1.2.2 基本初等函数的导数公式及运算法则①
1．设f(x)＝sinx－cosx，则f(x)在x＝处导数f ′()＝( )
A. B.－ C.0 D.
2．下列函数中，导函数是奇函数的是( )
A.y＝sinx B.y＝ex C.y＝lnx D.y＝cosx－
3．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为( )
A．2 B．－1 C．1 D．－2
4.已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为( )
A. B. C. D.
5．若函数f(x)＝exsinx，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为( )
A. B．0 C．钝角 D．锐角
6．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为( )
A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2
7.曲线y＝xsinx在点处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为( )
A. B．π2 C．2π2 D．(2＋π)2
8.若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f ′(x)>0的解集为____________．
9.已知函数f(x)＝ax＋bex图象上在点P(－1,2)处的切线与直线y＝－3x平行，则函数f(x)的解 析式是____________________．
10．求经过点P(2,1)且与曲线f(x)＝x3－2x2＋1相切的直线l的方程．
11． f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线的方程为x＋2y＋5＝0，求函数的解析式．
12. (选作题)曲线y＝在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是____________．
参考答案
1.[解析] ∵f ′(x)＝cosx＋sinx， ∴f ′()＝cos＋sin＝，故选A.
2.[解析] 由y＝sinx得y′＝cosx为偶函数，A错；
又y＝ex时，y′＝ex为非奇非偶函数，B
错；C中y＝lnx定义域x>0，C错；D中y＝cosx－时，y′＝－sinx为奇函数，∴选D.
3.[解析] 由条件，点A在直线上，∴k＝2，
又点A在曲线上，∴a＋b＋1＝3，∴a＋b＝2.
由y＝x3＋ax＋b得y′＝3x2＋a，∴3＋a＝k，
∴a＝－1，∴b＝3，∴2a＋b＝1.
4.解析：选D ∵s′＝2t－，∴s′|t＝2＝4－＝.
5.[解析] y′|x＝4＝(exsinx＋excosx)|x＝4＝e4(sin4＋cos4)＝e4sin(4＋)<0，故倾斜为钝角，选C.
6.解析：选C ∵y＝ln x的导数y′＝，∴令＝，得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．
代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.
7.[解析] 曲线y＝xsinx在点处的切线方程为y＝－x，
所围成的三角形的顶点为O(0,0)，A(π，0)，C(π，－π)， ∴三角形面积为.
8.[解析] 由f(x)＝x2－2x－4lnx，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝2x－2－＝＝2·，f ′(x)>0，解得x>2，
故f ′(x)>0的解集为(2，＋∞)．
9.[解析] 由题意可知，f ′(x)|x＝－1＝－3， ∴a＋be－1＝－3，
又f(－1)＝2，∴－a＋be－1＝2，
解之得a＝－，b＝－e，
故f(x)＝－x－ex＋1.
10.[解析] 设切点为(x0，x－2x＋1)，
由k＝f ′(x0)＝3x－4x0，可得切线方程为y－(x－2x＋1)＝(3x－4x0)(x－x0)，
代入点P(2,1)解得：x0＝0或x0＝2.
当x0＝0时切线方程为y＝1；
当x0＝2时切线方程为4x－y－7＝0.
综上得直线l的方程是：4x－y－7＝0或y＝1.
11.[解析] 由条件知，－1＋2f(－1)＋5＝0，
∴f(－1)＝－2， ∴＝－2，①
又直线x＋2y＋5＝0的斜率k＝－， ∴f ′(－1)＝－，
∵f ′(x)＝，
∴＝－，②
由①②解得，a＝2，b＝3.(∵b＋1≠0，∴b＝－1舍去)．
∴所求函数解析式为f(x)＝.
12.解析：y′＝－，则y′＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2－1.
答案：2－11.2.2 基本初等函数的导数公式及运算法则③
1．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A．2e B．e C．2 D．1
2． 已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f ′(x)的图象大致形状是( )
3．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A．2e B．e C．2 D．1
4.已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为 ( )
A. B. C. D.
5.如图有一个图象是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)＝ ( )
A． B．－ C． D．－或
6．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(e)＋lnx，则f ′(e)＝( )
A．e－1 B．－1 C．－e－1 D．－e
7.设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝____．
8．曲线y＝在点(1,1)处的切线l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最远距离是____．
9.求下列函数的导数：
(1)y＝xsin2x；(2) y＝；
(3) y＝；(4)y＝cos x·sin 3x.
