第六章 特殊平行四边形重点解析试卷(含解析)
文档属性
| 名称 | 第六章 特殊平行四边形重点解析试卷(含解析) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-19 08:42:44 | ||
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文档简介
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鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形重点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的 ( http: / / www.21cnjy.com )位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。【来源：21·世纪·教育·网】
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线、、、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、，若，，则正方形的面积S等于（ ）
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A．34 B．89 C．74 D．109
2、矩形ABCD的对角线交于点O，∠AOD=120°，AO=3，则BC的长度是（ ）
A．3 B． C． D．6
3、如图，在正方形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．1 B．2 C． D．2
4、如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是（ ）
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A．1 B．4 C．2 D．6
5、如图，菱形ABCD的对角线AC ( http: / / www.21cnjy.com )、BD相交于点O，点P是对角线BD上一点，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别是点E、F，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则PE+PF的长为（ ）
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A． B．3 C． D．
6、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，若∠CDE＝∠B，则∠A等于（ ）
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A．36° B．40° C．48° D．54°
7、如图，菱形的对角线、相交于点，，，为过点的一条直线，则图中阴影部分的面积为（ ）
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A．4 B．6 C．8 D．12
8、如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为；⑤；⑥．其中正确结论有几个（ ）
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A．3 B．4 C．5 D．6
9、如图，正方形ABCD，对角线AC，BD ( http: / / www.21cnjy.com )相交于点O，过点B作∠ABO的角平分线交OA于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BD于点G，连接EG，则S△ABG：S△BEG等于（ ）
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A．3：5 B．：2 C．1：2 D．（+1）：1
10、下列命题是真命题的有（ ）个．
①一组对边相等的四边形是矩形；②两 ( http: / / www.21cnjy.com )条对角线相等的四边形是矩形；③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；④四条边都相等的四边形是菱形；⑤一组邻边相等的矩形是正方形．
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在中，，，与分别是斜边上的高和中线，那么_______度．
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2、正方形的边长与它的对角线的长度的比值为_____．
3、如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为___km．21·世纪*教育网
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4、如图，矩形纸片ABCD， ( http: / / www.21cnjy.com )AD＝4，AB＝2，点F在线段AD上，将△ABF沿BF向下翻折，点A的对应点E落在线段BC上，点M，N分别是线段AD与线段BC上的点，将四边形CDMN沿MN向上翻折，点C恰好落在线段BF的中点C'处，则线段MN的长为 __________________．
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5、如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝6，则GH的长为_________．
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、在等腰Rt△ABC中，∠ACB ( http: / / www.21cnjy.com )=90°，D，E是边AC，BC上的点，且满足AD=CE，连接DE，过点C作DE的垂线，垂足为F，交AB于点G．
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(1)点D如图所示．
①请依题意在下图中补全图形；
②猜想DE与CG的数量关系，并证明；
(2)连接DG，GE，若AB=2，直接写出四边形CDGE面积的最小值．
