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绝密★启用前
专题05三角形的外角
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC交BC边于点D，若∠C＝26°，则∠ADB的度数是（ ）
A．61° B．64° C．71° D．109°
2．（2022·陕西咸阳·八年级期末）如图，∠1的大小为（ ）
A．90° B．100° C．105° D．110°
3．（2022·湖北恩施·八年级期末）如图，△ABC中，，外角，则的大小是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
4．（2022·辽宁大连·八年级期末）如图，已知∠ACB＝50°，∠CAD＝65°，则∠ADB的度数是（ ）
A．105° B．65° C．115° D．125°
5．（2022·湖南株洲·八年级期末）如图，在中，是延长线上一点，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·陕西·西北大学附中八年级期末）如下图，等于（ ）
A．90° B．120° C．180° D．360°
7．（2022·湖南邵阳·八年级期末）如图，是的外角，若，，则（ ）
A．60° B．65° C．50° D．55°
8．（2022·云南昭通·八年级期末）如图，在中，D为线段延长线上一点，，，则的度数为（ ）
A．85° B．45° C．25° D．125°
9．（2022·福建厦门·八年级期末）如图，在中，点D，E分别是边AB，BC上的点，连接AE和DE，则下列是的外角的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·湖北武汉·八年级期末）如图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·浙江·八年级专题练习）小枣一笔画成了如图所示的图形，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
12．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，直线，点A在直线a上，点C、D在直线b上，且AB⊥BC，BD平分∠ABC，若∠1＝32°，则∠2的度数是（ ）
A．13° B．15° C．14° D．16°
13．（2022·广东广州·八年级期末）如图，，∠A=45°，∠C=∠E，则∠C的度数为（ ）
A．45° B．22.5° C．67.5° D．30°
14．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于F，若∠A=35°，，则∠ACB的度数为（ ）
A．85° B．75° C．70° D．65°
15．（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）如图，一根细铁丝恰好经过含30°角的三角尺的直角顶点，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．50° C．60° D．70°
16．（2022·湖南湘西·八年级期末）在中，，，则，的度数依次是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
17．（2022·湖北随州·八年级期末）如图，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图，ABCD，点E在AB上，∠AEC＝60°，∠EFD＝130°．则∠CEF的度数是（ ）
A．60° B．70° C．75° D．80°
19．（2022·辽宁阜新·八年级期末）下列命题中是假命题的是（ ）
A．内错角相等，两条直线平行 B．三角形的三个内角中至少有一个角不大于60°
C．三角形的一个外角等于两个内角之和 D．两条直线平行，同旁内角互补
20．（2022·内蒙古鄂尔多斯·八年级期末）将一副三角板如图放置，若//，则的度数为（ ）
A．85° B．75° C．45° D．15°
21．（2022·河南驻马店·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝26°，则∠CDE的度数为（ ）
A．45° B．64° C．71° D．81°
22．（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中∠A＝40°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，点C恰好落在BE上的点G处，此时∠BDC＝82°，则原三角形的∠B的度数为（ ）
A．57° B．60° C．63° D．70°
23．（2022·云南文山·八年级期末）下列命题中，真命题是（ ）
A．1的平方根是±1 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．三角形的外角大于任何一个内角 D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
24．（2022·全国·八年级专题练习）如图，，点MN分别在，上运动（不与点O重合），ME平分，ME的反向延长线与的平分线交于点F，在M，N的运动过程中，的度数（ ）
A．变大 B．变小 C．等于 D．等于
25．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC边上的一点，E点在AC边上，∠ADE=∠AED，若∠BAD=28°，则∠CDE=（ ）
A． B． C． D．
26．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD与CE交于O点，如果设∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC的度数是（ ）
A．45°+n° B．90°﹣n° C．90°+n° D．180°﹣n°
27．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在中，，是的外角的平分线，平分，与的反向延长线相交于点，则的度数是（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
28．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在三角形ABC中，，，D是BC上一点，将三角形ABD沿AD翻折后得到三角形AED，边AE交射线BC于点F，若，则（ ）
A．120° B．135° C．110° D．150°
29．（2022·全国·八年级课时练习）如图，，，，，则的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
第II卷（非选择题）
二、填空题
30．（2022·北京平谷·八年级期末）如图，已知，那么的度数为 ____
31．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图，△ABC中，∠A＝35°，∠C＝45°，则这个三角形的外角∠ABD的度数为________．
32．（2022·浙江衢州·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACD＝125°，∠B＝40°，则∠A的度数是 _____．
33．（2022·江西景德镇·八年级期末）如图，在中，延长至D，延长至E，如果，则______．
34．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，点D在线段AB的延长线上，∠BAC＝26°，∠CBD＝115°，则∠C的度数是______．
35．（2022·陕西咸阳·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC=75°，∠A=40°，∠ACD是△ABC的外角，若∠ABC与∠ACD的平分线交于点P，则∠BPC的大小为_____．
36．（2022·云南文山·八年级期末）如图，在中，已知，则的度数为________．
37．（2022·陕西咸阳·八年级期末）如图，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACM的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠ADP＝_____．
38．（2022·宁夏石嘴山·八年级期末）如图，中，D在BC的延长线上，过D作于F，交AC于E．已知，，则____________．
39．（2022·四川省渠县中学八年级期中）如图，点F，C 在射线AN 上，点B，E在射线AM上，∠MEF与∠NFE的角平分线交于点G，∠MBC与∠NCB的角平分线交于点P．若∠G＝67°，那么∠P＝______°．
三、解答题
40．（2022·全国·八年级专题练习）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．
运用以上模型结论解决问题：
（1）如图（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？
分析：图中A1A3DA4是“A”型图，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝ ；
（2）如图（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度数．
41．（2022·广东·塘厦初中八年级期末）如图，在中，AD是BC边上的高，CE平分，若，，求的度数．
42．（2022·吉林延边·八年级期末）如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD交于点F，，，．求和的度数．
43．（2022·新疆吐鲁番·八年级期末）如图，已知是的角平分线，是的边上的高，与交于点，，，求和的度数．
44．（2022·河南·永城市教育体育局教研室八年级期末）如图，在中，∠B=25°，∠BAC=31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E．求：（1）∠ACD的度数；（2）∠AEC的度数．
45．（2022·陕西安康·八年级期末）如图，CD是△ABC的角平分线，点E是AC边上的一点，.
