第六章 特殊平行四边形专项攻克试卷(含解析)
文档属性
| 名称 | 第六章 特殊平行四边形专项攻克试卷(含解析) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-19 08:42:44 | ||
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文档简介
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鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形专项攻克
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相 ( http: / / www.21cnjy.com )应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。21世纪教育网版权所有
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列命题中是真命题的选项是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．三条边都相等的四边形是菱形
2、如图，2002年8月在北京召开的 ( http: / / www.21cnjy.com )国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为a、b，且a2＋b2＝ab＋10，那么小正方形的面积为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．2 B．3 C．4 D．5
3、若菱形的周长为8，高为2，则菱形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
4、如图，在正方形ABCD中，AB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B′恰好落在AD边上，则BE的长度为（ ）【出处：21教育名师】
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A．1 B． C． D．2
5、如图，将边长为6个单位的正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD沿其对角线BD剪开，再把△ABD沿着DC方向平移，得到△A′B′D′，当两个三角形重叠部分的面积为4个平方单位时，它移动的距离DD′等于（ ）
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A．2 B． C． D．
6、如图，在矩形纸片ABCD中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B=6，BC=8，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，ME与AD相交于点G，CE与AD相交于点F，且AG=GE，则BM的长度是（ ）21教育名师原创作品
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A． B．4 C． D．5
7、能够判断一个四边形是矩形的条件是（ ）
A．对角线相等 B．对角线垂直
C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等
8、已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是线段的中点，则线段的长为（ ）www.21-cn-jy.com
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A． B．3 C．4 D．5
9、陈师傅应客户要求加工4个 ( http: / / www.21cnjy.com )长为4cm、宽为3cm的矩形零件．在交付客户之前，陈师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，下图中有可能不合格的零件是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
10、如图，在正方形ABCD中，点 ( http: / / www.21cnjy.com )E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（ ）
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A．1 B．2 C． D．2
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、已知：如图，正方形ABCD中，AB= ( http: / / www.21cnjy.com )2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE=CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：
①△OEF是等腰直角三角形；
②△OEF面积的最小值是；
③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是；
④四边形OECF的面积是1．
所有正确结论的序号是_________________________
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2、若矩形ABCD的周长为26cm，对角线的长是cm，则它的面积是_________．
3、如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下3个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③S△BEF＝．在以上3个结论中，正确的有______．（填序号）
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4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．
符号语言：
Rt△ABC中，
∵∠ABC＝90°，OA＝OC，
∴BO＝AC．
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5、一个正方形的对角线长为2，则其面积为_____．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．
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(1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．
(2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．
(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．
(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值．
2、在正方形ABCD中，点E是CD边上任意一点．连接AE，过点B作BF⊥AE于F．交AD于H．
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(1)如图1，过点D作DG⊥AE于G，求证：△AFB≌△DGA；
(2)如图2，点E为CD的中点，连接DF，求证：FH+FE＝DF；
(3)如图3，AB＝1，连接EH，点P为EH的中点，在点E从点D运动到点C的过程中，点P随之运动，请直接写出点P运动的路径长．
3、（1）【发现证明】
如图1，在正方形中，点，分别是，边上的动点，且，求证：．小明发现，当把绕点顺时针旋转90°至，使与重合时能够证明，请你给出证明过程．
（2）【类比引申】
①如图2，在正方形中，如果点，分别是，延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出，，之间的数量关系______（不要求证明）
②如图3，如果点，分别是，延长线上的动点，且，则，，之间的数量关系是______（不要求证明）
（3）【联想拓展】如图1，若正方形的边长为6，，求的长．
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4、如图，在平面直角坐标系中，已知点，，两点分别是，轴正半轴上的动点，且满足．