10．已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x)．
①求f(1)＋f′(1)；
②若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．
11.偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2， 求y＝f(x)的解析式．
12. (选作题)已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
参考答案
1.解析：选C 函数的导数为f′(x)＝ex－1＋xex－1＝(1＋x)ex－1，
当x＝1时，f′(1)＝2，即曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率k＝f′(1)＝2，故选C.
2.【解】依题意可设f(x)＝ax2＋c(a<0，且c>0)，于是f ′(x)＝2ax，
显然f ′(x)的图象为直线，过原点，且斜率2a<0，故选B.
3.【解】 函数的导数为f′(x)＝ex－1＋xex－1＝(1＋x)ex－1，
当x＝1时，f′(1)＝2，即曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率k＝f′(1)＝2，故选C.
4.【解】∵s′＝2t－，∴s′|t＝2＝4－＝.答案：D
5.【解】f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋(a＋1)][x＋(a－1)]，图(1)与(2)中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函数f(x)的导函数的图象．
由图(3)知f′(0)＝0，由根与系数的关系得
解得a＝－1.故f(x)＝x3－x2＋1，所以f(－1)＝－.答案：B
6.【解】 ∵f(x)＝2xf ′(e)＋lnx， ∴f ′(x)＝2f ′(e)＋，
∴f ′(e)＝2f ′(e)＋，解得f ′(e)＝－，故选C.
7.解析：选D y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.
8.【解】y′|x＝1＝－|x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，
圆心(－2,0)到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，
∴所求最近距离为2+1.
9.解：(1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′
＝sin2x＋x·2sin x·(sin x)′＝sin2x＋xsin 2x.
(2) y′＝
＝
＝.
(3) y′＝
＝ .
(4)y′＝(cos x·sin 3x)′
＝(cos x)′sin 3x＋cos x(sin 3x)′
＝－sin xsin 3x＋3cos xcos 3x
＝3cos xcos 3x－sin xsin 3x.
10.(1) 【解】 由函数y＝3sin x，得y′＝3cos x，
所以函数在x＝处的切线斜率为3×cos＝.[答案]
(2) 【解】 ①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ax2＋ln x， 得f′(x)＝2ax＋，
所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.②因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，
故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点，
即f′(x)＝0，所以2ax＋＝0有正实数解，
即2ax2＝－1有正实数解，故有a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)．
11.【解】 ∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.
∵f ′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.∴a＝，c＝－.
∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1.
12.解：由于y＝sin x，y＝cos x，设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)．∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0.
若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1，
即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的．
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．1.2.2 基本初等函数的导数公式及运算法则②
1.函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2.若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0)
3. 设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4.若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )
A．－1 B．－2 C．2 D．0
5.设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则f′(0)＝________.
6.函数y＝2cos2x在x＝处的切线斜率为________．
7.若函数f(x)＝cos的图象在x＝0处的切线方程为y＝－3x＋1，则ω＝________.
8.直线y＝2x－1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________________．
9.求下列函数的导数．
(1)y＝(1－)；
(2)y＝x·tan x；
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(4)y＝.
参考答案
1.解析：选D y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.
2.解析：∵f(x)＝x2－2x－4ln x，∴f′(x)＝2x－2－＞0，
整理得＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，
又因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以x＞2. 选C
3.解析：选D y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.
4.解析：选B ∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
答案 －
5.解析： 因为f′(x)＝－－2sin 2x，所以f′(0)＝－.
6.由函数y＝2cos2x＝1＋cos 2x，得y′＝(1＋cos 2x)′＝－2sin 2x，所以函数在x＝处的切线斜率为－2sin＝－1.答案：－1
7.解析：∵y＝ln(x＋a)，∴y′＝，设切点为(x0，y0)，
则y0＝2x0－1，y0＝ln(x0＋a)，且＝2，解之得a＝ln 2.答案：ln 2
8.解析：由题意，得f′(x)＝－ωsin，所以f′(0)＝－ωsin＝－ω＝－3，所以ω＝3.答案：3
9.解：(1)∵y＝(1－)＝－＝x－－x，
∴y′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－.
(2)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′
＝tan x＋x·′＝tan x＋x·
＝tan x＋.
(3)∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)，
∴y′＝(x2＋3x＋2)′(x＋3)＋(x2＋3x＋2)(x＋3)′
＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2
＝2x2＋9x＋9＋x2＋3x＋2
＝3x2＋12x＋11.
(4)y′＝′＝
＝＝
＝.
