第18章勾股定理导学案（5课时）

勾股定理（1）
学习目标：经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
一、目标导学：
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系．你知道他发现的三个正方形之间存在着怎样的关系吗？
二、自学展示：
同桌两个一起测量一下两块直角三角板的三边的长度，并将数值填入下表中。
三角板 直角边a 直角边b 斜边c a2 b2 a2+ b2 c2
1
2
思考：你能发现直角三角形的三边长度的平方之间存在着一定的关系，根据上表中填写的数据同学们能作出怎样的猜想？
三、合作交流
验证（一）
1、 A 、B、C的面积有什么关系？
等腰直角三角形三边有什么关系？
【得出】等腰直角三角形有这样的性质： 。
等腰直角三角形是特殊直角三角形，一般直角三角形是否也有这样的性质呢？
2、
把上图中正方形的面积填入下表中
正方形A的面积 正方形B的面积 正方形C的面积
图1
图2
（1）你能发现A、B、C面积之间有什么关系？
，即： 的面积之和等于 的面积．
（2）如果直角三角形的小直角边a,为大直角边为b,斜边为c,你能用三边的边长表示正方形的面积吗？面积分别为 。即 三角形两直角边的 和等于 的平方。
（3）直角三角形三边数量关系
得出结论： 如果 ，那么 。
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来．（勾三，股四，弦五）
验证（二）
是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢？这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．到目前为止，对这个命题的证明方法
已有几百种之多．
赵爽弦图的证法（1）
（1）大正方形的边长是 ，面积可表示为 ，
大正方形可分为5部分，面积又可以表示为
；
（2）根据同一个图形面积的两种表示具有相等关系，
对上式进行化简可得到： 。
勾股定理的证法（2）
（1）大正方形的面积可表示为
又可以表示为
（2）对上式进行化简，可得到：
茄菲尔德的证法（3）
（1）梯形的面积可表示为
又可以表示为
（2）对上式进行化简，可得到：
四、反馈提升
勾股定理
1、定理： 经过证明被确认为 命题叫做定理。
2、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边为 ，那么 。
3、常用的勾股数： ， ， ， ……
勾股定理的各种表达式：
在Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A 、∠B、 ∠C的对边分别为a 、b 、c ,
则:（1）c2= , c= ;
（2）a2= , a= ;
（3）b2= , b= ;
五、当堂检测
1、△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
(1)若c＝41，a＝40，则b＝____ __；
(2)若∠A＝30°，a＝1，则c＝_ ___ __，b＝_ _____；
2、求下列图中字母所表示的正方形的面积
81
A
225
225 B
400
3、如图1-1-4，所有的四边形都是正方形，所有的三角
形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，
则正方形A，B，C，D的面积之和是多少？
4、求：（1） 阴影部分是正方形；（2） 阴影部分是长方形；（3） 阴影部分是半圆．
5、在Rt△ABC中，∠C=90;
（1）若a=6，b=8，求c; （2）若a=6，c=10，求 b；
（3）若c=25，b=15，求a; （4）已知∠A=300，a=3，求b和c;
（5）已知∠A=450，c=3，求a和b; （6）已知a:b=3：4，c=25，求a和b;
（7）已知a:c=5:13,b=24,求a和c。
勾股定理（2）
学习目标：初步运用勾股定理进行简单的计算。感受勾股定理的应用意识。
学习重点：运用勾股定理进行简单的计算。
学习难点：勾股定理的应用。
一、目标导学
1、勾股定理？
2、已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则
⑴c= 。（已知a、b，求c）
⑵a= 。（已知b、c，求a）
⑶b= 。（已知a、c，求b）
二、自学展示
1、在Rt△ABC中，∠C=,AB=17,BC=8,求AC的长
2、Rt△ABC和以AB为边的正方形ABEF，∠ACB=90°，
AC=12，BC=5，则正方形的面积是______．
三、合作交流
1、(1) 已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8 AB.
(2) 已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=5，BC=6，求AC.
(3) 已知Rt△ABC中，∠B=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，c∶a=3∶4，b=15，求a，c及斜边高线h.
