2022-2023学年北师大版七年级数学上册3.5规律探索与表达 同步练习（word、含解析）

规律探究
1．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a+b的值为（　　）
A．32 B．33 C．34 D．35
2．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值应是（　　）
A．110 B．158 C．168 D．178
3．如图，某计算装置有一数据输入口A和一运算结果的输出口B，表格中是小明输入的一些数据和这些数据经该装置计算后输出的相应结果，按照这个计算装置的计算规律，若输入的数是10，则输出的数是（　　）
A 1 2 3 4 5
B 2 5 10 17 26
A．98 B．99 C．100 D．101
　
4．观察一组数2，5，10，17，26，37，…，则第n个数是　 　．
5．某城市大剧院地面的一部分为扇形，观众席的座位按下列方式设置：上述问题中，第五排、第六排分别有　 　个、　 　个座位；第n排有　 　个座位．
排数 1 2 3 4 …．
座位数 50 53 56 59 …．
猜数字游戏中，小红写出如下一组数：…，小亮猜想出第六个数字是，根据此规律，第n个数是　 　．
7．观察下列一组等式：32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41…照此规律，若112=b+c，则b的值为　 　，c的值为　 　．
8．观察下列数据，按某种规律在横线上填上适当的数：
1，﹣，，﹣，，…，则第n个数应表示为　 　．
9．已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×，…若10+=102×（a，b均为整数），则a+b=　 　．
10．将从1开始的正整数按如图方式排列．
字母P，Q，M，N表示数字的位置，则2016这个数应该的位置是　 　．（填P，Q，M，N）
11．观察下列数据，寻找规律：0，3，6，9，12，15，18，…，那么第n（n≥1）个数据应是　 　（用含n的代数式表示）
12．一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据，，，，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n（n≥1）个数据是　 　．
13．观察下列各式：12+1=1×2，22+2=2×3，32+3=3×4，…，请你将猜测到的规律用含自然数n（n≥1 ）的等式表示出来为　 　．
14．观察下列各式：…请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的代数式表达出来　 　．
15．观察下列各式：
13=12
13+23=32
13+23+33=62
13+23+33+43=102
…
猜想13+23+33+…+103=　 　．
16．观察如图的数：
按照上述规律排下去，那么第10行从左边数起第6个数是　 　．
　
17．先观察：1﹣=×，1﹣=×，1﹣=×，…
（1）探究规律填空：1﹣=　 　×　 　；
（2）计算：（1﹣） （1﹣） （1﹣）…（1﹣）．
18．观察下面的一列式子：
﹣==
﹣==
﹣==
…
利用上面的规律回答下列问题：
（1）填空：﹣=　 　；
（2）计算：++++++．
19．用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（　　）
A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2
20．在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（　　）
A．84株 B．88株 C．92株 D．121株
　
21．如图是某月的日历
（1）带阴影的方框中的9个数之和与方框正中心的数有什么关系？
（2）不改变方框的大小如果将带阴影的方框移至其他几个位置试一试，你能得出什么结论？你知道为什么吗？
（3）这个结论对于任何一个月的日历都成立吗？
22．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：
（1）第4个图案中有白色地砖　 　块；第10个图案中有白色地砖　 　块；
（2）第n个图形中有白色地砖　 　块．
　
参考答案
　
一．选择题（共3小题）
1．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a+b的值为（　　）
A．32 B．33 C．34 D．35
【解答】解：∵左边的数为连续的奇数1，3，5，7，9，11，
上边的数为2，4，6，…，
∴b=2×6﹣1=11，
∵上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，
