第九章 图形的相似专题测评试卷（含解析）
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文档简介
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八年级数学下册第九章图形的相似专题测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指 ( http: / / www.21cnjy.com )定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。21·cn·jy·com
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列各组线段中是成比例线段的是（ ）
A． B．
C． D．
2、如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAC的平分线交BD于E，交BC于F，BH⊥AF于H，交AC于G，交CD于P，连接GE、GF，以下结论：①△OAE≌△OBG；②四边形BEGF是菱形；③BE=CG；④；⑤S△PBC：S△AFC=1：2，其中正确的有（ ）个．
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A．2 B．3 C．4 D．5
3、如图，在平行四边形ABCD中，E是AB边上一点，若AE：AB＝1：3，则S△AEF：S△ADC＝（ ）
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A．1：12 B．1：9 C．1：6 D．1：3
4、如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，DE＝4，则DF的长是（ ）21教育网
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A． B． C．6 D．10
5、如图，在中，//，//，记，，，则下列关于，，的关系式正确的是（ ）
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A． B．
C． D．
6、如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则△EFD和△BFA的面积之比是（ ）
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A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．2：3
7、如图是某数学兴趣小组设计用手 ( http: / / www.21cnjy.com )电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP=6m，PD＝12m，那么该古城墙CD的高度是（ ）
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A．8m B．9m C．16m D．18m
8、如图，甲、乙中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对甲、乙中两个三角形，下列说法正确的是（ ）
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A．都相似
B．都不相似
C．只有甲中两个三角形相似
D．只有乙中两个三角形相似
9、如图：AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，图中共有相似三角形（ ）对．
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A．4 B．5 C．6 D．7
10、如图，△ABC中，A，B两个顶点在 ( http: / / www.21cnjy.com )x轴的上方，点C的坐标是(1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，位似比为1：2，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（ ）．21·世纪*教育网
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A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=4，BD=9，则CD=_____．
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2、如图：△ABC中，点D、F ( http: / / www.21cnjy.com )是AB边的三等分点，点E、G是AC边的三等分点，则S△ADE：S四边形DEFG：S四边形BCGF＝_____．
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3、两个图形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为(3，﹣6)、(﹣2，b)，则b＝___．
4、若关于的不等式的解集为，则的值为______．
5、大自然是美的设计师，即使是 ( http: / / www.21cnjy.com )一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10 cm，那么PB的长度为________cm（结果保留根号）
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、菱形ABCD的边长为6，∠D＝60°，点E在边AD上运动．
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(1)如图1，当点E为AD的中点时，求AO：CO的值；
(2)如图2，F是AB上的动点，且满足BF+DE＝6，求证：△CEF是等边三角形．
2、如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF AB，∠DAE＝∠BAC．
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(1)求证：△DAF∽△CAE．
(2)求证：＝．
3、如图，在菱形ABCD中，AB＝15，过点 ( http: / / www.21cnjy.com )A作AE⊥BC于点E，AE＝12，动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BE向终点E运动，过点P作PQ⊥BC，交BA于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线BC上，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