2、在一个直角三角形中, 两边长分别为6、 8,则第三边的长为________
3、已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高是________
4、边长为a的等边三角形面积等于多少？
四、反馈提升
5．直角三角形的两直角边的长分别是5和12，则其斜边上的高的长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
6、在直角三角形中，若两直角边a、b满足a+b=17，ab=60，则斜边长为多少？
7、已知，如图1-1-5，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求CF CE ？
五、当堂检测
1、填空
⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。
⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。
⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。
⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为 。
⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 ，面积为 。
2、在Rt△ABC，∠C=90°，
⑴如果a=7，c=25，则b= 。⑵如果∠A=30°，a=4，则b= 。
⑶如果∠A=45°，a=3，则c= 。⑷如果c=10，a-b=2，则b= 。
⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c= 。
⑹如果b=8，a：c=3：5，则c= 。
3、一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是 ( )
A、斜边长为25 B、三角形的周长为25
C、斜边长为5 D、三角形面积为20
4、一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
5、甲乙两人从同一地点出发，已知甲向东走了4km，乙向南走了3km，此时甲乙两人相距_________km。
6、点M（-2，3）是坐标平面内一点，O为坐标原点，则OM的长为____________
勾股定理（3）
学习目标
1、能运用勾股定理进行有关的计算、解决现实世界中的实际问题；
2、通过从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，初步掌握转化与数形结合的思想；
3、培养学生与人合作、交流的意识和品质。
学习重点： 运用勾股定理进行简单的计算。
学习难点：运用勾股定理解决简单的实际问题。
一、目标导学
勾股定理的内容：
二、自学展示
例：一个门框的尺寸如图所示。
（1）若有一块长3m，宽0.8m的薄木板，能否从门框内通过？怎样通过？
（2）若薄木板长3m，宽1.5m呢？
（3）若薄木板长3m，宽2.2m呢？
解：（1）
（2）
（3)连结 AC ，在 中，
根据 ： AC2= = =
因此，AC= ≈
因为AC 木板的宽， 所以木板 从门框内通过。
三、合作交流
1、一个大树高8米，折断后大树顶端落在离大树底端2米处，折断处离地面的高度是多少？
2、有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m远，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？（画出草图然后解答）
四、 反馈提升
1、若直角三角形三边存在关系，则最长边是 。
2、小东在平坦的场地上，从点A向东走了3m，再向北走了2m，再向西走了1m，又向北走了1m，最后向东走了4m，到达了B点，则A、B之间的距离 。
3、如图所示，一颗大树在一次强台风中离地面5米处，折断倒下，倒下部分与地面成300角，则这颗大树在折断前得高度和AB的长分别（ ）
4、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方3千米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5千米。这一过程中飞机飞过的距离是多少千米？
五、当堂检测
1、直角三角形两直角边分别为5cm、12cm，那么斜边上的高是（ ）
A、6cm B、 8cm C、 cm D、 cm；
2．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )．
(A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算
3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，
则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )．
(A)150cm2 (B)200cm2 (C)225cm2 (D)无法计算
4、（1）直角ABC的两直角边长分别是3和4，求第三边长。
（2）直角ABC的两边长分别是8和10，求第三边长。
5、甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了8km，乙往南走了6km，此时甲、乙两人相距____ __km．
6、场地上有两棵树相距12m,一棵树高13m,另一棵树高8m，一只小鸟从一棵树顶端飞向 另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？
7、如图1-2-4，新中源陶瓷厂某车间的人字形屋架为等腰△ABC，AC＝BC＝13米，AB＝24米．求AB边上的高CD的长度？
勾股定理（4）
学习目标
1、能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的问题。
2、通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，培养学生解决实际问题的应用能力。
3、在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯，体会勾股定理的应用价值。
