2022-2023学年苏科版九年级数学上册第1章一元二次方程 解答题达标测评 （word、含答案）

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《第1章一元二次方程》解答专题达标测评（附答案）
（共20小题，每小题6分，满分120分）
1．解方程：3x2＝2（2﹣x）．
2．解下列各方程
（1）x2﹣20＝0；
（2）x2﹣5x﹣6＝0；
（3）3x2+5（2x+1）＝0；
（4）（x+2）2﹣2（x+2）﹣3＝0．
3．已知关于x的方程mx2+（2m﹣3）x+m＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
4．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使该方程的两个实数根x1、x2满足x1+x2＝5﹣2x1x2，若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
5．小明在学习一元二次不等式的解法时发现，可以应用初中所学知识，“用因式分解法解一元二次方程”
的方法求解．方法如下：
解不等式：x2﹣4＞0．
解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），
∴原不等式可化为（x+2）（x﹣2）＞0．
∵两数相乘，同号为正，
∴①或②
由①得x＞2，由②得x＜﹣2，
∴原不等式的解集为x＞2或x＜﹣2．
请用以上方法解下列不等式：（1）x2﹣9＞0；（2）．
6．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m＝1．
（1）如果方程根的判别式的值为1，求m的值．
（2）如果方程有一个根是﹣1，求此方程的根的判别式的值．
7．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2019年底到2021年底两年内由5万册增加到7.2万册．
（1）求这两年藏书的年平均增长率；
（2）该校期望2022年底藏书量达到8.6万册，按照（1）中藏书的年平均增长率，上述目标能实现吗？请通过计算说明．
8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣5m2﹣3＝0．
（1）当m＝1时，试求出该方程的解；
（2）求证：不论m取任何值，该方程总有两个不相等的实数根．
9．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，
因为（x+1）2≥0，所以（x+1）2+2≥2，所以x2+2x+3的最小值是2．
（1）当x2+2x+3取最小值时，相应的x的值是 　 　；
（2）求代数式x2﹣6x+13的最小值；
（3）对于代数式：﹣x2+2x+4，请直接写出它的最值（请说明“最大值”或“最小值”）并写出此时相应的x的值．
10．列方程解应用题：
某网店以每件40元的价格购进一批T恤衫进行销售，当按每件50元出售时，每周可售出500件．经市场调查，该T恤衫的销售单价每涨1元，其每周的销售量会减少10件．网店每周希望获得8000元的利润，销售量又不能低于300件，问该T恤衫每件的售价应定为多少元？
11．用长为6米的铅合金条制成如图所示的矩形窗框，其中EF∥AD∥BC，设窗框的高度为AD＝x米．
（1）设窗框宽度AB为y米，则y＝　 　米（用含x的代数式表示）；
（2）当窗户的透光面积为1.5平方米时，请你计算出窗框的高和宽分别是多少米（铝合金条的宽度忽略不计）．
12．某商场对某种商品进行销售调整．已知该商品进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，现进行降价处理．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求这两次中平均每次下降的百分率．
（2）经调查，该商品每降价0.5元，平均每天可多销售4件．若要使每天销售该商品获利510元，则每件商品应降价多少元？
13．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进冰墩墩200个，因销售量火爆，第三周购进冰墩墩288个，若购进冰墩墩数量的周平均增长率相同．
（1）求今年2月第二周购进冰墩墩多少个？
（2）今年2月第一周，一个冰墩墩的售价定为100元，本周有m个冰墩墩没有售完；从第二周开始，供应商决定调整冰墩墩的售价，每个冰墩墩的售价在第一周的基础上，下降m元；由于冬奥赛事的火热进行，到第二周结束购进的冰墩墩全部售完，若这两周的总销售额为41500元，求m的值．
14．如果关于x的一元二次方程x2+2（k+3）x+k2+3＝0有两个实数根α、β，且（α﹣1）2+（β﹣1）2＝18，求k的值．
15．新冠病毒肆虐全球，我国的疫情很快得到了控制，并且研发出安全性、有效性均非常高的疫苗．2021年七月，国家发布通知，12～17岁未成年人也可接种新冠疫苗．随着全国各地疫苗需求量的急剧增加，经调查发现，北京生物制药厂现有1条生产线最大产能是42万支/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少2万支/天，现该厂要保证每天生产疫苗144万支，在既增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
16．如图，某中学课外兴趣小组准备围建一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60m的篱笆围成，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为28m．
（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；
（2）能否围成500平方米的矩形花园？若能求出BC长；若不能，说明理由．