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(1)直接写出线段PQ的长（用含t的代数式表示）；
(2)当正方形PQMN与四边形AECD重合部分图形为四边形时，求t的取值范围；
(3)连接AC、QN，当△QMN一边上的中点在线段AC上时，直接写出t的值．
4、如图，在中，D是AB上一点（不与A，B两点重合），过点D作，交AC于点E，连接CD，且．
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(1)求证：；
(2)若，，求的值．
5、已知：如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，过点D作DE∥CB，交AB于点E，，DE＝6．
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(1)求AB的长；
(2)求．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【解析】
【分析】
根据成比例线段的定义和性质，即可求解．
【详解】
解：A、因为 ，所以该四条线段不是成比例线段，故本选项不符合题意；
B、因为，所以该四条线段是成比例线段，故本选项符合题意；
C、因为，所以该四条线段不是成比例线段，故本选项不符合题意；
D、因为，所以该四条线段不是成比例线段，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】
本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段 ，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键．
2、C
【解析】
【分析】
证明，得出，得出是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质得出，，由正方形的形状得出，，，证出，得出，因此，即可得出②正确；设，菱形的边长为，证出，由正方形的性质得出，，证出，由证明，①正确；求出，是等腰直角三角形，得出，，整理得，得出，，由平行线得出，得出，因此④正确；证明，得出，③正确；证明，得出，因此，⑤错误；即可得出结论．【出处：21教育名师】
【详解】
解：是的平分线，
，
，
，
在和中，，
，
，
是线段的垂直平分线，
，，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
，
四边形是菱形；②正确；
设，菱形的边长为，
四边形是菱形，
，
，
，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，，
，①正确；
，
是等腰直角三角形，
，
，
整理得，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，④正确；
，，
，
在和中，，
，
，③正确；
在和中，，
，
，
，⑤错误；
综上所述，正确的有4个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、等腰 ( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、菱形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
3、A
【解析】
【分析】
先判断出△AEF与△DCF是相似，利 ( http: / / www.21cnjy.com )用性质可求面积比，再由△AEF与△ADF是等高的三角形，也可得出面积比，最后根据S△ADC=S△CDF+S△ADF计算比值即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE：AB＝1：3，
∴AE：CD＝1：3，
∵AE∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴，，
∴S△CDF=9S△AEF，S△ADF=3S△AEF，
∵S△ADC=S△CDF+S△ADF，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似和平行四边形的基本知识，属于中考常考题型．
4、D
【解析】
【分析】
利用平行线分线段成比例定理列出比例式，求出EF，结合图形计算即可．
【详解】
解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝，又DE＝4，
∴EF＝6，
∴DF＝DE+EF＝10，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5、B
【解析】
【分析】
设AD＝a，BD＝b，DB与EF间的距离为h，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出S1，S2，S3的关系．
【详解】
解：设AD＝a，BD＝b，DB与EF间的距离为h，
∵EF∥AB，DF∥BC，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴BD＝EF＝b，
∵DF∥BC，EF∥AB，
∴∠AFD＝∠ACB，∠DAF＝∠EFC，
∴△ADE∽△EFC，
∴＝＝（）2＝，
∵S1＝ah，
∴S2＝，
∴S1S2＝，
∴bh＝2，
∵S3＝bh，
∴S3＝2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方．
6、B
【解析】
【分析】
利用三角形的中位线定理可得DE：AB＝1：2，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】
解：∵CE＝AE，CD＝DB，
∴ED∥AB，DE＝AB，
∴△DEF∽△ABF，
∴＝（）2＝，
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
7、A
【解析】
【分析】
根据反射的性质可得∠APE=∠CPE，则有∠APB=∠CPD，从而可得△ABP∽△CDP，由相似三角形的性质即可求得CD的长．www.21-cn-jy.com
【详解】
如图，根据反射的性质可得∠APE=∠CPE
∵EP⊥BD
∴∠APB=∠CPD
∵AB⊥BD，CD⊥BD
∴∠ABP=∠CDP=90°
∴△ABP∽△CDP
∴
∴
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故选：A
