2022-2023学年北师大版九年级数学上册 2.5一元二次方程的根与系数的关系 同步练习题 （Word版含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程的根与系数的关系》
同步练习题（附答案）
一．选择题
1．已知方程x2﹣3x﹣m2＝0的两个根分别为x1、x2，则下列说法不一定正确的是（　　）
A．x1+x2＞0 B．x1x2＜0
C．x1≠x2 D．方程的根有可能为0
2．若一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1+x2＝x1x2，则m的值是（　　）
A．﹣1 B．3 C．2或﹣1 D．﹣3或1
3．已知关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则方程的另一个根是（　　）
A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣4
4．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于（　　）
A．2022 B．2026 C．2030 D．2034
5．若p，q是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则p2+2p﹣q的值是（　　）
A．6 B．9 C．12 D．13
6．已知1和2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，则关于x的方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的根为（　　）
A．0和1 B．1和2 C．2和3 D．0和3
7．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，且x1+x2＝5，x1 x2＝6，则该一元二次方程是（　　）
A．x2+5x+6＝0 B．x2﹣5x+6＝0 C．x2﹣6x+5＝0 D．x2﹣6x﹣5＝0
8．已知实数α，β满足2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，且αβ≠1，且的值为（　　）
A． B． C． D．
9．若x1，x2是x2+bx﹣3b＝0的两个根，且x12+x22＝7，则b的值是（　　）
A．﹣7 B．1 C．1或7 D．7或﹣1
二．填空题
10．已知方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣x22+4x2的值为 　 　．
11．已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝　 　．
12．如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+8m＝0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH＝　 　．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两个实数根，且满足，则m的值是 　 　．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2m＝0有两个不相等的实数根x1、x2．若x1﹣2x2＝6，则实数m的值为　 　．
15．已知实数m、n满足m2＝2﹣2m，n2＝2﹣2n，则+＝　 　．
16．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是　 　．
17．已知实数a，b满足等式a2﹣2a﹣1＝0，b2﹣2b﹣1＝0，则的值是　 　．
三．解答题
18．已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．
19．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1，x2是方程的两个解，令w＝x1x22+x12x2+k，求w的最大值．
20．已知a、b、c是△ABC的三边长，关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+a﹣c＝0有两个相等的实数根．
（1）请判断△ABC的形状；
（2）当a＝5，b＝3时，求一元二次方程的解．
21．已知关于x的一元二次方程kx2+（3k+1）x+2k+2＝0（k≠0）．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两根都是整数，求整数k的值．
22．已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根．
（2）等腰△ABC的底边长为2，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
23．已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣2（n﹣1）x+n2﹣2n＝0的两个根，第三边BC的长是10．
（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当n为何值时；△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．
（3）当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
参考答案
一．选择题
1．解：∵方程x2﹣3x﹣m2＝0的两个根分别为x1、x2，
∴Δ＝9+4m2＞0，
∴x1≠x2，
故C选项不符合题意；
∵x1+x2＝3＞0，
故A选项不符合题意；
∵x1x2＝﹣m2≤0，
∴方程的根有可能为0，
故B选项符合题意，D选项不符合题意，
故选：B．
2．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2m+3）2﹣4m2＝12m+9＞0，
∴m＞﹣，
∵x1+x2＝2m+3，x1 x2＝m2，
又∵x1+x2＝x1 x2，
∴2m+3＝m2，
解得：m＝﹣1或m＝3，
∵m＞﹣，
∴m＝3，
故选：B．
3．解：设方程的一个根x1＝1，另一个根为x2，根据题意得：
x1×x2＝3，
将x1＝1代入，得x2＝3．
故选：C．
4．解：∵x1是方程x2﹣4x﹣2022＝0的实数根，
∴x12﹣4x1﹣2022＝0，
∴x12＝4x1+2022，
∴x12﹣2x1+2x2＝4x1+2022﹣2x1+2x2＝2022+2（x1+x2），
∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2022＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，
∴x12﹣2x1+2x2＝2022+2×4＝2030．
故选：C．
5．解：∵p，q是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，
∴p2+3p﹣9＝0，即p2+3p＝9，p+q＝﹣3，
则原式＝p2+3p﹣p﹣q
＝（p2+3p）﹣（p+q）
＝9﹣（﹣3）
＝9+3
＝12．
故选：C．
6．解：设x+1＝t，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1＝0化为at2+bt+1＝0，
由题意可知：t1＝1，t2＝2，
∴x+1＝1和x+1＝2，
∴x＝0和x＝1，
∴方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的两根为x＝0和x＝1，
故选：A．
7．解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，x1+x2＝5，x1 x2＝6，
∴该一元二次方程是x2﹣5x+6＝0，
故选：B．
8．解：方法1：∵2β2﹣5β﹣2＝0，
∴β≠0，
方程两边同时除以﹣β2，可得2（）2+5×﹣2＝0，
又2α2+5α﹣2＝0，
∴α、是方程2x2+5x﹣2＝0的两实根，
∴α+＝﹣，α ＝﹣1，
∴
＝﹣×+1+α ﹣α
＝﹣（α+）+α +1
＝﹣×（﹣）+（﹣1）+1
＝．
方法2：
＝（+α）﹣α
＝﹣×﹣α
＝﹣×（+α）
＝﹣×（﹣）
＝．
故选：A．
9．解：∵x1、x2是关于x的方程x2+bx﹣3b＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3b．