2、已知：线段m．
求作：矩形ABCD，使矩形宽AB＝m，对角线AC＝m．
3、将线段绕点逆时针旋转得到线段，继续旋转得到线段，连接．
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(1)连接．
①如图①，若，则的度数为 ；
②在第二次旋转过程中，请探究的大小是否改变．若不变，求出的度数；若改变，请说明理由．
(2)如图②．以为斜边作，使得，连接，．且．试猜想线段，之间的数量关系，写出结论并给予证明．【版权所有：21教育】
4、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上，连接AE、AF，且BE＝DF．求证：AE＝AF．
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5、如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边CD、BC的中点
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(1)求证：四边形BDEG是平行四边形；
(2)若菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，求EG的长．
-参考答案-
一、单选题
1、C
2、C
【解析】
【分析】
画出图形，由条件可求得△AOB为等边三角形，则可求得AC的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的长．21cnjy.com
【详解】
解：如下图所示：
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∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴AC=2OA=4，
∴BC2=AC2-AB2=36-9=27，
∴BC=．
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．21·cn·jy·com
3、C
【解析】
【分析】
根据正方形的性质得到AB=AD ( http: / / www.21cnjy.com )，∠BAE=∠ADF=90°，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠DAF，求得∠AOB=90°，根据三角形的面积公式得到OA=1，由勾股定理即可得到答案．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，
在△ABE与△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF，
∴∠ABE+∠BAO=∠DAF+∠BAO=90°，
∴∠AOB=90°，
∵△ABE≌△DAF，
∴S△ABE=S△DAF，
∴S△ABE-S△AOE=S△DAF-S△AOE，
即S△ABO=S四边形OEDF=1，
∵OA=1，
∴BO=2，
∴AB=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得△ABE≌△DAF是解题的关键．
4、C
【解析】
略
5、D
【解析】
【分析】
根据菱形的面积以及的长，求得的长，勾股定理求得边长，进而根据菱形的面积等于，即可求得答案．
【详解】
解：∵四边形是菱形
∴，
OA＝4，S菱形ABCD＝24，
即
中，
连接
( http: / / www.21cnjy.com / )
PE⊥AB，PF⊥AD，
S菱形ABCD＝24，
故选D
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
6、D
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到∠BDE=∠ADE＝90°，AD＝BD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，CD＝BD＝AD=AB，由等边对等角可得∠B＝∠DCE，∠A＝∠ACD，设∠CDE＝x,则∠B＝∠DCE=2x，∠ADC=90°-x，∠A=45°+x，由直角三角形两锐角互余得45°+x+2x=90°，解得x值，即可求解.2·1·c·n·j·y
【详解】
解：由题意可知：MN为AB的垂直平分线，
∴∠BDE=∠ADE＝90°，AD＝BD，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD＝AD=AB，
∴∠B＝∠DCE，∠A＝∠ACD，
设∠CDE＝x,则∠B＝∠DCE=2x，∠ADC=90°-x，
∴∠A=（180°-∠ADC）=45°+x，
∴∠A+∠B＝45°+x+2x=90°，
解得：x=18°，
∴∠A=45°+x=54°，
故选：D．
【点睛】
此题考查了直角三角形斜边上的中线、线 ( http: / / www.21cnjy.com )段垂直平分线的性质、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．【出处：21教育名师】
7、B
【解析】
【分析】
根据菱形的性质可证出，可将阴影部分面积转化为的面积，根据菱形的面积公式计算即可．
【详解】
解：四边形为菱形，
，，，
，
,
∴,
∴,
∴
故选：．
【点睛】
此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为的面积为解题关键．
8、D
【解析】
【分析】
如图，过点作于点，连接，可说明四边形为矩形，，，是等腰直角三角形，；①中，可得为等腰直角三角形，进而求，由于四边形是平行四边形，，故可知；②，四边形为矩形，进而可求矩形的周长；③证明，由全等可知，进而可说明；④，当最小时，最小，即时，最小，计算即可；⑤在和中，勾股定理求得，将线段等量替换求解即可；⑥如图1，延长与交于点，证明，得，，，进而可说明．
【详解】
解：如图，过点作于点，连接，
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由题意知
∴四边形为平行四边形
∵
∴四边形为矩形
∴
∵
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
①∵，
∴为等腰直角三角形
∴
，
∴
∴四边形是平行四边形
∴
∴
故①正确；
②∵
∴四边形为矩形
∴四边形的周长
