2022-2023学年北师大版九年级数学上册4.4探索三角形相似的条件 解答题提升训练（word、含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》
解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．求证：△AED∽△ADC．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝30°，求证：△ABD∽△DCE．
3．如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝6，CE＝3．
（1）求CD的长；
（2）求证：△CDE∽△BDC．
4．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE∥AC，∠DEF＝∠A．求证：△BDE∽△EFC．
5．如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．求证：△ABC∽△DEC．
6．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线．求证：△ABC∽△BDC．
7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．
8．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，BD DE＝BE CD．求证：△BCD∽△BDE．
9．已知：CD是△ABC的角平分线，以B为圆心，BD为半径画弧交CD于E．
求证：△ACD∽△BCE．
10．如图，在矩形ABCD中，BD＝6，CD＝3，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，BE交AD于点F．求证：△ABF∽△EBD．
11．如图，将△ABC绕点A旋转至△AB'C'的位置，点B'恰好在BC上，AC与B'C'交于点E，连接CC'．
（1）求证：；
（2）求证：△ABB'∽△ACC'．
12．如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE＝90°．
求证：△ACD∽△BEC．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC—CB向终点运动．如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）如图2，Q在CB上，是否存着某时刻，使得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
14．如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，设BD与CE相交于F点．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求证：DE BF＝EF BC．
15．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．
16．如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，△APC与△BPD相似吗？为什么？
17．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE．
（1）若AD AB＝AE AC．求证：△ADE∽△ACB；
（2）若AB＝8，AC＝6，AD＝3，直接写出：当AE＝　 　时，△ADE与△ACB相似．
18．如图，在△ABC中，D为AC延长线上一点，∠CBD＝∠A，过点D作DE∥AB，交BC延长线于点E．求证：△ECD∽△EDB．
19．如图，AD和BG是△ABC的高，连接GD．
（1）求证△ADC∽△BGC；
（2）求证△CDG∽△CAB．
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，动点E在边BC上，连接DE，过点A作AH⊥DE，垂足为H，AH交CD于F．
（1）求证：△CDE∽△DAF；
（2）当FC＝2时，求EC的长．
（3）若直线AF与线段BC延长线交于点G，当△DEB∽△GFD时，求DF的长．
参考答案
1．解：∵AD＝AB，
∴∠B＝∠ADB，
∵∠DEC＝∠B，
∴∠ADB＝∠DEC，
∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠DEC，
∴∠ADC＝∠AED，
∵∠DAE＝∠CAD，
∴△AED∽△ADC．
2．证明：∵AB＝AC，且∠BAC＝120°，
∴∠ABD＝∠ACB＝30°，
∵∠ADE＝30°，
∴∠ABD＝∠ADE＝30°，
∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠ABD+∠DAB，
∴∠EDC＝∠DAB，
∴△ABD∽△DCE．
3．（1）解：∵∠ACB＝90°AB＝6，BC＝6，
∴AC＝＝12；
∴AE＝AC﹣CE＝9，
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE；
∴，
∴CD＝＝＝2，
（2）证明：∵∠ACB＝90°，CE＝3，BC＝6，
∴BE＝＝3，
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE，
∴，
∴DE＝，
∴BD＝4，
∵，，
∴，
∵∠D＝∠D，
∴△CDE∽△BDC．
4．证明：∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠DEB＝∠C，∠EFC＝∠DEF，
∵∠DEF＝∠A，
∴∠BDE＝∠EFC，
∴△BDE∽△EFC．