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(1)写出的度数；
(2)求的值；
(3)若平分，交于点，轴于点，平分，交于点，随着，位置的变化，的值是否会发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由．
5、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝5cm，∠BOC＝120°，求矩形对角线的长．
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-参考答案-
一、单选题
1、∴OM＝CD＝
故选：C．
【点睛】
此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质．注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键．
3．C
【解析】
【分析】
利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后，即可确定正确的选项．
【详解】
解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意；
B．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；
C．对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，符合题意；
D．四条边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
故答案选：C．
【点睛】
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．
2、A
【解析】
【分析】
由正方形1性质和勾股定理得，再由，得，则，即可解决问题．
【详解】
解：设大正方形的边长为，
大正方形的面积是18，
，
，
，
，
，
小正方形的面积，
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理、正方形的性质以及完全平方公式等知识，解题的关键是求出．
3、B
【解析】
【分析】
根据周长求出边长，利用菱形的面积公式即可求解．
【详解】
∵菱形的周长为8，
∴边长=2，
∴菱形的面积=2×2=4，
故选：B．
【点睛】
此题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的面积=底×高是解题的关键．
4、D
【解析】
【分析】
由正方形的性质得出∠EFD=∠BE ( http: / / www.21cnjy.com )F=60°，由折叠的性质得出∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，由直角三角形的性质可得：2（3-x）=x，解方程求出x即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A=90°，
∴∠EFD=∠BEF=60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，
∴∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，
∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°，
∴B'E=2AE，
设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，
∴2（3-x）=x，
解得x=2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．
5、B
【解析】
【分析】
先判断重叠部分的形状，然后设DD'=x，进而表示D'C等相关的线段，最后通过重叠部分的面积列出方程求出x的值即可得到答案．【版权所有：21教育】
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴△ABD和△BCD是等腰直角三角形，
如图，记A'D'与BD的交点为点E，B'D'与BC的交点为F，
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由平移的性质得，△DD'E和△D'CF为等腰直角三角形，
∴重叠部分的四边形D'EBF为平行四边形，
设DD'=x，则D'C=6-x，D'E=x，
∴S D'EBF=D'E D'C=（6-x）x=4，
解得：x=3+或x=3-，
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平移的性质，通过平移的性质得到重叠部分四边形的形状是解题的关键．21教育网
6、C
【解析】
【分析】
由ASA证明△GAM≌△ ( http: / / www.21cnjy.com )GEF（ASA），得出GM=GF，AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，因此DF=8-x，CF=x+2，在Rt△DFC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】
解：设BM=x，
由折叠的性质得：∠E=∠B=90°=∠A，
在△GAM和△GEF中，，
∴△GAM≌△GEF（ASA），
∴GM=GF，
∴AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，
∴DF=8-x，CF=8-（6-x）=x+2，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+2）2=（8-x）2+62，
解得：x=，
∴BM=．
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，折 ( http: / / www.21cnjy.com )叠有性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
7、C
【解析】
略
8、A
【解析】
【分析】
根据勾股定理和直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
点是线段的中点，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，直角三角形斜边边上的中线，解题的关键是正确的理解题意．
9、C
【解析】
【分析】
根据矩形的判定定理判断即可．
【详解】
∵A满足的条件是有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴A合格，不符合题意；
∵B满足的条件是三个角是直角的四边形是矩形，
∴B合格，不符合题意；
∵C满足的条件是有一个角是直角的四边形，
∴无法判定，C不合格，符合题意；
∵D满足的条件是有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴D合格，不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的判定定理，正确理解题意，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
10、C
【解析】
【分析】
根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAE=∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ADF=90°，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠DAF，求得∠AOB=90°，根据三角形的面积公式得到OA=1，由勾股定理即可得到答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，
在△ABE与△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF，
∴∠ABE+∠BAO=∠DAF+∠BAO=90°，
∴∠AOB=90°，
∵△ABE≌△DAF，
∴S△ABE=S△DAF，
∴S△ABE-S△AOE=S△DAF-S△AOE，
即S△ABO=S四边形OEDF=1，
∵OA=1，
∴BO=2，
∴AB=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得△ABE≌△DAF是解题的关键．