【点睛】
本题考查了相似三角形在测高中的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质、轴对称中光的反射问题是关键．
8、C
【解析】
【分析】
根据相似三角形判定定理对甲、乙中两个三角形逐一判定即可得答案．
【详解】
∵甲中两个三角形的两个内角分别为75°、35°和70°、75°，
∴两个三角形的另一个内角的度数分别为70°和35°，
∴两个三角形的三个内角分别对应相等，
∴甲中两个三角形相似，
∵，
∴乙中两个三角形不相似，
∴只有甲中两个三角形相似，
故选：C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，两角分别对应相等的两个三角形相似；两对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似；熟练掌握判定定理是解题关键．【来源：21·世纪·教育·网】
9、C
【解析】
【分析】
根据相似三角形判定定理判定即可．
【详解】
解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEF＝∠ADC＝∠BEC＝∠ADB＝90°，
∵∠AFE＝∠CFD，
∴△AFE∽△CFD，
∵∠B是公共角，
∴△ABD∽△CBE，
∵∠A是公共角，
∴△AEF∽△ADB，
∴△AEF∽△CDF∽△ADB∽△CEB．
∴图中相似三角形的对数是6对．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理,熟练掌握定理是解题的关键．
10、C
【解析】
【分析】
设点B′的横坐标为x，根据数轴表示出BC、B′C的水平的距离，再根据位似比列式计算即可．
【详解】
解：设点B′的横坐标为x，
则B、C间的水平距离为a-1，B′、C间的水平距离为-x+1，
∵△ABC的位似图形是△A′B′C，且位似比为1：2，
∴2（a-1）=-x+1，
解得：x=-2a+3，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的水平距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
二、填空题
1、6
【解析】
【分析】
根据两角相等证明△ACD∽△CBD，列比例式代入可得结论．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠ACD+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∵AD=4，BD=9，
∴CD2=4×9=36，
∴CD=6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的性质，明确同角的余角相等，为证明三角形相似打基础，这在三角形相似证明角相等时经常运用，要熟练掌握．2·1·c·n·j·y
2、1：3：5
【解析】
【分析】
根据DG∥BC得出△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求出正方形的边长，则可得出答案．21*cnjy*com
【详解】
解：∵点D、F是AB边的三等分点，点E、G是AC边的三等分点，
∴DE∥FG∥BC，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，设△ADE的面积为m，
∴，
∴S△AFG＝4m，
∵，
∴S△ABC＝9m，
∴S△ADE＝m，S四边形DEFG＝S△AFG﹣S△ADE＝4m﹣m＝3m，S四边形BCGF＝S△ABC﹣S△AFG＝9m﹣4m＝5m，
∴S△ADE：S四边形DEFG：S四边形BCGF＝1：3：5，
故答案为：1：3：5．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
3、4
【解析】
【分析】
利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，进而得出答案．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
解：∵一对对应点的坐标分别为（3，﹣6）、（﹣2，b），
∴b＝﹣6×(﹣)＝4，
则b＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查的是位似变换的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
4、
【解析】
【分析】
根据已知不等式的解集确定出a与b的关系为，设a=3k，b=2k(k>0)，代入求值即可．
【详解】
∵不等式-ax>b的解集为x<-，
∴-a＜0，
∴x＜，
∴，
∴设a=3k，b=2k(k>0)，
∴，
故答案为：．
【点睛】
此题考查了解一元一次不等式，比例的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5、##
【解析】
【分析】
由P为AB的黄金分割点（AP＞PB），可得 先求解 再利用线段的和差求解即可.
【详解】
解： P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
故答案为：
【点睛】
本题考查的是成比例的线段，黄金分割的含义，掌握“线段的黄金分割比”是解本题的关键.
三、解答题
1、 (1)
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）先由菱形的性质得BC＝AD＝6，AD∥BC，再证△AOE∽△COB，即可得出答案；
（2）先证△ABC是等边三角形，得AC＝B ( http: / / www.21cnjy.com )C，∠ACB＝60°，再证△ACE≌△BCF（SAS），得CE＝CF，∠ACE＝∠BCF，然后证∠ECF＝∠ACB＝60°，即可得出结论．21*cnjy*com
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AD＝6，AD∥BC，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝AD＝3，
∵AD∥BC，
∴△AOE∽△COB，
∴；
(2)
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC，∠B＝∠D＝60°，
∴∠CAE＝∠ACB，△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠EAC＝60°＝∠B，
∵AE+DE＝AD＝6，BF+DE＝6，
∴AE＝BF，
在△ACE和△BCF中，
,
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴CE＝CF，∠ACE＝∠BCF，
