1.2.1几个常用函数的导数 同步练习（Word版含解析）

1.2.1 几个常用函数的导数
1．曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为(　　)
A．1 B．－ C． D．
[解析]　∵y＝x3，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tanα＝1，∵0≤α<π，∴α＝.
设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为(　　)
A．2 B．－1 C．1 D．－2
3．已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为(　　)
A. B． C． D．
4．已知曲线y＝x3－1与曲线y＝3－x2在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为(　　)
A. B． C． D．
5.曲线在点(1,1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
6.在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为_________．
7．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的△面积为2，则a的值是_________．
8. 已知①y＝f(x)，②y＝g(x)，③y＝h(x)都是路程y关于时间x的函数，且f ′(x)＝1，g′(x)＝2， h′(x)＝3，则运动速度最快的是________________(填序号)．
9．函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝______.
10. 函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，
若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________________．
11. 已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，
(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程．
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
(选作题)12.求证：双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．
参考答案
1.[解析]　由导数的定义知 ＝
＝ ＝f′(1)＝－1.
2.[解析]　∵s′＝2t－，∴s′|t＝2＝4－＝，故选D.
3.[解析]　由导数的定义容易求得，曲线y＝x3－1在x＝x0处切线的斜率k1＝3x，
4.曲线y＝3－x2在x＝x0处切线的斜率为k2＝－x0，由于两曲线在x＝x0处的切线互相垂直， ∴3x·(－x0)＝－1，∴x0＝，故选D.
5.[解析]选C　可求得y′＝x－，即y′|x＝1＝，切线方程为2x－3y＋1＝0，与x轴的交点坐标为，与x＝2的交点坐标为，围成三角形面积为××＝.
6.[解析]　因为f(x)＝，所以f′(x)＝－，因为切线的倾斜角为π，所以切线斜率为－1，即f′(x)＝－＝－1，所以x＝±1，则当x＝1时，f(1)＝1；
当x＝－1时，f(1)＝－1，则点坐标为(1,1)或(－1，－1)．
7.[解析]　y′＝，切线方程为y－＝(x－a)，
令x＝0得，y＝； 令y＝0得，x＝－a， 由题意知··a＝2，∴a＝4.
8.[解析]　由导数的几何意义知，y＝f(x)的瞬时速度为1，y＝g(x)的瞬时速度为2，y＝h(x)的瞬时速度为3，且都是匀速运动，故最快的是③.
9.[解析]　因为f(x)＝ax3＋x＋1，所以f(1)＝a＋2，
f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝3a＋1，所以在点(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，又因为切线过点(2,7)，所以7－(a＋2)＝(3a＋1)×(2－1)，解之得a＝1.
10.[解析]　∵y′＝2x，∴在点(ak，a)的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，
又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝ak，
即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝，∴a3＝4，a5＝1，
∴a1＋a3＋a5＝21.
11.[解析]　(1)因为y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，
过P点的切线方程：y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程：y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1，
切线的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝1，所以x0＝，所以切点M，
与PQ平行的切线方程为：y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
12.证明：设P(x0，y0)为双曲线xy＝a2上任一点．∵y′＝′＝－.
∴过点P的切线方程为y－y0＝－(x－x0)．
令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝2x0.
则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝··|2x0|＝2a2.
即双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.