§2.5 等比数列的前n项和(一)
一、基础过关
1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝－1，a4＝64，则S4等于 ( )
A．48 B．49 C．50 D．51
2．在等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为( )
A．513 B．512 C．511 D．510
3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于 ( )
A．11 B．5 C．－8 D．－11
4．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于 ( )
A．2 B．4 C. D.
5．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．
6．若等比数列{an}中，a1＝1，an＝－512，前n项和为Sn＝－341，则n的值是________．
7．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.
8．在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
二、能力提升
9．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于 ( )
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C.(1－4－n) D.(1－2－n)
10．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )
A. B. C. D.
11．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
12．已知等比数列{an}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
三、探究与拓展
13．已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和． 答案
1．D 2.D 3.D 4.C 5. 6.10
7．解 当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，
Sn＝＝＝3(2n－1)；
当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，
Sn＝＝＝3n－1.
8．解 因为S2n≠2Sn，所以q≠1，
由已知得
②÷①得1＋qn＝，即qn＝. ③
将③代入①得＝64，
所以S3n＝＝64×＝63.
9．C 10.B 11.3
12．解 (1)设数列{an}的公比为q，
由题意知：2(a3＋2)＝a2＋a4，
∴q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0.
∴q＝2，即an＝2·2n－1＝2n.
(2)bn＝n·2n，
∴Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n. ①
2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1. ②
①－②得－Sn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1＝－2－(n－1)·2n＋1.
∴Sn＝2＋(n－1)·2n＋1.
13．解 (1)an＝2－n.
(2)设数列的前n项和为Sn，
即Sn＝a1＋＋…＋， ①
故S1＝1，＝＋＋…＋. ②
所以，当n＞1时，①－②得
＝a1＋＋…＋－
＝1－(＋＋…＋)－
＝1－(1－)－＝.
所以Sn＝.当n＝1时也成立．
综上，数列的前n项和Sn＝.
课件24张PPT。填一填·知识要点、记下疑难点填一填·知识要点、记下疑难点C 研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效练一练·当堂检测、目标达成落实处D 练一练·当堂检测、目标达成落实处B 练一练·当堂检测、目标达成落实处练一练·当堂检测、目标达成落实处练一练·当堂检测、目标达成落实处§2.5 等比数列的前n项和(二)
一、基础过关
1．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于( )
A．33 B．72 C．84 D．189
2．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为 ( )
A.和5 B.和5 C. D.
3．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位) ( )
A．300米 B．299米
C．199米 D．166米
4．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还 ( )
A.万元 B.万元
C.万元 D.万元
5．等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
6．等比数列{an}中，前n项和为Sn，S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.
7．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值．
8．一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？
二、能力提升
9．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于 ( )
A．3×44 B．3×44＋1 C．45 D．45＋1
10．某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为 ( )
A．q B．12q
C．(1＋q)12 D．(1＋q)12－1
11．银行一年定期储蓄存款年息为r，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于________．
12．利用等比数列前n项和公式证明an＋an－1b＋an－2b2＋…＋bn＝，其中n∈N*a，b是不为0的常数，且a≠b.
三、探究与拓展
13．已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和．
(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；
(2)当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列．
答案
1．C 2.C 3.A 4.B 5.2 6.16
7．解 ∵S30≠3S10，∴q≠1.
由，∴，
∴，
∴q20＋q10－12＝0.
∴q10＝3，
∴S20＝＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.
8．解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an＋1＝an，
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
热气球在前n分钟内上升的总高度为
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×<125.
故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.
9．A 10.D 11.[(1＋r)3－1]
12．证明 ∵a≠0，b≠0，a≠b，∴≠1.
∴左端＝an＋an－1b＋an－2b2＋…＋bn＝an
＝＝＝＝右端．
∴an＋an－1b＋an－2b2＋…＋bn＝.
13．(1)解 由已知，得an＝aqn－1，因此
S1＝a，S3＝a(1＋q＋q2)，S4＝a(1＋q＋q2＋q3)．
当S1，S3，S4成等差数列时，S4－S3＝S3－S1，
可得aq3＝aq＋aq2，化简得q2－q－1＝0.