∴∠ACE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝60°，
即∠ECF＝60°，
∴△CEF是等边三角形．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等 ( http: / / www.21cnjy.com )边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
2、 (1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）首先证明△EAF∽△EAB，得∠AEF＝∠B，再利用三角形内角和定理知∠D＝∠C，从而证明结论；
（2）先证明△DAE∽△CAB，再根据△DAF∽△CAE，从而可得，，等量代换即可．
(1)
证明： AE2＝AF AB，
∴，
∴∠EAF＝∠BAE，
∴△EAF∽△BAE，
∴∠AEF＝∠B，
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠D＝∠C，
又∵∠DAF＝∠CAE，
∴△DAF∽△CAE；
(2)
∵∠DAE＝∠BAC，∠D＝∠C，
∴△DAE∽△CAB，
∴，
∵△DAF∽△CAE，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．21世纪教育网版权所有
3、 (1)PQ＝4t
(2)＜t≤
(3)或或
【解析】
【分析】
（1）根据题意以及勾股定理，求得的长，根据PQ∥AE，可得，进而可得BQ＝5t，PQ＝4t；
（2）当MN与AE重合时，BP+PN＝BE，当点N与点C重合时，BP+PN＝BN＝BC，分别求得的值，进而求得t的取值范围；21cnjy.com
（3）分三种情况讨论，即当的中点在上，根据相似三角形的性质与判定，列出比例式，解方程求解即可
(1)
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝15，AE＝12，
∴BE＝＝＝9，
∵PQ⊥BC，
∴PQ∥AE，
∴，
动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BE向终点E运动
∴，
∴BQ＝5t，PQ＝4t；
(2)
当MN与AE重合时，BP+PN＝BE，
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN＝PQ＝4t，
∴3t+4t＝9，
∴t＝．
当点N与点C重合时，BP+PN＝BN＝BC，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝15，
∴BP+PN＝BN＝BC＝15，
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN＝PQ＝4t，
∴3t+4t＝15，
∴t＝．
∴当＜t≤时，重叠部分是四边形；
(3)
当AC经过MN的中点R时，
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∴RN＝MN＝PQ＝2t，
∵PQ∥AE，MN∥PQ，
∴MN∥AE，
∴，
∴，
∴NC＝t，
∵CE＝BC﹣BE＝15﹣9＝6，
∴BN+CN＝BP+PN+CN＝7t+t＝15，解得t＝．
当AC经过QM的中点W时，
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∵QM∥BC，
∴，即，
∴AQ＝QW＝2t，
∴AQ＝AB＝BQ＝15﹣5t＝2t，解得t＝．
当AC经过QN的中点K时，设AC交QM于H，
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∵QM∥BC，
∴，
∴AQ＝QH，
∵QM∥BC，K是QN的中点，
∴KQ＝KN，∠KQH＝∠KNC，∠KHQ＝∠KCN，
∴△KHQ≌△KCN（AAS），
∴QH＝CN，
∴AQ＝QH＝CN，
∴AB﹣BQ＝BN﹣BC，即15﹣5t＝7t﹣15，解得t＝，
综上所述，满足条件的t的值为或或．
【点睛】
本题考查了动点问题，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．2-1-c-n-j-y
4、 (1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由平行线的性质得出∠EDC=∠DCB，证明△DEC∽△CDB，由相似三角形的性质得出，则可得出答案；【版权所有：21教育】
（2）由相似三角形的性质可求出DC的长，由平行线分线段成比例定理可得出答案．
(1)
证明：∵DE//BC，
∴∠EDC=∠DCB，
又∵∠ACD=∠B，
∴△DEC∽△CDB，
∴，
∴CD2=DE BC；
(2)
解：∵CD2=DE BC，DE=4，BC=5，
∴CD2=20，
∴CD=2（负值舍去），
∵△DEC∽△CDB，
∴，
∴，
∵DE//BC，
∴．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．21教育名师原创作品
5、 (1)8
(2)
【解析】
【分析】
（1）由∠ABD=∠CBD，DE∥BC 可推得∠EDB=∠CBD，进而推出∠ABD=∠EDB，由此可得BE=DE=6，由DE∥BC 可得，进而证得AE=2，于是可得结论；
（2）△ADE看成以DE为底，高为h1，△BCD看成以BC为底，高为h2，由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质可得，，进而证得结论．
(1)
解：BD平∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠ABD=∠EDB，
∴BE=DE=6，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴AE=2，
∴AB=AE+BE=8；
(2)
解：过点A作AG⊥BC交CB延长线于点G，交DE延长线于点F，
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△ADE看成以DE为底，高为AF=h1，△BCD看成以BC为底，高为FG=h2，
∵DE∥CB，
∴，
∵DE∥CB，
∴△AED∽△ABC，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质，平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练应用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解决问题的关键．
