课件11张PPT。正弦函数和余弦函数的奇偶性和单调性复习:
(一)正弦函数和余弦函数的图像(二)正弦函数和余弦函数的性质
(1) 定义域正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集 R. (2)值域:
正弦函数和余弦函数的值域都是 [-1,1] . (3)周期性:正弦函数和余弦函数都是周期函数,
2kp (k∈Z且k≠0) 都是它们的周期,最小正周期是2p. (4) 正弦函数和余弦函数的奇偶性
对于正弦函数 y = sin x, 设 (x,y) 即 (x,sinx) 为 y = sin x (x?R)图像上任一点,它
关于原点的对称点是 ( - x,- y ),也就是 (- x,- sinx ),而由诱导公式,sin(-x) = - sinx, 所以,图象上任一点关于原点的对称点是 (-x,sin(-x)),
它也在 y = sin x (x?R) 图象上.所以 , 正弦曲线关于原点对称. 定义:如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x,都有 f (-x) = - f (x),那么函数 f (x) 就叫做这一 定义域内的奇函数. 奇函数的图象关于原点对称.所以,正弦函数是奇函数,其图像关于原点对称. 对于余弦函数 y = cos x ( x?R ) , 设 (x,y) 即 (x,cos x) 为 y = cos x (x?R) 图像上任一点,
它关于 y 轴的对称点是 ( - x, y ),也就是 (- x,cos x ),而由诱导公式,cos ( - x) = cos x, 所以,图象上任一点关于 y 轴的对称点是 (-x,cos (-x)) ,它
也在 y = cos x (x?R) 的图象上.所以,余弦曲线关于y 轴对称. 定义:如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个
x,都有 f (-x) = f (x),那么函数 f (x) 就叫做这一定
义域内的偶函数. 偶函数的图像关于 y 轴对称.所以,余弦函数是偶函数,其图像关于 y 轴对称. 定义:如果函数 f (x) 是奇函数或偶函数,那么我们就说函数 f (x) 具有奇偶性 .
特别注意: (1)根据奇函数和偶函数的定义,如果一个函数是奇函数或偶函数,那么这个函数的定 义域一定关于原点对称 . 反过来,如果函数的定义域 关于原点不对称,那么这个函数就不具有奇偶性.
(2)我们知道,函数单调性是针对某个区间来说 的,是函数的局部性质;而函数的奇偶性是对函数的 整个定义域来说的,因而奇偶性是函数的整体性质.
判断函数奇偶性的方法:
先考察一下它的定义域,如果定义域关于原点不 对称,则可得结论函数不具有奇偶性,如果定义域关 于原点对称,再继续利用函数奇偶性的定义进行判断.
由上面的讨论,因为 sin (-x) = -sin x,cos(-x) = cos x,所以
正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.
所以,正弦曲线关于坐标原点 O 对称,余弦曲线 关于 y 轴对称.
下面我们将验证正弦曲线和余弦曲线的对称性,请点击下面的按钮正、余弦曲线
的对称性(5) 正弦函数和余弦函数的单调性
正弦函数的单调性-1010-1y = sin x,(x∈R)增区间为 其值由-1增大到1;减区间为 其值由 1 减小到 -1. 余弦函数的单调性y = cos x,(x∈R)增区间为 其值由-1增大到1;减区间为 其值由 1 减小到 -1.-1010-1例2 求下列函数的单调区间: y = 2sin (- x )例3 求下列函数的单调区间:(1) y = 3cos ( 2x - )(2) y = -| sin( x + )|答案:(1)