学习重点：运用勾股定理解决实际问题。
学习难点：勾股定理的灵活运用。
一、目标导学
1、勾股定理的内容
2、小明为迎接“五一”，布置学生作品展览搬来一架
为4.1米的木梯,架在高为4米的墙上(如图),这时梯脚
与墙的距离是多少米
二、自学展示
例1、一架长5米的梯子AB，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距离墙底3米。如图，如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向也将滑动1米吗？为什么？
思考：（1）在这个问题中出现几个直角三角形？
每个直角三角形需知道几个条件？
（2）要求出梯子外移的距离BE，要求出哪两个量？
（3）在梯子滑动的过程中， 那些量不变 那些量发生变化？
解：梯子的底端在水平方向 ，理由如下：
在Rt△ABC中，AB= ,BC=
∴AC= = =
在Rt△DEC中，DE= = , 又AD=
∴DC= = =
∴CE= = =
∴BE= = =
∴ 即
三、合作交流
例2、一个2.5m长的梯子AB，斜靠在直的墙AO上，这时AO的距离为2.4m,如梯子的顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0.4m吗？
四、反馈提升
1、梯子AB斜靠在墙上，梯子的底端A到墙根O
的距离为2，梯子的顶端B到地面的距离为7米，
现将梯子的底端A向外移到C，使梯子的底端C
到墙根O的距离为3米，同时梯子的底端从B下
降到D， 那么BD：（1)等于1米 (2)大于1米
(3)小于1米.其中正确的序号是 。
2、学校有一块长方形的花圃，经常有同学为了少走几
步而走捷径，于是在草坪上开辟了一条“新路”，他们 4m
仅仅少走了 步(每两步约为1米），却踩伤了花草。
3m
五、当堂检测
1．如图，分别以Rt△ABC的三边向外作半圆，正方形，等边三角形，等腰直角三角形，试探究S1＋S2与S3的关系；
2．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是___ _
3、如图，AC⊥CE，AD=BE=13，BC=5，DE=7，
那么AC=
4、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。
5、长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角，则梯子的顶端沿墙面升高了____ __m．（结果保留根号）
6、某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队能否进入三楼灭火
勾股定理（5）
学习目标
1、灵活运用勾股定理解决数学中的实际问题，能运用勾股定理在数轴上画出无理数的点，进一步领会数形结合的思想；
2、培养学生的探究能力、画图能力和解决实际问题的能力；
3、学生体验学习数学的兴趣，形成积极参与数学的意识，
学习重点：运用勾股定理解决实际问题。
学习难点：勾股定理的灵活运用。
一、目标导学
1、实数包括 和 。
2、数轴上的点与 一一对应。
3、在数轴上画出表示下列各数的点：0, 2，3，-2，-1，5
4、13＝9＋4，即＝＋﹝ ﹞2；若以 和 为直角三角形的
两直角边长，则斜边长为。同理以 和 为直角三角形的两直角边长，则斜边长为
二、自学展示
1、数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？
分析：利用勾股定理，可以发现，长为 线段是直角边为正整数 ，
的直角三角形的斜边。由此可以依照如下方法，在数轴上画出表示 的点。
作法：1、在数轴上找到点A，使OA= ，
2、过点A作直线L垂直于OA，在L上取点B，使AB= ，
3、以原点O为原点，以OB为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C即为表示 的点。（O为原点）
三、合作交流
2、在数轴上画出表示的点？（尺规作图）
3、同样的方法，利用数轴上画出表示 ….的点。利用勾股定理，可以作出长为…..的线段.
如图：螺旋状图形是由若干个直角三角形所组成的，其中①是直角边长为1的等腰直角三角形。那么
OA1＝ ,OA2＝ ,OA3＝ ,OA4＝ ,OA5＝ ,
OA6＝ ,OA7＝ ,…,OA14 ＝ , …,OAn＝ .
思考：怎样在数轴上画出表示（n为正整数）的点？
四、反馈提升
4、已知：如图，在△ABC中，ADBC于D，AB=6，AC=4，BC=8，求BD，DC的长.
5、已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C’处，BC’与AD交于点E，AD=6，AB=4，求DE的长.
6、已知：如图，四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°, ∠B=∠D=90°. 求四边形ABCD的面积
五、当堂检测
1、在数轴上找出表示和-的点
2、如图，已知长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）
A、6cm2 B、8cm2
C、10cm2 D、12cm2
3、有一根长70cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm,40cm,30cm的木箱中，能否放进去？
4、将一个长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是h，则h的取值范围是 。
5、如图，一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm,一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则至少要爬行 厘米。
6、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？
图 2
图111
c
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
a
b
c
a
b
c
图1-1-5
a
b
c
勾股定理
图1-2-4
A
B
D
E
C
A
B
C
D
O
B
A
D
C
O
A
B
C
D
7cm
5
●
●
●
●
●
●
O
1
2
3
4
A
B
C