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考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指 ( http: / / www.21cnjy.com )定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。21·cn·jy·com
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列各组线段中是成比例线段的是（ ）
A． B．
C． D．
2、如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAC的平分线交BD于E，交BC于F，BH⊥AF于H，交AC于G，交CD于P，连接GE、GF，以下结论：①△OAE≌△OBG；②四边形BEGF是菱形；③BE=CG；④；⑤S△PBC：S△AFC=1：2，其中正确的有（ ）个．
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A．2 B．3 C．4 D．5
3、如图，在平行四边形ABCD中，E是AB边上一点，若AE：AB＝1：3，则S△AEF：S△ADC＝（ ）
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A．1：12 B．1：9 C．1：6 D．1：3
4、如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，DE＝4，则DF的长是（ ）21教育网
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A． B． C．6 D．10
5、如图，在中，//，//，记，，，则下列关于，，的关系式正确的是（ ）
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A． B．
C． D．
6、如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则△EFD和△BFA的面积之比是（ ）
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A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．2：3
7、如图是某数学兴趣小组设计用手 ( http: / / www.21cnjy.com )电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP=6m，PD＝12m，那么该古城墙CD的高度是（ ）
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A．8m B．9m C．16m D．18m
8、如图，甲、乙中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对甲、乙中两个三角形，下列说法正确的是（ ）
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A．都相似
B．都不相似
C．只有甲中两个三角形相似
D．只有乙中两个三角形相似
9、如图：AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，图中共有相似三角形（ ）对．
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A．4 B．5 C．6 D．7
10、如图，△ABC中，A，B两个顶点在 ( http: / / www.21cnjy.com )x轴的上方，点C的坐标是(1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，位似比为1：2，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（ ）．21·世纪*教育网
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A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=4，BD=9，则CD=_____．
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2、如图：△ABC中，点D、F ( http: / / www.21cnjy.com )是AB边的三等分点，点E、G是AC边的三等分点，则S△ADE：S四边形DEFG：S四边形BCGF＝_____．
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3、两个图形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为(3，﹣6)、(﹣2，b)，则b＝___．
4、若关于的不等式的解集为，则的值为______．
5、大自然是美的设计师，即使是 ( http: / / www.21cnjy.com )一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10 cm，那么PB的长度为________cm（结果保留根号）
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、菱形ABCD的边长为6，∠D＝60°，点E在边AD上运动．
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(1)如图1，当点E为AD的中点时，求AO：CO的值；
(2)如图2，F是AB上的动点，且满足BF+DE＝6，求证：△CEF是等边三角形．
2、如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF AB，∠DAE＝∠BAC．
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(1)求证：△DAF∽△CAE．
(2)求证：＝．
3、如图，在菱形ABCD中，AB＝15，过点 ( http: / / www.21cnjy.com )A作AE⊥BC于点E，AE＝12，动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BE向终点E运动，过点P作PQ⊥BC，交BA于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线BC上，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