17．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）＝0
（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根分别为x1，x2，且x1，x2分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为6，求m的值．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根．
（2）若平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是已知方程的两个实数根．
①若平行四边形ABCD是矩形，且m＝5时．求矩形的面积？
②当m取何值时？平行四边形ABCD是菱形，并求菱形边长？
19．已知a、b、c是△ABC的三边长，关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+a﹣c＝0有两个相等的实数根．
（1）请判断△ABC的形状；
（2）当a＝5，b＝3时，求一元二次方程的解．
20．某商场以每件220元的价格购进一批商品共900件，起初，商场按每件280元的价格销售该商品，每天可售出30件，销售两天后，为庆祝“618购物节”，商场决定开展降价促销活动，经调查发现：该商品每降价1元，平均每天可多售出3件．
（1）若要使该商品每天的销售利润达到降价前的两倍，则每件商品应降价多少元？
（2）在（1）的条件下，要使该商品尽快售完，需开展几天的降价促销活动？
参考答案
1．解：方程整理得：3x2+2x﹣4＝0，
∵Δ＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，
∴x＝，
解得：x1＝，x2＝．
2．解：（1）x2﹣20＝0，
x2＝20，
x＝±2，
所以x1＝2，x2＝﹣2；
（2）x2﹣5x﹣6＝0，
（x﹣6）（x+1）＝0，
x﹣6＝0或x+1＝0，
所以x1＝6，x2＝﹣1；
（3）3x2+5（2x+1）＝0，
3x2+10x+5＝0，
Δ＝102﹣4×3×5＝40，
x＝＝＝，
所以x1＝，x2＝；
（4）（x+2）2﹣2（x+2）﹣3＝0，
（x+2﹣3）（x+2+1）＝0，
x+2﹣3＝0或x+2+1＝0，
所以x1＝1，x2＝﹣3．
3．解：根据题意得m≠0且Δ＝（2m﹣3）2﹣4m2＞0，
解得m＜且m≠0．
所以m的取值范围为：m＜且m≠0．
4．解：（1）∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，且k﹣1≠0，
∴，
解得k且k≠1；
（2）存在实数k，使该方程的两个实数根x1、x2满足x1+x2＝5﹣2x1x2，理由如下：
若x1、x2是（k﹣1）x2+3x+1＝0的两个实数根，则x1+x2＝﹣，x1 x2＝，
∵x1+x2＝5﹣2x1x2，
∴﹣＝5﹣，
解得k＝，
∵＜，
∴k＝时，（k﹣1）x2+3x+1＝0有两个实数根，
∴存在实数k＝，使该方程的两个实数根x1、x2满足x1+x2＝5﹣2x1x2．
5．解：（1）∵x2﹣9＞0，
∴（x+3）（x﹣3）＞0，
∴①或②，
解①得x＞3；
解②得x＜﹣3，
故不等式x2﹣9＞0的解集为x＞3或x＜﹣3；
（2）∵，
∴①或②，
解①得﹣1＜x＜1；
解②无解．
故不等式的解集为﹣1＜x＜1．
6．解：（1）∵mx2﹣（3m﹣1）x+2m＝1．
∴mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0，
∵Δ＝（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣1）＝1，
整理得m2﹣2m＝0，
解得m1＝0，m2＝2，
∵m≠0，
∴m＝2；
（2）根据题意，将x＝﹣1代入方程得m+（3m﹣1）+2m＝1，
整理，得：6m﹣2＝0，
解得：m＝，
原方程为，
∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×＝．
7．解：（1）设这两年藏书的年平均增长率为x，
依题意得：5（1+x）2＝7.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：这两年藏书的年平均增长率为20%．
（2）7.2×（1+20%）＝8.64（万册），
∵8.64＞8.6，
∴按照（1）中藏书的年平均增长率，上述目标能实现．
8．（1）解：当m＝1时，原方程为x2﹣2x﹣8＝0，
分解因式得：（x+2）（x﹣4）＝0，
所以x+2＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4；
（2）证明：方程x2﹣2mx﹣5m2﹣3＝0，
Δ＝（﹣2m）2﹣4（﹣5m2﹣3）＝24m2+12，
∵m2≥0，
∴Δ＝4m2+12＞0，
∴不论m取任何值，该方程总有两个不相等的实数根．
9．解：（1）x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，
因为（x+1）2≥0，
所以（x+1）2+2≥2，
所以当x+1＝0，即x＝﹣1时，x2+2x+3取最小值．
故答案为：﹣1；
（2）x2﹣6x+13＝x2﹣6x+9+4＝（x﹣3）2+4，
因为（x﹣3）2≥0，
所以（x﹣3）2+4≥4，
所以代数式x2﹣6x+13的最小值为4；
（3）﹣x2+2x+4＝﹣（x2﹣2x+1）+1+4＝﹣（x﹣1）2+5，
因为（x﹣1）2≥0，
所以﹣（x﹣1）2≤0，
﹣（x﹣1）2+5≤5，
所以当x﹣1＝0，即x＝1时，﹣x2+2x+4取最大值5．
10．解：设该T恤衫每件的售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，每周的销售量为500﹣10（x﹣50）＝（1000﹣10x）件，