∴a=11+12=23，
∴a+b=23+11=34，
故选：C．
　
2．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值应是（　　）
A．110 B．158 C．168 D．178
【解答】解：根据排列规律，10下面的数是12，10右面的数是14，
∵8=2×4﹣0，22=4×6﹣2，44=6×8﹣4，
∴m=12×14﹣10=158．
故选：B．
　
3．如图，某计算装置有一数据输入口A和一运算结果的输出口B，表格中是小明输入的一些数据和这些数据经该装置计算后输出的相应结果，按照这个计算装置的计算规律，若输入的数是10，则输出的数是（　　）
A 1 2 3 4 5
B 2 5 10 17 26
A．98 B．99 C．100 D．101
【解答】解：根据题意和图表可知，
当A=1时，B=2=12+1，
当A=2时，B=5=22+1，
当A=3时，B=10=32+1，
…，
当A=n时，B=n2+1，
当A=10时，B=102+1=100+1=101，
则当输入的数是10时，输出的数是101；
故选：D．
　
4．观察一组数2，5，10，17，26，37，…，则第n个数是　n2+1　．
【解答】解：∵第1个数2=12+1，
第2个数5=22+1，
第3个数10=32+1，
…
∴第n个数为n2+1，
故答案为：n2+1．
．
　
5．某城市大剧院地面的一部分为扇形，观众席的座位按下列方式设置：上述问题中，第五排、第六排分别有　62　个、　65　个座位；第n排有　47+3n　个座位．
排数 1 2 3 4 …．
座位数 50 53 56 59 …．
【解答】解：第一排有50个座位，
第二排有[50+（2﹣1）×3]=53个座位，
第三排有[50+（3﹣1）×3]=56个座位，
第四排有[50+（4﹣1）×3]=59个座位，
第五排有[50+（5﹣1）×3]=62个座位，
第六排有[50+（6﹣1）×3]=65个座位，
第n排有[50+3（n﹣1）]=（47+3n）个座位．
　
6．猜数字游戏中，小红写出如下一组数：…，小亮猜想出第六个数字是，根据此规律，第n个数是　　．
【解答】解：∵分数的分子分别是：21=2，2 2=4，23=8，24=16，…
分数的分母分别是：2 1+5=7，22+5=9，23+5=13，…
∴第n个数是．
故答案为：．
　
7．观察下列一组等式：32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41…照此规律，若112=b+c，则b的值为　60　，c的值为　61　．
【解答】解：∵32==4+5，52==12+13，72==24+25 …，
∴112==60+61，
∴b=60，c=61；
故答案为：60，61．
　
8．观察下列数据，按某种规律在横线上填上适当的数：
1，﹣，，﹣，，…，则第n个数应表示为　（﹣1）n+1　．
【解答】解：数列为1，﹣，，﹣，，…，第n个数为（﹣1）n+1．
故答案为（﹣1）n+1．
9．已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×，…若10+=102×（a，b均为整数），则a+b=　109　．
【解答】解：10+=102×中，根据规律可得a=10，b=102﹣1=99，
∴a+b=109．
故答案为：109．
　
10．将从1开始的正整数按如图方式排列．
字母P，Q，M，N表示数字的位置，则2016这个数应该的位置是　M　．（填P，Q，M，N）
【解答】解：∵字母Q，N处的数字是奇数，字母P，M处的数字是偶数，
∴2016这个数在字母P、M处；
∵2=4×1﹣2，6=4×2﹣2，10=4×3﹣2，…，
∴字母P处的数字为：4n﹣2；
∵4=4×1，8=4×2，12=4×3，…，
∴字母M处的数字为：4n；
∵2016=4×504，
∴2016这个数应排的位置是M．
故答案为：M．
　
11．观察下列数据，寻找规律：0，3，6，9，12，15，18，…，那么第n（n≥1）个数据应是　3（n﹣1）　（用含n的代数式表示）
【解答】解：第一个数0=3（1﹣1）=0，
第二个数3=3（2﹣1）=3，
第三个数6=3（3﹣1）=6，
则第n个数为3（n﹣1），
故答案为3（n﹣1）
　
12．一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据，，，，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n（n≥1）个数据是　　．
【解答】解：根据数的规律可知第n个式子是．
　
13．观察下列各式：12+1=1×2，22+2=2×3，32+3=3×4，…，请你将猜测到的规律用含自然数n（n≥1 ）的等式表示出来为　n2+n=n（n+1）　．
【解答】解：观察等式，推而广之，即