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(1)直接写出线段PQ的长（用含t的代数式表示）；
(2)当正方形PQMN与四边形AECD重合部分图形为四边形时，求t的取值范围；
(3)连接AC、QN，当△QMN一边上的中点在线段AC上时，直接写出t的值．
4、如图，在中，D是AB上一点（不与A，B两点重合），过点D作，交AC于点E，连接CD，且．
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(1)求证：；
(2)若，，求的值．
5、已知：如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，过点D作DE∥CB，交AB于点E，，DE＝6．
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(1)求AB的长；
(2)求．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【解析】
【分析】
根据成比例线段的定义和性质，即可求解．
【详解】
解：A、因为 ，所以该四条线段不是成比例线段，故本选项不符合题意；
B、因为，所以该四条线段是成比例线段，故本选项符合题意；
C、因为，所以该四条线段不是成比例线段，故本选项不符合题意；
D、因为，所以该四条线段不是成比例线段，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】
本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段 ，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键．
2、C
【解析】
【分析】
证明，得出，得出是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质得出，，由正方形的形状得出，，，证出，得出，因此，即可得出②正确；设，菱形的边长为，证出，由正方形的性质得出，，证出，由证明，①正确；求出，是等腰直角三角形，得出，，整理得，得出，，由平行线得出，得出，因此④正确；证明，得出，③正确；证明，得出，因此，⑤错误；即可得出结论．【出处：21教育名师】
【详解】
解：是的平分线，
，
，
，
在和中，，
，
，
是线段的垂直平分线，
，，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
，
四边形是菱形；②正确；
设，菱形的边长为，
四边形是菱形，
，
，
，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，，
，①正确；
，
是等腰直角三角形，
，
，
整理得，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，④正确；
，，
，
在和中，，
，
，③正确；
在和中，，
，
，
，⑤错误；
综上所述，正确的有4个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、等腰 ( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、菱形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
3、A
【解析】
【分析】
先判断出△AEF与△DCF是相似，利 ( http: / / www.21cnjy.com )用性质可求面积比，再由△AEF与△ADF是等高的三角形，也可得出面积比，最后根据S△ADC=S△CDF+S△ADF计算比值即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE：AB＝1：3，
∴AE：CD＝1：3，
∵AE∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴，，
∴S△CDF=9S△AEF，S△ADF=3S△AEF，
∵S△ADC=S△CDF+S△ADF，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似和平行四边形的基本知识，属于中考常考题型．
4、D
【解析】
【分析】
利用平行线分线段成比例定理列出比例式，求出EF，结合图形计算即可．
【详解】
解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝，又DE＝4，
∴EF＝6，
∴DF＝DE+EF＝10，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5、B
【解析】
【分析】
设AD＝a，BD＝b，DB与EF间的距离为h，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出S1，S2，S3的关系．
【详解】
解：设AD＝a，BD＝b，DB与EF间的距离为h，
∵EF∥AB，DF∥BC，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴BD＝EF＝b，
∵DF∥BC，EF∥AB，
∴∠AFD＝∠ACB，∠DAF＝∠EFC，
∴△ADE∽△EFC，
∴＝＝（）2＝，
∵S1＝ah，
∴S2＝，
∴S1S2＝，
∴bh＝2，
∵S3＝bh，
∴S3＝2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方．
6、B
【解析】
【分析】
利用三角形的中位线定理可得DE：AB＝1：2，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】
解：∵CE＝AE，CD＝DB，
∴ED∥AB，DE＝AB，
∴△DEF∽△ABF，
∴＝（）2＝，
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
7、A
【解析】
【分析】
根据反射的性质可得∠APE=∠CPE，则有∠APB=∠CPD，从而可得△ABP∽△CDP，由相似三角形的性质即可求得CD的长．www.21-cn-jy.com
【详解】
如图，根据反射的性质可得∠APE=∠CPE
∵EP⊥BD
∴∠APB=∠CPD
∵AB⊥BD，CD⊥BD
∴∠ABP=∠CDP=90°
∴△ABP∽△CDP
∴
∴
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故选：A
【点睛】
本题考查了相似三角形在测高中的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质、轴对称中光的反射问题是关键．
8、C
【解析】