二、填空题
1、①③④
【解析】
【分析】
①易证得△OBE≌△OCF（SAS），则可证得结论①正确；
②由OE的最小值是O到BC的距离，即可求得OE的最小值1，根据三角形面积公式即可判断选项②错误；
③利用勾股定理求得≤EF＜2，即可求得选项③正确；
④证明△OBE≌△OCF，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④正确．
【详解】
解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
在△OBE和△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE＝OF，
∵∠BOE＝∠COF，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形；
故①正确；
②∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OF＝BC＝1，
∴△OEF面积的最小值是×1×1＝，
故②错误；
③∵BE＝CF，
∴CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝2，
假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2＋，
则EF＝，
由①得△OEF是等腰直角三角形，
∴OE＝．
∵OB＝，OE的最小值是1，
∴存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2＋．
故③正确；
④由①知：△OBE≌△OCF，
∴S四边形OECF＝S△COE＋S△OCF＝S△COE＋S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD＝×2×2＝1，
故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】
此题属于四边形的综合题．考查了正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．www-2-1-cnjy-com
2、20cm ##20平方厘米
【解析】
【分析】
设AB=x cm，BC=y cm，则根据矩形的周长和对角线长即可列出关于x、y的关系式，解得xy的值，即可解决问题．
【详解】
解：设AB=x cm，BC=y cm，
∵矩形周长为26cm，
∴2x+2y=26，
∴x+y=13，
∵对角线的长是cm，
∴x2+y2=129，
∴（x+y）2-2xy=129，
∴132-2xy=129，
∴xy=20（cm2），
∴矩形面积为20cm2．
故答案为：20cm2．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，完全平方公式，矩形面积的计算，本题中列出关于x、y的关系式并求得xy的值是解题的关键．
3、①②③
【解析】
【分析】
根据正方形的性质和折叠的性质可得，，于是根据“”判定，再由，，为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出，，进而求出的面积．
【详解】
解：由折叠可知，，，，
，
在和中，
，
，故①正确；
，
正方形边长是12，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：
，，，故②正确；
，，故③正确；
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用这些性质解决问题．
4、一半
【解析】
略
5、2
【解析】
【分析】
方法一：根据正方形边长求出面积；方法二根据正方形是特殊的菱形，所以正方形面积等于对角线乘积的一半．
【详解】
解：方法一：四边形是正方形，
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，，
由勾股定理得，，
．
方法二：因为正方形的对角线长为2，
所以面积为：．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质．
三、解答题
1、 (1)150°；
(2)见详解；
(3)；
(4)．
【解析】
【分析】
（1）根据旋转性质得出≌，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根据△ABC为等边三角形，得出∠BAC=60°，可证△APP′为等边三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根据勾股定理逆定理，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可；21*cnjy*com
（2）将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，根据△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根据∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，根据，根据两点之间线段最短得出点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，点P在CB′上即可；21*cnjy*com
（3）将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可证△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根据，可得点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB=2AC=2，根据勾股定理BC=，可求BB′=AB=2，根据∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=即可；
（4）将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可证△ECE′与△BCB′均为等边三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，，得出点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF=，勾股定理BF=，可求AF=AB+BF=2+，再根据勾股定理AB′=即可．
(1)
解：连结PP′，
∵≌，
∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°
∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，
∴△APP′为等边三角形，
,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，
在△P′PC中，PC=5，
，
∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，
∴∠APB=∠AP′C=150°，
故答案为150°；
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(2)
证明：将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，
∵△APB≌△AB′P′，
∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP，
∵，
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，
∴点P在CB′上，
∴过的费马点．
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(3)
解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，
∴△APB≌△AP′B′，
∴AP′=AP，AB′=AB，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，
∵
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，
∵，，，
∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC=
∴BB′=AB=2，
∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，
