课件20张PPT。填一填·知识要点、记下疑难点2 比 公比 q 等比中项 研一研·问题探究、课堂更高效从第2项起,每一项与前一项的比都等于同一个非零的常数公比研一研·问题探究、课堂更高效①③ 研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效216 研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效练一练·当堂检测、目标达成落实处C 练一练·当堂检测、目标达成落实处B练一练·当堂检测、目标达成落实处－60或60 80,40,20,10 练一练·当堂检测、目标达成落实处课件24张PPT。填一填·知识要点、记下疑难点研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效摆动 递增 递减 递减 递增 研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效128 研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效练一练·当堂检测、目标达成落实处C 练一练·当堂检测、目标达成落实处B 练一练·当堂检测、目标达成落实处C 练一练·当堂检测、目标达成落实处8 练一练·当堂检测、目标达成落实处高中数学必修五《2.4 等比数列》学案
一、教学目标：
1、通过具体实例抽象出等比数列模型，理解并掌握等比数列概念；
2、类比等差中项的概念掌握等比中项的概念；
3、理解等比数列的通项公式及推导，并能简单的应用公式。
二、教学过程：
（一）自主探究：
1、等比数列的概念：一般的， ，那么这个数
列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母表示。
2. 符号表示：若，则称数列为 ，为 ，且 。
3、等比中项：若成等比数列，则叫做与的 ，此时与 （填同号或异号）。
4、等比数列的通项公式为： 。
5、等比数列的函数特征：
预习自测：
1. 已知下列数列是等比数列，请在括号内填上适当的数：
①（ ），3,27； ②3，（ ），5； ③1，（ ），（ ），．
2、等比数列，…中，是这个数列的第 项．
3、下列数列是否为等比数列，如果是，公比是多少？
（1）； （2）； （3） （4）
4、求出下列等比数列中的未知项：
（1）； （2）
5、判断正误：
①1，2，4，8，16是等比数列； （ ）
②数列是公比为2的等比数列； （ ）
③若，则成等比数列； （ ）
④若，则数列成等比数列； （ ）
思考：如何证明一个数列是等比数列：
（二）合作学习
例1、一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项
例2、三个数成等比，这三个数的和是7，这三个数的积是8，求这三个数。
例3、已知数列的前项和=，，求证：数列是等比数列。
（三）巩固训练，反馈回授：
1．如果成等比数列，那么（ ）
A． B. C. D.
2. 等比数列中，，，则与的等比中项是___________
3.（1） 一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项
4．在等比数列中，
（1），求；（2），，求
（四）师生总结：
（五）课后作业：
1、课本53页习题2.4 A组1题
2、课本54页7、8题
课题：2.4.1等比数列（1）
主备人：
执教者：
【学习目标】掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；
【学习重点】等比数列的定义及通项公式
【学习难点】灵活应用定义式及通项公式解决相关问题
【授课类型】 新授课
【教 具】 多媒体、实物投影仪、电子白板
【学习方法】 诱思探究法
【学习过程】
一、复习引入：
复习：等差数列的定义： －=d ，（n≥2，n∈N）
等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。
课本P41页的4个例子：
①1，2，4，8，16，…
②1，，，，，…
③1，20，，，，…
④，，，，，……
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。
二、新课学习：
1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）
1(“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)
｛｝成等比数列=q（,q≠0）
2( 隐含：任一项
“≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件．
3( q= 1时，{an}为常数。
2.等比数列的通项公式1:
由等比数列的定义，有：
；
；
；
… … … … … … …
3.等比数列的通项公式2:
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系
等比数列与指数函数的关系：
等比数列｛｝的通项公式,它的图象是分布在曲线（q>0）上的一些孤立的点。
当，q >1时，等比数列｛｝是递增数列；
当，，等比数列｛｝是递增数列；
当，时，等比数列｛｝是递减数列；
当，q >1时，等比数列｛｝是递减数列；
当时，等比数列｛｝是摆动数列；当时，等比数列｛｝是常数列。
三、 特例示范：
课本P57例1、例2、P58例3 解略。
四、当堂练习：
课本P59练习1、2
[补充练习]
2.（1） 一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项（答案：=2916）
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案：==5, =q=40）
五、 本节小结：
等比数列的概念和等比数列的通项公式．
六、作业布置:
课时作业：2.4.1
个性设计
课后反思：
2.4 等比数列
第1课时 等比数列的概念及通项公式
双基达标 ?限时20分钟?
1．设等比数列的前三项依次为，，，则它的第四项是 ( )．
A．1 B. C. D.
解析 a4＝a3q＝a3·＝×＝＝30＝1.
答案 A
2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于 ( )．
A．64 B．81 C．128 D．243
解析 由，得
∴a7＝a1q6＝64，选A.
答案 A
3．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么 ( )．
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
解析 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，
∴b＝－3，且a，c必同号．
∴ac＝b2＝9.