【分析】
根据相似三角形判定定理对甲、乙中两个三角形逐一判定即可得答案．
【详解】
∵甲中两个三角形的两个内角分别为75°、35°和70°、75°，
∴两个三角形的另一个内角的度数分别为70°和35°，
∴两个三角形的三个内角分别对应相等，
∴甲中两个三角形相似，
∵，
∴乙中两个三角形不相似，
∴只有甲中两个三角形相似，
故选：C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，两角分别对应相等的两个三角形相似；两对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似；熟练掌握判定定理是解题关键．【来源：21·世纪·教育·网】
9、C
【解析】
【分析】
根据相似三角形判定定理判定即可．
【详解】
解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEF＝∠ADC＝∠BEC＝∠ADB＝90°，
∵∠AFE＝∠CFD，
∴△AFE∽△CFD，
∵∠B是公共角，
∴△ABD∽△CBE，
∵∠A是公共角，
∴△AEF∽△ADB，
∴△AEF∽△CDF∽△ADB∽△CEB．
∴图中相似三角形的对数是6对．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理,熟练掌握定理是解题的关键．
10、C
【解析】
【分析】
设点B′的横坐标为x，根据数轴表示出BC、B′C的水平的距离，再根据位似比列式计算即可．
【详解】
解：设点B′的横坐标为x，
则B、C间的水平距离为a-1，B′、C间的水平距离为-x+1，
∵△ABC的位似图形是△A′B′C，且位似比为1：2，
∴2（a-1）=-x+1，
解得：x=-2a+3，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的水平距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
二、填空题
1、6
【解析】
【分析】
根据两角相等证明△ACD∽△CBD，列比例式代入可得结论．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠ACD+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∵AD=4，BD=9，
∴CD2=4×9=36，
∴CD=6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的性质，明确同角的余角相等，为证明三角形相似打基础，这在三角形相似证明角相等时经常运用，要熟练掌握．2·1·c·n·j·y
2、1：3：5
【解析】
【分析】
根据DG∥BC得出△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求出正方形的边长，则可得出答案．21*cnjy*com
【详解】
解：∵点D、F是AB边的三等分点，点E、G是AC边的三等分点，
∴DE∥FG∥BC，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，设△ADE的面积为m，
∴，
∴S△AFG＝4m，
∵，
∴S△ABC＝9m，
∴S△ADE＝m，S四边形DEFG＝S△AFG﹣S△ADE＝4m﹣m＝3m，S四边形BCGF＝S△ABC﹣S△AFG＝9m﹣4m＝5m，
∴S△ADE：S四边形DEFG：S四边形BCGF＝1：3：5，
故答案为：1：3：5．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
3、4
【解析】
【分析】
利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，进而得出答案．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
解：∵一对对应点的坐标分别为（3，﹣6）、（﹣2，b），
∴b＝﹣6×(﹣)＝4，
则b＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查的是位似变换的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
4、
【解析】
【分析】
根据已知不等式的解集确定出a与b的关系为，设a=3k，b=2k(k>0)，代入求值即可．
【详解】
∵不等式-ax>b的解集为x<-，
∴-a＜0，
∴x＜，
∴，
∴设a=3k，b=2k(k>0)，
∴，
故答案为：．
【点睛】
此题考查了解一元一次不等式，比例的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5、##
【解析】
【分析】
由P为AB的黄金分割点（AP＞PB），可得 先求解 再利用线段的和差求解即可.
【详解】
解： P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
故答案为：
【点睛】
本题考查的是成比例的线段，黄金分割的含义，掌握“线段的黄金分割比”是解本题的关键.
三、解答题
1、 (1)
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）先由菱形的性质得BC＝AD＝6，AD∥BC，再证△AOE∽△COB，即可得出答案；
（2）先证△ABC是等边三角形，得AC＝B ( http: / / www.21cnjy.com )C，∠ACB＝60°，再证△ACE≌△BCF（SAS），得CE＝CF，∠ACE＝∠BCF，然后证∠ECF＝∠ACB＝60°，即可得出结论．21*cnjy*com
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AD＝6，AD∥BC，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝AD＝3，
∵AD∥BC，
∴△AOE∽△COB，
∴；
(2)
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC，∠B＝∠D＝60°，
∴∠CAE＝∠ACB，△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠EAC＝60°＝∠B，
∵AE+DE＝AD＝6，BF+DE＝6，
∴AE＝BF，
在△ACE和△BCF中，
,
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴CE＝CF，∠ACE＝∠BCF，
∴∠ACE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝60°，
即∠ECF＝60°，
