2022-2023学年人教版八年级数学上册13.3等腰三角形 同步 测试题 （Word版含答案）

2022-2023学年人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．已知等腰三角形三边的长分别为4，x，10，则x的值是（　　）
A．4 B．10 C．4 或10 D．6 或10
2．已知等腰三角形ABC的周长为20cm，BC＝8cm，则AB的长度是（　　）
A．8cm B．6cm
C．8cm 或6cm D．8cm 或6cm或4cm
3．已知等腰三角形的一个底角为70°，则其顶角为（　　）
A．50° B．60° C．30° D．40°
4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（　　）
A．65° B．105° C．55°或105° D．65°或115°
5．如图，在△ABC中，D、E是两边AB、AC上的点，DE∥BC，DE＝BE，若∠DBC＝20°，∠C＝65°，则∠A的度数是（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
6．如图，已知点B，C，D，E在同一直线上，△ABC是等边三角形，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（　　）
A．35° B．30° C．25° D．15°
7．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为（　　）°
A．150 B．120 C．90 D．80
8．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D．∠ABD＝∠A，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，已知S△ABC＝12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC的值是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
10．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠EDC＝∠BAC，且D为BC中点，DE＝CE，则AE：AB的值为（　　）
A． B． C． D．无法确定
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是　 　．
12．已知△ABC中有一个内角是30°，AB＝AC，AB边上的中垂线交直线BC于点D，连结AD，则∠DAC＝　 　．
13．如图，AD是△ABC的高，且AB+BD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C的度数为　 　．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝4cm，DE＝3cm，则BC＝　 　cm．
15．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，则DE的长为 　 　．
16．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：
①EF＝BE+CF； ②∠BOC＝90°+∠A；
③点O到△ABC各边的距离相等；
④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．
其中正确的结论是　 　．（填序号）
三．解答题（共5小题，满分50分）
17．已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE，求证：
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）AF＝CE．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）求证：∠B＝∠DEF；
（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
19．如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求证：MN∥AB．
20．已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．
（1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°，求证：①AC＝BD②∠APB＝60°．
（2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系式为　 　，∠APB的大小为　 　（直接写出结果，不证明）
21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝　 　°，∠DEC＝　 　°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　 　（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：当x＝4时，4+4＜10，不符合三角形三边关系，舍去；
当x＝10时，4+10＞10，符合三角形三边关系．
故选：B．
2．解：（1）当BC＝8cm为底边时，AB为腰，
由等腰三角形的性质，得AB＝（20﹣BC）＝6cm；
（2）当BC＝8cm为腰时，
①若AB为腰，则BC＝AB＝8cm；
②若AB为底，则AB＝20﹣2BC＝4cm，
故选：D．
3．解：∵等腰三角形的一个底角为70°，
∴顶角＝180°﹣70°×2＝40°．
故选：D．
4．解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+25°＝115°；
②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣25°＝65°．
故选：D．
5．解：∵DE＝BE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝20°，
∴∠DBE＝∠BDE＝20°，
∴∠ABC＝40°，
∵∠C＝65°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣40°﹣65°＝75°，
故选：D．
6．解：如图所示，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠1＝60°，
∵CD＝CG，
∴∠CGD＝∠2，
∴∠1＝2∠2，
同理有∠2＝2∠E，
∴4∠E＝60°，
∴∠E＝15°．
故选：D．
7．解：∵图中是三个等边三角形，∠3＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠ACB＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2，
∠BAC＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣∠1，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴60°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）＝180°，
∴∠1+∠2＝120°．
故选：B．
8．解：延长BD交AC于E，如图，
∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，
∴△BCE为等腰三角形，
∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，
∵∠A＝∠ABD，
∴EA＝EB＝2，
∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．
故选：D．
9．解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD＝DE，
∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，
∴S△ADC＝S△ABC＝×12＝6，
故选：C．
10．解：∵DE＝CE
∴∠EDC＝∠C，
∵∠EDC＝∠BAC，
∴∠EDC＝∠BAC＝∠C，
∵∠B＝60°，
∴△ABC及△DCE是等边三角形，
∵D为BC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AE：AB＝1：2．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．解：∵4+4＝8＜9，0＜4＜9+9＝18
∴腰的不应为4，而应为9
∴等腰三角形的周长＝4+9+9＝22
故填：22．
12．解：∠B＝30°是底角，如图1：
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝30°，
∵AB边上的中垂线交直线BC于点D，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝30°+30°＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣30°﹣60°＝90°；
∠BAC＝30°的角是顶角，如图2：
∵AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∵AB边上的中垂线交直线BC于点D，
∴∠BED＝∠AED＝90°﹣75°＝15°，
∴∠ADC＝15°+15°＝30°，
∴∠DAC＝75°﹣30°＝45°．
故∠DAC＝90°或45°．
故答案为：90°或45°．
13．解：在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE，
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∴AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠EAD＝∠BAD＝40°，∠AEB＝∠B＝90°﹣∠BAD＝50°，
∵AB+BD＝DC，DE+CE＝DC，
∴AB＝CE，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，
∴∠C＝∠AEB＝25°，
故答案为：25°．
14．解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN＝CN，
∵∠EBC＝∠E＝60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴△EFD为等边三角形，
∵BE＝4cm，DE＝3cm，
∴DM＝1cm，
∵△BEM为等边三角形，
∴∠EMB＝60°，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM＝90°，
∴∠NDM＝30°，
∴NM＝cm，
∴BN＝cm，
∴BC＝2BN＝7cm，
故答案为7．
15．解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴BD＝FD＝8cm，EF＝CE＝5cm，
∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE＝8﹣5＝3（cm），
故答案为：3cm．
16．解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故②正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON＝OD＝OM＝m，∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE OM+AF OD＝OD （AE+AF）＝mn；故④错误；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．
故答案是：①②③
三．解答题（共5小题，满分50分）
17．证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，
∵E为△ABC的外角平分线上的一点，
∴∠DAE＝∠EAC，
∴∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF＝CE．
18．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△DBE和△ECF中，，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝FE，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△BDE≌△CEF，
∴∠FEC＝∠BDE，
∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B
（3）∵由（2）知△BDE≌△CEF，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴∠CEF+∠DEF＝∠BDE+∠B，
∴∠DEF＝∠B，
∴AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠DEF＝∠B＝＝70°．
19．证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC＝DC，CE＝CB，∠DCA＝60°，∠ECB＝60°，
∵∠DCA＝∠ECB＝60°，
∴∠DCA+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，∠ACE＝∠DCB，
在△ACE与△DCB中，
∵，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE＝BD；
（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，
∴∠CAM＝∠CDN，
∵∠ACD＝∠ECB＝60°，而A、C、B三点共线，
∴∠DCN＝60°，
在△ACM与△DCN中，
∵，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴MC＝NC，
∵∠MCN＝60°，
∴△MCN为等边三角形，
∴∠NMC＝∠DCN＝60°，
∴∠NMC＝∠DCA，
∴MN∥AB．
20．解：（1）①证明：∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD．
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD；
②证明：∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∴∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠APB，
∴∠OAC+60°＝∠OBD+∠APB，
∴∠APB＝60°；
（2）AC＝BD，∠APB＝α．
21．解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，
∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°，115°，小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝2，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
理由：∵∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C+∠EDC＝30°+40°＝70°，
∴∠DAC＝∠AED，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形．