∴在Rt△CBB′中，B′C=
∴最小=CB′=；
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(4)
解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，
∴△BCE≌△CE′B′，
∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，
∵∠ECE′=∠BCB′=60°，
∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形，
∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，
∵，
∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，
∵B′F⊥AF，
∴BF=，BF=，
∴AF=AB+BF=2+，
∴AB′=，
∴最小=AB′=．
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【点睛】
本题考查图形旋转性质，等边三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质是解题关键．
2、 (1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）由正方形的性质得AB＝AD，∠BAD＝90°，证明∠BAF＝∠ADG，然后由AAS证△AFB≌△DGA即可；
（2）如图2，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J，先证△ABH≌△DAE（ASA），得AH＝DE，再证△DJH≌△DKE（AAS），得DJ＝DK，JH＝EK，则四边形DKFJ是正方形，得FK＝FJ＝DK＝DJ，则DF＝,FJ，进而得出结论；
（3）如图3，取AD的中点Q，连接PQ，延长QP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K，设PT＝b，由（2）得△ABH≌△DAE（ASA），则AH＝DE，再由直角三角形斜边上的中线性质得PD＝PH＝PE，然后由等腰三角形的性质得DH＝2DK＝2b，DE＝2DT，则AH＝DE＝1﹣2b，证出PK＝QK，最后证点P在线段QR上运动，进而由等腰直角三角形的性质得QR＝DQ＝．
(1)
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°
∵DG⊥AE，BF⊥AE
∴∠AFB＝∠DGA＝90°
∵∠FAB+∠DAG＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°
∴∠BAF＝∠ADG
在△AFB和△DGA中
∵
∴△AFB≌△DGA（AAS）．
(2)
证明：如图2，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J
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由题意知∠BAH＝∠ADE＝90°，AB＝AD＝CD
∵BF⊥AE
∴∠AFB＝90°
∵∠DAE+∠EAB＝90°，∠EAB+∠ABH＝90°
∴∠DAE＝∠ABH
在△ABH和△DAE中
∵
∴△ABH≌△DAE（ASA）
∴AH＝DE
∵点E为CD的中点
∴DE＝EC＝ CD
∴AH＝DH
∴DE＝DH
∵DJ⊥BJ，DK⊥AE
∴∠J＝∠DKE＝∠KFJ＝90°
∴四边形DKFJ是矩形
∴∠JDK＝∠ADC＝90°
∴∠JDH＝∠KDE
在△DJH和△DKE中
∵
∴△DJH≌△DKE（AAS）
∴DJ＝DK，JH＝EK
∴四边形DKFJ是正方形
∴FK＝FJ＝DK＝DJ
∴DF＝FJ
∴
∴FH+FE＝FJ﹣HJ+FK+KE＝2FJ＝DF．
(3)
解：如图3，取AD的中点Q，连接PQ，延长QP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K，设PT＝b21·cn·jy·com
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由（2）得△ABH≌△DAE（ASA）
∴AH＝DE
∵∠EDH＝90°，点P为EH的中点
∴PD＝EH＝PH＝PE
∵PK⊥DH，PT⊥DE
∴∠PKD＝∠KDT＝∠PTD＝90°
∴四边形PTDK是矩形
∴PT＝DK＝b，PK＝DT
∵PH＝PD＝PE，PK⊥DH，PT⊥DE
∴PT是△DEH的中位线
∴DH＝2DK＝2b，DE＝2DT
∴AH＝DE＝1﹣2b
∴PK＝ DE＝﹣b，QK＝DQ﹣DK＝﹣b
∴PK＝QK
∵∠PKQ＝90°
∴△PKQ是等腰直角三角形
∴∠KQP＝45°
∴点P在线段QR上运动，△DQR是等腰直角三角形
∴QR＝DQ＝
∴点P的运动轨迹的长为．
【点睛】
本题考查了三角形全等，正方形的判定与性质，直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质等知识．解题的关键在于对知识的综合灵活运用．2·1·c·n·j·y
3、（1）见解析；（2）①不成立，结论：；②，见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）证明，可得出，则结论得证；
（2）①将绕点顺时针旋转至根据可证明，可得，则结论得证；②将绕点逆时针旋转至，证明，可得出，则结论得证；21·世纪*教育网
（3）求出，设，则，，在中，得出关于的方程，解出则可得解．
【详解】
（1）证明：把绕点顺时针旋转至，如图1，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，，
，
，，三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）①不成立，结论：；
证明：如图2，将绕点顺时针旋转至，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，，，
，
，
，
；
②如图3，将绕点逆时针旋转至，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，
，
，
，
，
，
，
．
即．
故答案为：．
（3）解：由（1）可知，
( http: / / www.21cnjy.com / )
正方形的边长为6，
，
．
，
，
设，则，，
在中，
，
，
解得：．
，
．
【点睛】
本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．
4、 (1)；
(2)；
(3)的值为4，不变，见解析
【解析】
【分析】
（1）过点A作轴于，轴于，由点，得到OA是的角平分线，由此得到；
（2）由（1）得四边形为正方形，证明△BAF≌△CAE，得到BF=CE，根据求出结果；
（3）过点A作轴于，轴于，延长交于，则四边形为矩形，由推出AB=AP，证明，得到，证明是等腰直角三角形，得到AK=PK，由此得到，依据求出结果．
(1)
解：过点A作轴于，轴于，如图1所示：
点，
，
是的角平分线，
，
；
( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)
解：由（1）得：四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
轴，轴，
，
在和中，
，
，
，
；
(3)
解：随着，位置的变化，的值为4，不变，理由如下：
过点A作轴于，轴于，延长交于，如图2所示：
则四边形为矩形，
，，
由（2）得：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
轴，，
是等腰直角三角形，
，
，
平分，是等腰直角三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了全 ( http: / / www.21cnjy.com )等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．21cnjy.com
5、10cm
【解析】
【分析】
根据矩形性质得出∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，推出OA＝OB，求出等边三角形AOB，求出OA＝OB＝AB＝5，即可得出答案．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB＝5cm，
∴OA＝OB＝AB＝5cm，