故②正确；
③四边形为矩形
∵在和中
∵
∴
∴
∴
故③正确；
④∵
当最小时，最小
∴当时，即时，的最小值等于
故④正确；
⑤在和中，，
∴
故⑤正确；
⑥如图1，延长与交于点
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∵在和中
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故⑥正确；
综上，①②③④⑤⑥正确，
故选：．
【点睛】
本题考查了正方形，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形全等．解题的关键在于对知识的灵活综合运用．21*cnjy*com
9、D
【解析】
【分析】
由BE平分，得，根据正方形的性质得，，故，根据AAS得，故，设，进而可用含的式子表示出线段和的长，要求的比值即求和的比值，代入即可求解．
【详解】
∵BE平分，，
∴是等腰三角形，
∴，
四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是将两个三角形的面积比转化成两条线段的比，综合性较强．21教育名师原创作品
10、B
【解析】
【分析】
根据两条对角线平分且相等的四边形是矩形，四条边都相等的四边形是菱形，如果对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形进行判断即可．
【详解】
解：①一组对边相等的四边形不一定是矩形，错误；
②两条对角线相等的平行四边形是矩形，错误；
③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；
④四条边都相等的四边形是菱形，正确；
⑤一组邻边相等的矩形是正方形，正确．
故选：B．
【点睛】
此题考查考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，关键是根据矩形、正方形、菱形的判定解答．
二、填空题
1、50
【解析】
【分析】
根据直角三角形中线的性质及互为余角的性质计算．
【详解】
解：，为边上的高，
，
，是斜边上的中线，
，
，
的度数为．
故答案为：50．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形中线的性质及互为余角的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质．
2、##
【解析】
【分析】
由正方形的性质得出，，，由勾股定理求出，即可得出正方形的边长与对角线长的比值．
【详解】
解：四边形是正方形，
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，，，
，
；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
3、1.2
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CM=AM=BM解答即可．
【详解】
解：∵M是公路AB的中点，
∴AM=BM，
∵AC⊥BC，
∴CM=AM=BM，
∵AM的长为1.2km，
∴M，C两点间的距离为1.2km．
故答案为：1.2．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
4、
【解析】
【分析】
先判断出四边形ABEF是正方形，进而求出BF＝2，得出BC'＝，过点C'作C'H⊥BC于H，CC'与MN的交点记作点K，进而求出BH＝1，再用勾股定理求出CC'＝，进而得出CK＝，再用勾股定理求出CN＝ ，最后用面积建立方程求出MN即可．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：如图，
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∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠D＝90°，CD＝AB，BC＝AD＝4，
∵2AB＝4，
∴AB＝2，
∴CD＝2，
∵将△ABF沿BF向下翻折，点A的对应点E落在线段BC上，
∴∠BEF＝∠A＝90°，AB＝BE，
∴四边形ABEF是正方形，
∴BF是正方形ABEF的对角线，
∴∠EBF＝45°，BF＝AB＝2，
∵C'是BF的中点，
∴BC'＝BF＝，
过点C'作C'H⊥BC于H，CC'与MN的交点记作点K，
在Rt△BHC'中，BH＝C'H＝BC'＝1，
∴CH＝BC﹣BH＝3，
在Rt△CHC'中，CC'＝＝＝，
由折叠知，CK＝CC'＝，
设CN＝x，则HN＝3﹣x，
∵将四边形CDMN沿MN向上翻折，
∴CC'⊥MN，C'N＝CN＝x，
在Rt△C'HN中，根据勾股定理得，C'H2+HN2＝C'N2，
∴12+（3﹣x）2＝x2，
∴x＝ ，
∴CN＝，
连接CM，
∵S△CMN＝CN CD＝MN CK，
∴MN＝＝＝，
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理和面积法解题，作出辅助线构造直角三角形求出CC'是解题的关键所在．【来源：21cnj*y.co*m】
5、6
【解析】
【分析】
由矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质可求解BE=2AF=12，再利用三角形中位线定理可求解．
【详解】
解：在矩形ABCD中，∠BAD=90°，
∵F为BE的中点，AF=6，
∴BE=2AF=12．
∵G，H分别为BC，EC的中点，
∴GH=BE=6，
故答案为6．
【点睛】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求解BE的长是解题的关键．再根据中位线定理求出GH．
三、解答题
1、 (1)①作图见解析；②DE=CG，证明见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）①按照题意作图即可； ( http: / / www.21cnjy.com )②如图1过点D作DH⊥AC交AB于H，连接CH交DE于O，连接EH，∠A=∠B=45°，∠ADH=90°，∠A=∠DHA=45°，DA=DH= CE，四边形DHEC是平行四边形，∠DCE=90°，四边形DHEC是矩形，矩形对角线相等且互相平分可知，DE=CH，OD=OC，∠ODC=∠OCD，证明∠CDE=∠BCG=∠ACH，△ACH≌△BCG，进而可说明DE=CG．2-1-c-n-j-y
