2022-2023学年北师大版九年级数学上册4.5相似三角形判定定理的证明 同步练习题 （Word版含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.5相似三角形判定定理的证明》
解答专项练习题（附答案）
1．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）若FC＝3AF，BC＝12，求线段BE的长．
2．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD的延长线上，DE＝DC，联结BE，分别交边DC、对角线AC于点F、G，AD＝FD．
（1）求证：AC⊥BE；
（2）求证：＝．
3．如图，在△ABC中，D为边AB上一点，∠ADC＝∠ACB，若AD＝2，AC＝3，BC＝5，求BD，CD的长．
4．如图，△ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，CE，AD交于点F，BD＝AD，BE＝EC．
（1）求证：△ABD∽△CBE；
（2）若CD＝CF，试求∠ABC的度数．
5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD：DB＝AE：EC＝2：3．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若DE＝4，求BC的长．
6．如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D是AC上一点，BD＝BC．
（1）求证：△ABC∽△BCD．
（2）若点D为AC中点，且AC＝4，求BC的长．
7．如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上的点（不与点B，点C重合），连接DE并延长，交AB的延长线于点F．
（1）求证：△CDE∽△AFD．
（2）若BE：CE＝1：2，且△BEF的面积为1，求平行四边形ABCD的面积．
8．如图，在边长为4的正方形ABCD中，F为CD的中点，E是BC上一点，且BE＝3．
（1）求AF，EF的长；
（2）求证：△AEF是直角三角形．
9．已知：如图6，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1．点D在边AC的延长线上，且∠DBC＝∠A．试求的值．
10．如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AD＝2，AB＝6．求AC的长．
11．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线BF分别与AC、AD交于点E、F．若AB＝4，BC＝5，求的值．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为E．
（1）求证：△ACB∽△DEB．
（2）若，BC＝9，求BE的长．
13．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD．
（1）求证：△ABC∽△BDC．
（2）若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长．
14．如图，在 ABCD中，BD＝AD，延长CB到点E，使BE＝BD，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）连接DE交AB于点F，若DC＝6，DC：DE＝3：4，求AD的长．
15．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．
（1）求证：△ABC∽△FDE．
（2）若BD＝DE＝EC，则S△DEF：S△BCA＝　 　．
16．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：△APD≌△CPD；
（2）求证：△APE∽△FPA；
（3）若PE＝4，PF＝12，求PC的长．
17．如图，在△ABC中，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．
（1）求证：△ECD∽△EDB；
（2）求△DCE与△ACB的周长比．
18．如图1，四边形ABCD中，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，若CD＝6，AD＝8．
（1）求BD的长．
（2）如图2，过点B作BM∥CD交AD于M，连接CM交DB于N，求DN的长．
19．如图，在△ABC中，∠ACD＝∠B，AD＝4，AC＝6．求BD的长．
20．如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，对角线AC平分∠DAB，且AC⊥BC．
（1）求证：△ABC∽△ACD．
（2）若BC＝1，AC＝2，求AD的长．
21．如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上（与点B、C不重合），连接AE交BD于点G．AG＝BG，AB＝2，BD＝3，求线段DG的长．
22．如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝4，求EC的长．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE垂直平分AB，分别交AB，AC于点D，E．
（1）求证：BE＝BC；
（2）求证：AE2＝AC EC．
24．如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠ABC＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．
25．如图，四边形ABCD是平行四边形，DE交BC于点F，交AB的延长线于点E，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DC＝10cm，BE＝18cm，求DE的长．
参考答案
1．（ 1）证明：∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠C，
又∵EF∥AB，
∴∠B＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）解：∵EF∥AB，
∴＝，，
∵BC＝12，
∴，
∴BE＝3．
2．证明：（1）∵DE＝DC，AD＝FD，∠EDF＝∠CDA＝90°，
∴△CDA≌△EDF（SAS），
∴∠AEG＝∠ACD，
