2022-2023学年北师大版九年级数学上册4.5相似三角形判定定理的证明 填空题 提升训练 （word、含解析）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.5相似三角形判定定理的证明》
填空题专题提升训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若AD＝1，AB＝4，则＝　 　．
2．如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC上的一点，AE交BD于F，若BE＝3，EC＝2，则＝　 　．
3．如图，△ABC中，D、E分别在BA、CA延长线上，DE∥BC，，DE＝1，BC的长度是 　 　．
4．如图，在△ABC中，点D在AB边上，且BD＝2AD，过D作DE∥BC，交AC于点E，若△ADE的周长为7，则△ABC的周长为 　 　．
5．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC．若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC的长为　 　．
6．如图，如果△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么S△DEF：S△ABC的值为　 　．
7．如图，DE∥BC，EF∥AB，若AE：AC＝1：3，则DE：FC＝　 　．
8．如图，矩形DEFG的一边GF在△ABC的边BC上，D、E分别在AB、AC上，AH⊥BC交DE于M，DG：DE＝1：2，BC＝12cm，AH＝8cm，则DE的长 　 　．
9．如图，在△ABC中，AB＝5，D、E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE＝∠B，若AD BC的值为10，则DE的长为 　 　．
10．如图，在 ABCD中，E是边BC的中点，连接AE、BD交于点F，若AE＝6，则AF的长是　 　．
11．如图，在△ABC中，点D在AB上，连接CD，过点B作直线BE⊥CD于点E，交AC于点F，若∠BCD＝2∠ABF，∠BDE+∠CFE＝135°，AD＝7，BC＝17，则线段EF＝　 　．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，BD平分∠ABC，AD∥BC，则AD的长是　 　．
13．如图， ABCD中，E是AD中点，BE与AC交于点F，则△AEF与△CBF的面积比为　 　．
14．如图，在△ABC中，CE：EB＝1：2，DE∥AC，已知S△ABC＝1，那么S△AED＝　 　．
15．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分S1、S2，若S1：S2＝1：4，则AD：AB＝　 　．
16．边长为1的正方形ABCD，在BC边上取一动点E，连接AE，作EF⊥AE，交CD边于点F，若CF的长为，则CE的长为　 　．
17．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且∠DBA＝∠C，若AD＝2cm，AB＝4cm，那么CD的长等于　 　cm．
18．如图，在△ABC中∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：
①PM＝PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC＝45°时，BN＝PC．
其中正确的是　 　．
19．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果BC＝4，正方形的边长是，那么△ABC的面积是 　 　．
20．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为3和2，且B、C、E在一直线上，AE与CF交于点P，则＝　 　．
21．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若AE＝4，CE＝2，则＝　 　；＝　 　．
22．如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心，将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若AQ DP＝3，则BQ＝　 　．
23．如图，△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，设△ABC的面积为S1，△BEF的面积为S2，则S1：S2＝　 　．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，3），点B在x轴的正半轴上，且OA＝AB，将△OAB沿x轴向右平移得到△ECD，AB与CE交于点F．若CF：EF＝3：1，则点D的坐标为 　 　．
参考答案
1．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝．
故答案为：．
2．解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝BE+CE＝5，
∴∠DAF＝∠BEF，∠ADF＝∠EBF，
∴△DAF∽△BEF，
∴，
故答案为：．
3．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵，DE＝1，
∴BC＝，
故答案为：．
4．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵BD＝2AD，
∴相似比＝＝，
∵相似三角形的周长比等于相似比，△ADE的周长为7，
∴△ABC的周长＝21，
故答案为：21．
5．解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴BC＝6．
故答案为：6．
6．解：如图，设正方形网格的边长为1，由勾股定理得：
DE2＝22+22，EF2＝22+42，
∴DE＝2，EF＝2；
同理可求：AC＝，BC＝，
∵DF＝2，AB＝2，
∴＝，
∴△EDF∽△BAC，
∴S△DEF：S△ABC＝DF2：AC2＝2，
故答案为2．
7．解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴∠ADE＝∠B，∠AEC＝∠C，∠EFC＝∠B，
∴∠ADE＝∠EFC，
∴△ADE∽△EFC，
∵AE：AC＝1：3，
∴AE：EC＝1：2，
∴DE：FC＝AE：EC＝1：2．
故答案为：1：2．
8．解：设DG＝xcm，则DE＝2xcm，
∵四边形DEFG是矩形，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AH⊥BC交DE于M，
∴四边形DGHM是矩形，
∴DG＝MH＝x，
∵AH＝8cm，
∴AM＝AH﹣MH＝8﹣x，
∵AM，AH分别是△ADE，△ABC的对应高，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝，
∴DE＝2x＝cm，
故答案为cm．
9．解：∵∠ADE＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即AD BC＝AB DE，