（2）如图2，由（1）可知DE=CG，CG⊥DE，S四边形CDGE DE CG CG2；可知面积最小即CG的值最短；根据垂线段最短可知，当CG⊥AB时，CG的值最短，由AG=GB，∠ACB=90°，可知CGAB=1，进而可求四边形面积的最小值．21*cnjy*com
(1)
解：①图形如图1所示．
②结论：DE=CG．
证明：如图1中，过点D作DH⊥AC交AB于H，连接CH交DE于O，连接EH．
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∵AC=BC，∠ACB=90°
∴∠A=∠B=45°
∵AD⊥DH
∴∠ADH=90°
∴∠A=∠DHA=45°
∴DA=DH
∵AD=CE
∴DH=CE
∵∠ADH=∠ACB=90°
∴DH∥BC
∴四边形DHEC是平行四边形
∵∠DCE=90°
∴四边形DHEC是矩形
∴DE=CH，OD=OC=OE=OH
∴∠ODC=∠OCD
∵CG⊥DE
∴∠CDE+∠DCG=90°，∠DCG+∠BCG=90°
∴∠CDE=∠BCG=∠ACH
在△ACH和△BCG中
∵
∴△ACH≌△BCG（ASA）
∴CH=CG
∴DE=CG．
(2)
解：如图2
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由（1）可知DE=CG，CG⊥DE
∴S四边形CDGE DE CG CG2
根据垂线段最短可知，当CG⊥AB时，CG的值最短
∵CA=CB，CG⊥AB
∴AG=GB
∴CGAB=1
∴四边形CDGE的面积的最小值为．
【点睛】
本题考查了垂线段，矩形的判定与性质，三角形全等，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的灵活综合运用．
2、见详解
【解析】
【分析】
先作m的垂直平分线，取m ( http: / / www.21cnjy.com )的一半为AB，然后以点A为圆心，以m长为半径画弧，交m的垂直平分线于C，连结AC，利用作一个角等于已知角，过A作BC的平行线AD，过C作AB的平行线CD，两线交于D即可．
【详解】
解：先作m的垂直平分线，取m的一半为AB，
以点A为圆心，以m长为半径画弧，交m的垂直平分线于C，连结AC，
过A作BC的平行线，与过C作AB的平行线交于D，
则四边形ABCD为所求作矩形；
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∵AD∥BC，CD∥AB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AB=，AC=m，
∴矩形的宽与对角线满足条件，
∴四边形ABCD为所求作矩形．
【点睛】
本题考查矩形作图，线段垂直平分线，作线段等于已知线段，平行线作法，掌握矩形作图，线段垂直平分线，作线段等于已知线段，平行线作法是解题关键．
3、 (1)①30°，②不变，30°
(2)，见解析
【解析】
【分析】
（1）①先推出∠ADC＝50°，在推出∠ADB＝20°，从而得出结果；②同理①由AC＝AD推出∠ADC＝90° ，由AB＝AD推出∠ADB＝60° ，进而推出结果；
（2）作AF⊥CD于F，推出△ABE≌△ACF，进而得出△AEF是等边三角形，再推出△ABE是等腰直角三角形，进而得出关系．
(1)
解：①，
，
，
，
，
故答案是；
②不变，理由如下：
，
，
，
，
，
(2)
，理由如下：
如图，作于，
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，
，
，
，
，
，，，
，
，，，
即，
是等边三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
．
【点睛】
本题考查了旋转性质，等边三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是找出题目中线段间的关系．
4、见解析．
【解析】
【分析】
利用正方形的性质可证明△ABE≌△ADF，可得AE＝AF．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
∵BE＝DF，
在Rt△ABE与Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（SAS），
∴AE＝AF．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质是解题的关键．
5、 (1)证明见解析
(2)10
【解析】
【分析】
（1）利用AC平分∠BAD，AB∥CD， ( http: / / www.21cnjy.com )得到∠DAC＝∠DCA，即可得到AD＝DC，利用一组对边平行且相等可证明四边形ABCD是平行四边形，再结合AB＝AD，即可求证结论；
（2）根据菱形的性质，得到CD＝13，AO ( http: / / www.21cnjy.com )＝CO＝12，结合中位线性质，可得四边形BDEG是平行四边形，利用勾股定理即可得到OB、OD的长度，即可求解．
(1)
证明：∵AC平分∠BAD，AB∥CD，
∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝DC，
又∵AB∥CD，AB＝AD，
∴AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)
解：连接BD，交AC于点O，如图：
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∵菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，
∴CD＝13，AO＝CO＝12，
∵点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴EF∥BD（中位线），
∵AC、BD是菱形的对角线，
∴AC⊥BD，OB＝OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，
∴DE∥BG，BD∥EG，
∵四边形BDEG是平行四边形，
∴BD＝EG，
在△COD中，
∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，
∴，
