人教A版(2019）选择性必修第一册3.1.1椭圆及其标准方程 同步练习（Word版含答案）

3.1.1　椭圆及其标准方程（同步练习）
一、选择题
1.椭圆＋＝1的焦点坐标是(　　)
A.(±5,0)　 B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12,0)
2.“2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，则椭圆C的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1
4.设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　)
A.5　　　B.4 C.3　　　D.1
5.已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　)
A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线
6.P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为(　　)
A.60°　　　　B.30°　　　　C.120°　　　　D.150°
7.椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为(　　)
A.± B.± C.± D.±
8.已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
A.5 B.7
C.13 D.15
9.(多选)已知椭圆＋＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2一定不是(　　)
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
二、填空题
10.椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为________
11.已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________
12.已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为________
13.已知点P(6,8)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若·＝0.则椭圆的标准方程是________，sin∠PF1F2＝________
三、解答题
14.已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．
15.设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程．
16.设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|·|PF2|的最大值．
(2)若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值．
(3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值．
参考答案：
一、选择题
1.C 2.B　 3.B　 4.B　 5.B　 6.A　 7.D　 8.B　 9.ACD　
二、填空题
10.答案：＋＝1 11.答案：4　 12.答案：　 13.答案：＋＝1，　
三、解答题
14.解：(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)，设椭圆M的方程为＋＝1(a>b>0)，
又椭圆M过点，则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，
故b2＝1或b2＝－(舍)，a2＝5，故椭圆M的标准方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，得y0＝±.
又＋y＝1，所以x＝，x0＝±，
所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，.
15.解：设点M的坐标是(x，y)，P的坐标是(xP，yP)，
因为点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|，所以xP＝x，且yP＝y.
因为P在圆x2＋y2＝25上，所以x2＋＝25，整理得＋＝1，
即点M的轨迹C的方程是＋＝1.
16.解：(1)因为椭圆的方程为＋y2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，即|F1F2|＝2，
又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，所以|PF1|·|PF2|≤＝＝4，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”，所以|PF1|·|PF2|的最大值为4.
(2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－，0)，由＝λ得x0＝，y0＝－.
又＋y＝1，所以＋＝1，化简得λ2＋6λ－7＝0，
解得λ＝－7或λ＝1，因为点C异于B点，所以λ＝－7.
(3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，所以△PBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8，
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8.