（1）求证：；
（2），，求∠DEC的度数.
46．（2022·陕西咸阳·八年级期末）如图，B，F，E，C在同一条直线上，∠A＝∠D．
(1)若∠A＝78°，∠C＝47°，求∠BFD的度数．
(2)若∠AEB+∠BFD＝180°，求证：AB∥CD．
47．（2022·陕西咸阳·八年级期末）如图，在△ABC中，∠1=∠2=36°，∠3=∠4，求∠DAC的度数．
48．（2022·安徽阜阳·八年级期末）如图，写出与、、的关系，并给出证明．
49．（2022·全国·八年级专题练习）如图，BD是ABC的角平分线，H是CB延长线上一点，过点H作DB的平行线，交AB于点N，交AC于点G，F是BD延长线上一点，连接FG并延长，交AB于点M．
(1)当，时，直接写出：______°，______°．
(2)若，求证：．
50．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，于D，点E为BC边上一点，连接AE．把沿着AE对折后，点B的对应点刚好落在AC边上的点F处．
(1)求∠FEC的度数；
(2)求∠DAE的度数．
51．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线．
(1)若△ABC的面积为80，BD＝10，求AF的长；
(2)若∠BED＝40°，∠BAD＝25°，求∠BAF的大小．
52．（2022·河南驻马店·八年级期末）（1）如图1，求证：．
（2）如图2，、的二等分线（即角平分线）BF、CF交于点F．已知，，求∠BFC的度数；
（3）如图3，、分别为、的2021等分线（i＝1，2，3……，2019，2020）它们的交点从上到下依次为、、……．已知，，则______度．
53．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，、的角平分线、相交于点，
(1)如果，那么的度数是多少，试说明理由并完成填空；
解：（1）结论：______度．
说理如下：因为、平分和（已知），
所以，（角平分线的意义）．
因为，（ ）
（完成以下说理过程）
(2)如图2，，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出度数；
(3)如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示的度数（直接写出答案）
54．（2022·河南郑州·八年级期末）解答
(1)问题发现．
如图1，，，则______．
由此发现：∠1与∠C、∠A的数量关系是______，用语言叙述为：三角形一个外角等于______．
(2)结论运用
如图2，中，，沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若，求∠BDC的度数．
55．（2022·辽宁阜新·八年级期末）某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．
(1)如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，若∠A＝66°，则∠BPC＝ °；
(2)如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，则∠BEC＝ （用α表示∠BEC）；
(3)如图3，BQ平分外角∠CBM，CQ平分外角∠BCN．试确定∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．
56．（2022·全国·八年级专题练习）如图，CE是的外角的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，时，求的度数．
57．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在中，，点为的边上一点，过点作交于点，过点作交的延长线于点．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
58．（2022·全国·八年级专题练习）已知在△ABC中，内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线交于点P，内角∠ABC的平分线与内角∠ACB的平分线交于点Q．
(1)如图1． 若，求∠BQC的度数；
(2)如图2．若，点P、C、R在同一直线上，试猜想：∠BQC、∠P、∠R 这三个角的数量关系 ，并说明理由．
试卷第1页，共3页
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC交BC边于点D，若∠C＝26°，则∠ADB的度数是（ ）
A．61° B．64° C．71° D．109°
【答案】C
【解析】
【分析】
由∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，可得出∠DAC＝45°，在中，根据三角形外角的性质可得出∠ADB＝∠DAC+∠C，代入即可得出结果．
【详解】
解：∵∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝45°，
∵∠C＝26°，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝45°+26°＝71°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形的角平分线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握这些性质是解此题的关键．
2．（2022·陕西咸阳·八年级期末）如图，∠1的大小为（ ）
A．90° B．100° C．105° D．110°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形外角的性质计算即可．
【详解】
解：由三角形外角的性质可知：∠1=150°-45°=105°．
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质，解题关键是熟知三角形的外角等于不相邻的两个内角和．
3．（2022·湖北恩施·八年级期末）如图，△ABC中，，外角，则的大小是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】B
【解析】
【分析】
由∠BAC，∠ACD的度数，利用三角形的外角等于两不相邻的内角和即可求出∠B的度数．
【详解】
解：∵∠BAC=60°，∠ACD=110°，
∴∠B=∠ACD-∠BAC=50°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的外角，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键．
4．（2022·辽宁大连·八年级期末）如图，已知∠ACB＝50°，∠CAD＝65°，则∠ADB的度数是（ ）
A．105° B．65° C．115° D．125°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和求解即可．
【详解】
解：∵∠ACB＝50°，∠CAD＝65°．
∴．
故选：C
【点睛】
本题考查三角形外角性质，解题的关键是理解：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．
5．（2022·湖南株洲·八年级期末）如图，在中，是延长线上一点，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，经计算即可得到答案．
【详解】
解：∵是延长线上一点，
∴，
∵，，
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质，从而完成求解．
6．（2022·陕西·西北大学附中八年级期末）如下图，等于（ ）
A．90° B．120° C．180° D．360°
【答案】C
【解析】
【分析】
延长BE交AC于点G，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得，，再根据三角形内角和为180°即可求出．
【详解】
延长BE，交AC于点G，如图，
∵，，
∴
故选 C
【点睛】
本题考查了三角形的角，熟练掌握三角形的外角的性质与内角和定理是解题的关键．