∴AC＝2AO＝10cm，BD＝AC＝10cm．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OA、OB的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．2-1-c-n-j-y
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形专项攻克
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相 ( http: / / www.21cnjy.com )应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。21世纪教育网版权所有
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列命题中是真命题的选项是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．三条边都相等的四边形是菱形
2、如图，2002年8月在北京召开的 ( http: / / www.21cnjy.com )国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为a、b，且a2＋b2＝ab＋10，那么小正方形的面积为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2 B．3 C．4 D．5
3、若菱形的周长为8，高为2，则菱形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
4、如图，在正方形ABCD中，AB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B′恰好落在AD边上，则BE的长度为（ ）【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B． C． D．2
5、如图，将边长为6个单位的正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD沿其对角线BD剪开，再把△ABD沿着DC方向平移，得到△A′B′D′，当两个三角形重叠部分的面积为4个平方单位时，它移动的距离DD′等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2 B． C． D．
6、如图，在矩形纸片ABCD中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B=6，BC=8，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，ME与AD相交于点G，CE与AD相交于点F，且AG=GE，则BM的长度是（ ）21教育名师原创作品
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A． B．4 C． D．5
7、能够判断一个四边形是矩形的条件是（ ）
A．对角线相等 B．对角线垂直
C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等
8、已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是线段的中点，则线段的长为（ ）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．3 C．4 D．5
9、陈师傅应客户要求加工4个 ( http: / / www.21cnjy.com )长为4cm、宽为3cm的矩形零件．在交付客户之前，陈师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，下图中有可能不合格的零件是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
10、如图，在正方形ABCD中，点 ( http: / / www.21cnjy.com )E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C． D．2
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、已知：如图，正方形ABCD中，AB= ( http: / / www.21cnjy.com )2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE=CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：
①△OEF是等腰直角三角形；
②△OEF面积的最小值是；
③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是；
④四边形OECF的面积是1．
所有正确结论的序号是_________________________
( http: / / www.21cnjy.com / )
2、若矩形ABCD的周长为26cm，对角线的长是cm，则它的面积是_________．
3、如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下3个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③S△BEF＝．在以上3个结论中，正确的有______．（填序号）
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4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．
符号语言：
Rt△ABC中，
∵∠ABC＝90°，OA＝OC，
∴BO＝AC．
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5、一个正方形的对角线长为2，则其面积为_____．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．
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(1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．
(2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．
(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．
(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值．
2、在正方形ABCD中，点E是CD边上任意一点．连接AE，过点B作BF⊥AE于F．交AD于H．
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(1)如图1，过点D作DG⊥AE于G，求证：△AFB≌△DGA；
(2)如图2，点E为CD的中点，连接DF，求证：FH+FE＝DF；
(3)如图3，AB＝1，连接EH，点P为EH的中点，在点E从点D运动到点C的过程中，点P随之运动，请直接写出点P运动的路径长．
3、（1）【发现证明】
如图1，在正方形中，点，分别是，边上的动点，且，求证：．小明发现，当把绕点顺时针旋转90°至，使与重合时能够证明，请你给出证明过程．
（2）【类比引申】
①如图2，在正方形中，如果点，分别是，延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出，，之间的数量关系______（不要求证明）
②如图3，如果点，分别是，延长线上的动点，且，则，，之间的数量关系是______（不要求证明）
（3）【联想拓展】如图1，若正方形的边长为6，，求的长．
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4、如图，在平面直角坐标系中，已知点，，两点分别是，轴正半轴上的动点，且满足．
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(1)写出的度数；
(2)求的值；
(3)若平分，交于点，轴于点，平分，交于点，随着，位置的变化，的值是否会发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由．