∵AB＝5，AD BC＝10，
∴DE＝2．
故答案为：2．
10．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴AF：EF＝AD：BE，
∵E是边BC的中点，即BE＝CE，
∴AD：BE＝2：1，
∴AF：EF＝2：1，即AF：AE＝2：3，
∵AE＝6，
∴AF＝4，
故答案为：4．
11．解：过点D作DP⊥AC于P，
∵BE⊥CD，
设∠BCD＝2x，则∠ABF＝x，
∴∠BDC＝90°﹣x，
∵∠BDE+∠CFE＝135°，
∴∠CFE＝135°﹣90°+x＝45°+x，
∴∠ACD＝90°﹣∠CFE＝45°﹣x，
∴∠ACB＝2x+∠ACD＝45°+x，
则∠ACB＝∠CFE，
∴BC＝BF＝17，
∵∠EBC＝90°﹣2x，
∴∠ABC＝90°﹣2x+x＝90°﹣x＝∠BDC，
∴BC＝CD＝17，
设EF＝x，则BE＝BF﹣EF＝17﹣x，
在Rt△BCE中，EC＝＝，
在Rt△CEF中，CF＝＝，
∵∠ABC+∠ACB＝90°﹣x+45°+x＝135°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝45°，
即AP＝DP，
∴在Rt△ADP中，AD2＝AP2+DP2，
AD＝7，
∴AP＝DP＝，
∵∠DPC＝∠FEC＝90°，∠DCP＝∠FCE，
∴△DPC∽△FEC，
∴＝，
∴＝，
＝，
x＝，
即EF＝，
故答案为：．
12．解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝5，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠D，
∴∠D＝∠ABD，
∴AD＝AB＝5，
故答案为：5．
13．解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AE＝BC，
∴∠FAE＝∠FCB，∠FEA＝∠FBC，
∴△AEF∽△CBF，
∴S△AEF：S△CBF＝（AE：BC）2，
∵E为AD中点，
∴AE：AD＝1：2，
∴AE：BC＝1：2，
∴S△AEF：S△CBF＝1：4，
故答案为：1：4．
14．解：∵CE：EB＝1：2，设CE＝k，则EB＝2k，
∵DE∥AC，
∴BE：BC＝2k：3k＝2：3，
∴，
∴S△BDE＝，
∵DE∥AC，
∴，
∴，
则S△ADE＝S△BDE＝．
故答案为：．
15．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵S1：S2＝1：4，
∴S△ADE：S△ABC＝1：5，
∴AD：AB＝＝，
故答案为：．
16．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°．
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，
∴＝，即＝，
∴CE＝或CE＝．
故答案为：或．
17．解：∵∠DBA＝∠C，∠A是公共角，
∴△ABC∽△ADB，
∴＝，即＝，
解得AC＝8，
∴CD＝8﹣2＝6cm．
故答案为：6．
18．解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，
∴PM＝BC，PN＝BC，
∴PM＝PN，正确；
②在△ABM与△ACN中，
∵∠A＝∠A，∠AMB＝∠ANC＝90°，
∴△ABM∽△ACN，
∴，正确；
③∵∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，
∴∠ABM＝∠ACN＝30°，
在△ABC中，∠BCN+∠CBM＝180°﹣60°﹣30°×2＝60°，
∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，
∴PM＝PN＝PB＝PC，
∴∠BPN＝2∠BCN，∠CPM＝2∠CBM，
∴∠BPN+∠CPM＝2（∠BCN+∠CBM）＝2×60°＝120°，
∴∠MPN＝60°，
∴△PMN是等边三角形，正确；
④当∠ABC＝45°时，∵CN⊥AB于点N，
∴∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，
∴BN＝CN，
∵P为BC边的中点，
∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形
∴BN＝PB＝PC，正确．
故答案为：①②③④．
19．解：如图所示，过A作AH⊥BC，交GF于点M，交BC于点N，
∴MN＝DE＝，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，AM⊥GF，
∴，
设AM＝x，则AN＝x+，
∴，
解得x＝，
∴AN＝2，
∴S△ABC＝．
故答案为：4．
20．解：∵正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为3和2，且B、C、E在一直线上，
∴EF＝CE＝2，AB＝BC＝3，BE＝2+3＝5，CH∥EF，GH∥AB，
∴△CEH∽△BEA，△CHP∽△FEP，
∴，即，CH＝，
＝．
故答案为：．
21．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝，
∴＝（）2＝．
故答案为：；．
22．解：如图，连接DQ，
∵将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，
∴DE＝DF，∠FDE＝90°，
∴∠DFE＝∠DEF＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝45°＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠DFQ＝45°，
∴点A，点F，点Q，点D四点共圆，
∴∠BAQ＝∠FDQ＝45°，∠DAF＝∠DQF＝90°，∠AFD＝∠AQD，
∴DF＝DQ，
∵AD＝AB，∠BAC＝∠DAC＝45°，AQ＝AQ，
∴△ABQ≌△ADQ（SAS），
∴BQ＝QD，∠AQB＝∠AQD，
∵AB∥CD，
∴∠AFD＝∠FDC，
∴∠FDC＝∠AQB，
又∵∠BAC＝∠DFP＝45°，
∴△BAQ∽△PFD，
∴，
∴AQ DP＝3＝BQ DF，
∴3＝BQ BQ，
∴BQ＝，
故答案为：．
23．解：∵点D、E分别为BC、AD的中点，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，
S△BDE＝S△ABD＝S△ABC，
S△CDE＝S△ACD＝S△ABC，
∴S△BCE＝S△BDE+S△CDE＝S△ABC+S△ABC＝S△ABC，
∵F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×S△ABC＝S△ABC，
∴S△BEF：S△ABC＝1：4，
∴S1：S2＝4：1
故答案为：4：1．
24．解：如图，作AG⊥x轴于点G，
∵A（4，3），
∴G（4，0），
∵OA＝AB，
∴BG＝OG＝4，
∴B（8，0），
由平移得AB∥CD，ED＝OB＝8，
∴＝＝，
∴BD＝ED＝×8＝6，
∴OD＝OB+BD＝14，
∴D（14，0），
故答案为：（14，0）．