4.2 对数的运算 同步练习（Word版含答案）

《第二节　对数的运算》同步练习
一、基础巩固
知识点1　对数的运算性质
1.已知ln x-ln y=a,则ln()3-ln()3=(　　)
A.3a B. C.a D.
2.[2022安徽合肥一中、六中等高一期末联考]若2lg x+lg 4-2=0,则x的值是(　　)
A. B.5 C.± D.±5
3.已知log3x=m,log3y=n,则log3用m,n可表示为(　　)
A.m-n B.m-n
C. D.m-n
4.[2022陕西渭南高一上期末考试]历史上数学计算方面的三大发明分别是阿拉伯数字、十进制和对数,其中对数的发明,大大缩短了计算时间.对数运算对估算“天文数字”具有独特优势,已知lg 2≈0.301,lg 5≈0.699,则2.510的估算值为(　　)
A.1 000 B.100 000 C.10 000 D.2 500
5. 计算:
(1)lg 14-2lg+lg 7-lg 18;
(2)(lg 5)2+3lg 2+2lg 5+lg 2×lg 5;
(3)(log62)2+(log63)2+3log62×(log6log62).
知识点2　换底公式
6.log52×log425的值为 (　　)
A.-1 B. C.1 D.2
7.[2022江西抚州临川一中高一上期末考试]已知4a=5b=10,则=(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
8.[2022安徽安庆高一上期末考试]已知a=lg 2,b=lg 3,用a,b表示log365,则log365=(　　)
A. B.
C. D.
9.[2022山东潍坊一中模考]数学家欧拉曾得到这样的结论:小于数字x的素数个数可以表示为π(x)≈.根据欧拉得出的结论,可估计105以内的素数的个数为(　　)
(注:素数即质数,lg e≈0.434 3)
A.2 172 B.4 343 C.869 D.8 686
10.方程log2x+=1的解是　　　　.
11. 若logac=,logabc=,则logbc=　　　　.
12.计算:
(1)log2×log3×log5;
(2)(log25+log40.2)(log52+log250.5).
二、能力提升
1. 若log23×log36m×log96=,则实数m的值为(　　)
A.4 B.6 C.9 D.12
2.(多选)[2022江苏常州六校高一上期中联考]若10a=4,10b=25,5c=4,则(　　)
A.a+b=2 B.b-a=1
C.ab<1 D.
3.(多选)[2022辽宁盘锦高中高一月考]音乐是由不同频率的声音组成的,若音1(do)的频率为f,则简谱中的七个音1(do),2(re),3(mi),4(fa),5(sol),6(la),7(si)组成的音阶频率分别是f,f,f,f,f,f,f,其中相邻两个音的频率比(后一个音与前一个音的比)是一个音到另一个音的台阶,上述“七声音阶”的台阶只有两个不同的值,记为α,β(α>β),其中α称为全音,β称为半音,则下列关系式成立的是(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)(　　)
A.α=2β
B.α=β2
C.|lg α-lg β|>0.01
D.|lg α-2lg β|<0.01
4.已知logba>1,若logab+logba=,ab=ba,则a=　　　,b=　　　.
5.已知lg x+lg y=2lg(x-2y),则=　　　　.
6.已知使log23×log34×log45×…×log(k+1)(k+2)(k∈N*)为整数的实数k称为“企盼数”,则在区间[1,1 000]内“企盼数”共有　　　　个.
7.若a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实根,求lg(ab)·(logab+logba)的值.
8.对数的运算性质在数学发展史上是伟大的成就.
(1)对数运算性质的推导有很多方法,请同学们推导如下的对数运算性质:如果a>0,且a≠1,M>0,那么loga Mn=nloga M(n∈R).
(2)因为210=1 024∈(103,104),所以210的位数为4(一个自然数数位的个数,叫作位数),试判断219220的位数.(注:lg 219≈2.34)
(3)中国围棋九段棋手柯洁与机器人阿尔法狗曾进行了三局对弈,以复杂的围棋来测试人工智能,围棋复杂度的上限约为M=3361.根据有关资料,可观测宇宙中普通物质的原子总数的和约为N=1080,甲乙两个同学都估算了的近似值,甲认为是1073,乙认为是1093.现有一种定义:若实数x,y满足|x-m|<|y-m|,则称x比y接近m,试判断哪个同学的近似值更接近,并说明理由.(注:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
参考答案
一、基础巩固
1.A 2.B 3.D 4.C
5. (1)原式=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2)=lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0.
(2)原式=(lg 5)2+3lg 2+2lg 5+lg 2×lg 5=lg 5×(lg 5+lg 2)+2(lg 2+lg 5)+lg 2=lg 5×lg 10+2lg 10+lg 2=2+(lg 5+lg 2)=3.
(3)原式=(log62)2+(log63)2+3log62×log6=(log62)2+(log63)2+3log62×log6=(log62)2+(log63)2
+2log62×log63=(log62+log63)2=1.
6.C 7.A 8.D 9.D
10.1
11.2
12.(1)原式=
=
=
=-12×()
=-12.
(2)原式=(log25+log2)(log52+log5)
=(log25+log25-1)(log52+log52-1)
=(log25-log25)(log52-log52)
=×log25×log52
=.
二、能力提升
1.A 2.ACD 3.CD
4.4　2
5.4
6.8
7.原方程可化为2(lg x)2-4lg x+1=0,
设t=lg x,则2t2-4t+1=0.
令该方程的两根分别为t1,t2,则t1+t2=2,t1t2=.
由a,b是原方程的两个根,可设t1=lg a,t2=lg b,
∴lg a+lg b=2,lg a·lg b=,
∴lg(ab)·(logab+logba)
=(lg a+lg b)()
=
=(lg a+lg b)·
=2×
=12.
故lg(ab)·(logab+logba)=12.
8.(1)若a>0,且a≠1,M>0,n∈R,
则=()n=Mn,
化为对数式得loga Mn=nloga M.
(2)令219220=t,所以lg t=220lg 219,
因为lg 219≈2.34,所以lg t=220lg 219≈514.8,
所以t≈10514.8∈(10514,10515),
所以219220的位数为515.
(3)根据题意,得,
所以lg=lg=lg 3361-lg 1080=361lg 3-80≈92.233 1,
所以≈1092.233 1∈(1092,1093),
因为lg(2×3361)=lg 2+361lg 3≈172.534 1<173=lg 10173,
所以2×3361<10173<10173+10153,所以<1093+1073,
所以|-1073|<|-1093|,
所以甲同学的近似值更接近.