又∵x12+x22＝7，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝b2+6b＝7，
解得b＝﹣7或1，
当b＝﹣7时，Δ＝49﹣84＜0，方程无实数根，应舍去，取b＝1．
故选：B．
二．填空题
10．解：∵方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，
∴x12＝2x1+2，x22＝2x2+2，x1+x2＝2．
∴x12﹣x22+4x2
＝（2x1+2）﹣（2x2+2）+4x2
＝2（x1+x2）
＝2×2
＝4．
故答案是：4．
11．解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，
∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1，
∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）
＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β）
＝（0+α）（0+β）
＝αβ
＝1．
故答案是：1．
12．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝5，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2BO，
∴∠AOB＝90°，
∴AO2+BO2＝AB2＝52＝25，
∵对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+8m＝0的两实数根，
∴2AO+2BO＝2（m+1），2AO 2BO＝8m，
∴AO+BO＝m+1，AO BO＝2m，
∴AO2+BO2＝（AO+BO）2﹣2AO×BO＝25，
∴（m+1）2﹣4m＝25，
解得：m1＝6，m2＝﹣4，
∴当m＝﹣4时，AO BO＝﹣8＜0，不符合题意，舍去，
即m＝6，
则AO BO＝12，AC BD＝2AO 2BO＝4AO BO＝48，
∵DH是AB边上的高，
∴S菱形ABCD＝AB DH＝AC BD，
∴5DH＝，
∴DH＝．
故答案为：．
13．解：根据根与系数的关系得：x1+x2＝2m+3，
∵，
∴m2＝2m+3，
解得：m＝3或﹣1，
当m＝3时，方程为x2﹣9x+9＝0，此时方程有解；
当m＝﹣1时，方程为x2﹣x+1＝0，此时Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，此时方程无解；
故答案为：3．
14．解：由题意知x1+x2＝3，
∵x1﹣2x2＝6，即x1+x2﹣3x2＝6，
∴3﹣3x2＝6，
解得：x2＝﹣1，
代入到方程中，得：1+3+2m＝0，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
15．解：①当m＝n时，+＝2；
②当m≠n时，则m，n是方程x2+2x﹣2＝0的两个不相等的根，∴m+n＝﹣2，mn＝﹣2，
∴+＝＝＝＝﹣4，
∴+＝﹣4或2，
故答案为：﹣4或2．
16．解：由题意，得：x﹣1＝0，x2﹣2x+＝0；
设x2﹣2x+＝0的两根分别是m、n（m≥n）；则m+n＝2，mn＝；
m﹣n＝＝；
根据三角形三边关系定理，得：
m﹣n＜1＜m+n，即＜1＜2；
∴，解得3＜k≤4．
17．解：因为实数a，b满足等式a2﹣2a﹣1＝0，b2﹣2b﹣1＝0，
（1）当a＝b＝1+或1﹣时，原式＝＝2﹣2或﹣2﹣2；
（2）当a≠b时，可以把a，b看作是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根．
由根与系数的关系，得a+b＝2，ab＝﹣1．
则原式＝﹣2．
故填空答案：﹣2或2﹣2或﹣2﹣2．
三．解答题
18．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，
∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0，
解得k≤，
即k的取值范围是k≤；
（2）∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x1＝﹣3，x1x2＝k﹣2，
∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1，
∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1，
∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1，
解得k＝3，
即k的值是3．
19．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+k+1＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（k+1）≥0，
解得：k≤，
∴k的取值范围为k≤；
（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x+k+1＝0的两个解，
∴x1+x2＝3，x1 x2＝k+1．
∴w＝x1x22+x12x2+k＝x1x2（x1+x2）+k＝3（k+1）+k＝4k+3，
∴k＝时，w的最大值为4×+3＝5+3＝8．
20．解：（1）∵关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
即（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵a＝5，b＝3，
∴c＝＝4，
∴方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0可整理为9x2+6x+1＝0，
解得：x1＝x2＝．
21．解：（1）证明：Δ＝（3k+1）2﹣4k×（2k+2）
＝（k﹣1）2，
∵（k﹣1）2≥0，
∴△≥0，
∴无论k取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：kx2+（3k+1）x+2k+2＝0（k≠0）
x＝，
x1＝，x2＝﹣2，
所以二次函数y＝kx2+（3k+1）x+2k+2的图象与x轴两个交点的横坐标分别为和﹣2，
根据题意得为整数，
所以整数k为±1．
22．（1）证明：Δ＝（k+3）2﹣4×3k＝（k﹣3）2≥0，
故不论k取何实数，该方程总有实数根；
（2）解：依题意有Δ＝（k﹣3）2＝0，则k＝3，
将其代入方程x2﹣（k+3）x+3k＝0，得x2﹣（3+3）x+3×3＝0．
解得x1＝x2＝3．
故△ABC的周长是2+3+3＝8．
23．（1）证明：∵Δ＝[﹣2（n﹣1）]2﹣4（n2﹣2n）＝4＞0，
∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
∵第三边BC的长是10，
当△ABC为等腰三角形时，x＝10为一元二次方程的一个根，
当x＝10时，100﹣20（n﹣1）+n2﹣2n＝0，
解得n＝12或10，
①当n＝12时，方程变为x2﹣22x+120＝0，
设等腰三角形的底为m，
根据根与系数的关系，m+10＝22，
∴m＝12，
∴△ABC的周长为：10+10+12＝32；
②当n＝10时，方程变为x2﹣18x+80＝0，
设等腰三角形的底为n，
根据根与系数的关系，10+n＝18，
解得n＝8，
∴△ABC的周长为10+10+8＝28；
综上，当n＝12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；
当n＝10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；
（3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣2（n﹣1）x+n2﹣2n＝0的两个根，
∴AB+AC＝2（n﹣1），AB AC＝n2﹣2n，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
即4（n﹣1）2﹣2（n2﹣2n）＝100，
解得n＝8或﹣6，
当n＝8时，AB+AC＝2×（8﹣1）＝14，符合题意，
当n＝﹣6时，AB+AC＝2×（﹣6﹣1）＝﹣14，不合题意，
综上，n＝8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．