∴EG＝BD＝10．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质判定方法、菱形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定和性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识，关键在于熟悉四边形的判定方法和在题目中找到合适的判定条件．21教育网
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鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形重点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的 ( http: / / www.21cnjy.com )位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。【来源：21·世纪·教育·网】
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线、、、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、，若，，则正方形的面积S等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．34 B．89 C．74 D．109
2、矩形ABCD的对角线交于点O，∠AOD=120°，AO=3，则BC的长度是（ ）
A．3 B． C． D．6
3、如图，在正方形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．1 B．2 C． D．2
4、如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．4 C．2 D．6
5、如图，菱形ABCD的对角线AC ( http: / / www.21cnjy.com )、BD相交于点O，点P是对角线BD上一点，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别是点E、F，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则PE+PF的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．3 C． D．
6、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，若∠CDE＝∠B，则∠A等于（ ）
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A．36° B．40° C．48° D．54°
7、如图，菱形的对角线、相交于点，，，为过点的一条直线，则图中阴影部分的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4 B．6 C．8 D．12
8、如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为；⑤；⑥．其中正确结论有几个（ ）
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A．3 B．4 C．5 D．6
9、如图，正方形ABCD，对角线AC，BD ( http: / / www.21cnjy.com )相交于点O，过点B作∠ABO的角平分线交OA于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BD于点G，连接EG，则S△ABG：S△BEG等于（ ）
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A．3：5 B．：2 C．1：2 D．（+1）：1
10、下列命题是真命题的有（ ）个．
①一组对边相等的四边形是矩形；②两 ( http: / / www.21cnjy.com )条对角线相等的四边形是矩形；③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；④四条边都相等的四边形是菱形；⑤一组邻边相等的矩形是正方形．
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在中，，，与分别是斜边上的高和中线，那么_______度．
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2、正方形的边长与它的对角线的长度的比值为_____．
3、如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为___km．21·世纪*教育网
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4、如图，矩形纸片ABCD， ( http: / / www.21cnjy.com )AD＝4，AB＝2，点F在线段AD上，将△ABF沿BF向下翻折，点A的对应点E落在线段BC上，点M，N分别是线段AD与线段BC上的点，将四边形CDMN沿MN向上翻折，点C恰好落在线段BF的中点C'处，则线段MN的长为 __________________．
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5、如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝6，则GH的长为_________．
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、在等腰Rt△ABC中，∠ACB ( http: / / www.21cnjy.com )=90°，D，E是边AC，BC上的点，且满足AD=CE，连接DE，过点C作DE的垂线，垂足为F，交AB于点G．
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(1)点D如图所示．
①请依题意在下图中补全图形；
②猜想DE与CG的数量关系，并证明；
(2)连接DG，GE，若AB=2，直接写出四边形CDGE面积的最小值．
2、已知：线段m．
求作：矩形ABCD，使矩形宽AB＝m，对角线AC＝m．
3、将线段绕点逆时针旋转得到线段，继续旋转得到线段，连接．