5．证明：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACB，
又∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEC．
6．证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∵∠A＝∠CBD＝36°，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC．
7．证明：∵四边形ABCD是正方形，BP＝3PC，Q是CD的中点，
∴QC＝QD＝AD，CP＝AD，
∴，
又∵∠ADQ＝∠QCP＝90°，
∴△ADQ∽△QCP．
8．证明：∵点BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，
∴∠BDC＝∠BED＝90°，
∵BD DE＝BE CD，
∴，
∴△BCD∽△BDE．
9．证明：∵BE＝BD，
∴∠BDE＝∠BED，
∵∠BDE+∠ADC＝180°，∠BED+∠CEB＝180°，
∴∠ADC＝∠CEB，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE．
10．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝90°．
∵BD＝6，CD＝3，
∴CD＝BD，
∴∠CBD＝30°，
由折叠可知：∠EBD＝∠CBD＝30°，∠E＝∠C＝90°，
∴∠ABF＝30°，
∴∠ABF＝∠EBD，
又∵∠A＝∠E，
∴△ABF∽△EBD．
11．证明：（1）由旋转的性质可知，∠ECB′＝∠AC′E，
∵∠CEB′＝∠AEC′，
∴△CEB′∽△C′EA，
∴＝；
（2）∵∠BAC＝∠B′AC′，
∴∠BAB′＝∠CAC′，
∵AB＝AB′，AC＝AC′，
∴＝，
∴△ABB′∽△ACC′．
12．证明：∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠DAC＝∠CBE＝90°，
∴∠ADC+∠DCA＝90°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠DCA+∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠ADC，
∴△ACD∽△BEC．
13．解：（1）如图1，当∠AQP＝90°时，△AQP∽△ACB，
∴．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝＝＝10（cm）．
∵BP＝t，AQ＝t，
∴PA＝10﹣t，
∴，
∴t＝，
如图2，当∠APQ＝90°时，△APQ∽△ACB，
∴，
∴，
t＝．
综上所述，t＝或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）如图3，当△BPQ∽△BAC时，
．
∵BQ＝14﹣t，BP＝t，
∴，
∴t＝，
当△BQP∽△BAC时，
∴，
∴t＝（舍去），
∴t＝时，Q在CB上，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
14．证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEF＝∠CDF＝90°，且∠EFB＝∠DFC，
∴△BEF∽△CDF；
（2）∵∠BEF＝∠CDF＝90°，
∴点B，点C，点D，点E四点共圆，
∴∠DEF＝∠DBC，∠BFC＝∠DFE，
∴△DEF∽△CBF，
∴，
∴DE BF＝EF BC
15．解：△ABC和△DEF相似；
理由如下：由图形可知AB＝2，根据勾股定理得，BC＝2，AC＝2；DE＝，DF＝，EF＝2，
∵，
∴△ABC∽△DEF．
16．解：△APC与△BPD相似，
理由如下：
∵PC＝PD＝CD，
∴△PCD为等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，
∴∠ACP＝∠PDB＝120°，
又∵∠A＝∠BPD，
∴△APC∽△BPD
17．（1）证明：∵AD AB＝AE AC，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB；
（2）解：若△ADE∽△ACB，则，
即，
∴AE＝4．
若△ADE∽△ABC，则，
即，
∴AE＝．
故答案为：．
18．证明∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠A，
又∵∠CBD＝∠A，
∴∠EDC＝∠CBD，
∵∠E＝∠E，
∴△ECD∽△EDB．
19．（1）证明：在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，
∴∠BGC＝∠ADC＝90°，
又∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BGC；
（2）证明：∵△ADC∽△BGC，
∴＝，
∴＝．
又∠C＝∠C，
∴△CDG∽△CAB．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠ADC＝∠BCD＝90°．
又∵AF⊥DE，
∴∠DCE＝∠ADF＝90°，∠EDC＝∠DAF＝90°﹣∠DFA，
∴△ADF∽△DCE；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝3，
∵FC＝2，
∴DF＝DC﹣FC＝1，
∵△ADF∽△DCE
∴＝，
∴EC＝＝＝；
（3）解：如图中，
∵△ADF∽△DCE
∴＝，
∴＝＝＝2，
设EC＝x，则DF＝2x，
∵△DEB∽△GFD，
∴＝，
∴FG＝
∵△ADF∽△GCF，
∴＝，
∴FG＝ ，
∴＝
解得x＝，
∴DF＝2x＝．