答案 B
4．在等比数列{an}中，若2a4＝a6－a5，则公比q是________．
解析 法一 由已知得2a1q3＝a1q5－a1q4，即2＝q2－q，
∴q＝－1或q＝2.
法二 ∵a5＝a4q，a6＝a4q2，
∴由已知条件得2a4＝a4q2－a4q，
即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2.
答案 －1或2
5．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
解析 由已知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
得a＝5，则a1＝4，q＝＝，an＝4·n－1.
答案 4·n－1
6．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数．
(1)求a1及an；
(2)若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．
解 (1)由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1，
an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1(n≥2)．
a1＝k＋1也满足上式，
所以an＝2kn－k＋1，n∈N*.
(2)由am，a2m，a4m成等比数列，
得(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，
将上式化简，得2km(k－1)＝0，
因为m∈N*，所以m≠0，故k＝0或k＝1.
综合提高 ?限时25分钟?
7．下列数列为等比数列的是 ( )．
A．2,22,222，… B.，，，…
C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，… D．0,0,0，…
解析 A项中，≠，∴A不是；B项是首项为，公比为的等比数列；C项中，当s＝1时，数列为0,0,0，…，∴不是；D项显然不是．
答案 B
8．设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，令{x}＝x－[x]，则，，( )．
A．是等差数列但不是等比数列
B．是等比数列但不是等差数列
C．既是等差数列又是等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
解析 可分别求得＝，＝1，×＝1，由等比中项易得，，三者构成等比数列．
答案 B
9．数列{an}中，a1＝1且an＋1＝3an＋2，则an＝________.
解析 由an＋1＝3an＋2得an＋1＋1＝3(an＋1)，
令an＋1＝bn则bn＋1＝3bn且b1＝a1＋1＝2，
∴{bn}是以2为首项，以3为公比的等比数列，
∴bn＝2·3n－1，∴an＝bn－1＝2·3n－1－1.
答案 2·3n－1－1
10．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任何m，n∈N*，都有：①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，②f(m＋1,1)＝2f(m,1)，给出以下三个结论：(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26，其中正确的个数是________个．
解析 ∵f(1,1)＝1且f(m＋1,1)＝2f(m,1)，
∴数列{f(m,1)}构成以1为首项以2为公比的等比数列，
∴f(5,1)＝1·24＝16，∴(2)正确；
当m＝1时，条件①变为f(1，n＋1)＝f(1，n)＋2，
又f(1,1)＝1，
∴数列{f(1，n)}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴f(1,5)＝f(1,1)＋4×2＝9.故(1)正确．
∵f(5,1)＝16，f(5，n＋1)＝f(5，n)＋2，
∴{f(5，n)}也成等差数列．
∴f(5,6)＝16＋(6－1)·2＝26，
∴(3)正确，故有3个正确．
答案 3
11．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)．
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求an.
解 (1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，
a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
下面证明{an－n}是等比数列：
证明 ＝
＝＝3(n＝1,2,3，…)．
又a1－1＝－2，∴{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列．
(2)由(1)知an－n＝－2·3n－1，
∴an＝n－2·3n－1.
12．(创新拓展)已知数列{an}的前n项之和为Sn，Sn与an满足关系Sn＝2－an(n∈N*)．
(1)求an＋1与an的关系式，并求a1的值；
(2)证明：数列是等比数列，并求{an}的通项公式；
(3)是否存在常数p使数列{an＋1－pan}为等比数列？若存在，请求出常数p的值；若不存在，请说明理由．
(1)解 ∵Sn＝2－an①
∴Sn＋1＝2－an＋1②
②－①得an＋1＝an－an＋1，
即an＋1＝an，
即an＋1＝an.而a1＝2－a1，∴a1＝.
(2)证明 由(1)知＝·，而＝，
∴是以为首项，以为公比的等比数列，
∴＝·n－1＝n，∴an＝.
(3)解 ∵an＋1－pan＝－＝.
由等比数列的通项公式知若{an＋1－pan}是等比数列，
则1－2p＝0，∴p＝.
课题：2.4.2等比数列（2）
主备人：
执教者：
【学习目标】灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法。
【学习重点】等比中项的理解与应用
【学习难点】灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题
【授课类型】新授课
【教 具】多媒体、实物投影仪
【学习方法】诱思探究法
【学习过程】
一、复习引入：
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）
2.等比数列的通项公式: ，
3．｛｝成等比数列=q（,q≠0） “≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
二、新课学习：
1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=±（a,b同号）
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则，
反之，若G=ab,则，即a,G,b成等比数列。∴a,G,b成等比数列G=ab（a·b≠0）
三、例题
课本P58例4 证明：设数列的首项是，公比为;的首项为，公比为，那么数列的第n项与第n+1项分别为：
它是一个与n无关的常数，所以是一个以q1q2为公比的等比数列
拓展探究：
对于例4中的等比数列{}与{}，数列{}也一定是等比数列吗？
探究：设数列{}与{}的公比分别为，令，则
，所以，数列{}也一定是等比数列。
课本P59的练习4
已知数列{}是等比数列，（1）是否成立？成立吗？为什么？
（2）是否成立？你据此能得到什么结论？
是否成立？你又能得到什么结论？
结论：2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则
在等比数列中，m+n=p+q，有什么关系呢？
由定义得：
，则
四、课堂练习：
课本P59-60的练习3、5
五、课堂小结：
1、若m+n=p+q，
2、若是项数相同的等比数列，则、{}也是等比数列
六、作业布置:
课时作业2.4.2
个性设计
课后反思：
第2课时 等比数列的性质及应用
双基达标 ?限时20分钟?