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(1)连接．
①如图①，若，则的度数为 ；
②在第二次旋转过程中，请探究的大小是否改变．若不变，求出的度数；若改变，请说明理由．
(2)如图②．以为斜边作，使得，连接，．且．试猜想线段，之间的数量关系，写出结论并给予证明．【版权所有：21教育】
4、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上，连接AE、AF，且BE＝DF．求证：AE＝AF．
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5、如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边CD、BC的中点
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：四边形BDEG是平行四边形；
(2)若菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，求EG的长．
-参考答案-
一、单选题
1、C
2、C
【解析】
【分析】
画出图形，由条件可求得△AOB为等边三角形，则可求得AC的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的长．21cnjy.com
【详解】
解：如下图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴AC=2OA=4，
∴BC2=AC2-AB2=36-9=27，
∴BC=．
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．21·cn·jy·com
3、C
【解析】
【分析】
根据正方形的性质得到AB=AD ( http: / / www.21cnjy.com )，∠BAE=∠ADF=90°，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠DAF，求得∠AOB=90°，根据三角形的面积公式得到OA=1，由勾股定理即可得到答案．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，
在△ABE与△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF，
∴∠ABE+∠BAO=∠DAF+∠BAO=90°，
∴∠AOB=90°，
∵△ABE≌△DAF，
∴S△ABE=S△DAF，
∴S△ABE-S△AOE=S△DAF-S△AOE，
即S△ABO=S四边形OEDF=1，
∵OA=1，
∴BO=2，
∴AB=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得△ABE≌△DAF是解题的关键．
4、C
【解析】
略
5、D
【解析】
【分析】
根据菱形的面积以及的长，求得的长，勾股定理求得边长，进而根据菱形的面积等于，即可求得答案．
【详解】
解：∵四边形是菱形
∴，
OA＝4，S菱形ABCD＝24，
即
中，
连接
( http: / / www.21cnjy.com / )
PE⊥AB，PF⊥AD，
S菱形ABCD＝24，
故选D
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
6、D
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到∠BDE=∠ADE＝90°，AD＝BD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，CD＝BD＝AD=AB，由等边对等角可得∠B＝∠DCE，∠A＝∠ACD，设∠CDE＝x,则∠B＝∠DCE=2x，∠ADC=90°-x，∠A=45°+x，由直角三角形两锐角互余得45°+x+2x=90°，解得x值，即可求解.2·1·c·n·j·y
【详解】
解：由题意可知：MN为AB的垂直平分线，
∴∠BDE=∠ADE＝90°，AD＝BD，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD＝AD=AB，
∴∠B＝∠DCE，∠A＝∠ACD，
设∠CDE＝x,则∠B＝∠DCE=2x，∠ADC=90°-x，
∴∠A=（180°-∠ADC）=45°+x，
∴∠A+∠B＝45°+x+2x=90°，
解得：x=18°，
∴∠A=45°+x=54°，
故选：D．
【点睛】
此题考查了直角三角形斜边上的中线、线 ( http: / / www.21cnjy.com )段垂直平分线的性质、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．【出处：21教育名师】
7、B
【解析】
【分析】
根据菱形的性质可证出，可将阴影部分面积转化为的面积，根据菱形的面积公式计算即可．
【详解】
解：四边形为菱形，
，，，
，
,
∴,
∴,
∴
故选：．
【点睛】
此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为的面积为解题关键．
8、D
【解析】
【分析】
如图，过点作于点，连接，可说明四边形为矩形，，，是等腰直角三角形，；①中，可得为等腰直角三角形，进而求，由于四边形是平行四边形，，故可知；②，四边形为矩形，进而可求矩形的周长；③证明，由全等可知，进而可说明；④，当最小时，最小，即时，最小，计算即可；⑤在和中，勾股定理求得，将线段等量替换求解即可；⑥如图1，延长与交于点，证明，得，，，进而可说明．
【详解】
解：如图，过点作于点，连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意知
∴四边形为平行四边形
∵
∴四边形为矩形
∴
∵
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
①∵，
∴为等腰直角三角形
∴
，
∴
∴四边形是平行四边形
∴
∴
故①正确；
②∵
∴四边形为矩形
∴四边形的周长
故②正确；
③四边形为矩形
∵在和中
∵
∴
∴
∴
故③正确；
④∵
当最小时，最小
∴当时，即时，的最小值等于
故④正确；
⑤在和中，，
∴
故⑤正确；
⑥如图1，延长与交于点
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵在和中
