第十章 三角形的有关证明同步测试试题(含解析)

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鲁教版（五四制）七年级数学下册第十章三角形的有关证明同步测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相 ( http: / / www.21cnjy.com )应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。21cnjy.com
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，在△ABC和△ ( http: / / www.21cnjy.com )ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．∠ADC＝∠AEB B． C．DE＝GE D．CD＝BE
2、在中，，线段，，分别是的高，中线，角平分线，则点，，的位置关系为（ ）21*cnjy*com
A．点总在点，之间 B．点总在点，之间
C．点总在点，之间 D．三者的位置关系不确定
3、如图，．添加一个条件后可得，则不能添加的条件是（ ）
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A． B． C． D．
4、等腰三角形的两条边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．10 B．13 C．17 D．13或17
5、已知：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，∠1＝∠2．图中全等的三角形共有（ ）21教育名师原创作品
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A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
6、如图，已知BC＝BD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD的是（　　）
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A．AC＝AD B．∠ABC＝∠ABD C．∠C＝∠D＝90° D．∠CAB＝∠DAB
7、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则AB=（ ）
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A．2 B． C． D．3
8、若实数m，n满足等式，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（ ）21*cnjy*com
A．9 B．12 C．15 D．12或15
9、下列命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．有一个角是60°的三角形是等边三角形
C．有两条边和一个角对应相等的两个三角形一定全等
D．到一条线段的两端距离相等的点，必在这条线段的垂直平分线上
10、如图，在用直尺和圆规作一个角等于已知角中，判定△O'C'D'≌△OCD 的依据是（　　）
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A．SAS B．SSS C．AAS D．A SA
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在中，BE平分，于点E，的面积为2，则的面积是______．
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2、已知一个等腰三角形一腰与另一腰上高夹角为20°，则这个等腰三角形的顶角为 _____°．
3、如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，垂足为点E，交BC于点D，连结AD．若∠C＝α，则∠ADB＝_____．（用含α的代数式表示）
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4、如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD=___．
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5、如图，在△ABC中，AB=5，A ( http: / / www.21cnjy.com )C=7．MN为BC边上的垂直平分线，若点D在直线MN上，连接AD，BD，则△ABD周长的最小值为_____．
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，，的两边分别交直线AB，AC于点E，F．
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(1)问题发现：如图①，当点E，F分别在线段AB，AC上，且，时，请直接写出线段DE与DF的数量关系：______；
(2)类比探究：如图②，当点E落在线段AB上，点F落在射线AC上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图②说明理由：
(3)拓展应用：如图③，当点E落在射线BA上，点F落在射线AC上时，若，，请求出AB．
2、如图，在中，，D为延长线上一点，且交于点F．
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(1)求证：是等腰三角形，
(2)若，F为中点，求的长．
3、如图，平面直角坐标系中有点A(-1，0)和y轴上一动点B(0，a)，其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角ABC，设点C的坐标为(c，d)．
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(1)当a=2时，则C点的坐标为 ；
(2)动点B在运动的过程中，试判断c＋d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
4、如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°．
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(1)求∠BAC的度数；
(2)AE平分∠BAC交BC于E，AD⊥BC于D，求∠EAD的度数．
5、如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上．
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(1)求证：△AEC≌△BED．
(2)若∠1＝40°，求∠BDE的度数．
-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
由题意知，可得，有，根据角度的数量关系可证明，进而得出结果．
【详解】
解：∵，，
∴
在和中
∴
∴
故A、D正确；
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故B正确；
∴选项C错误
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形全等，等腰三角形的性质，平行的判定等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．单选可用排除法做题．
2、C
【解析】
【分析】
延长至点，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形的高、中线、角平分线的定义可得∠CAD>∠CAF>∠CAH，即可完成解答．
【详解】
假设，如图所示，延长至点，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
∵∠CAH+∠BAE=∠BAC
∴∠BAC>2∠CAH
∵AF平分∠BAC
∴
∴
∵AB∴∠B>∠ACB
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°
∴∠B+∠ACB+∠BAC=180°>2∠ACB+∠BAC
∴