1．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于 ( )．
A．4 B．8 C．16 D．32
解析 由等比数列的性质得a2·a6＝a42＝42＝16.
答案 C
2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于 ( )．
A．－ B．－2 C．2 D.
解析 根据an＝am·qn－m，得a5＝a2·q3.
∴q3＝×＝.∴q＝.
答案 D
3．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于 ( )．
A．3 B．2 C．1 D．－2
解析 ∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.
答案 B
4．在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝120，则a5＋a6＝________.
解析 根据等比数列的性质：a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列．
∴a5＋a6＝(a3＋a4)·＝120×＝480.
答案 480
5．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________.
解析 由等比数列的性质得a3a11＝a72，
∴a72＝4a7.∵a7≠0，∴a7＝4.
∴b7＝a7＝4.
再由等差数列的性质知b5＋b9＝2b7＝8.
答案 8
6．已知等比数列{an}中，a2a6a10＝1，求a3·a9的值．
解 法一 由等比数列的性质，有a2a10＝a3a9＝a62，
由a2·a6·a10＝1，得a63＝1，
∴a6＝1，∴a3a9＝a62＝1.
法二 由等比数列通项公式，得
a2a6a10＝(a1q)(a1q5)(a1q9)＝a13·q15＝(a1q5)3＝1，
∴a1q5＝1，∴a3a9＝(a1q2)(a1q8)＝(a1q5)2＝1.
综合提高 ?限时25分钟?
7．已知各项为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于 ( )．
A．5 B．7 C．6 D．4
解析 ∵a1a2a3＝a23＝5，∴a2＝.
∵a7a8a9＝a83＝10，∴a8＝.
∴a52＝a2a8＝＝50，
又∵数列{an}各项为正数，∴a5＝50.
∴a4a5a6＝a53＝50＝5.
答案 A
8．在等比数列{an}中，a3＝12，a2＋a4＝30，则a10的值为 ( )．
A．3×10－5 B．3×29
C．128 D．3×2－5或3×29
解析 ∵a2＝，a4＝a3q，∴a2＝，a4＝12q.
∴＋12q＝30.即2q2－5q＋2＝0，
∴q＝或q＝2.
当q＝时，a2＝24，
∴a10＝a2·q8＝24×8＝3×2－5；
当q＝2时，a2＝6，
∴a10＝a2q8＝6×28＝3×29.
答案 D
9．在等比数列{an}中，若an>0，a1·a100＝100，则lg a1＋lg a2＋lg a3＋…＋lg a100＝________.
解析 由等比数列性质知：a1·a100＝a2·a99＝…＝a50·a51＝100.
∴lg a1＋lg a2＋lg a3＋…＋lg a100＝lg(a1·a2·a3·…·a100)＝lg(a1·a100)50＝lg 10050＝lg 10100＝100.
答案 100
10．三个数a，b，c成等比数列，公比q＝3，又a，b＋8，c成等差数列，则这三个数依次为________．
解析 ∵a，b，c成等比数列，公比是q＝3，
∴b＝3a，c＝a·32＝9a.
又由等差中项公式有：2(b＋8)＝a＋c，
∴2(3a＋8)＝a＋9a.∴a＝4.
∴b＝12，c＝36.
答案 4,12,36
11．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．
解 ∵a1a5＝a32，a3a5＝a42，a3a7＝a52，
∴由条件，得a32－2a42＋a52＝36，
同理得a32＋2a3a5＋a52＝100，
∴即
解得或
分别解得或
∴an＝a1qn－1＝2n－2或an＝a1qn－1＝26－n.
12．(创新拓展)互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．
解 设这3个数分别为，a，aq，则a3＝－8，即a＝－2.
(1)若－2为－和－2q的等差中项，则＋2q＝4，
∴q2－2q＋1＝0，解得q＝1，与已知矛盾，舍去；
(2)若－2q为－和－2的等差中项，则＋1＝2q，
∴2q2－q－1＝0，解得q＝－或q＝1(与已知矛盾，舍去)，
∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1；
(3)若－为－2q与－2的等差中项，则q＋1＝，
∴q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(与已知矛盾，舍去)，
∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.
故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.
