序号为7的倍数的项呢？
4、在等差数列中，已知，求：
（1）
（2）求的等差中项
二、合作探究：
例1：已知等差数列中，公差为正数，且及通项。
例2：等差数列中，已知，求数列的通项。
例3：等差数列中，：。
三、课堂检测：
1、已知数列为等差数列，且，求的值
2、已知无穷等差数列中，首项，公差d=-5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列。（1）求和；
（2）求的通项公式；
（3）中的第503项是中的第几项
四、课堂小结
五、课后作业
1、若3,b,c,-9成等差数列，求b,c
2、等差数列中，，且，求通项
2.3 等差数列的前n项和（1）
教学目标： 掌握等差数列前n项和公式，并能应用。：
一、自主探究
问题（1）：高斯运算的方法是什么？
问题（2）什么是数列的前n项和，数列的前n项和用什么符号表示？
问题（3）等差数列的前n项和怎么求？
问题（4）请总结等差数列的前n项和公式并说明公式的作用。
问题（5）根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和
（1）
（2）
二、合作学习：
1、教材第43页例1：
2、已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，求等差数列的前n项和。
3、教材46页A组1题
三、课堂检测：
1、在等差数列中，已知，求
2、已知数列为等差数列，公差d=-2，为其前n项和，若，求
3、在等差数列中，已知，求
四、课堂总结
五、课后作业
教材46页2、3、4
2.3 等差数列的前n项和（2）
目标一：能由数列的前n项和求数列的通项公式
我们知道=
当时 _____________________________________
那么前n项和与通项之间的关系： ．
2、已知数列的前n项和为，求数列的通项公式。
3、已知数列的前n项和为 ．求数列的通项公式
目标二：能解决等差数列前n项和的最大值、最小值问题
1、等差数列中，求前n项和的最大值，并求各项绝对值之和。
2、等差数列前n项和，已知，
求公差d的取值范围；（2）求中哪个最大。
课后作业：
1、已知下列各数列的前n项和的公式，求的通项公式．
(1) ； (2) ；
2、在等差数列中，公差为d，若且，求数列的前n项和的最大值。
3、在等差数列中，，求数列的前n项和
2.3 等差数列的前n项和（3）
学习目标：掌握等差数列前n项和公式及等差数列前n项和性质，并能应用。
一：自主探究
问题（1）等差数列中，….是等差数列吗？
二：合作学习
1：等差数列的前n项和为，分别为前m项，前2m项，前3m项和，且，求的值。
2：等差数列前n项和，已知,的值。
问题(2)：等差数列中，公差为d，
（1）若项数为偶数2n，中间项为 ；
= _ 。
-________________
（2）当项数为奇数2n-1，中间项为 。
= _________； 。
例1：等差数列中的前12项的和为354，前12相中奇数项与偶数项的和的比为27：32，求公差d。
例2：等差数列，的前n项和分别为，若，求
课后小结反思:
课堂检测：
1、两等差数列，的前n项和分别为，，若
2、一个等差数列的前10项的和为100，前100项的和为10，求前110项的和
高中数学必修五《2.2 等差数列（2）》学案
一、新课标要求： 掌握等差数列性质。
二、重点与难点：等差数列性质及其应用，并能熟练应用。
三、教学过程：
（一）复习：
（1）等差数列定义： 。
（2）等差数列通项公式： 。
（3）等差数列的公差d= 。
（4）若a，A，b成等差数列，则： 。
（5）则= 。
（6）方程与函数思想的应用：
（7）如何证明一个数列为等差数列：
（二）新知探究：
例1：已知等差数列
（1）求？ （2）从第几项开始为负？
练习：首项为—24的等差数列从第10项开始为非负数，则公差的取值范围为 。
例2：三个数成等差，其和为15，首尾两项之积为9，求此数列。
问题（3）三个数成等差，应如何设？
课堂练习：第40页4，5
课后作业：
若成等差数列。
2．数列中，求：
（1）数列的通项； （2）从第几项开始为正？
(三)课后小结反思:
高中数学必修五《2.2 等差数列（3）》学案
一、新课标要求： 掌握等差数列性质。
二、重点与难点：等差数列性质及其应用，并能熟练应用。
三、教学过程：
（一）复习：
（二）新知探究：
已知等差数列：
，观察数列各项结合等差数列的定义归纳总结等差数列性质：
性质（1）：通项的另一种表示：+ d， 变形：d= 。
作用：
性质（2）：若项数m，n，s，t满足m+n=s+t，则+= 。
证明：
性质（3）：若项数s，t，r，…成等差，则对应项成 。
例：已知数列成等差数列，公差为d首项为，取出该数列中的所有奇数项组成一个新的数列，这个数列是否成等差数列：公差是多少？偶数项呢？取出数列中序号为7的倍数的项呢？
性质（4），则= 。
（二）应用实例:
例1：已知等差数列中，公差为正数，且及通项。
例2：等差数列中，已知，求数列的通项。
课后作业：
等差数列中，：。
2．已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则的值为 。
（三）课后反思小结：
2．2 等差数列
【学习目标】
通过实例，理解等差数列的概念；
探索并掌握等差数列的通项公式；
能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。
【研讨互动 问题生成】
1.等差数列的概念
2.等差数列的通项公式
【合作探究 问题解决】
⑴在直角坐标系中，画出通项公式为的数列的图象。这个图象有什么特点？
⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。
【点睛师例 巩固提高】
例1.⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.
⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
例2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
例3． 已知数列的通项公式为其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗?
【要点归纳 反思总结】
①等差数列定义：即(n≥2)
②等差数列通项公式：(n≥1)
推导出公式：
【多元评价】
自我评价: 小组成员评价: 小组长评价:
学科长评价: 学术助理评价:
【课后训练】
1.在等差数列｛a｝中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于 ( )
A.40 B.42 C.43 D.45
2.设是公差为正数的等差数列，若，，则( )
A． B． C． D．
3.已知等差数列2,5,8，……，该数列的第3k（k∈N＊）项组成的新数列｛bn｝的前4项是 。｛bn｝的通项公式为 。
4．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为-2，公差为4的等差数列。若an=bn,则n的值为（ ）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
5．关于等差数列，有下列四个命题中是真命题的个数为( )
（1）若有两项是有理数，则其余各项都是有理数（2）若有两项是无理数，则其余各项都是无理数 （3）若数列{an}是等差数列，则数列{kan}也是等差数列（4）若数列{an}是等差数列，则数列{a2n}也是等差数列
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
6．在等差数列{an}中,am=n, an=m,则am+n的值为（ ）
（A）m+n （B） （C） （D）0
7.在等差数列{an}中，若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为 （ ）
（A）30 （B）27 （C）24 （D）21
8．一个直角三角形的三条边成等差数列，则它的最短边与最长边的比为 （ ）
（A）4∶5 （B）5∶13 （C）3∶5 （D）12∶13
10.在等差数列{an}中，已知a2+a7+a8+a9+a14=70,则a8= 。
11.在数列中，=1，，则的值为（ ）
A．99 B．49 C．102 D． 101
12.已知等差数列的前三项为，则此数列的通项公式为__ ______ .
13.已知数列｛an｝的前n项和，那么它的通项公式为an=_________
课题：2.2.1等差数列（1）
主备人：
执教者：
【学习目标】了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项
【学习重点】等差数列的概念，等差数列的通项公式
【学习难点】等差数列的性质
【授课类型】 新授课
【教 具】 多媒体、实物投影仪、电子白板
【学习方法】 诱思探究法
【学习过程】
一、复习引入：
上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。
课本P41页的4个例子：
①0，5，10，15，20，25，…
②48，53，58，63
③18，15.5，13，10.5，8，5.5
④10072，10144，10216，10288，10366
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？
·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列
二、新课学习：
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{},若－=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d 为公差。
思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
2．等差数列的通项公式：【或】
等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：
即：
即：
即：
……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
由上述关系还可得：
即：
则：=
即等差数列的第二通项公式 ∴ d=
三、 特例示范
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项
⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
例3 已知数列{}的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
注：①若p=0，则{}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…
②若p≠0, 则{}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.
③数列{}为等差数列的充要条件是其通项=pn+q (p、q是常数)，称其为第3通项公式。
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。
四、当堂练习：
[补充练习]
1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
评述：关键是求出通项公式.
（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.
评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.
（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得等于这一数.
（4）－20是不是等差数列0，－3，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
五、 本节小结：
通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：－=d ，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：和=pn+q (p、q是常数)的理解与应用.
六、作业布置:
课时作业：2.2.1
个性设计
课后反思：
2.2 等差数列
第1课时 等差数列的概念及通项公式
双基达标 ?限时20分钟?
