华师大版九年级上册 22.2一元二次方程的解法（第1课时）课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
第 22章 一元二次方程
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
第1课时　直接开平方法和因式分解法
　
学 习 目 标
1
2
会用直接开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程.(重点）
灵活运用因式分解法解简单的一元二次方程. (难点）
3
了解转化、降次思想在解方程中的运用.
(2)因式分解有哪些方法？
3. 说出方程(x+3)(x－5)=0的解.
2. (1)什么是因式分解？
①提公因式法
②公式法
平方差公式
完全平方公式
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解.
复习旧知
1. 平方根的概念
如果一个数x平方等于a. 那么这个数x叫做a的平方根.即x2 =a, 　x叫做a的平方根.
新课导入
试一试
解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
(1) x2=4；
(2) x2=0；
(3) x2+1=0.
解:根据平方根的意义，得x1=2, x2=-2.
解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.
解:根据平方根的意义，得x2=-1,
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
问题引入
知识讲解
　　一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得 ，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
1
直接开平方法的概念
（2）当p=0 时，方程x2 = p有两个相等的实数根 =0；
（3）当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程x2 = p无实数根.
如果我们把x2=4， x2=0， x2+1=0变形为x2 = p 会是什么情形？
一般的，对于方程 x2 = p,
（1）当p>0 时，根据平方根的意义，方程x2 = p有两个不等
的实数根 ， ；
(1) x2=25；
(2) x2－900=0.
解：
（1） x2=25，
直接开平方，得
（2）移项，得
x2=900.
直接开平方，得
x=±30，
∴x1=30, x2=－30.
利用直接开平方法解下列方程:
例1
在解方程例1(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到:
（x+2)2=5 ，
解得
对照例1中解方程的方法，你认为怎样解方程（x+2）2=25？
于是，方程（x+2）2=25的两个根为
2
用直接开平方法解一元二次方程
上面的解法中 ，由方程 得到②，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.
直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：
先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念直接求解.
分析：第1小题中只要将（x＋2）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.
解：（1）∵x+2是7的平方根，
∴x+2=
解下列方程：
⑴ （x＋2）2= 7 ；
例2
分析：同第（1）小题一样地解.
（2）（2x+3）2 = 16；
∴ x1=，x2=- .
解：∵2x+3是16的平方根，
∴ 2x+3 =±4.
即2x+3 =4或2x+3 =-4
∴ x1= ，
x2=
(3) 2（ 1－3x ）2－18 = 0.
分析：第3小题先将－18移到方程的右边，再两边都除以2，再同第（1）小题一样地去解，然后两边都除以-3即可.
解：移项，得2（ 1－3x ）2=18，
两边都除以2，得（ 1－3x ）2=9.
∵ 1－3x是9的平方根，
∴ 1－3x =±3.
即1－3x =3或1－3x =-3.
1.采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为x2=p或（mx＋n）2= p（p≥0）的形式的方程，可得方程的根为x= 或mx＋n=
2.利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p为非负常数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正、负”两种情况.
注 意
方程 小亮是这么解的：
把方程两边同除以 ，得
所以
小亮把方程两边同除以x，而x有可能等于零，
所以小亮的解法不对 .
怎么少了一个根？
小亮的解法对吗？
为什么？
3
因式分解法解一元二次方程
因式分解
如果a · b = 0，
那么 a = 0或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
或
降次，化为两个一次方程
（解两个一次方程，得出原方程的根）
这种解法是不是很简单？
x2 -7x =0 ①
x(x-7) =0 ②
x =0
x-7=0
通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
1.因式分解法的概念
2.因式分解法的基本步骤
1.移项：将方程的右边化为0;
2.化积：将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积;
3.转化：方程转化为两个一元一次方程;
4.求解：解两个一元一次方程，写出方程两个解.
简记口诀：
右化零 左分解
两因式 各求解
例3
用因式分解法解下列方程
因式分解，得
x2－2x+1 = 0.
( x－1 )( x－1 ) = 0.
所以x1=x2=1.
解：化为一般式为
从而
解：因式分解，得
( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0.
有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
所以
从而
或
解：把方程的左边进行因式分解，得
，
，
几种常见的用因式分解法求解的方程
（1）形如x2 +bx ＝ 0 的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为
x（x+b）＝ 0，则x ＝ 0 或x+b ＝ 0，即x1= 0， x2 ＝ -b.