∴∠CAF<90° ∠ACB
∵AD⊥BC
∴∠CAD=90° ∠ACB>∠CAF
即∠CAD>∠CAF>∠CAH
∴点总在点，之间，
故选：C．
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【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的中线、高、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
3、B
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定定理依次分析解答．
【详解】
解：由题意知，，BC=CB，
当时，可依据SAS证明△ABC≌△DCB，故选项A不符合题意；
当时，不可证明△ABC≌△DCB，故选项B符合题意；
当时，可依据AAS证明△ABC≌△DCB，故选项C不符合题意；
当时，可依据ASA证明△ABC≌△DCB，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定定理，熟记三角形全等的判定定理并应用是解题的关键．
4、C
【解析】
【分析】
因为等腰三角形的两边为3和7，但已知中没有点明底边和腰，所以有两种情况，需要分类讨论，还要注意利用三角形三边关系考虑各情况能否构成三角形．
【详解】
解：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；
当3为腰时，其它两边为3和7，
∵3+3=6＜7，
所以不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有17．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
5、A
【解析】
【分析】
三角形全等的判定定理有：SSS，SAS，ASA，AAS．做题时要从已知入手由易到难，不重不漏．
【详解】
解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADO＝∠AEO＝90°；
∵∠1＝∠2，AO＝AO，
∴△ADO≌△AEO（AAS）．
∴AD＝AE，
∵∠DAC＝∠EAB，∠ADO＝∠AEO，
∴△ADC≌△AEB（ASA）．
∴AB＝AC，
∵∠1＝∠2，AO＝AO，
∴△AOB≌△AOC（SAS）．
∴∠B＝∠C，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴DB＝EC；
∵∠BOD＝∠COE，
∴△BOD≌△COE（AAS）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
6、D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定定理依次判断即可．
【详解】
解：在与中，，，
A、根据边边边可得两个三角形全等；
B、根据边角边可得两个三角形全等；
C、根据直角三角形的特殊判定方法（直角边斜边）可得两个三角形全等；
D、不能判定两个三角形全等；
故选：D．
【点睛】
题目主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握各个判定定理是解题关键．
7、A
【解析】
【分析】
根据直角三角形角所对的直角边是斜边的一半可直接求解．
【详解】
解：∵在中，，，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查含角直角三角形的性质，熟练掌握角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．
8、C
【解析】
【分析】
根据绝对值和算术平方根的非负性求得m、n值，再根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系解答即可．
【详解】
解：∵实数m，n满足等式，
∴m－3=0，n－6=0，
∴m=3，n=6，
∵m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，
∴当n=6为腰长时，m=3为底边长， 3+6＞6满足三角形的三边关系，故△ABC的周长是3+6+6=15；
当n=6为底边长时，m=3为腰长，但3+3=6，不满足三角形三边关系，不构成三角形，舍去，
综上，△ABC的周长是15，
故选：C．
【点睛】
本题考查绝对值和算术平方根的非负 ( http: / / www.21cnjy.com )性、等腰三角形的性质、三角形的三边关系，熟练掌握绝对值和算术平方根的非负性，利用分类讨论思想和三角形的三边关系求解是解答的关键．
9、D
【解析】
【分析】
利用平行线的性质、等边三角形的判定方法、全等三角形的判定方法及垂直平分线的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．21·cn·jy·com
【详解】
解：A、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故原命题错误，不符合题意；
C、有两边和夹角对应相等的两个三角形一定全等，故原命题错误，不符合题意；
D、到一条线段的两端距离相等的点，必在这条线段的垂直平分线上，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、等边三角形的判定方法、全等三角形的判定方法及垂直平分线的判定方法，难度不大．
10、B
【解析】
【分析】
利用基本作图得到OC=OD=O′C′=O′D′，CD=C′D′，然后根据全等三角形的判定方法进行判断．
【详解】
解：由作法得OC=OD=O′C′=O′D′，CD=C′D′，‘
根据“SSS”可判断△O′C′D′≌△OCD．
故选：B．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题 ( http: / / www.21cnjy.com )目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．21教育网
二、填空题
1、4
【解析】
【分析】
延长AE交BC于D，由已知条件得到，，根据全等三角形的判定和性质可得，利用等底同高找出面积相等的三角形即可得出结论．【出处：21教育名师】
【详解】
解：延长AE交BC于D，
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∵BE平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
2、70或110
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行分析，画出图形分两种情况讨论即可解决问题．
【详解】
解：①∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，
∴∠BAC=∠BDC-∠ABD=90°-20°=70°；
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②∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，
∴∠BAC=∠ABD+∠ADB=20°+90°=110°．
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故答案为：70或110．
【点睛】
此题主要考查三角形内角和定理及三角形外角的性质的综合运用，熟练掌握这两个定理是解决问题的关键．
3、2α
【解析】
【分析】
根据线段的垂直平分线上一点到线段的两个端点距离相等可知AD＝CD，根据等边对等角可知∠CAD＝∠C＝α，再利用三角形外角的性质可求解．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠CAD＝∠C＝α，
∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝2α．
故答案为：2α．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，以及外角的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键．
4、2
【解析】
【分析】
过P点作PE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得到PE=PD，再利用平行线的性质得到∠PCE=∠AOB=30°，接着根据含30度的直角三角形三边的关系得到PE=PC=2，从而得到PD的长．