7．（2022·湖南邵阳·八年级期末）如图，是的外角，若，，则（ ）
A．60° B．65° C．50° D．55°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形外角的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵是的外角，，
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质．
8．（2022·云南昭通·八年级期末）如图，在中，D为线段延长线上一点，，，则的度数为（ ）
A．85° B．45° C．25° D．125°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】
解：∵∠DAC=∠B+∠C，
∴∠C=∠DAC ∠B=60° 35°=25°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，理解和应用三角形外角的性质是关键．
9．（2022·福建厦门·八年级期末）如图，在中，点D，E分别是边AB，BC上的点，连接AE和DE，则下列是的外角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形外角的定义即三角形一个内角的一边与另一边的反向延长线所夹的角，可判断求解．
【详解】
解：由题意得，∠ADE，∠DEC是△BDE的外角．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查三角形的外角，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
10．（2022·湖北武汉·八年级期末）如图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，即可求出∠1的度数．
【详解】
解：如图所示，
∵∠1是△ABC的一个外角
∴∠1＝∠B＋∠C＝30°+40°＝70°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
11．（2022·浙江·八年级专题练习）小枣一笔画成了如图所示的图形，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理与内角与外角的关系求出，由此得出，进而求出，即可求出∠D+∠E
【详解】
解：如图，
∵∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠BGF＝∠C+∠AFC＝∠A+∠B＝100°，
∵∠C＝30°，
∴∠AFC＝100°﹣30°＝70°，
∴∠EFD＝∠AFC＝70°，
∵∠E+∠D+∠EFD＝180°，
∴∠D+∠E＝180°﹣70°＝110°，
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理与内角与外角的关系，知道两内角之和为不相邻的外角是解题关键．
12．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，直线，点A在直线a上，点C、D在直线b上，且AB⊥BC，BD平分∠ABC，若∠1＝32°，则∠2的度数是（ ）
A．13° B．15° C．14° D．16°
【答案】A
【解析】
【分析】
延长CB交直线a于点E，根据平行线及三角形的内角和性质可求出∠ECF＝∠AEC＝58°，再根据三角形外角性质可求出∠2的度数．
【详解】
解：延长CB交直线a于点E，如图，
∵AB⊥BC，∠1＝32°，
∴∠ABC＝90°，
∴∠AEC＝90°﹣∠1＝58°，
∵ab，
∴∠ECF＝∠AEC＝58°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝45°，
∵∠ECF是△BCD的外角，
∴∠2＝∠ECF﹣∠CBD＝13°．
故选：A．
【点睛】
本题考查平行线及三角形外角的性质，解题时注意结合图形寻找已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向．
13．（2022·广东广州·八年级期末）如图，，∠A=45°，∠C=∠E，则∠C的度数为（ ）
A．45° B．22.5° C．67.5° D．30°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可以得出∠DOE的度数，又根据三角形的外角定理和∠C=∠E，即可得出正确选项．
【详解】
∵，∠A=45°
∴∠DOE=∠A=45°
∵∠C=∠E，∠C+∠E=∠DOE
∴
故选B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，灵活运用性质是本题的关键．
14．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于F，若∠A=35°，，则∠ACB的度数为（ ）
A．85° B．75° C．70° D．65°
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据垂直的定义可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】
解：，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂直、三角形的外角性质、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．
15．（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）如图，一根细铁丝恰好经过含30°角的三角尺的直角顶点，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．50° C．60° D．70°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形的外角性质得出∠2＝∠A＋∠1，代入求出即可．
【详解】
解：如图所示：∠1＝20°，，
根据外角性质可得∠2＝∠A＋∠1＝30°＋20°＝50°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，能根据三角形的外角性质得出∠2＝∠A＋∠1是解此题的关键．
16．（2022·湖南湘西·八年级期末）在中，，，则，的度数依次是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和等于180°可求解∠ABC的度数；利用三角形外角的性质可求解∠ABE的度数．
【详解】
解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝54.97°，
∴根据三角形内角和定理可得∠ABC＝180° ∠C ∠A＝180° 90° 54.97°＝35.03°，
根据三角形外角性质可得∠ABE＝∠A＋∠C＝54.97°＋90°＝144.97°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，掌握三角形的内角和定理及外角的性质是解题的关键．
17．（2022·湖北随州·八年级期末）如图，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先证明可判断A，结合平行线的性质可判断B，再利用三角形的外角的性质可判断C，结合邻补角的定义可判断D，从而可得答案．
【详解】
解：∵，
∴ 故A不符合题意；
∵，
故B不符合题意；
故C符合题意；
故D不符合题意；
故选C
【点睛】
本题考查的是平行线的判定与性质，三角形的外角的性质，证明是解本题的关键．
18．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图，ABCD，点E在AB上，∠AEC＝60°，∠EFD＝130°．则∠CEF的度数是（ ）
A．60° B．70° C．75° D．80°
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用平行线的性质求出∠C，再利用三角形外角性质求出∠CEF即可．
【详解】
解：∵ABCD，
∴∠C=∠AEC=60°，
∵∠C+∠CEF=∠EFD＝130°，