第n个等式是n2+n=n（n+1）．
　
14．观察下列各式：…请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的代数式表达出来　（n≥1）　．
【解答】解：∵=（1+1）；
=（2+1）；
∴=（n+1）（n≥1）．
故答案为：=（n+1）（n≥1）．
　
15．观察下列各式：
13=12
13+23=32
13+23+33=62
13+23+33+43=102
…
猜想13+23+33+…+103=　552　．
【分析】13=12
13+23=（1+2）2=32
13+23+33=（1+2+3）2=62
13+23+33+43=（1+2+3+4）2=102
13+23+33+…+103=（1+2+3…+10）2=552．
【解答】解：根据数据可分析出规律为从1开始，连续n个数的立方和=（1+2+…+n）2
所以13+23+33+…+103=（1+2+3…+10）2=552．
　
16．观察如图的数：
按照上述规律排下去，那么第10行从左边数起第6个数是　87　．
【解答】解：根据数列排列规律：第n行有（2n﹣1）个数，每行的最后一个数是自然数的平方，进一步得出左边第一个数可以表示为：n2﹣2n+2
把10代入，得出左边第一个数为：n2﹣2n+2=102﹣2×10+2=82．列举：82、83、84、85、86、87，得出第6个数为87
故答案为87．
　
17．先观察：1﹣=×，1﹣=×，1﹣=×，…
（1）探究规律填空：1﹣=　　×　　；
（2）计算：（1﹣） （1﹣） （1﹣）…（1﹣）．
【解答】解：（1）1﹣=×，
故答案为：，；
（2）（1﹣） （1﹣） （1﹣）…（1﹣）=××××××…×==．
　
18．观察下面的一列式子：
﹣==
﹣==
﹣==
…
利用上面的规律回答下列问题：
（1）填空：﹣=　　；
（2）计算：++++++．
【解答】解：（1）根据题意知﹣=，
故答案为：；
（2）原式=++++++
=1﹣+﹣+…+﹣
=1﹣
=．
19．用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（　　）
A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2
【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；
第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；
第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；
…
∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；
故选：C．
　
20．在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（　　）
A．84株 B．88株 C．92株 D．121株
【解答】解：由图可得，
芍药的数量为：4+（2n﹣1）×4，
∴当n=11时，芍药的数量为：4+（2×11﹣1）×4=4+（22﹣1）×4=4+21×4=4+84=88，
故选：B．
　
21．如图是某月的日历
（1）带阴影的方框中的9个数之和与方框正中心的数有什么关系？
（2）不改变方框的大小如果将带阴影的方框移至其他几个位置试一试，你能得出什么结论？你知道为什么吗？
（3）这个结论对于任何一个月的日历都成立吗？
【解答】解：（1）3+4+5+10+11+12+17+18+19=99，
99÷11=9，
则方框中9个数之和为方框正中心的9倍；
（2）移动位置，9个数字之和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144，
144÷16=9，
设中心的数为x，
则（x﹣8）+（x﹣7）+（x﹣6）+（x﹣1）+x+（x+1）+（x+6）+（x+7）+（x+8）=9x，
所以9个数之和是方框中心数的9倍；
（2）由题意得，9x=153，
解得：x=17，
所以这9个数为：9、10、11、16、17、18、23、24、25．
（3）这个关系对任何一个月的日历都成立，理由为任何一个日历表都具有这种排列规律．
　
22．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：
（1）第4个图案中有白色地砖　18　块；第10个图案中有白色地砖　42　块；
（2）第n个图形中有白色地砖　4n+2　块．
【解答】解：根据题意得：
∵每个图形都比其前一个图形多4个白色地砖，
∴可得规律为：第n个图形中有白色地砖6+4（n﹣1）=（4n+2）块；
（1）当=4时，4n+2=4×4+2=18；第10个图案中有白色地砖42块；
（2）第n个图里有白色地砖6+4（n﹣1）=4n+2；
故答案为：18，42，4n+2．