1.3.2函数的极值与导数 同步练习（Word版含解析）

1.3.2　函数的极值与导数（1）
1.设函数f (x)＝xex，则(　　)
A．x＝1为f (x)的极大值点 B．x＝1为f (x)的极小值点
C．x＝－1为f (x)的极大值点 D．x＝－1为f (x)的极小值点
2.设函数f (x)＝＋ln x，则(　　)
A．x＝为f (x)的极大值点 B．x＝为f (x)的极小值点
C．x＝2为f (x)的极大值点 D．x＝2为f (x)的极小值点
3．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
4.已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(　　)
A．(2,3) B．(3，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
5. 已知函数y＝f(x)在定义域内可导，则函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的(　　)
A．充分不必要条件　B．必要不充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件
6.已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为_________
7.已知函数，则的极大值点为_________
8.已知x＝是函数f(x)＝x(ln ax＋1)的极值点，则实数a的值为________
9.已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
10.设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，求f(x)的单调区间与极值．
11. (选作题)设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数.
(1)若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值；
(2)若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3，1，3}中，求f(x)的极小值.
参考答案
1.答案D解析: [令f ′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f ′(x)＜0；当x＞－1时，f ′(x)＞0.故当x＝－1时，f (x)取得极小值．]
2.答案D
解析:因为f (x)＝＋ln x，所以f′(x)＝－＋＝，x>0.当x>2时，f′(x)>0，f (x)为增函数；当03.答案　D
解析　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；
当－2当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，
在x＝2处取得极小值.
4.解析：选B　因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，又f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0解得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．
5.选B
6. ，0
7.
8.解：因为函数f(x)＝x(ln ax＋1)有极值点，所以f′(x)＝(ln ax＋1)＋1＝2＋ln ax.
因为x＝是函数f(x)＝x(ln ax＋1)的极值点，所以f′＝2＋ln＝0.
所以ln＝－2，解得a＝.
9.解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).
令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
10.解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减↘ 2(1－ln 2＋a) 单调递增↗
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)；
且f(x)在x＝ln 2处取得极小值．
极小值为f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)，无极大值．
11.解　(1)因为a＝b＝c，
所以f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)＝(x－a)3.
因为f(4)＝8，所以(4－a)3＝8，解得a＝2.
(2)因为b＝c，所以f(x)＝(x－a)(x－b)2＝x3－(a＋2b)x2＋b(2a＋b)x－ab2，从而f′(x)＝3(x－b)·.
令f′(x)＝0，得x＝b或x＝.
令f(x)＝0，得x＝a或x＝b.
因为a，b，都在集合{－3，1，3}中，且a≠b，
所以＝1，a＝3，b＝－3.
此时，f(x)＝(x－3)(x＋3)2，f′(x)＝3(x＋3)(x－1).
令f′(x)＝0，得x＝－3或x＝1.
当x变化时，f′(x)变化如下表：
x (－∞，－3) －3 (－3，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
所以f(x)的极小值为f(1)＝(1－3)(1＋3)2＝－32.