2.5.1 直线与圆的位置关系（第二课时）（同步练习）
一、选择题
1.设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|最小值为( )
A.6 B.4
C.3 D.2
2.过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程是( )
A.(x－5)2＋y2＝2 B.(x－3)2＋y2＝4
C.(x－5)2＋y2＝4 D.(x－3)2＋y2＝2
3.y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是( )
A. B. C. D.π
4.如果实数x，y满足等式(x－1)2＋y2＝，那么的最大值是( )
A. B. C. D.
5.若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x＋2y＝0对称，则实数k＋m＝( )
A.－1 B.1 C.0 D.2
6.方程＝x＋k有唯一解，则实数k的取值范围是( )
A．{－} B．(－，)
C．[－1,1) D．{k|k＝或－1≤k<1}
7.过圆外一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝4(y≠0)
C．x2＋y2＝2 D．x2＋y2＝2(y≠0)
8.(多选)与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是( )
A.4x－3y＝14 B.4x－3y＝－6
C.4x＋3y＝6 D.4x＋3y＝－6
二、填空题
9.实数x，y满足方程x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值为________
10.已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是________
11.已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，则x＋y的最大值为________，最小值为________
12.已知圆C：(x－1) 2＋y2＝1，点A(－2,0)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围为________
13.如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P，Q分别在线段AD，CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中，已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约________秒．(精确到0.1)
三、解答题
14.已知实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求：
(1)的最大值与最小值；(2)的最大值与最小值．
15.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
16.如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝.
(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
参考答案：
一、选择题
1.B 2.D 3.D 4.D 5.B 6.D 7.D 8.AB
二、填空题
9.答案：8 10.答案：8 11.答案：－1，－－1
12.答案：∪ 13.答案：4.4
三、解答题
14.解：(1)设k＝，则k表示圆上的点P(x，y)与原点连线的斜率，直线OP的方程为y＝kx，当直线OP与圆C相切时，斜率取得最值．由点C(3,3)到直线y＝kx的距离d＝＝，得k＝3±2，即k＝3±2时，直线OP与圆C相切，所以max＝3＋2，min＝3－2.
(2)代数式表示圆C上点到定点(2,0)的距离，圆心(3,3)与定点(2,0)的距离为＝，
又圆C的半径是，所以()max＝＋，()min＝－.
15.解：如图，以O为坐标原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，
圆O方程为x2＋y2＝252.直线AB方程为＋＝1，即3x＋4y－120＝0.
设O到AB距离为d，则d＝＝24<25，
所以外籍轮船能被海监船监测到．
设监测时间为t，则t＝＝0.5(h)．
即外籍轮船能被海监船监测到，持续时间为0.5 h.
16.解：(1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.
由条件知，A(0,60)，C(170,0)，直线BC的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－.
又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率kAB＝.
设点B的坐标为(a，b)，则kBC＝＝－，①
kAB＝＝，②
联立①②解得a＝80，b＝120.所以BC＝＝150.
因此新桥BC的长为150 m.
(2)设保护区的边界圆M的半径为r m，OM＝d m(0≤d≤60)．
由条件知，直线BC的方程为y＝－(x－170)，即4x＋3y－680＝0.
由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即r＝＝.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以
即解得10≤d≤35.
故当d＝10时，r＝最大，即圆面积最大．
所以当OM＝10 m时，圆形保护区的面积最大．2.5.1 直线与圆的位置关系（第一课时）（同步练习）
一、选择题
1.对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )
A.相离 B.相切
C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
2.已知圆C：x2＋y2－4x＝0与直线l相切于点P(1，)，则直线l的方程为( )
A.x－y＋2＝0 B.x－y＋4＝0
C.x＋y－4＝0 D.x＋y－2＝0
3.过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A.0°＜α≤30° B.0°＜α≤60°
C.0°≤α≤30° D.0°≤α≤60°
4.直线y＝kx＋3被圆x2＋y2－6y＝0所截得的弦长是( )
A.6 B.3 C.2 D.8
5.a，b∈R，a2＋b2≠0，则直线l：ax＋by＝0与圆C：x2＋y2＋ax＋by＝0的位置关系是( )
A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定
6.一束光线从点A(－2,3)射出，经x轴反射后与圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A.或 B.或 C.或 D.或
7.(多选)与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是( )
A.4x－3y＝14 B.4x－3y＝－6
C.4x＋3y＝6 D.4x＋3y＝－6
二、填空题
8.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________
9.已知直线l过点P(2,4)，且与圆O：x2＋y2＝4相切，则直线l的方程为________，此时切线长为________
10.若圆x2＋y2－2x＋4y＋m＝0截直线x－y－3＝0所得弦长为6，则实数m＝________
11.若直线l：x＋y－m＝0被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦长为2，则圆心C到直线l的距离是________，m＝________
12.在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________
三、解答题
13.已知点A(1，a)，圆O：x2＋y2＝4.
(1)若过点A的圆O的切线只有一条，求实数a的值及切线方程；
(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为2，求实数a的值．
14.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
15.已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案：
一、选择题
1.C 2.A 3.D 4.A 5.C 6.C 7.AB
二、填空题
8.答案：2 9.答案：x＝2或3x－4y＋10＝0，4 10.答案：－4
11.答案：1，－1或3 12.答案：(x－1)2＋y2＝2
三、解答题
13.解:(1)由于过点A的圆O的切线只有一条，所以点A在圆上，所以12＋a2＝4，所以a＝±.
当a＝时，A(1，)，此时切线方程为x＋y－4＝0；
当a＝－时，A(1，－)，此时切线方程为x－y－4＝0.
(2)设直线方程为x＋y＝b，因为直线过点A(1，a)，所以1＋a＝b，即a＝b－1.①
又圆心到直线的距离d＝，所以＋＝4，②
由①②得或所以a＝－1或a＝－－1.
14.解：(1)由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A(0,1)的直线方程：y＝kx＋1，即：kx－y＋1＝0.
由已知可得圆C的圆心C的坐标(2,3)，半径R＝1.
故由＝1，解得：k1＝，k2＝.
故当(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由题意可得，经过点M，N，A的直线方程为y＝kx＋1，
代入圆C的方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，可得(1＋k2)x2－4(k＋1)x＋7＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝，
由·＝x1x2＋y1y2＝＝12，解得k＝1，
故直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.圆心C在直线l上，MN的长即为圆的直径．所以|MN|＝2.
15.解：(1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为.
圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|.
因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，所以当|PC|2最小时，|AP|最小．
因为|PC|2＝(1－x)2＋＝＋9.所以当x＝－时，|PC|＝9.所以|AP|min＝＝2.
即四边形PACB面积的最小值为2.
(2)由(1)知圆心C到P点距离3为C到直线上点的最小值，若∠APB＝60°易得需PC＝2，这是不可能的，所以这样的点P是不存在的．