1．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列 ( )．
A．是公差为2的等差数列 B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列
解析 ∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，
∴{an}是公差为2的等差数列．
答案 A
2．等差数列的前三项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为 ( )．
A．an＝2n－5 B．an＝2n－3
C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1
解析 ∵x－1，x＋1,2x＋3是等差数列的前三项，
∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.
∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2，
∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，故选B.
答案 B
3．在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于 ( )．
A．30° B．60° C．90° D．120°
解析 ∵A，B，C为等差数列，
∴B＝，即A＋C＝2B.
又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，
即B＝60°.
答案 B
4．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2，则该数列的通项an＝________.
解析 由an＋1＝an＋2(n≥1)可得数列{an}是公差为2的等差数列，又a1＝1，所以an＝2n－1.
答案 2n－1
5．若x≠y，两个数列x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，则＝________.
解析 设两个数列的公差分别为d1，d2，则
∴＝，∴＝＝.
答案
6．已知等差数列{an}中，a10＝29，a21＝62，试判断91是否为此数列中的项．
解 设等差数列{an}的公差为d，则有
解得a1＝2，d＝3，
∴an＝2＋(n－1)×3＝3n－1.
令an＝3n－1＝91，得n＝?N*.
∴91不是此数列中的项．
综合提高 ?限时25分钟?
7．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则等于 ( )．
A. B. C. D.
解析 ∴a＝，b＝x.∴＝.
答案 C
8．设函数f(x)＝(x－1)2＋n(x∈[－1,3]，n∈N*)的最小值为an，最大值为bn，记cn＝bn2－an·bn，则{cn}是 ( )．
A．常数列 B．摆动数列
C．公差不为0的等差数列 D．递减数列
解析 ∵f(x)＝(x－1)2＋n(x∈[－1,3])，
∴an＝n，bn＝n＋4，
∴cn＝bn2－an·bn＝bn(bn－an)＝4(n＋4)＝4n＋16.
答案 C
9．已知数列{an}满足an＋12＝an2＋4，且a1＝1，an>0，则an＝________.
解析 由已知an＋12－an2＝4，
∴{an2}是等差数列，且首项a12＝1，公差d＝4，
∴an2＝1＋(n－1)·4＝4n－3.
又an>0，∴an＝.
答案
10．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{an＋2an＋2}是公差为________的等差数列．
解析 (an＋1＋2an＋3)－(an＋2an＋2)＝(an＋1－an)＋2(an＋3－an＋2)＝d＋2d＝3d.
答案 3d
11．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则数列是否为等差数列？说明理由．
解 数列是等差数列，理由如下：
∵a1＝2，an＋1＝，
∴＝＝＋，
∴－＝(常数)．
∴是以＝为首项，公差为的等差数列．
12．(创新拓展)对数列{an}，规定{Δan}为数列{an}的一阶差分数列，其中Δan＝an＋1－an.对正整数k，规定{Δkan}为{an}的k阶差分数列，其中Δkan＝Δk－1an＋1－Δk－1an＝Δ(Δk－1an)(k≥2)．
(1)试写出数列1,2,4,8,15,26的一阶差分数列；
(2)已知数列{an}的通项公式an＝n2＋n，试判断{Δan}，{Δ2an}是否为等差数列，为什么？
解 (1)由题意，可以得到此数列的一阶差分数列为1,2,4,7,11.
(2)Δan＝an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，
∴{Δan}是首项为4，公差为2的等差数列．
Δ2an＝2(n＋1)＋2－(2n＋2)＝2，
∴{Δ2an}是首项为2，公差为0的等差数列．
课件23张PPT。
1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的判定方法．
2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认
识并能运用．
1．等差数列的判定．(难点)
2．等差数列的通项公式及运用．(重点)
第1课时 等差数列的概念及通项公式2．2 等差数列【课标要求】【核心扫描】等差数列的定义
如果一个数列从第__项起，每一项与它的_______的差等于___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个_____叫做等差数列的_____ ，通常用字母__表示．
自学导引1．2前一项同一个常数常数公差 ：若已知数列{an}中，首项为a1，且满足an－an－1＝d(n∈N*，n≥2)或an＋1－an＝d(n∈N*)，则数列{an}为等差数列，正确吗？
提示：正确．上述式子是等差数列定义的符号表示．
d等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列中，__叫做a与b的等差中项．这三个数满足关系式a＋b＝___.
等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项公式为an＝____________.
2．3．A2Aa1＋(n－1)d ：推导等差数列的通项公式，除了课本上的归纳法外，还有哪些方法．
提示：法一 (累加法)
∵{an}为等差数列，
∴an－an－1＝d，an－1－an－2＝d，an－2－an－3＝d，…，
a2－a1＝d.
