1.3.1 函数的单调性与导数 同步练习（Word版含解析）

1.3.1 (1)函数的单调性与导数
1．设函数f (x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为(　　)
2. 函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为(　　)
A.(0，1) B.(0，＋∞) C.(1，＋∞) D.(－∞，0)∪(1，＋∞)
3.函数y＝xln x在(0,5)上的单调性是(　　)
A．单调递增 B．单调递减
C．在上单调递减，在上单调递增
D．在上单调递增，在上单调递减
4.已知函数f(x)＝＋ln x，则有(　　)
A．f(2)5.设f′(x)是函数f(x)的导函数，若f′(x)>0，且 x1，x2∈R(x1≠x2)，f(x1)＋f(x2)<2f，则下列选项中不一定正确的是(　　)
A.f(2)6.已知a为实数，f(x)＝ax3＋3x＋2，若f′(－1)＝－3，则函数f(x)的单调递增区间为________.
.
7.已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的递增区间是________.
8.已知函数f(x)＝(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数k的值；
(2)求函数f(x)的单调区间.
9.设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(1)求b，c的值；
(2)若a＞0，求函数f(x)的单调区间；
(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
10.(选作题)已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
(2)证明：f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．
11. (选作题)已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是(　　)
参考答案
1.C　[解析][∵f (x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1，4)上为增函数，∴当x＜1或x＞4时，f ′(x)＜0；当1＜x＜4时，f ′(x)＞0.故选C.]
2.答案　A
解析：　f′(x)＝1－，且x>0.由f′(x)<0，得03.解析：选C　由已知得函数的定义域为(0，＋∞)．
∵y′＝ln x＋1，令y′＞0，得x＞.令y′＜0，得x＜.
∴函数y＝xln x在上单调递减，在上单调递增．
4.解析：选A　在(0，＋∞)内，f′(x)＝＋>0，所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，所以有f(2)5.答案　C
解析：　因为f′(x)>0，所以f(x)在R上单调递增. x1，x2∈R(x1≠x2)，恒有f(x1)＋f(x2)<2f，
即由图可知f(2)由图可知，随着x的增大，f(x)的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以f′(π)因为f(3)－f(2)＝表示点A(2，f(2))与B(3，f(3))连线所在直线的斜率kAB，所以结合图可知f′(3)6.答案　
解析：　f(x)＝ax3＋3x＋2，则f′(x)＝3ax2＋3，又f′(－1)＝3a＋3＝－3，解得a＝－2，
∴f′(x)＝－6x2＋3，由f′(x)>0，解得－7.答案　和
解析：　f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.令f′(x)＝xcos x>0，
则其在区间(－π，π)上的解集为∪，
即f(x)的单调递增区间为和.
8.解析：　(1)f′(x)＝(x>0).又由题意知f′(1)＝＝0，所以k＝1.
(2)由(1)知，f′(x)＝(x>0).设h(x)＝－ln x－1(x>0)，
则h′(x)＝－－<0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减.
由h(1)＝0知，当00，所以f′(x)>0；
当x>1时，h(x)<0，所以f′(x)<0.
综上f(x)的单调增区间是(0，1)，减区间为(1，＋∞).
9.解析：(1)f′(x)＝x2－ax＋b，
由题意得即
(2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a＞0)，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0；
当x∈(0，a)时，f′(x)<0；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．
(3)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，
使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立，
即x∈(－2，－1)时，a当且仅当x＝，即x＝－时等号成立．
所以满足要求的a的取值范围是(－∞，－2)．
10.解析：(1)已知函数f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a，
由题意知3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立．
但当x∈(－1,1)时，0＜3x2＜3，∴a≥3，
即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．
(2)证明：取x＝－1，得f(－1)＝a－2＜a，
即存在点(－1，a－2)在f(x)＝x3－ax－1的图象上，且在直线y＝a的下方．
即f(x)的图象不可能总在直线y＝a的上方．
11.解析：选A　∵f(x)＝x2＋sin＝x2＋cos x，∴f′(x)＝x－sin x，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D.又f″(x)＝－cos x，当－＜x＜时，cos ＞，∴f″(x)＜0，故函数y＝f′(x)在区间上单调递减，故排除C，选A.