5、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝5cm，∠BOC＝120°，求矩形对角线的长．
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-参考答案-
一、单选题
1、∴OM＝CD＝
故选：C．
【点睛】
此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质．注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键．
3．C
【解析】
【分析】
利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后，即可确定正确的选项．
【详解】
解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意；
B．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；
C．对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，符合题意；
D．四条边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
故答案选：C．
【点睛】
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．
2、A
【解析】
【分析】
由正方形1性质和勾股定理得，再由，得，则，即可解决问题．
【详解】
解：设大正方形的边长为，
大正方形的面积是18，
，
，
，
，
，
小正方形的面积，
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理、正方形的性质以及完全平方公式等知识，解题的关键是求出．
3、B
【解析】
【分析】
根据周长求出边长，利用菱形的面积公式即可求解．
【详解】
∵菱形的周长为8，
∴边长=2，
∴菱形的面积=2×2=4，
故选：B．
【点睛】
此题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的面积=底×高是解题的关键．
4、D
【解析】
【分析】
由正方形的性质得出∠EFD=∠BE ( http: / / www.21cnjy.com )F=60°，由折叠的性质得出∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，由直角三角形的性质可得：2（3-x）=x，解方程求出x即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A=90°，
∴∠EFD=∠BEF=60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，
∴∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，
∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°，
∴B'E=2AE，
设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，
∴2（3-x）=x，
解得x=2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．
5、B
【解析】
【分析】
先判断重叠部分的形状，然后设DD'=x，进而表示D'C等相关的线段，最后通过重叠部分的面积列出方程求出x的值即可得到答案．【版权所有：21教育】
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴△ABD和△BCD是等腰直角三角形，
如图，记A'D'与BD的交点为点E，B'D'与BC的交点为F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由平移的性质得，△DD'E和△D'CF为等腰直角三角形，
∴重叠部分的四边形D'EBF为平行四边形，
设DD'=x，则D'C=6-x，D'E=x，
∴S D'EBF=D'E D'C=（6-x）x=4，
解得：x=3+或x=3-，
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平移的性质，通过平移的性质得到重叠部分四边形的形状是解题的关键．21教育网
6、C
【解析】
【分析】
由ASA证明△GAM≌△ ( http: / / www.21cnjy.com )GEF（ASA），得出GM=GF，AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，因此DF=8-x，CF=x+2，在Rt△DFC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】
解：设BM=x，
由折叠的性质得：∠E=∠B=90°=∠A，
在△GAM和△GEF中，，
∴△GAM≌△GEF（ASA），
∴GM=GF，
∴AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，
∴DF=8-x，CF=8-（6-x）=x+2，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+2）2=（8-x）2+62，
解得：x=，
∴BM=．
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，折 ( http: / / www.21cnjy.com )叠有性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
7、C
【解析】
略
8、A
【解析】
【分析】
根据勾股定理和直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
点是线段的中点，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，直角三角形斜边边上的中线，解题的关键是正确的理解题意．
9、C
【解析】
【分析】
根据矩形的判定定理判断即可．
【详解】
∵A满足的条件是有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴A合格，不符合题意；
∵B满足的条件是三个角是直角的四边形是矩形，
∴B合格，不符合题意；
∵C满足的条件是有一个角是直角的四边形，
∴无法判定，C不合格，符合题意；
∵D满足的条件是有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴D合格，不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的判定定理，正确理解题意，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
10、C
【解析】
【分析】
根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAE=∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ADF=90°，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠DAF，求得∠AOB=90°，根据三角形的面积公式得到OA=1，由勾股定理即可得到答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，
在△ABE与△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF，
∴∠ABE+∠BAO=∠DAF+∠BAO=90°，
∴∠AOB=90°，
∵△ABE≌△DAF，
∴S△ABE=S△DAF，
∴S△ABE-S△AOE=S△DAF-S△AOE，
即S△ABO=S四边形OEDF=1，
∵OA=1，
∴BO=2，
∴AB=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得△ABE≌△DAF是解题的关键．
二、填空题
1、①③④
【解析】
【分析】
①易证得△OBE≌△OCF（SAS），则可证得结论①正确；
②由OE的最小值是O到BC的距离，即可求得OE的最小值1，根据三角形面积公式即可判断选项②错误；
③利用勾股定理求得≤EF＜2，即可求得选项③正确；
④证明△OBE≌△OCF，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④正确．
【详解】