以上各式两边分别相加，得an－a1＝(n－1)d，
∴an＝a1＋(n－1)d.
法二 (迭代法)
∵{an}是等差数列，
∴an＝an－1＋d＝an－2＋d＋d＝an－2＋2d＝an－3＋3d＝…＝a1＋(n－1)d，
∴an＝a1＋(n－1)d.
法三 (逐差法)
∵{an}是等差数列，
∴an＝an－an－1＋an－1，an－1＝an－1－an－2＋an－2，an－2＝an－2－an－3＋an－3，…，a2＝a2－a1＋a1，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n－1)d＋a1，
∴an＝a1＋(n－1)d.
等差数列定义的理解
(1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的两层含义，其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等差数列．
名师点睛1．等差中项的理解
(2)等差中项的概念变形给出了判断一个数列是否为等差数列的方式，如若an，an＋1，an＋2满足2an＋1＝an＋an＋2，则数列{an}为等差数列，这是因为2an＋1＝an＋an＋2等价于an＋1－an＝an＋2－an＋1，显然满足等差数列的定义．
(3)在等差数列中，除首末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项．
2．等差数列的通项公式
(1)确定a1和d是确定通项的一般方法．
(2)由方程思想，根据an，a1，n，d中任何三个量可求解另一个量，即知三求一．
(3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数．
3．题型一 等差数列的通项公式及应用 已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？
[思路探索] 本题主要考查等差数列的通项公式及等差数列的基本运算．
【例1】∵数列{an}是递减等差数列，∴d<0.
故取a1＝11，d＝－5.
∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.
即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.
令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.
∴－34是数列{an}的第10项．
在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，
d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求a10.
解 设数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意知：
∴an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21.
∴a10＝－2×10＋21＝1.
【变式1】 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
[思路探索] 由a1＝－1及a5＝7，可使用通项公式求得公差d，再利用通项公式分别求得a，b，c；也可利用等差中项先求得b，再依次使用等差中项求得a，c.
解 法一 设a1＝－1，a5＝7.
∴7＝－1＋(5－1)d?d＝2.
∴所求的数列为－1,1,3,5,7.
法二 ∵－1，a，b，c,7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项．
题型二 等差中项及其应用【例2】 在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝ 若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
解 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得m＋n＝6.
【变式2】 (1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
审题指导
题型三 等差数列的判定与证明【例3】【题后反思】 判断一个数列是否是等差数列的常用方法有：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)?{an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)?{an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
判断下列数列是否为等差数列：
(1)an＝3－2n；
(2)an＝n2－n.
解 对任意n∈N*，
(1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是同一常数，
∴数列{an}是等差数列．
(2)∵an＋1－an＝(n＋1)2－(n＋1)－(n2－n)＝2n，不是同一常数，
∴数列{an}不是等差数列．
【变式3】 若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg 2n，试说明数列{an}为等差数列．
[错解] 因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，
所以a1＝10＋lg 2，a2＝10＋2lg 2，a3＝10＋3lg 2，…，
所以a2－a1＝lg 2，a3－a2＝lg 2，…，
故数列{an}为等差数列．
误区警示 对等差数列的定义理解不透彻【示例】 证明一个数列为等差数列，以特殊代替一般，用验证几个特例作为证明是不正确的，必须用定义或与定义等价的命题来证明．
[正解] 因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，
所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg 2]－(10＋nlg 2)＝lg 2(n∈N*)．
所以数列{an}为等差数列．
要说明一个数列为等差数列，必须说明从第二项起所有的项与其前一项之差为同一常数，即an－an－1＝d(n≥2)恒成立，而不能只验证有限个相邻两项之差相等．课题：2.2.2等差数列（2）
主备人：
执教者：
【学习目标】明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。
【学习重点】等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用
【学习难点】灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
【授课类型】新授课
【教 具】多媒体、实物投影仪
【学习方法】诱思探究法
【学习过程】
一、复习引入：
首先回忆一下上节课所学主要内容：
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）
2．等差数列的通项公式：
(或=pn+q (p、q是常数))
3．有几种方法可以计算公差d ① d=－ ② d= ③ d=
二、新课学习：
问题：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？
由定义得A-=-A ，即：
反之，若，则A-=-A
由此可可得：成等差数列
三、例题
例 在等差数列{}中，若+=9, =7, 求 , .
