人教A版（2019）必修第一册：三角函数相关解题训练（Word版含答案）

数学必修一 知能总结 三角函数相关解题
难度：6.0-6.5 解题方法：数形结合与恒等变换
一、单选题
1．设则有（ ）
A． B． C． D．
2．已知，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．已知的最大值是2，则在中的最大值是（ ）
A． B．3
C． D．
4．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．是周期函数
B．的图象关于原点对称
C．的值域为
D．的单调递减区间为，
6.已知函数 的部分图象如图所示，点，，则下列说法中错误的是（　　）
A．直线是图象的一条对称轴
B．的图象可由 向左平移个单位而得到
C．的最小正周期为
D．在区间上单调递增
7．（多选）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．为函数的一个周期 B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上为减函数 D．函数的值域为
8．函数，（，）部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数解析式为
B．函数的单调增区间为
C．函数的图象关于点对称
D．为了得到函数的图象，只需将函数向右平移个单位长度
二、填空题
9．已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移t（）个单位长度，得到函数的图象．若函数的图象关于原点对称，则t的最小值为________．
10．已知函数的部分图象如图所示，下述四个结论：①；②；③是奇函数；④是偶函数中，其中所有正确结论的编号是_______.
11．函数的图象为，如下结论中正确的是__________．
（1）图象关于直线对称；
（2）图象关于点对称；
（3）函数在区间内单调递增；
（4）由的图象向右平移个单位长度可以得到图象．
12．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在[0，]上为增函数，则的最大值为___________．
三、解答题
13．已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)若函数在区间内有两个不同的零点，直接写出实数的取值范围.
14．已知函数，．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的单调区间．
15．已知函数是偶函数.
(1)求的值；
(2)将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，最后向上平移1个单位长度后，得到的图象，若关于的方程在有两个不同的根，求实数的取值范围.
16．已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)现将图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；再向右平移个单位长度得到的图像，若当时，恒成立，求实数m的取值范围．
17．已知函
(1)求函数的最小正周期；
(2)将函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递减区间.
18．已知函数的图象与y轴的交点为(0，)．
(1)若ω=2，求f（x）在上的值域;
(2)若f（x）在上单调递减，且 a∈， ，求ω的取值范围．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【详解】
解：，
，
，
因为在上单调递增，
所以，
所以.
故选：C
2．C
【详解】
解：因为锐角，满足，
所以，
令，，
则，
由题意得，，所以，所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以
；
故选：C
3．C
【详解】
解：根据辅助角公式可得
，其中.
由的最大值为2可得,解得.
∴
.
∵，∴.
∴当，即时，取得最大值.
故
.
故选:C.
4．A
【详解】
因为，则，
则，因为，所以，
所以，
所以
，
因为，所以.
故选：A.
5．AC
【详解】
对于A选项，因为
，
故函数为周期函数，A对；
对于B选项，，
为偶函数，B错；
对于C选项，由A选项可知，函数是周期函数，且周期为，
不妨考虑函数在上的值域即可，
当时，则，
，
因为函数为偶函数，故函数在上的值域也为，
因此，函数的值域为，C对；
对于D选项，考虑函数在上单调递减区间，
当时，，且，
由可得，
由可得，由可得，
所以，函数在上的递减区间为，递增区间为、，
由于函数为偶函数，故函数在上的减区间为、、，
因此，函数的单调递减区间为、、，D错.
故选：AC.
6．B
【详解】
由函数部分图象，点，故 ，由于点 在单调递增的区间上，或 （舍去），
再根据五点法作图可得 ，求得，故 ．
对于A,令，求得，为最大值，故直线是图象的一条对称轴，故A正确；
对于B,把向左平移个单位，可得的图象，故B错误；
对于C,的最小正周期为 ，故C正确；
对于D，， ，故单调递增，故D对.
故选：B
7．ABD
【详解】
因为，
所以为函数的一个周期，故A正确；
因为，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
因为，
因为，所以，故，
由于，故在上为增函数，故C错误；
由C的分析可知在上为增函数，所以，
故D正确，
故选：ABD．
8．AB
【详解】
对于A，由图可知，，又因为
由，则，
两式相减得：
，所以①，
又因为，
所以，结合①，，
因为，所以
所以，故A正确；
对于B，，
解得：，故B正确；
对于C，令，解得：，
函数的图象关于点对称，所以C不正确；
对于D，将函数向右平移个单位得到，故D不正确.
故选：AB.
9．
【详解】
解：由图象可得时，函数的函数值为0，即，
，
，将此函数向左平移个单位得，，
又为奇函数，
，
，
的最小值是．
10．①②④
【详解】
由函数图象的最值可得，
由，解得，所以，所以①正确；
此时
代入得，
，
又，，所以②正确；
所以的解析式为.
不是奇函数，所以③错误；
，
为偶函数，所以④正确．
综上知，正确的命题序号是①②④．
11．（1）（2）（3）
【详解】
因为，
当时，，所以，所以（1）正确；
当时，，所以，所以（2）正确；
令，所以，
取，得，所以（3）正确；
由的图象向右平移个单位长度可以得到，故（4）不正确；
12．1
【详解】
依题意，
由得，
于是得的一个单调递增区间是，
因在为增函数，因此，，
即有，解得，即最大值为1．
故答案为：1
13．(1)
(2)
(3)
（1）由得，故最小正周期为,
（2）由，解得，故的单调递增区间为
（3）令，则，故问题转化为在区间内有两个不同的根，令，且，则问题等价于在有两个根，由的图象可知：当时，有两个根.故
14．(1)
(2)单调增区间为，单调递减区间为
【详解】
（1）解：∵，∴，即函数的最小正周期为．
（2）解：在区间上，，∴当，即时，单调递增；当，即时，单调递减；∴在上的单调增区间为，单调递减区间为
15．(1)
(2)
【解析】
（1）是偶函数，，，，．
（2）由（1）知，，由题意，，，，即.有两个不同的根，与的图象在上有两个交点，画出在上的图象，如图所示：由图可知，，解得，的取值范围是.
16．(1)
(2)
【详解】
(1)由
所以
所以最小正周期为；
(2)
将图像上所有点的横坐标缩短为到原来的，纵坐标不变得，
再向右平移个单位长度得到.
要使恒成立，只需，
只需的最小值大于等于即可，
由，则
. 所以的最小值为，
则，得，
所以实数m的取值范围是..
17．(1)
(2)
【解析】
(1)
,的最小正周期为.
(2)
由题意知函数的解析式为，
由， ，
函数的单调递减区间为.
18．(1)(-，2]
(2)
【解析】
(1)由题意得f（0）=2sin φ=，得sin φ=，
因为|φ|<，所以φ=，故，
因为，所以2x+，
所以，，
故f（x）在上的值域为(-，2]
(2)因为x∈[]，所以ωx+∈[ω+ω+]，
由题意得+2kπ≤ω+<ω+≤+2kπ，k∈Z，
解得：1+12k≤ω≤+6k，k∈Z，
由1+12k≤+6k，k∈Z，得k≤，k∈Z．
当k<0时，不符合题意，当k=0时，1≤ω≤
因为f(a-)=2sin[ω(a-)+]=2sin ωa≥，所以sin ωa≥，
所以+2kπ≤ωa≤+2kπ，k∈Z
因为a∈[]，所以ωa∈[ω，ω]，
所以+2kπ≤ω<ω≤+2kπ，k∈Z，
得2+16k≤ω≤+12k，k∈Z，
又1≤ω≤，所以2≤ω≤．
故ω的取值范围为[2，]．