（2）形如x2 - a2 ＝ 0 的一元二次方程，将左边用平方差公式因式分解为（x+a）（x-a）＝ 0，则x+a ＝ 0 或x-a ＝ 0，即x1 ＝ -a， x2 ＝ a.
（3）形如x2 ±2ax+ a2 ＝ 0 的一元二次方程，将左边用完全平方公式因式分解为（x± a ）2＝ 0，则① x+a ＝ 0，即x1 ＝ x2 ＝ -a. ② x-a ＝ 0，即x1 ＝ x2 ＝ a.
（4）形如x2 +（a+b）x+ab ＝ 0 的一元二次方程，将其左边因式分解， 则方程化为（x+a）（x+b）＝ 0，所以x+a ＝ 0 或x+b ＝ 0，即x1 ＝ -a， x2 ＝ -b.
知识讲解
随堂训练
1．下列方程可用直接开平方法求解的是( )
A． x2＝4 B．4 x2－4x －3＝0
C． x2－3x ＝0 D． x2－2x －1＝9
2.对形如(x＋m)2＝n的方程，下列说法正确的是( )
A．直接开平方得x＝－m±
B．直接开平方得x＝－n ±
C．当n≥0时，直接开平方得x＝－m ±
D．当n≥0时，直接开平方得x＝－n ±
C
A
3.下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是( )
A．(x－2)(x＋5)＝2 B．(x－2)2＝ x 2－4
C． x 2＋5 x －2＝0 D．12(2－ x)2＝3
4．一元二次方程x(x －3)＋3－ x ＝0的根x是( )
A．1 B．3 C．1和3 D．1和2
A
C
随堂训练
　　
解：方程两边都除以3，得(x＋1)2＝ ，
开平方，得x＋1＝± ，即x＋1= 或x＋1
∴ x1＝－ ，x2＝－ . 　　

5.解下列方程
(1)3(x＋1)2＝；
解：开平方，得3x＋2＝ ± 5，即 3x＋2＝5或3x＋2＝－5，
∴ x1＝1，x2＝－ .
(2)(3x＋2)2＝25；
解：移项，得 (x＋1)2＝4，
开平方，得x＋1= ± 2 ，即x＋1=2或x＋1=-2，
∴ x1＝1，x2＝－ .
(3)(x＋1)2－4＝0;
解：移项，得(2－x)2＝9，
开平方，得2－x= ± 3，即 2－x=3或2－x=-3，　
∴ x1＝-1，x2＝5.
(4)(2－x)2－9＝0.
（5）9（x+1）2＝（2x-5）2 ；
分析：移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法.
解：整理，得［3（x+1）］2-（2x-5）2 ＝ 0.
因式分解，得［3（x+1）+（2x-5）］［3（x+1）-（2x-5）］＝ 0.
可得3（x+1）+（2x-5）＝ 0 或3（x+1）-（2x-5）＝ 0，
即5x-2 ＝ 0 或x+8 ＝ 0，
∴ x1 ＝ ， x2 ＝ -8.
随堂训练
解：正确的解答过程为：
移项，得4(2x－1)2＝25(x＋1)2.
直接开平方，得2(2x－1)＝±5(x＋1)．
所以x1＝－7，x2＝－.
②
＝|a|
6.用直接开平方法解一元二次方程4(2x－1)2－25(x＋1)2＝0.
小明的解答如下：
移项，得4(2x－1)2＝25(x＋1)2.①
直接开平方，得2(2x－1)＝5(x＋1)．②
小明的解答有无错误？若有，错在第 步，原因是 ，写出正确的解答过程．
直接开平方法
概念
利用平方根的定义求方程的根的方法
步骤
关键要把方程化成x2=p(p ≥0)或（x+n)2=p（p ≥0)
基本思路
课堂小结
一元二次方程
两个一元一次方程
降次
直接开平方法
因式分解法
概念
步骤
简记口诀：
右化零 左分解
两因式 各求解
如果a ·b=0，那么a=0或b=0
原理
将方程左边因式分解，右边=0
因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c);
a2 ±2ab+b2=(a ±b)2；
a2 -b2=(a +b)(a -b)
课堂小结
教科书第25页练习题.
布 置 作 业
教科书第23页练习题.