∴∠CEF=∠EFD-∠C=130°-60°=70°，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
19．（2022·辽宁阜新·八年级期末）下列命题中是假命题的是（ ）
A．内错角相等，两条直线平行 B．三角形的三个内角中至少有一个角不大于60°
C．三角形的一个外角等于两个内角之和 D．两条直线平行，同旁内角互补
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的判定定理和性质定理、三角形内角和定理、三角形的外角性质判断即可．
【详解】
解：A、内错角相等，两条直线平行，本选项说法是真命题，不符合题意；
B、三角形的三个内角中至少有一个角不大于60°，本选项说法是真命题，不符合题意；
C、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，故本选项说法是假命题，符合题意；
D、两条直线平行，同旁内角互补，本选项说法是真命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
20．（2022·内蒙古鄂尔多斯·八年级期末）将一副三角板如图放置，若//，则的度数为（ ）
A．85° B．75° C．45° D．15°
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据两直线平行，求出的度数，再根据三角板，求出的度数，有三角板得知，进而根据三角形外角和定理求得的度数．
【详解】
（两直线平行，同旁内角互补）
又
（三角形外角和定理）
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的性质，三角形外角和定理，解决本题的关键是性质和定理的合理应用．
21．（2022·河南驻马店·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝26°，则∠CDE的度数为（ ）
A．45° B．64° C．71° D．81°
【答案】C
【解析】
【分析】
由折叠的性质可求得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，在△ACD中，利用外角可求得∠BDC，则可求得答案．
【详解】
解：由折叠可得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=45°，
∵∠A=26°，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=26°+45°=71°，
∴∠CDE=71°，
故选：C．
【点睛】
考查三角形内角和定理以及折叠的性质，掌握三角形的外角定理是解题的关键．
22．（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中∠A＝40°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，点C恰好落在BE上的点G处，此时∠BDC＝82°，则原三角形的∠B的度数为（ ）
A．57° B．60° C．63° D．70°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可知：∠BDG＝∠BDC＝82°，∠ABE＝∠A'BE＝∠A'BG=∠A'BC，根据三角形外角性质可得：∠DBA＝∠BDC﹣∠A＝82°﹣40°＝42°，进一步可求出∠ABE＝∠A'BE＝21°，∠ABC＝3×21°＝63°，即原三角形的∠B=63°．
【详解】
解：由折叠性质可得，∠BDG＝∠BDC＝82°，∠ABE＝∠A'BE＝∠A'BG=∠A'BC，
∵∠BDC是△BDA的外角，
∴∠DBA＝∠BDC﹣∠A＝82°﹣40°＝42°，
∴∠ABE＝∠A'BE＝21°，
∴∠ABC＝3×21°＝63°，即原三角形的∠B=63°，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查的是图形的折叠及三角形外角性质，能够根据折叠的性质发现∠BDG＝∠BDC＝82°，∠ABE＝∠A'BE＝∠A'BG=∠A'BC是解答此题的关键．
23．（2022·云南文山·八年级期末）下列命题中，真命题是（ ）
A．1的平方根是±1 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．三角形的外角大于任何一个内角 D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
【答案】A
【解析】
【分析】
真命题是指正确的命题，根据题目依次分析出正确的命题即可得出答案．
【详解】
A．1的平方根是±1，原命题为真命题，符合题意；
B．两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，故原命题是假命题，不符合题意；
C．三角形的外角大于任何一个内角是假命题，当三角形为钝角三角形时，外角小于内角，不符合题意；
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原命题是假命题，不符合题意．
故选A．
【点睛】
本题借真假命题考查了平方根，平行线的性质和判定，三角形的外角定义，理解并运用概念是本题的关键．
24．（2022·全国·八年级专题练习）如图，，点MN分别在，上运动（不与点O重合），ME平分，ME的反向延长线与的平分线交于点F，在M，N的运动过程中，的度数（ ）
A．变大 B．变小 C．等于 D．等于
【答案】D
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质可知，，根据根据外角的定义：即，，可得的度数．
【详解】
解：∵ME平分，NF平分，
∴，，
∵根据外角的定义：，
∴，
∵，
∴，
又∵根据外角的定义：，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，熟练应用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解答本题的关键．
25．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC边上的一点，E点在AC边上，∠ADE=∠AED，若∠BAD=28°，则∠CDE=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+28°，∠AED=∠C+∠EDC，再根据∠B=∠C，∠ADE=∠AED即可得出结论．
【详解】
解：∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+28°，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC，
∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∴∠C+∠EDC=∠ADC-∠EDC=∠B+28°-∠EDC，
解得∠EDC=14°．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
26．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD与CE交于O点，如果设∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC的度数是（ ）
A．45°+n° B．90°﹣n° C．90°+n° D．180°﹣n°
【答案】D
【解析】
【分析】
由垂直的定义得到∠ADB＝∠BDC＝90，再根据三角形内角和定理得∠ABD＝180﹣∠ADB﹣∠A＝90﹣n，然后根据三角形的外角性质有∠BOC＝∠EBD+∠BEO，计算即可得到∠BOC的度数．
【详解】
解：∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，
∴∠ADB＝∠BDC＝90，
又∵∠BAC＝n，
∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝180﹣90﹣n＝90﹣n，
∴∠BOC＝∠EBD+∠BEO＝90°﹣n+90°＝180﹣n．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质,垂直的定义以及三角形内角和定理,掌握以上性质定理是解答本题的关键.