依题意得：（x﹣40）（1000﹣10x）＝8000，
整理得：x2﹣140x+4800＝0，
解得：x1＝60，x2＝80．
当x＝60时，1000﹣10x＝1000﹣10×60＝400＞300，符合题意；
当x＝80时，1000﹣10x＝1000﹣10×80＝200＜300，不符合题意，舍去．
答：该T恤衫每件的售价应定为60元．
11．解：（1）依题意得：y＝米．
故答案为：．
（2）依题意得：x ＝1.5，
整理得：x2﹣2x+1＝0，
解得：x1＝x2＝1，
∴y＝＝＝1.5．
答：窗框的高为1米，宽为1.5米．
12．解：（1）设这两次中平均每次下降的百分率为x，
依题意得：40（1﹣x）2＝32.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：这两次中平均每次下降的百分率为10%．
（2）设每件商品应降价y元，则每件的销售利润为（40﹣y﹣30）元，平均每天的销售量为48+4×＝（48+8y）件，
依题意得：（40﹣y﹣30）（48+8y）＝510，
解得：4y2﹣16y+15＝0，
解得：y1＝2.5，y2＝1.5．
答：每件商品应降价2.5元或1.5元．
13．解：（1）设周平均增长率为x，根据题意得：
200（1+x）2＝288，
解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），
∴200（1+0.2）＝240．
答：今年二月第二周购进冰墩墩240个；
（2）根据题意得：
100（200﹣m）+（100﹣m）（240+m）＝41500，
解得：m1＝10，m2＝﹣250（舍去）．
答：m的值为10．
14．解：∵x2+2（k+3）x+k2+3＝0有两个实数根α，β，
∴α+β＝﹣2（k+3），αβ＝k2+3，Δ＝4（k+3）2﹣4（k2+3）≥0，
解得k≥﹣1．
∴（α﹣1）2+（β﹣1）2
＝α2﹣2α+1+β2﹣2β+1，
＝（α+β）2﹣2（α+β）﹣2αβ+2，
＝4（k+3）2+4（k+3）﹣2（k2+3）+2，
＝2k2+28k+44，
＝2（k+7）2﹣54，
解方程2（k+7）2﹣54＝18，
得k1＝﹣1，k2＝﹣13（不合题意舍去），
故所求k的值为﹣1．
15．解：设应该增加x条生产线，则每条生产线的最大产能为（42﹣2x）万支/天，
依题意得：（x+1）（42﹣2x）＝144，
整理得：x2﹣20x+51＝0，
解得：x1＝3，x2＝17．
又∴要节省投入，
∴x＝3．
答：应该增加3条生产线．
16．解：（1）设矩形花园BC的长为x米，则矩形花园AB的长为（60﹣x+2）米，
依题意得：（60﹣x+2）x＝300，
整理得：x2﹣62x+600＝0，
解得：x1＝12，x2＝50，
∵28＜50，
∴x2＝50（不合题意，舍去），
∴x＝12．
答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米．
（2）不能，理由如下：
设矩形花园BC的长为y米，则矩形花园AB的长为（60﹣y+2）米，
依题意得：（60﹣y+2）y＝500，
整理得：y2﹣62y+1000＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣62）2﹣4×1×1000＝﹣156＜0，
∴该方程无实数根，即不能围成500平方米的矩形花园．
答：不能围成500平方米的矩形花园．
17．（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m（m+1）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m＝1＞0，
∴Δ＞0，
∴x2﹣（2m+1）x+m（m+1）＝0总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1 x2＝m（m+1），
∵x1，x2分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为6，
∴x1 x2＝6，
∴m（m+1）＝6，
解得m＝﹣4或m＝3，
当m＝﹣4时，x1＝﹣3，x2＝﹣4，不符合题意，舍去，
当m＝3时，x1＝3，x2＝4符合题意，
∴m的值为3．
18．（1）证明：∵Δ＝m2﹣4（m﹣1）
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2≥0，
∴无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：①当m＝5时，x2﹣5x+4＝0，解得x1＝1，x2＝4，
即AB、AD的长为1、4，
∴矩形的面积＝1×4＝4；
②∵平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴Δ＝0，即（m﹣2）2＝0，解得m＝2，
方程化为x2﹣2x+1＝0，解得x1＝x2＝1，
∴菱形的边长为1．
19．解：（1）∵关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
即（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵a＝5，b＝3，
∴c＝＝4，
∴方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0可整理为9x2+6x+1＝0，
解得：x1＝x2＝．
20．解：（1）设每件商品应降价x元，
由题意，得（280﹣x﹣220）（30+3x）＝（280﹣220）×30×2，
解得 x1＝20，x2＝30．
答：每件商品应降价20元或30元；
（2）∵要使该商品尽快售完，
∴每件商品应降价30元．
设需要开展y天的降价促销活动．
由题意，得900﹣30×2＝（30+3×30）y．
解得y＝7．
答：需开展7天的降价促销活动．