分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……
P44例2
问：已知数列{}是等差数列
（1）是否成立？呢？为什么？
（2）是否成立？据此你能得到什么结论？
（3）是否成立？？你又能得到什么结论？
结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q，则，
即 m+n=p+q (m, n, p, q ∈N )
但通常 ①由 推不出m+n=p+q ，②
探究：等差数列与一次函数的关系
四、课堂练习：
1.在等差数列中，已知，，求首项与公差
2. 在等差数列中, 若 求
五、课堂小结：
1．成等差数列
2．在等差数列中， m+n=p+q (m, n, p, q ∈N )
六、作业布置:
课时作业2.2.2
个性设计
课后反思：
第2课时 等差数列的性质及其应用
双基达标 ?限时20分钟?
1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于 ( )．
A．4 B．5 C．6 D．7
解析 由a2＋a8＝2a5＝12得：a5＝6，故选C.
答案 C
2．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…下列说法正确的是 ( )．
A．新数列不是等差数列
B．新数列是公差为d的等差数列
C．新数列是公差为2d的等差数列
D．新数列是公差为3d的等差数列
解析 ∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，
∴数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．
答案 C
3．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为 ( )．
A．4 B．6 C．8 D．10
解析 由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，
∴a6＝16，∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.
答案 C
4．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________.
解析 ∵a1＋a3＋a5＝105，∴3a3＝105，a3＝35.
∵a2＋a4＋a6＝3a4＝99.∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2.
∴a20＝a4＋16d＝33＋16×(－2)＝1.
答案 1
5．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．
解析 设an＝－24＋(n－1)d，
由解得：
答案
6．若三个数a－4，a＋2,26－2a适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列．
解 显然a－4(1)若a－4，a＋2,26－2a成等差数列，则
(a－4)＋(26－2a)＝2(a＋2)，
∴a＝6，相应的等差数列为：2,8,14.
(2)若a－4,26－2a，a＋2成等差数列，则
(a－4)＋(a＋2)＝2(26－2a)，
∴a＝9，相应的等差数列为：5,8,11.
(3)若26－2a，a－4，a＋2成等差数列，则
(26－2a)＋(a＋2)＝2(a－4)，
∴a＝12，相应的等差数列为：2,8,14.
综合提高 ?限时25分钟?
7．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为 ( )．
A. B．± C．－ D．－
解析 由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，
∴a7＝.
∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan ＝tan ＝－.
答案 D
8．(2011·本溪高二检测)在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差为 ( )．
A. B．－ C．－ D．－1
解析 设插入的四个数为x，y，z，r，则新的数列为a1，x，a2，y，a3，z，a4，r，a5，共九项，∴d＝＝＝－.
答案 B
9．如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，则称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝________.
解析 因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19，
又{cn}为21项的对称数列，所以c2＝c20＝19.
答案 19
10．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝________.
解析 由题意设这4个根为，＋d，＋2d，＋3d.
则＋＝2，∴d＝，
∴这4个根依次为，，，，
∴n＝×＝，m＝×＝或n＝，m＝，
∴|m－n|＝.
答案
11．已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a11＝－26，a51＝54，求a14的值．你能知道该数列从第几项开始为正数吗？
解 法一 由等差数列an＝a1＋(n－1)d列方程组：
解得
∴a14＝－46＋13×2＝－20.
∴an＝－46＋(n－1)·2＝2n－48.
令an≥0，即2n－48≥0?n≥24.
∴从第25项开始，各项为正数．
法二 在等差数列{an}中，根据an＝am＋(n－m)d，
∴a51＝a11＋40d，
∴d＝(54＋26)＝2.
∴a14＝a11＋3d＝－26＋3×2＝－20.
∴an＝a11＋(n－11)d＝－26＋2(n－11)，
∴an＝2n－48.显然当n≥25时，an>0.
即从第25项开始各项为正数．
12．(创新拓展)已知数列{an}的通项公式为an＝pn2＋qn(常数p，q∈R)．
(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？
(2)求证：对任意的实数p和q，数列{an＋1－an}都是等差数列．
(1)解 设数列{an}是等差数列，
则an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，
若2pn＋p＋q是一个与n无关的常数，
则2p＝0，即p＝0.
∴当p＝0时，数列{an}是等差数列．
(2)证明 ∵an＋1－an＝2pn＋p＋q，
∴an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，
∴(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝[2p(n＋1)＋p＋q]－(2pn＋p＋q)＝2p(常数)．
∴对任意的实数p和q，数列{an＋1－an}都是等差数列．
