2022-2023学年北师大版九年级数学上册4.5相似三角形判定定理的证明 选择题 提升训练（Word版含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.5相似三角形判定定理的证明》
选择题专题提升训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，点D、E分别是线段AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则四边形BCED的面积是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD的长为（　　）
A． B．4 C． D．6
3．如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF：CE＝1：2，EF＝，则菱形ABCD的边长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．
4．如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在BC、AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，则AF的长的最小值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（　　）
A． B． C． D．
6．如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，若∠1＝∠B，＝，△ADE的面积等于2，则△ABC的面积为（　　）
A．4 B．8 C．10 D．12
7．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，F是AD边的中点，EF＝4cm，则BE的长为（　　）
A．6cm B． C． D．8cm
8．如图，a∥b∥c∥d∥e，每相邻两条直线之间的距离均相等．点A，B，C分别在直线a，c，e上，AC交b于点D，BC交d于点G，AB分别交c，d于点E，F．若四边形DEFG的面积为4，则△ABC的面积为（　　）
A．8 B． C． D．12
9．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若，且△ADE的面积为9，则四边形BCED的面积为（　　）
A．18 B．27 C．72 D．81
10．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，E为AB的中点，CE交BD于点F，且∠ADB＝∠BCE，则BF的长为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC EF＝CF CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．
其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．如图，在正方形ABCD中，点G是BC上一点，且，连接DG交对角线AC于F点，过D点作DE⊥DG交CA的延长线于点E，若AE＝3，则DF的长为（　　）
A．2 B． C． D．
13．如图，等腰△ABC的面积为2，AB＝AC，BC＝2．作AE∥BC且AE＝BC．点P是线段AB上一动点，连结PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（　　）
A． B．3 C．2 D．4
14．如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F．下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝2：3，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　　）
A．2：3 B．2：5 C．4：25 D．4：9
16．如图，在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为S1，△EBD的面积为S2，则＝（　　）
A． B． C． D．
17．如图，在 ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则BF：FD等于（　　）
A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．2：1
18．如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C．若＝，则的值为（　　）
A．2 B． C． D．
19．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（　　）
A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
20．如图，在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，连接AC、DE交于点F，S△AEF：S△CDF＝4：25，则为（　　）
A．2：5 B．5：2 C．2：7 D．4：25
21．如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（　　）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
22．如图，在平行四边形ABCD中，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于E，交BD于G，下列结论错误的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
参考答案
1．解：∵点D、E分别是线段AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE：BC＝1：2，