27．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在中，，是的外角的平分线，平分，与的反向延长线相交于点，则的度数是（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质，得，，根据三角形内角和、三角形外角的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵是的外角的平分线，平分，
∴，
∵
∴
∵，
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了角平分线、三角形内角和、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、角平分线的性质，从而完成求解．
28．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在三角形ABC中，，，D是BC上一点，将三角形ABD沿AD翻折后得到三角形AED，边AE交射线BC于点F，若，则（ ）
A．120° B．135° C．110° D．150°
【答案】A
【解析】
【分析】
由得到∠FDE＝∠C＝60°，由折叠的性质知∠DEF＝∠B＝30°，得到∠DFE＝180°－∠FDE－∠DEF＝90°，由外角的性质得∠ADC＋60°＝∠ADE＝∠BDA，∠ADB＋∠ADC＝180°，进一步求得∠ADC＝60°，进一步求得∠BDA．
【详解】
解：∵，
∴ ∠FDE＝∠C＝60°，
∵三角形ABD沿AD翻折后得到三角形AED，
∴∠DEF＝∠B＝30°，
∴∠DFE＝180°－∠FDE－∠DEF＝90°，
∵∠ADC＋60°＝∠ADE＝∠BDA，∠ADB＋∠ADC＝180°，
∴∠ADC＋60°＋∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠BDA＝∠ADC＋60°＝120°,
故选：A
【点睛】
此题考查了折叠的性质，平行线性质，外角的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
29．（2022·全国·八年级课时练习）如图，，，，，则的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】C
【解析】
【分析】
如图所示，延长交延长线于点，首先根据三角形外角定理求出，然后根据平行线的性质即可得出答案．
【详解】
如图所示，延长交延长线于点，
，
，
，
，
，
，即，
，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查平行线的性质以及三角形外角定理，解题的关键是熟记平行线的性质及三角形外角定理，并能构造辅助线求解．
第II卷（非选择题）
二、填空题
30．（2022·北京平谷·八年级期末）如图，已知，那么的度数为 ____
【答案】80°
【解析】
【分析】
根据多边形外角和的性质求解即可．
【详解】
解：根据多边形外角和的性质可得，
又∵
∴．
故答案为：80°．
【点睛】
本题主要考查了多边形外角和的性质，掌握多边形外角为成为解答本题的关键．
31．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图，△ABC中，∠A＝35°，∠C＝45°，则这个三角形的外角∠ABD的度数为________．
【答案】##80度
【解析】
【分析】
根据三角形的外角性质即可得．
【详解】
解：，＋，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
32．（2022·浙江衢州·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACD＝125°，∠B＝40°，则∠A的度数是 _____．
【答案】85°##85度
【解析】
【分析】
直接利用三角形的外角性质进行求解即可．
【详解】
解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠ACD=125°，∠B=40°，
∴∠A=∠ACD-∠B=85°，
故答案为：85°．
【点睛】
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质并灵活运用．
33．（2022·江西景德镇·八年级期末）如图，在中，延长至D，延长至E，如果，则______．
【答案】##50度
【解析】
【分析】
根据，可得∠2=∠ABC+50°，再由三角形外角的性质可得∠2=∠ABC+∠A，即可求解．
【详解】
解：∵，∠1+∠ABC=180°，
∴∠2-∠ABC=50°，即∠2=∠ABC+50°，
∵∠2=∠ABC+∠A，
∴∠A=50°．
故答案为：50°
【点睛】
本题主要考查了三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
34．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，点D在线段AB的延长线上，∠BAC＝26°，∠CBD＝115°，则∠C的度数是______．
【答案】##89度
【解析】
【分析】
根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】
解：∵点D在线段AB的延长线上，∠BAC＝26°，∠CBD＝115°，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形外角的定义与性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
35．（2022·陕西咸阳·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC=75°，∠A=40°，∠ACD是△ABC的外角，若∠ABC与∠ACD的平分线交于点P，则∠BPC的大小为_____．
【答案】25°##25度
【解析】
【分析】
由三角形的外角性质可得∠ACD=115°，再由角平分线的定义可得∠PBC=32.5°，∠PCD=57.5°，再利用三角形的外角性质即可求∠BPC的度数．
【详解】
解：∵∠ABC=75°，∠A=40°，∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠ABD+∠A=115°，
∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点P，
∴∠PBC=∠ABC=32.5°，∠PCD=∠ACD=57.5°，
∵∠PCD是△BCP的外角，
∴∠BPC=∠PCD-∠PBC=25°．
故答案为：25°．
【点睛】
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质并灵活运用．
36．（2022·云南文山·八年级期末）如图，在中，已知，则的度数为________．
【答案】
【解析】
【分析】
运用三角形的外角定理，即可得出答案．
【详解】
∵
∴
故此题答案为：118°．
【点睛】
本题考查了三角形的外角定理，灵活运用三角形的外角定理，找出角度之间的等量关系是本题的关键．
37．（2022·陕西咸阳·八年级期末）如图，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACM的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠ADP＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由角平分线的定义可求得∠ABC=40°，∠ACM=100°，从而可求得∠ACB=80°，利用三角形的内角和可求得∠A的度数，再利用三角形的外角性质可求∠ADP的度数．
【详解】
解：∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACM的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，
∴∠ACB=180°-∠ACM=80°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°，
∵∠ADP是△ABD的外角，
∴∠ADP=∠ABP+∠A=80°，
故答案为：80°．
【点睛】
本题主要考查三角形的内角和，三角形的外角的性质，解答的关键是熟记三角形的内角和定理并灵活运用．
38．（2022·宁夏石嘴山·八年级期末）如图，中，D在BC的延长线上，过D作于F，交AC于E．已知，，则____________．
