1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示 同步练习（Word版含答案）

1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示（同步练习）
一、选择题
1.已知向量a＝(2，－1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则x的值是(　　)
A．－1　　 B．1或－1 C．－3 D．1
2.对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：＝＋＋，则(　　)
A．O，A，B，C四点必共面 B．P，A，B，C四点必共面
C．O，P，B，C四点必共面 D．O，P，A，B，C五点必共面
3.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是(　　)
A．(1,1，－1) B．(1，－1,1)
C．(－1,1,1) D．(－1，－1，－1)
4.已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　)
A．(1,1,1) B． C． D．
5.已知空间三点坐标分别为A(1,1,1)，B(0,3,0)，C(－2，－1,4)，点P(－3，x,3)在平面ABC内，则实数x的值为(　　)
A．1 B．－2 C．0 D．－1
6.(多选)若是平面ABCD的法向量，且四边形ABCD为菱形，则以下各式成立的是(　　)
A．⊥ B．⊥ C．⊥ D．⊥
7.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是(　　)
A.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0) B.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)
C.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1) D．平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)
二、填空题
8.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有________个．
9.如图，在正三棱锥S ABC中，点O是△ABC的中心，点D是棱BC的中点，则平面ABC的一个法向量可以是________，平面SAD的一个法向量可以是________．
10.已知向量b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)，若在直线AB上，存在一点E，使得⊥b(O为原点)，则E点的坐标为________
11.若A，B，C是平面α内三点，设平面α的法向量为a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________
12.已知点A(1,1，－4)，B(2，－4,2)，C为线段AB上的一点，且＝，则C点坐标为________
三、解答题
13.已知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2，－2)．
(1)写出直线BC的一个方向向量；
(2)设平面α经过点A，且BC是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．
14.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量．
15.如图所示，在四棱锥S ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量．
参考答案：
一、选择题
1.A　 2.B　 3.D　 4.B　 5.A　 6.ABC 7.AC
二、填空题
8.答案：8　 9.答案：　(答案不唯一)　 10.答案：　
11.答案：2∶3∶(－4) 12.答案：　
三、解答题
13.解：(1)∵B(2,0,0)，C(0,2，－2)，
∴＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线BC的一个方向向量．
(2)由题意＝(x－2，y－2，z－2)，
∵⊥平面α，AM α，∴⊥，
∴(－2,2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0. ∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0.
∴x－y＋z＝2.
14.证明：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(1,0,0)，E，D1(0,0,1)，F，A1(1,0,1)，
＝，＝，＝(－1,0,0)．
∵·＝·＝－＝0，·＝0，∴⊥，⊥.
又A1D1∩D1F＝D1，∴AE⊥平面A1D1F，∴是平面A1D1F的法向量．
15.解：
以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，
则＝，＝.
向量＝是平面SAB的一个法向量．
设n＝(x，y，z)为平面SDC的一个法向量，则即
取x＝2，得y＝－1，z＝1，
故平面SDC的一个法向量为(2，－1,1)．