【详解】
解：过P点作PE⊥OB于E，如图，
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∵∠AOP=∠BOP=15°，
∴OP平分∠AOB，∠AOB=30°，
而PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD，
∵PC∥OA，
∴∠PCE=∠AOB=30°，
∴PE=PC=×4=2，
∴PD=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度的直角三角形的性质和平行线的性质．2-1-c-n-j-y
5、12
【解析】
【分析】
MN与AC的交点为D，AD+BD的值最小，即△ABD的周长最小值为AB+AC的长．
【详解】
解：MN与AC的交点为D，
∵MN是BC边上的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴AD+BD=AD+CD=AC，
此时AD+BD的值最小，
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∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AC最小，
∵AB=5，AC=7，
∴AB+AC=12，
∴△ABD的周长最小值为12，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的的方法，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
三、解答题
1、 (1)
(2)结论成立，理由见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）如图所示：连接AD，根据等边三角形三线合一的性质及角平分线的性质即可得；
（2）过点D分别作于G点，于H点，根据等边三角形的性质及中点的性质，利用全等三角形的判定及性质得出，，再由各角之间的数量关系得出，利用全等三角形的判定和性质即可证明；www.21-cn-jy.com
（3）过D作交AB于M点，根据平行线及等边三角形的性质可得，结合图形，利用各角之间的数量关系可得，根据全等三角形的判定和性质得出，，设，则，结合图形，利用线段间的数量关系即可得出结果．21世纪教育网版权所有
(1)
（1）；
如图所示：连接AD，
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∵为等边三角形，且点D是BC的中点，
∴AD平分，
∵，，
∴，
故答案为：；
(2)
结论成立．．
理由：如图所示，过点D分别作于G点，于H点，
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∵是等边三角形，
∴，
∵于G点，于H，
∴，，
∵点D是BC的中点，
∴，
在与中，
，
∴
∴，
∴，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
(3)
如图，过D作交AB于M点，
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∵，是等边三角形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
题目主要考查等边三角形三线合一的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．【来源：21cnj*y.co*m】
2、 (1)证明过程见详解．
(2)8
【解析】
【分析】
（1）通过已知条件证明AFD和D相等就能证明是等腰三角形；
（2）因为AC=AB，F是AB的中点所以AF=AD=5，再根据勾股定理求出EF，过A点作AGDE，再通过证明三角形全等得出DF=2EF．【版权所有：21教育】
(1)
证明：
∴∠B=∠C
又
∴∠B+∠BFE=90°
∠C+∠D=90°
∴∠BFE=∠D
∠BFE=∠AFD
∴∠D=∠AFD
∴是等腰三角形
(2)
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解：过A作AG⊥DE，交DE于点G．
∴∠AGF=∠BEF
，，F为中点
∴BF=AF=5
又在RtBEF中，BE=3,
∴EF=＝＝4
在AGF和BEF中
∴AGF≌BEF
∴EF=GF
AG⊥DE，AD=AF
∴GF=DG
∴DF=2EF
∴DF=8
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质以及勾股定理．解题的关键是熟悉全等三角形的判定以及等腰三角形的性质．
3、 (1)(-2，3)
(2)不变，1
【解析】
【分析】
（1）过点C作CE⊥y轴于E，根据AAS证明△AEC≌△BOA，可得CE=OA=2，AE=BO=1，即可得出点C的坐标；
（2）过点C作CE⊥y轴 ( http: / / www.21cnjy.com )于E，根据AAS证明△AEC≌△BOA，可得CE=OA=a，AE=BO=1，从而OE=a=1，即可得出点C的坐标为（-a，a+1），据此可得c+d的值不变．
(1)
解：如图1中，过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEB=∠BOA．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=BA，∠ABC=90°，
∴∠BCE＋∠CBE=90°=∠ABO＋∠CBE，
∴∠BCE=∠ABO，
在△BCE和△ABO中，
，
∴△BCE≌△ABO（AAS），
∵A（－1，0），B（0，2），
∴AO=BE=1，OB=EC=2，
∴OE=1＋2=3，
∴C（－2，3），
故答案为：（－2，3）；
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(2)
解：动点A在运动的过程中，c＋d的值不变．
如图2，过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEB=∠BOA，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=BA，∠ABC=90°，
∴∠BCE＋∠CBE=90°=∠ABO＋∠CBE，
∴∠BCE=∠ABO，
在△BCE和△ABO中，
，
∴△BCE≌△ABO（AAS），
∵A（－1，0），B（0，a），
∴BE=AO=1，CE=BO=a，
∴OE=1＋a，
∴C（－a，1＋a），
又∵点C的坐标为（c，d），
∴c＋d=－a＋1＋a=1，即c＋d的值不变.
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【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质和判定，余角的性质，坐标与图形，以及等腰直角三角形性质等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．2·1·c·n·j·y
4、 (1)60°
(2)20°
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理计算求解即可；
（2）由题意知，由求出的值，AE平分∠BAC可知，对计算求解即可．
(1)
解：∵
∴
∴的值为．
(2)
解：∵
∴
∴
∵AE平分∠BAC
∴
∴
∴的值为．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质．解题的关键在于明确角度的数量关系．
5、 (1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）要证明，根据题目中的条件，先证明即可，由，即可得到，然后写出全等的条件，即可证明结论成立；21·世纪*教育网
（2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质，可以求得的度数．
(1)
解：证明：，
，
，
在和中，
；
(2)
解：，
，，
，
，
，
，
，
即是．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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