【答案】40°##40度
【解析】
【分析】
先根据三角形外角的性质求出∠B的度数，然后根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】
解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为∶40°．
【点睛】
本题主要考查三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和内角和定理以及三角形外角的性质是解题的关键．
39．（2022·四川省渠县中学八年级期中）如图，点F，C 在射线AN 上，点B，E在射线AM上，∠MEF与∠NFE的角平分线交于点G，∠MBC与∠NCB的角平分线交于点P．若∠G＝67°，那么∠P＝______°．
【答案】67
【解析】
【分析】
利用角平分线可知，再利用三角形外角性质可知：，，利用三角形内角和定理可知，即可得：，同理可得．
【详解】
解：∵∠MEF与∠NFE的角平分线交于点G，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵∠MBC与∠NCB的角平分线交于点P．
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：67
【点睛】
本题考查角平分线，三角形外角性质，三角形内角和定理．解题的关键是得到，．
三、解答题
40．（2022·全国·八年级专题练习）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．
运用以上模型结论解决问题：
（1）如图（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？
分析：图中A1A3DA4是“A”型图，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝ ；
（2）如图（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度数．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据三角形外角的性质把5个角转化到一个三角形中可得答案；
（2）根据三角形外角的性质把7个角转化到一个三角形中可得答案．
【详解】
解：（1）如图（4），
由三角形外角的性质可得，∠1＝∠A1+∠A4，
∵∠A2DA5＝∠1+∠A3，
∴∠A2DA5＝∠A1+∠A4+∠A3，
∵∠A2DA5+∠A2+∠A5＝180°，
∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝180°，
故答案为：180°；
（2）如图（5），
由（1）得，∠1＝∠A1+∠A4+∠A5，∠2＝∠A2+∠A3+∠A6，
∵∠1+∠2+∠A7＝180°，
∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7＝180°．
【点睛】
本题考查多边形的内角和与三角形外角的性质，能够根据三角形外角的性质进行转化是解题关键．
41．（2022·广东·塘厦初中八年级期末）如图，在中，AD是BC边上的高，CE平分，若，，求的度数．
【答案】85°
【解析】
【分析】
由高的定义可得出∠ADB＝∠ADC＝90，在△ACD中利用三角形内角和定理可求出∠ACB的度数，结合CE平分∠ACB可求出∠ECB的度数．由三角形外角的性质可求出∠AEC的度数，
【详解】
解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90．
在△ACD中，∠ACB＝180°﹣∠ADC﹣∠CAD＝180°﹣90°﹣20°＝70°．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB＝∠ACB＝35°．
∵∠AEC是△BEC的外角，，
∴∠AEC＝∠B+∠ECB＝50°+35°＝85°．
答：∠AEC的度数是85°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角的性质，利用三角形内角和定理及角平分线的性质，求出∠ECB的度数是解题的关键．
42．（2022·吉林延边·八年级期末）如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD交于点F，，，．求和的度数．
【答案】87°，40°
【解析】
【分析】
根据三角形外角的性质可得，，代入计算即可求出，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了三角形内角和和外角的性质，解题关键是准确识图，理清角之间的关系，准确进行计算．
43．（2022·新疆吐鲁番·八年级期末）如图，已知是的角平分线，是的边上的高，与交于点，，，求和的度数．
【答案】，．
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的两锐角互余可得，然后根据三角形的外角性质即可得．
【详解】
解：是的角平分线，且，
，
是的边上的高，且，
，
由三角形的外角性质得：．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、直角三角形的两锐角互余、三角形的外角性质，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．
44．（2022·河南·永城市教育体育局教研室八年级期末）如图，在中，∠B=25°，∠BAC=31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E．求：（1）∠ACD的度数；（2）∠AEC的度数．
【答案】（1）∠ACD=56°；（2）∠AEC=118°
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的外角的性质：，即可得到答案．
（2）求出∠ECD，∠D，利用三角形的外角的性质求解即可．
【详解】
解：（1）∵∠ACD=∠B+∠BAC，∠B=25°，∠BAC=31°，
∴∠ACD=25°+31°=56°．
（2）∵AD⊥BD，
∴∠D=90°，
∵∠ACD=56°，
CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACD=28°，
∴∠AEC=∠ECD+∠D=28°+90°=118°．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
45．（2022·陕西安康·八年级期末）如图，CD是△ABC的角平分线，点E是AC边上的一点，.
（1）求证：；
（2），，求∠DEC的度数.
【答案】（1）证明见解析；（2）110°.
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得，从而求出，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）根据三角形的外角性质得，可求出，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【详解】
（1）∵CD是△ABC的角平分线，
∴
∵
∴
∴（内错角相等，两直线平行）；
（2）∵∠BDC是△ADC的外角
∴
∴
∴
∴.
故答案为（1）证明见解析；（2）110°.
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，三角形的外角性质，准确识别图形是解题的关键．
46．（2022·陕西咸阳·八年级期末）如图，B，F，E，C在同一条直线上，∠A＝∠D．
(1)若∠A＝78°，∠C＝47°，求∠BFD的度数．
(2)若∠AEB+∠BFD＝180°，求证：AB∥CD．
【答案】(1)125°
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等量关系和三角形外角的性质可求∠BFD的度数．
（2）根据平角的定义和等量关系可得∠AEB=∠CFD，再根据三角形内角和定理和平行线的判定即可求解．
（1）解：∵∠A=78°，∠A=∠D，∴∠D=78°，∵∠C=47°，∴∠BFD=∠D+∠C=78°+47°=125°；
（2）证明：∵∠AEB+∠BFD=180°，∠CFD+∠BFD=180°，∴∠AEB=∠CFD，∵∠A=∠D，∴∠B=∠C，∴AB∥CD．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，关键是熟悉内错角相等，两直线平行的知识点．