解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
在△OBE和△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE＝OF，
∵∠BOE＝∠COF，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形；
故①正确；
②∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OF＝BC＝1，
∴△OEF面积的最小值是×1×1＝，
故②错误；
③∵BE＝CF，
∴CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝2，
假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2＋，
则EF＝，
由①得△OEF是等腰直角三角形，
∴OE＝．
∵OB＝，OE的最小值是1，
∴存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2＋．
故③正确；
④由①知：△OBE≌△OCF，
∴S四边形OECF＝S△COE＋S△OCF＝S△COE＋S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD＝×2×2＝1，
故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】
此题属于四边形的综合题．考查了正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．www-2-1-cnjy-com
2、20cm ##20平方厘米
【解析】
【分析】
设AB=x cm，BC=y cm，则根据矩形的周长和对角线长即可列出关于x、y的关系式，解得xy的值，即可解决问题．
【详解】
解：设AB=x cm，BC=y cm，
∵矩形周长为26cm，
∴2x+2y=26，
∴x+y=13，
∵对角线的长是cm，
∴x2+y2=129，
∴（x+y）2-2xy=129，
∴132-2xy=129，
∴xy=20（cm2），
∴矩形面积为20cm2．
故答案为：20cm2．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，完全平方公式，矩形面积的计算，本题中列出关于x、y的关系式并求得xy的值是解题的关键．
3、①②③
【解析】
【分析】
根据正方形的性质和折叠的性质可得，，于是根据“”判定，再由，，为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出，，进而求出的面积．
【详解】
解：由折叠可知，，，，
，
在和中，
，
，故①正确；
，
正方形边长是12，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：
，，，故②正确；
，，故③正确；
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用这些性质解决问题．
4、一半
【解析】
略
5、2
【解析】
【分析】
方法一：根据正方形边长求出面积；方法二根据正方形是特殊的菱形，所以正方形面积等于对角线乘积的一半．
【详解】
解：方法一：四边形是正方形，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，
由勾股定理得，，
．
方法二：因为正方形的对角线长为2，
所以面积为：．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质．
三、解答题
1、 (1)150°；
(2)见详解；
(3)；
(4)．
【解析】
【分析】
（1）根据旋转性质得出≌，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根据△ABC为等边三角形，得出∠BAC=60°，可证△APP′为等边三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根据勾股定理逆定理，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可；21*cnjy*com
（2）将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，根据△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根据∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，根据，根据两点之间线段最短得出点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，点P在CB′上即可；21*cnjy*com
（3）将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可证△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根据，可得点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB=2AC=2，根据勾股定理BC=，可求BB′=AB=2，根据∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=即可；
（4）将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可证△ECE′与△BCB′均为等边三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，，得出点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF=，勾股定理BF=，可求AF=AB+BF=2+，再根据勾股定理AB′=即可．
(1)
解：连结PP′，
∵≌，
∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°
∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，
∴△APP′为等边三角形，
,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，
在△P′PC中，PC=5，
，
∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，
∴∠APB=∠AP′C=150°，
故答案为150°；
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(2)
证明：将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，
∵△APB≌△AB′P′，
∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP，
∵，
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，
∴点P在CB′上，
∴过的费马点．
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(3)
解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，
∴△APB≌△AP′B′，
∴AP′=AP，AB′=AB，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，
∵
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，
∵，，，
∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC=
∴BB′=AB=2，
∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，
∴在Rt△CBB′中，B′C=
∴最小=CB′=；
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(4)
解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，
∴△BCE≌△CE′B′，
∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，