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故⑥正确；
综上，①②③④⑤⑥正确，
故选：．
【点睛】
本题考查了正方形，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形全等．解题的关键在于对知识的灵活综合运用．21*cnjy*com
9、D
【解析】
【分析】
由BE平分，得，根据正方形的性质得，，故，根据AAS得，故，设，进而可用含的式子表示出线段和的长，要求的比值即求和的比值，代入即可求解．
【详解】
∵BE平分，，
∴是等腰三角形，
∴，
四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是将两个三角形的面积比转化成两条线段的比，综合性较强．21教育名师原创作品
10、B
【解析】
【分析】
根据两条对角线平分且相等的四边形是矩形，四条边都相等的四边形是菱形，如果对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形进行判断即可．
【详解】
解：①一组对边相等的四边形不一定是矩形，错误；
②两条对角线相等的平行四边形是矩形，错误；
③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；
④四条边都相等的四边形是菱形，正确；
⑤一组邻边相等的矩形是正方形，正确．
故选：B．
【点睛】
此题考查考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，关键是根据矩形、正方形、菱形的判定解答．
二、填空题
1、50
【解析】
【分析】
根据直角三角形中线的性质及互为余角的性质计算．
【详解】
解：，为边上的高，
，
，是斜边上的中线，
，
，
的度数为．
故答案为：50．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形中线的性质及互为余角的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质．
2、##
【解析】
【分析】
由正方形的性质得出，，，由勾股定理求出，即可得出正方形的边长与对角线长的比值．
【详解】
解：四边形是正方形，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，，
，
；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
3、1.2
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CM=AM=BM解答即可．
【详解】
解：∵M是公路AB的中点，
∴AM=BM，
∵AC⊥BC，
∴CM=AM=BM，
∵AM的长为1.2km，
∴M，C两点间的距离为1.2km．
故答案为：1.2．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
4、
【解析】
【分析】
先判断出四边形ABEF是正方形，进而求出BF＝2，得出BC'＝，过点C'作C'H⊥BC于H，CC'与MN的交点记作点K，进而求出BH＝1，再用勾股定理求出CC'＝，进而得出CK＝，再用勾股定理求出CN＝ ，最后用面积建立方程求出MN即可．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：如图，
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∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠D＝90°，CD＝AB，BC＝AD＝4，
∵2AB＝4，
∴AB＝2，
∴CD＝2，
∵将△ABF沿BF向下翻折，点A的对应点E落在线段BC上，
∴∠BEF＝∠A＝90°，AB＝BE，
∴四边形ABEF是正方形，
∴BF是正方形ABEF的对角线，
∴∠EBF＝45°，BF＝AB＝2，
∵C'是BF的中点，
∴BC'＝BF＝，
过点C'作C'H⊥BC于H，CC'与MN的交点记作点K，
在Rt△BHC'中，BH＝C'H＝BC'＝1，
∴CH＝BC﹣BH＝3，
在Rt△CHC'中，CC'＝＝＝，
由折叠知，CK＝CC'＝，
设CN＝x，则HN＝3﹣x，
∵将四边形CDMN沿MN向上翻折，
∴CC'⊥MN，C'N＝CN＝x，
在Rt△C'HN中，根据勾股定理得，C'H2+HN2＝C'N2，
∴12+（3﹣x）2＝x2，
∴x＝ ，
∴CN＝，
连接CM，
∵S△CMN＝CN CD＝MN CK，
∴MN＝＝＝，
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理和面积法解题，作出辅助线构造直角三角形求出CC'是解题的关键所在．【来源：21cnj*y.co*m】
5、6
【解析】
【分析】
由矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质可求解BE=2AF=12，再利用三角形中位线定理可求解．
【详解】
解：在矩形ABCD中，∠BAD=90°，
∵F为BE的中点，AF=6，
∴BE=2AF=12．
∵G，H分别为BC，EC的中点，
∴GH=BE=6，
故答案为6．
【点睛】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求解BE的长是解题的关键．再根据中位线定理求出GH．
三、解答题
1、 (1)①作图见解析；②DE=CG，证明见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）①按照题意作图即可； ( http: / / www.21cnjy.com )②如图1过点D作DH⊥AC交AB于H，连接CH交DE于O，连接EH，∠A=∠B=45°，∠ADH=90°，∠A=∠DHA=45°，DA=DH= CE，四边形DHEC是平行四边形，∠DCE=90°，四边形DHEC是矩形，矩形对角线相等且互相平分可知，DE=CH，OD=OC，∠ODC=∠OCD，证明∠CDE=∠BCG=∠ACH，△ACH≌△BCG，进而可说明DE=CG．2-1-c-n-j-y
（2）如图2，由（1）可知DE=CG，CG⊥DE，S四边形CDGE DE CG CG2；可知面积最小即CG的值最短；根据垂线段最短可知，当CG⊥AB时，CG的值最短，由AG=GB，∠ACB=90°，可知CGAB=1，进而可求四边形面积的最小值．21*cnjy*com