∴△CEF是等边三角形．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等 ( http: / / www.21cnjy.com )边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
2、 (1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）首先证明△EAF∽△EAB，得∠AEF＝∠B，再利用三角形内角和定理知∠D＝∠C，从而证明结论；
（2）先证明△DAE∽△CAB，再根据△DAF∽△CAE，从而可得，，等量代换即可．
(1)
证明： AE2＝AF AB，
∴，
∴∠EAF＝∠BAE，
∴△EAF∽△BAE，
∴∠AEF＝∠B，
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠D＝∠C，
又∵∠DAF＝∠CAE，
∴△DAF∽△CAE；
(2)
∵∠DAE＝∠BAC，∠D＝∠C，
∴△DAE∽△CAB，
∴，
∵△DAF∽△CAE，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．21世纪教育网版权所有
3、 (1)PQ＝4t
(2)＜t≤
(3)或或
【解析】
【分析】
（1）根据题意以及勾股定理，求得的长，根据PQ∥AE，可得，进而可得BQ＝5t，PQ＝4t；
（2）当MN与AE重合时，BP+PN＝BE，当点N与点C重合时，BP+PN＝BN＝BC，分别求得的值，进而求得t的取值范围；21cnjy.com
（3）分三种情况讨论，即当的中点在上，根据相似三角形的性质与判定，列出比例式，解方程求解即可
(1)
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝15，AE＝12，
∴BE＝＝＝9，
∵PQ⊥BC，
∴PQ∥AE，
∴，
动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BE向终点E运动
∴，
∴BQ＝5t，PQ＝4t；
(2)
当MN与AE重合时，BP+PN＝BE，
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN＝PQ＝4t，
∴3t+4t＝9，
∴t＝．
当点N与点C重合时，BP+PN＝BN＝BC，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝15，
∴BP+PN＝BN＝BC＝15，
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN＝PQ＝4t，
∴3t+4t＝15，
∴t＝．
∴当＜t≤时，重叠部分是四边形；
(3)
当AC经过MN的中点R时，
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∴RN＝MN＝PQ＝2t，
∵PQ∥AE，MN∥PQ，
∴MN∥AE，
∴，
∴，
∴NC＝t，
∵CE＝BC﹣BE＝15﹣9＝6，
∴BN+CN＝BP+PN+CN＝7t+t＝15，解得t＝．
当AC经过QM的中点W时，
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∵QM∥BC，
∴，即，
∴AQ＝QW＝2t，
∴AQ＝AB＝BQ＝15﹣5t＝2t，解得t＝．
当AC经过QN的中点K时，设AC交QM于H，
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∵QM∥BC，
∴，
∴AQ＝QH，
∵QM∥BC，K是QN的中点，
∴KQ＝KN，∠KQH＝∠KNC，∠KHQ＝∠KCN，
∴△KHQ≌△KCN（AAS），
∴QH＝CN，
∴AQ＝QH＝CN，
∴AB﹣BQ＝BN﹣BC，即15﹣5t＝7t﹣15，解得t＝，
综上所述，满足条件的t的值为或或．
【点睛】
本题考查了动点问题，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．2-1-c-n-j-y
4、 (1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由平行线的性质得出∠EDC=∠DCB，证明△DEC∽△CDB，由相似三角形的性质得出，则可得出答案；【版权所有：21教育】
（2）由相似三角形的性质可求出DC的长，由平行线分线段成比例定理可得出答案．
(1)
证明：∵DE//BC，
∴∠EDC=∠DCB，
又∵∠ACD=∠B，
∴△DEC∽△CDB，
∴，
∴CD2=DE BC；
(2)
解：∵CD2=DE BC，DE=4，BC=5，
∴CD2=20，
∴CD=2（负值舍去），
∵△DEC∽△CDB，
∴，
∴，
∵DE//BC，
∴．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．21教育名师原创作品
5、 (1)8
(2)
【解析】
【分析】
（1）由∠ABD=∠CBD，DE∥BC 可推得∠EDB=∠CBD，进而推出∠ABD=∠EDB，由此可得BE=DE=6，由DE∥BC 可得，进而证得AE=2，于是可得结论；
（2）△ADE看成以DE为底，高为h1，△BCD看成以BC为底，高为h2，由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质可得，，进而证得结论．
(1)
解：BD平∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠ABD=∠EDB，
∴BE=DE=6，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴AE=2，
∴AB=AE+BE=8；
(2)
解：过点A作AG⊥BC交CB延长线于点G，交DE延长线于点F，
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△ADE看成以DE为底，高为AF=h1，△BCD看成以BC为底，高为FG=h2，
∵DE∥CB，
∴，
∵DE∥CB，
∴△AED∽△ABC，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质，平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练应用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解决问题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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