∵∠ECE′=∠BCB′=60°，
∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形，
∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，
∵，
∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，
∵B′F⊥AF，
∴BF=，BF=，
∴AF=AB+BF=2+，
∴AB′=，
∴最小=AB′=．
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【点睛】
本题考查图形旋转性质，等边三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质是解题关键．
2、 (1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）由正方形的性质得AB＝AD，∠BAD＝90°，证明∠BAF＝∠ADG，然后由AAS证△AFB≌△DGA即可；
（2）如图2，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J，先证△ABH≌△DAE（ASA），得AH＝DE，再证△DJH≌△DKE（AAS），得DJ＝DK，JH＝EK，则四边形DKFJ是正方形，得FK＝FJ＝DK＝DJ，则DF＝,FJ，进而得出结论；
（3）如图3，取AD的中点Q，连接PQ，延长QP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K，设PT＝b，由（2）得△ABH≌△DAE（ASA），则AH＝DE，再由直角三角形斜边上的中线性质得PD＝PH＝PE，然后由等腰三角形的性质得DH＝2DK＝2b，DE＝2DT，则AH＝DE＝1﹣2b，证出PK＝QK，最后证点P在线段QR上运动，进而由等腰直角三角形的性质得QR＝DQ＝．
(1)
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°
∵DG⊥AE，BF⊥AE
∴∠AFB＝∠DGA＝90°
∵∠FAB+∠DAG＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°
∴∠BAF＝∠ADG
在△AFB和△DGA中
∵
∴△AFB≌△DGA（AAS）．
(2)
证明：如图2，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J
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由题意知∠BAH＝∠ADE＝90°，AB＝AD＝CD
∵BF⊥AE
∴∠AFB＝90°
∵∠DAE+∠EAB＝90°，∠EAB+∠ABH＝90°
∴∠DAE＝∠ABH
在△ABH和△DAE中
∵
∴△ABH≌△DAE（ASA）
∴AH＝DE
∵点E为CD的中点
∴DE＝EC＝ CD
∴AH＝DH
∴DE＝DH
∵DJ⊥BJ，DK⊥AE
∴∠J＝∠DKE＝∠KFJ＝90°
∴四边形DKFJ是矩形
∴∠JDK＝∠ADC＝90°
∴∠JDH＝∠KDE
在△DJH和△DKE中
∵
∴△DJH≌△DKE（AAS）
∴DJ＝DK，JH＝EK
∴四边形DKFJ是正方形
∴FK＝FJ＝DK＝DJ
∴DF＝FJ
∴
∴FH+FE＝FJ﹣HJ+FK+KE＝2FJ＝DF．
(3)
解：如图3，取AD的中点Q，连接PQ，延长QP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K，设PT＝b21·cn·jy·com
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由（2）得△ABH≌△DAE（ASA）
∴AH＝DE
∵∠EDH＝90°，点P为EH的中点
∴PD＝EH＝PH＝PE
∵PK⊥DH，PT⊥DE
∴∠PKD＝∠KDT＝∠PTD＝90°
∴四边形PTDK是矩形
∴PT＝DK＝b，PK＝DT
∵PH＝PD＝PE，PK⊥DH，PT⊥DE
∴PT是△DEH的中位线
∴DH＝2DK＝2b，DE＝2DT
∴AH＝DE＝1﹣2b
∴PK＝ DE＝﹣b，QK＝DQ﹣DK＝﹣b
∴PK＝QK
∵∠PKQ＝90°
∴△PKQ是等腰直角三角形
∴∠KQP＝45°
∴点P在线段QR上运动，△DQR是等腰直角三角形
∴QR＝DQ＝
∴点P的运动轨迹的长为．
【点睛】
本题考查了三角形全等，正方形的判定与性质，直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质等知识．解题的关键在于对知识的综合灵活运用．2·1·c·n·j·y
3、（1）见解析；（2）①不成立，结论：；②，见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）证明，可得出，则结论得证；
（2）①将绕点顺时针旋转至根据可证明，可得，则结论得证；②将绕点逆时针旋转至，证明，可得出，则结论得证；21·世纪*教育网
（3）求出，设，则，，在中，得出关于的方程，解出则可得解．
【详解】
（1）证明：把绕点顺时针旋转至，如图1，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，，
，
，，三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）①不成立，结论：；
证明：如图2，将绕点顺时针旋转至，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，，，
，
，
，
；
②如图3，将绕点逆时针旋转至，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，
，
，
，
，
，
，
．
即．
故答案为：．
（3）解：由（1）可知，
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正方形的边长为6，
，
．
，
，
设，则，，
在中，
，
，
解得：．
，
．
【点睛】
本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．
4、 (1)；
(2)；
(3)的值为4，不变，见解析
【解析】
【分析】
（1）过点A作轴于，轴于，由点，得到OA是的角平分线，由此得到；
（2）由（1）得四边形为正方形，证明△BAF≌△CAE，得到BF=CE，根据求出结果；
（3）过点A作轴于，轴于，延长交于，则四边形为矩形，由推出AB=AP，证明，得到，证明是等腰直角三角形，得到AK=PK，由此得到，依据求出结果．
(1)
解：过点A作轴于，轴于，如图1所示：
点，
，
是的角平分线，
，
；
( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)
解：由（1）得：四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
轴，轴，
，
在和中，
，
，
，
；
(3)
解：随着，位置的变化，的值为4，不变，理由如下：
过点A作轴于，轴于，延长交于，如图2所示：
则四边形为矩形，
，，
由（2）得：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
轴，，
是等腰直角三角形，
，
，
平分，是等腰直角三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了全 ( http: / / www.21cnjy.com )等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．21cnjy.com
5、10cm
【解析】
【分析】
根据矩形性质得出∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，推出OA＝OB，求出等边三角形AOB，求出OA＝OB＝AB＝5，即可得出答案．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB＝5cm，
∴OA＝OB＝AB＝5cm，
∴AC＝2AO＝10cm，BD＝AC＝10cm．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OA、OB的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．2-1-c-n-j-y
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