(1)
解：①图形如图1所示．
②结论：DE=CG．
证明：如图1中，过点D作DH⊥AC交AB于H，连接CH交DE于O，连接EH．
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∵AC=BC，∠ACB=90°
∴∠A=∠B=45°
∵AD⊥DH
∴∠ADH=90°
∴∠A=∠DHA=45°
∴DA=DH
∵AD=CE
∴DH=CE
∵∠ADH=∠ACB=90°
∴DH∥BC
∴四边形DHEC是平行四边形
∵∠DCE=90°
∴四边形DHEC是矩形
∴DE=CH，OD=OC=OE=OH
∴∠ODC=∠OCD
∵CG⊥DE
∴∠CDE+∠DCG=90°，∠DCG+∠BCG=90°
∴∠CDE=∠BCG=∠ACH
在△ACH和△BCG中
∵
∴△ACH≌△BCG（ASA）
∴CH=CG
∴DE=CG．
(2)
解：如图2
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由（1）可知DE=CG，CG⊥DE
∴S四边形CDGE DE CG CG2
根据垂线段最短可知，当CG⊥AB时，CG的值最短
∵CA=CB，CG⊥AB
∴AG=GB
∴CGAB=1
∴四边形CDGE的面积的最小值为．
【点睛】
本题考查了垂线段，矩形的判定与性质，三角形全等，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的灵活综合运用．
2、见详解
【解析】
【分析】
先作m的垂直平分线，取m ( http: / / www.21cnjy.com )的一半为AB，然后以点A为圆心，以m长为半径画弧，交m的垂直平分线于C，连结AC，利用作一个角等于已知角，过A作BC的平行线AD，过C作AB的平行线CD，两线交于D即可．
【详解】
解：先作m的垂直平分线，取m的一半为AB，
以点A为圆心，以m长为半径画弧，交m的垂直平分线于C，连结AC，
过A作BC的平行线，与过C作AB的平行线交于D，
则四边形ABCD为所求作矩形；
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∵AD∥BC，CD∥AB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AB=，AC=m，
∴矩形的宽与对角线满足条件，
∴四边形ABCD为所求作矩形．
【点睛】
本题考查矩形作图，线段垂直平分线，作线段等于已知线段，平行线作法，掌握矩形作图，线段垂直平分线，作线段等于已知线段，平行线作法是解题关键．
3、 (1)①30°，②不变，30°
(2)，见解析
【解析】
【分析】
（1）①先推出∠ADC＝50°，在推出∠ADB＝20°，从而得出结果；②同理①由AC＝AD推出∠ADC＝90° ，由AB＝AD推出∠ADB＝60° ，进而推出结果；
（2）作AF⊥CD于F，推出△ABE≌△ACF，进而得出△AEF是等边三角形，再推出△ABE是等腰直角三角形，进而得出关系．
(1)
解：①，
，
，
，
，
故答案是；
②不变，理由如下：
，
，
，
，
，
(2)
，理由如下：
如图，作于，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
，
，
，
，，，
，
，，，
即，
是等边三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
．
【点睛】
本题考查了旋转性质，等边三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是找出题目中线段间的关系．
4、见解析．
【解析】
【分析】
利用正方形的性质可证明△ABE≌△ADF，可得AE＝AF．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
∵BE＝DF，
在Rt△ABE与Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（SAS），
∴AE＝AF．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质是解题的关键．
5、 (1)证明见解析
(2)10
【解析】
【分析】
（1）利用AC平分∠BAD，AB∥CD， ( http: / / www.21cnjy.com )得到∠DAC＝∠DCA，即可得到AD＝DC，利用一组对边平行且相等可证明四边形ABCD是平行四边形，再结合AB＝AD，即可求证结论；
（2）根据菱形的性质，得到CD＝13，AO ( http: / / www.21cnjy.com )＝CO＝12，结合中位线性质，可得四边形BDEG是平行四边形，利用勾股定理即可得到OB、OD的长度，即可求解．
(1)
证明：∵AC平分∠BAD，AB∥CD，
∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝DC，
又∵AB∥CD，AB＝AD，
∴AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)
解：连接BD，交AC于点O，如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，
∴CD＝13，AO＝CO＝12，
∵点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴EF∥BD（中位线），
∵AC、BD是菱形的对角线，
∴AC⊥BD，OB＝OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，
∴DE∥BG，BD∥EG，
∵四边形BDEG是平行四边形，
∴BD＝EG，
在△COD中，
∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，
∴，
∴EG＝BD＝10．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质判定方法、菱形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定和性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识，关键在于熟悉四边形的判定方法和在题目中找到合适的判定条件．21教育网
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