47．（2022·陕西咸阳·八年级期末）如图，在△ABC中，∠1=∠2=36°，∠3=∠4，求∠DAC的度数．
【答案】36°
【解析】
【分析】
根据三角形外角性质，即可得到∠3的度数，再根据三角形内角和定理，即可得到∠DAC的度数．
【详解】
解：∵∠1=∠2=36°，
∴∠3=∠4=∠1+∠2=72°，
在△ACD中，∠DAC=180°-（∠3+∠4）=180°-2×72°=36°．
∴∠DAC=36°．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的综合应用，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
48．（2022·安徽阜阳·八年级期末）如图，写出与、、的关系，并给出证明．
【答案】∠BDC=∠B+∠BAC+∠C，证明见解析
【解析】
【分析】
连接AD并延长得射线AE，理由三角形外角的性质得出∠BDE=∠B+∠BAE，∠CDE=∠C+∠CAE，结合图形求解即可．
【详解】
解：∠BDC=∠B+∠BAC+∠C，理由如下：
连接AD并延长得射线AE，
由图可得：∠BDE=∠B+∠BAE，∠CDE=∠C+∠CAE，
∵∠BDC=∠BDE+∠CDE，∠BAC=∠BAE+∠CAE，
∴∠BDC=∠B+∠BAC+∠C．
【点睛】
题目主要考查三角形外角的性质及角度的计算，熟练掌握运用三角形外角的性质是解题关键．
49．（2022·全国·八年级专题练习）如图，BD是ABC的角平分线，H是CB延长线上一点，过点H作DB的平行线，交AB于点N，交AC于点G，F是BD延长线上一点，连接FG并延长，交AB于点M．
(1)当，时，直接写出：______°，______°．
(2)若，求证：．
【答案】(1)60，40
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据三角形外角的性质可得∠2=60°，再由HG∥BD，可得∠ABD=∠2=60°，然后根据BD是ABC的角平分线，可得∠ABC=2∠ABD=120°，再由三角形内角和定理，即可求解；
（2）根据三角形外角的性质可得∠AGM=∠C，从而得到MF∥CH，进而得到∠F=∠CBF，继而得到∠F=∠CBF，再由BD是ABC的角平分线，可得∠ABD=∠F，然后根据HG∥BD，可得∠F=∠3，∠ABD=∠2，即可求证．
（1）解∶∵，∴∠2=∠1-∠A=60°；∵HG∥BD，∴∠ABD=∠2=60°，∵BD是ABC的角平分线，∴∠ABC=2∠ABD=120°，∴∠C=180°-∠A-∠ABC=40°；故答案为：60，40
（2）证明：∵，∠BMF=∠A+∠AGM，∴∠AGM=∠C，∴MF∥CH，∴∠F=∠CBF，∵BD是ABC的角平分线，∴∠CBF=∠ABD，∴∠ABD=∠F，∵HG∥BD，∴∠F=∠3，∠ABD=∠2，∴∠2=∠3．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定和性质，有关角平分线的计算，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
50．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，于D，点E为BC边上一点，连接AE．把沿着AE对折后，点B的对应点刚好落在AC边上的点F处．
(1)求∠FEC的度数；
(2)求∠DAE的度数．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由折叠的性质得，再根据三角形的外角性质可得结论，
（2）先求出，再由折叠得出，最后根据直角三角形两锐角互余可得结论．
（1）由折叠知∵， ∴；
（2）由（1）知，∴由对折知，∴∵，∴
【点睛】
本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质以及直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握这些性质是解答本题的关键．
51．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线．
(1)若△ABC的面积为80，BD＝10，求AF的长；
(2)若∠BED＝40°，∠BAD＝25°，求∠BAF的大小．
【答案】(1)8
(2)60°
【解析】
【分析】
（1）利用面积法求解即可；
（2）求出∠ABC，再根据∠BAF=90°-∠ABC求解即可．
（1）解：∵AD是△ABC的中线，BD＝10，∴BC＝2BD＝1×10＝20，∵AF是△ABC的高，△ABC的面积为80，∴BC AF＝×20 AF＝80，∴AF＝8；
（2）解：在△ABE中，∠BED为它的一个外角，且∠BED＝40°，∠BAD＝25°，∴∠ABE＝∠BED﹣∠BAD＝40°﹣25°＝15°，∵BE是△ABD的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABE＝2×15°＝30°，∵AF是△ABC的高，∴∠AFB＝90°．∴∠BAF＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理、三角形面积、角平分线的定义，熟练掌握基础知识是解答本题的关键．
52．（2022·河南驻马店·八年级期末）（1）如图1，求证：．
（2）如图2，、的二等分线（即角平分线）BF、CF交于点F．已知，，求∠BFC的度数；
（3）如图3，、分别为、的2021等分线（i＝1，2，3……，2019，2020）它们的交点从上到下依次为、、……．已知，，则______度．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）延长BO交AC于D，由外角的性质可得∠BOC＝∠B+∠A+∠C；
（2）由（1）知，，由角平分线的性质和外角的性质即可求解；
（3）由题意知：∠ABO1000＝∠ABO，∠OBO1000＝∠ABO，∠ACO1000＝∠ACO，∠OCO1000＝∠ACO，由三角形的外角性质可求解．
【详解】
解：（1）如图1，延长BO交AC于D，
∴，
，
∴，
即．
（2）由（1）知，
∵∠ABE、∠ACE的二等分线（即角平分线）BF、CF交于点F．
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）由题意知：∠ABO1000＝∠ABO，∠OBO1000＝∠ABO，∠ACO1000＝∠ACO，∠OCO1000＝∠ACO，
∴∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C，
∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BAC，
则∠ABO+∠ACO＝（∠BO1000C﹣∠BAC），
代入∠BOC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C，
∴∠BOC＝×（∠BO1000C﹣∠BAC）+∠BO1000C，
解得：∠BO1000C＝（∠BOC+∠BAC）＝∠BOC+∠BAC，
∵∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，
∴∠BO1000C＝m°+n°＝（）°；
故答案为：．
【点睛】
此题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
53．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，、的角平分线、相交于点，
(1)如果，那么的度数是多少，试说明理由并完成填空；
解：（1）结论：______度．
说理如下：因为、平分和（已知），
所以，（角平分线的意义）．
因为，（ ）
（完成以下说理过程）
(2)如图2，，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出度数；
(3)如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示的度数（直接写出答案）
【答案】(1)32；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；过程见解析
(2)16°
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质即可求解；
（2）根据（1）的解法即可直接求解；
（3）利用（1）的结论求解．