解得q＝.
(2)证明 若q＝1，则{an}的各项均为a，此时am＋k，an＋k，al＋k显然成等差数列．
若q≠1，由Sm，Sn，Sl成等差数列可得Sm＋Sl＝2Sn，
即＋＝，整理得qm＋ql＝2qn.
因此，am＋k＋al＋k＝aqk－1(qm＋ql)＝2aqn＋k－1＝2an＋k.
所以am＋k，an＋k，al＋k成等差数列．
课件29张PPT。填一填·知识要点、记下疑难点本讲栏目开关填一填·知识要点、记下疑难点B 填一填·知识要点、记下疑难点B 研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效－1 研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效研一研·问题探究、课堂更高效练一练·当堂检测、目标达成落实处A 练一练·当堂检测、目标达成落实处D 本讲栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处D 练一练·当堂检测、目标达成落实处D 练一练·当堂检测、目标达成落实处课题: §2.5等比数列的前n项和
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力
过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.
情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.
●教学重点
进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式
●教学难点
灵活使用公式解决问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下前一节课所学主要内容：
等比数列的前n项和公式：
当时， ① 或 ②
当q=1时，
当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②
Ⅱ.讲授新课
1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n， 求证：
2、设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和； （1）a=0时，Sn=0 （2）a≠0时，若a=1，则Sn=1+2+3+…+n= 若a≠1，Sn-aSn=a（1+a+…+an-1-nan），Sn=
Ⅲ.课堂练习
Ⅳ.课时小结
Ⅴ.课后作业
●板书设计
●授后记
第二章《等比数列的前n项和2》导学案 新人教A版必修5
【学习目标】
1．掌握等比数列的前n项和公式及推导方法；
2．能熟练地应用等比数列前项和的两个公式解决有关问题；
3．当、q、n、、中已知三个量时，能利用数列通项公式与前项和之间的关系求另两个量．
【重点难点】
重点：等比数列前项和公式的应用．
难点：等比数列前项和公式的推导，应用公式解题时公式的选取．
【自主学习】阅读教材55—56页例题前内容，思考下列问题：（5-6分钟）
（1）公式一和公式二分别从哪些角度求等比数列的前n项和？
（2）当公比q＝1时，等比数列的前项和
（2）在，，，，这五个量中，已知其中几个是可以确定其他量？
例1．求下列等比数列前8项的和：
； （2）a1＝27，，q＜0．
【合作释疑】
探究一：理解等比数列前n项和与函数的关系：
当时， ，是关于n的 函数。
当时， ，可以变形为 ，是由一个关于n的 式和一个常数的和构成的，并且两者的系数互为 。
探究二：、、是否仍成等比数列？如果是，公比是多少？
【巩固训练】
1．求等比数列中：（1）已知；，，求；
（2）已知；，，，求；
（3），，求．
2．求数列的前项和．
三．课堂总结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
【作业】
教材58页——2题；61页习题2．5A组——1、3题．
高中数学 第二章《等比数列的前n项和2》导学案 新人教A版必修5
【学习目标】
1．进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式；
2．能利用数列通项与前项和之间的关系解决有关问题；
3．体会等比数列前项和公式中的分类思想．
【重点难点】
重点：能利用数列通项与前项和之间的关系解决有关问题．
难点：体会等比数列前项和公式中的分类思想．
【自主学习】
阅读教材57页例3（5分钟）：
1．理解书中内容，体会无限逼迫的思想；
2．将未理解内容进行小组内探究．
【合作释疑】
探究一：若数列前n项和为（且），探索是否为等比数列？
探究二：在等比数列中，若项数为2n，与分别为偶数项与奇数项的和，试探索的与关系．
探究三：若是公比为q的等比数列，则_____
例1．设a为常数，求数列，，，…，，…的前n项和
【巩固训练】
1．若一等比数列的前n项和，其中a、b、c是常数，且， ，，那么a、b、c需要满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
2、一个有穷等比数列的首项为1，奇数项的和为85，偶数项和为170，求该数列的公比及项数．
三．课堂总结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
【作业】
教材第61页习题2.5第4、5、6题．.