∴△ADE∽△ABC，
∵S△ADE＝2，
∴S△ABC＝2÷＝8，
∴四边形BCED的面积是8﹣2＝6，
故选：B．
2．解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝，即＝，
∴BE＝1.5，
∴BD＝BE+DE＝4.5．
故选：C．
3．解：过点D作DH⊥AB于点H，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝CD，AB∥CD．
∵EF⊥AB，DH⊥AB，
∴DH∥EF，
∴四边形DHFE为平行四边形，
∴HF＝DE，DH＝EF＝．
∵点E是边CD的中点，
∴DE＝CD，
∴HF＝CD＝AB．
∵BF：CE＝1：2，
∴设BF＝x，则CE＝2x，
∴CD＝4x，DE＝HF＝2x，
AD＝AB＝4x，
∴AF＝AB+BF＝5x．
∴AH＝AF﹣HF＝3x．
在Rt△ADH中，
∵DH2+AH2＝AD2，
∴．
解得：x＝±1（负数不合题意，舍去），
∴x＝1．
∴AB＝4x＝4．
即菱形ABCD的边长是4，
故选：B．
4．解：如图，连接BF交ED于点O，设EF与AC交于点G，
∵四边形BEFD是菱形，
∴BF平分∠ABC，
∴点F在∠ABC的平分线上运动，
∴当AF⊥BF时，AF的长最小．
在菱形BEFD中，BF⊥ED，OB＝OF，EF∥BC，
∴EO∥AF，
∴△BEO∽△BAF，
∴＝＝＝，
∴BE＝AB＝AE．
在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，
∴BE＝AE＝2.5，
∵AF⊥BF．
∴EF＝2.5，
∵EF∥BC，
∴△AGE∽△ACB，
∴＝＝＝，∠AGE＝∠ACB＝90°，
∴EG＝BC＝1.5，AG＝AC＝2，
∴GF＝EF﹣EG＝1．
∵∠AGF＝∠AGE＝90°，
∴AF＝＝＝．
故选：A．
5．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝＝．
故选：D．
6．解：∵∠1＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∵＝，
∴＝，
∵△ADE的面积等于2，
∴△ACB的面积等于8．
故选：B．
7．解：∵∠AED＝90°，F是AD边的中点，
∴EF＝AF＝DF＝AD＝4，
∴AD＝8，
∵∠AED＝90°，∠EAD＝30°，
∴DE＝AD＝4，
∴AE＝＝＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAD＝30°，
∵cos∠AEB＝，
∴BE＝AE cos30°＝4×＝6（cm），
故选：A．
8．解：由图象可得，点D，E，F，G分别为AC，AB，EB，BC的中点，
∴DG，DE，FG分别为△CAB，△ABC，△BEC的中位线，
∴S△CDG＝S△AED＝S△ABC，S△BFG＝S△BEC＝S△ABC，
∵四边形DEFG的面积为4，
∴S△ABC﹣S△CDG﹣S△AED﹣S△BFG＝S△ABC＝4，
∴S△ABC＝．
故选：C．
9．解：∵，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵△ADE的面积为9，
∴△ABC的面积＝81，
∴四边形BCED的面积＝△ABC的面积﹣△ADE的面积
＝81﹣9
＝72，
故选：C．
10．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠FBC，
∵∠ADB＝∠BCE，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴FB＝FC，
∵E为AB的中点，
∴BE＝AB＝1，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠DCE，∠BEF＝∠DCE，
∴△BEF∽△DCF，
∴＝，
∴FC＝2EF，
∴FB＝2EF，
设EF＝x，则BF＝FC＝2x，
∴EC＝EF+CF＝3x，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠BCE，
∵∠BEF＝∠BEF，
∴△BEF∽△CEB，
∴，
∴BE2＝EF EC，
∴12＝x 3x，
∴或x＝﹣（舍去），
∴BF＝2x＝，
故选：B．
11．解：根据题意知，BF垂直平分AC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，
∴AE＝AF＝CF＝CE，
即四边形AECF是菱形，
故①结论正确；
∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，
∴∠FAO＝∠ACB，
∴∠AFB＝2∠ACB，
故②结论正确；
∵S四边形AECF＝CF CD＝AC OE×2＝AC EF，
故③结论不正确；
若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，
∴AF＝2BF，
∵CF＝AF，
∴CF＝2BF，
故④结论正确；
故选：B．
12．解：过点E作EH⊥AD，交DA延长线于H，
∴∠H＝90°，
在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，∠H＝∠BCD，
∵DE⊥DG，
∴∠EDG＝90°，
∴∠2+∠1＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴△DEH∽△DGC，
∴＝，
∵，
∴设GC＝x，则BG＝2x，DC＝BC＝3x，
∴＝，
∴DH＝3EH，
∵AC是正方形ABCD对角线，
∴∠DAC＝45°，
∵∠EAH＝∠DAC＝45°，
∴∠HEA＝45°，
∴EH＝HA，
∴EH2+HA2＝9，
∴EH＝HA＝，
∴DH＝，
∴AD＝3，
∴GC＝，
∴DG＝＝2，
∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴＝＝，
∴DF＝3GF，
∴DF＝；
故选：D．
13．解：如图，过点A作AH⊥BC于点H．
当点P与A重合时，点F与C重合，当点P与B重合时，点F的对应点为F″，
点M的运动轨迹是△ECF″的中位线，M′M″＝CF″，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH，
∵AE∥BC，AE＝BC，
∴AE＝CH，
∴四边形AHCE是平行四边形，
∵∠AHC＝90°，
∴四边形AHCE是矩形，
∴EC⊥BF″，AH＝EC，
∵BC＝2，S△ABC＝2，
∴×2×AH＝2，
∴AH＝EC＝2，
∵∠BEF″＝∠ECB＝∠ECF″，
∴∠BEC+∠CEF″＝90°，
∠CEF″+∠F″＝90°，
∴∠BEC＝∠F″，
∴△ECB∽△F″CE，
∴EC2＝CB CF″，
∴CF″＝＝6，
∴M′M″＝3
故选：B．
14．解：∵将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，
∴∠B＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠ADB，
∴DA平分∠BDE，
∴②符合题意；
∵∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，
∴△AFE∽△DFC，
∴①符合题意；
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠FAE，
∵△AFE∽△DFC，
∴∠FAE＝∠CDF，
∴∠BAD＝∠CDF，
∴③符合题意；
故选：D．
15．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴△DEF∽△BAF，
∵DE：EC＝2：3，
∴DE：DC＝2：5，
∴DE：AB＝2：5，
∴S△DEF：S△BAF＝（）2＝，
故选：C．
16．解：在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∴△BED∽△BAC，
∵＝，
∴＝，
即＝，
故选：B．
17．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴BF：FD＝BC：DE，
又∵点E是边AD的中点，
∴DE＝AD＝BC，
∴BF：FD＝BC：DE＝2：1，
故选：D．
18．解：连接FG，CA′，过点G作GT⊥AD于点T．设AB＝x，AD＝y．
∵＝，
∴可以假设BF＝2k，CG＝3k．
∵AE＝DE＝y，
由翻折的性质可知EA＝EA′＝y，BF＝FB′＝2k，∠AEF＝∠GEF，
∵AD∥CB，
∴∠AEF＝∠EFG，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴EG＝FG＝y﹣5k，
∴GA′＝y﹣（y﹣5k）＝5k﹣y，
∵C，A′，B′共线，GA′∥FB′，
∴＝，
∴＝，
∴y2﹣12ky+32k2＝0，
∴y＝8k或y＝4k（舍去），
∴AE＝DE＝4k，
∵四边形CDTG是矩形，
∴CG＝DT＝3k，
∴ET＝k，
∵EG＝8k﹣5k＝3k，
∴AB＝CD＝GT＝＝2k，
∴＝＝2．
解法二：不妨设BF＝2，CG＝3，连接CE，则Rt△CA'E≌Rt△CDE，推出A'C＝CD＝AB＝A'B'，＝＝1，推出GF＝CG＝3，BC＝8，在Rt△CB'F，勾股得CB'＝4 则A'B'＝2，
故选：A．
19．解：∵＝，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝15（cm），
故选：C．
20．解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
∴∠AEF＝∠CDF，∠EAF＝∠DCF，
∴△AEF∽△CDF，
∴S△AEF：S△CDF＝，
∵S△AEF：S△CDF＝4：25，
∴＝，
故选：A．
21．解：∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，
∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，
∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴∠BAG＝∠BCE，
∵∠BAG+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠OPC＝90°，
∴∠POC＝90°，
∴EC⊥AG，故①正确；
取AC的中点K，如图：
在Rt△AOC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK＝CK＝OK，
在Rt△ABC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK＝CK＝BK，
∴AK＝CK＝OK＝BK，
∴A、B、O、C四点共圆，
∴∠BOA＝∠BCA，
∵∠BPO＝∠CPA，
∴△OBP∽△CAP，故②正确，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，
∴∠AOC+∠ADC＝180°，
∴A、O、C、D四点共圆，
∵AD＝CD，
∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正确，
由已知不能证明OB平分∠CBG，故③错误，
故正确的有：①②④，
故选：D．
22．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，BC＝AD，
∴△AEF∽△BCF，
∴＝，
故A选项错误；
∵AD∥BC，
∴△DEG∽△BCG，
∴＝，
故B选项正确；
∵AB∥CD，
∴△CDG∽△FBG，
∴＝，
故C选项正确；
∵△AEF∽△BCF，
∴＝，
∵BC＝AD，
∴＝，
故D选项正确；
故选：A．