（1）解：结论：∠A2＝32度．说理如下：因为BA2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知），所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（角平分线的意义）．因为∠A1CM＝∠A1BC+∠A1，∠2＝∠1+∠A2（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．所以∠A1CM＝∠A1BC+∠A1＝2∠1＋∠A1＝2（∠1+∠A2），所以∠A1＝2∠A2，因为∠A1＝64°，所以∠A2＝32°．故答案为：32，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
（2）由（1）得：∠A1＝2∠A2，∠A2＝2∠A3，∴∠A1＝4∠A3，∴∠A3＝∠A1＝16°．
（3）由（1）得：∠A1＝2∠A2，∠A2＝2∠A3，…，∠An﹣1＝2∠An，∴∠A1＝2∠A2，∠A1＝4∠A3，∠A1＝8∠A4，…，∠A1＝2n﹣1 ∠An，∴∠A1＝2n﹣1 ∠An，∴∠An＝＝．
【点睛】
本题考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，正确解决（1），读懂题意是关键．
54．（2022·河南郑州·八年级期末）解答
(1)问题发现．
如图1，，，则______．
由此发现：∠1与∠C、∠A的数量关系是______，用语言叙述为：三角形一个外角等于______．
(2)结论运用
如图2，中，，沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若，求∠BDC的度数．
【答案】(1)30°；；和它不相邻的两个内角的和；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）先求出∠ABC=80°，再根据三角形内角和定理即可求出，进而可以得到，用语言叙述为：三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
（2）根据折叠性质得到，再根据（1）结论即可求解．
（1）解：∵，∴∠ABC=180°-∠1=80°，∵∠C=70°，∴∠A=180°-∠ABC-∠C=30°，由此发现：∠1与∠C、∠A的数量关系是，用语言叙述为：三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．故答案为：30°，，和它不相邻的两个内角的和；
（2）解：由折叠得到，∴．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，三角形外角定理，理解题意，准确掌握两个定理是解题关键．
55．（2022·辽宁阜新·八年级期末）某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．
(1)如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，若∠A＝66°，则∠BPC＝ °；
(2)如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，则∠BEC＝ （用α表示∠BEC）；
(3)如图3，BQ平分外角∠CBM，CQ平分外角∠BCN．试确定∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)122
(2)
(3)∠BQC＝90°，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠ABD＝∠A+∠ACB，再利用∠BEC＝∠DBE﹣∠BCE，即可得到结论；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
(1)
解：∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（∠ABC∠ACB）
＝180°（∠ABC+∠ACB）
＝180°（180°﹣∠A）
＝180°﹣90°∠A
＝90°+32°
＝122°
故答案为：122；
(2)
解：∵CE和BE分别是∠ACB和∠ABD的角平分线，
∴∠BCE∠ACB，∠DBE∠ABD，
又∵∠ABD是△ABC的一外角，
∴∠ABD＝∠A+∠ACB，
∴∠DBE（∠A+∠ABC）∠A+∠BCE，
∵∠DBE是△BEC的一外角，
∴∠BEC＝∠DBE﹣∠BCE∠A+∠BCE﹣∠BCE∠A；
(3)
解：∠BQC＝90°，理由如下：
根据题意得：∠CBM=∠A+∠ACB，∠BCN=∠A+∠ABC，
∵BQ平分外角∠CBM，CQ平分外角∠BCN．
∴∠QBC（∠A+∠ACB），∠QCB（∠A+∠ABC），
∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB
＝180°（∠A+∠ACB）（∠A+∠ABC）
＝180°∠A（∠A+∠ABC+∠ACB）
即∠BQC＝90°．
【点睛】
本题主要考查了有关角平分线的计算，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形外角的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．
56．（2022·全国·八年级专题练习）如图，CE是的外角的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，时，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用外角的性质，，，再利用角平分线的定义推出，通过等量代换即可求证；
（2）先利用，，求出，进而求出，再代入（1）中结论即可求解．
（1）证明：∵是的外角，∴，∵是的外角，∴，∵CE是的平分线，∴，∴；
（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，解得．∵，∴，∴，由（1）知，∴，解得．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，角平分线的定义等，牢固掌握上述知识并灵活运用是解题的关键．
57．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在中，，点为的边上一点，过点作交于点，过点作交的延长线于点．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先由垂线定义可得∠ADE=90°，再根据三角形内角和定理可以求出∠AGD的度数，最后由平行线的性质求出∠E的度数；
（2）先由平行线的性质可得∠ACF=70°，再根据三角形外角的性质求出∠B的度数．
（1）解：∵DE⊥AB， ∴∠ADE=90°， ∵∠A=30°， ∴∠EGC=∠AGD=180°-90°-30°=60°， ∵， ∴∠E+∠EGC=180°， ∴∠E=180°-∠EGC=180°-60°=120°；
（2）∵， ∴∠F+∠ACF=180°， ∵∠F=110°， ∴∠ACF=180°-∠F=180°-110°=70°， ∵∠A=30°，∠A+∠B=∠ACF， ∴∠B=∠ACF-∠A=70°-30°=40°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，垂线的定义，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
58．（2022·全国·八年级专题练习）已知在△ABC中，内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线交于点P，内角∠ABC的平分线与内角∠ACB的平分线交于点Q．
(1)如图1． 若，求∠BQC的度数；
(2)如图2．若，点P、C、R在同一直线上，试猜想：∠BQC、∠P、∠R 这三个角的数量关系 ，并说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理来求解；
（2）根据三角形的外角性质和角平分线的定义求得，再利用三角形内角和定理求解．
（1）解：∵，∴．∵BQ、CQ分别平分和，∴，，∴，∴ ，即；
（2）解：．理由如下：由三角形的外角性质得，．∵P点是和外角的角平分线的交点，∴，，∴，，，∴． ∵，∴，∴．故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形角平分线，理解相关知识是解答关键．
试卷第1页，共3页
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