∵∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠AEG+∠DAC＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴AC⊥BE．
（2）在矩形ABCD中，BC∥AD，∴BC∥DE，
∴△BCF∽△EDF，
∴，
∵BC＝AD，DE＝CD，
∴，
由（1）得∠AGE＝90°＝∠CDA，∠AEG＝∠ACD，
∴△CDA∽△EAB，
∴，
∵AB＝CD，
∴，
∴．
3．解：∵∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AB＝，DC＝，
∴BD＝AB﹣AD＝﹣2＝，
∴BD的长为，CD的长为．
4．（1）证明：∵BD＝AD，BE＝EC，
∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠BCE，
∴∠BAD＝∠BCE，
∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE；
（2）解：设∠B＝x，
∴∠B＝∠BAD＝∠BCE＝x，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝x+x＝2x，
又∵CD＝CF，
∴∠CDA＝∠DFC＝2x，
∴2x+2x+x＝180°，
解得x＝36°，
∴∠ABC＝36°．
5．（1）证明：∵AD：DB＝AE：EC＝2：3，
∴＝＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC；
（2）解：∵△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝10，
∴BC的长为10．
6．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C，
∴∠ABC＝∠BDC，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BCD；
（2）解：∵点D为AC中点，且AC＝4，
∴CD＝AC＝×4＝2，
∵△ABC∽△BCD，
∴，
∵BD＝BC，AC＝4，CD＝2，
∴，
∴BC2＝8，
∴BC＝2或﹣2（不符合题意，舍去），
∴BC的长为2．
7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵CD∥BF，∠A＝∠C，
∴∠CDF＝∠F，
∴△CDE∽△AFD；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵CD∥BF，CD＝AB，
∴△BEF∽△CED，
∴，
∴，S△CED＝4S△BEF＝4，
由（1）知，△CDE∽△AFD，
∴S△ADF＝9S△BEF＝9，
∴S四边形ABED＝8，
∴平行四边形ABCD的面积为S△CED+S四边形ABED＝8+4＝12．
8．（1）解：在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，DF＝2，DA＝4，
由勾股定理得，
；
在Rt△ECF中，∠ECF＝90°，CF＝2，CE＝CB﹣BE＝4﹣3＝1，
由勾股定理得，
；
（2）证明：在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，
由勾股定理得，AE＝5；
在△AFE中，，
∵，
∴AF2+EF2＝AE2，
∴△AEF是直角三角形．
9．解：∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，
∴AC＝＝＝，
∵∠D＝∠D，∠DBC＝∠A，
∴△DBC∽△DAB，
∴，
∴DB＝2DC，DA＝2DB，
∴DA＝4DC，
∵DC+AC＝DA，
∴AC＝3DC，
∴＝＝．
10．（1）证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：由（1）得：△ABC∽△ACD，
∴＝，
∴AC2＝AD AB，
∴AC2＝2×6＝12，
∴AC＝2或AC＝﹣2（舍去），
∴AC的长为2．
11．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
∵AB＝4，
∴AF＝4，
∵∠AEF＝∠CEB，∠AFB＝∠FBC，
∴△AEF∽△CEB，
∴，
∵AF＝4，BC＝5，
∴．
12．（1）证明：∵CD＝CA，
∴∠A＝∠ADC，
∵∠ADC＝∠EDB，
∴∠A＝∠EDB，
∵BE⊥CD，
∴∠ACB＝∠E＝90°，
∴△ACB∽△DEB；
（2）解：∵，
∴设CD＝3x，CE＝5x，
∴DE＝2x，
∴CD＝CA＝3x，
由（1）知△ACB∽△DEB，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝6．
13．（1）证明：如图，∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠CBD＝∠DBA，
∴∠A＝∠CBD，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC．
（2）解：如图，∵∠C＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠A+∠ABD+∠CBD＝3∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
∵BC＝2，
∴AB＝4．
14．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BD＝AD，BE＝BD，
∴AD＝BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BD＝AD，
∴四边形AEBD是菱形；
（2）解：如图所示，
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB⊥DE，
∴∠EFB＝90°，
∵四边形ABCD是平行是四边形，
∴AB∥DC，AD＝BC，
∴∠EDC＝∠EFB＝90°，
∵DC＝6，DC：DE＝3：4，
∴DE＝＝8，
∴CE＝＝10，
∵BE＝AD，AD＝BC，
∴AD＝BE＝BC＝．
15．（1）证明：∵FD//AB
∴∠B＝∠FDE，
∵FE∥AC，
∴C＝∠FED，
在△ABC和△FDE中，∠B＝∠FDE，∠C＝∠FED，
∴△ABC∽△FDE．
（2）∵BD＝DE＝EC，
∴，
∵△ABC∽△FDE，
∴．
16．（1）证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝AB＝CB，
在△ADB和△CDB中，
，
∴△ADB≌△CDB（SSS），
∴∠PDA＝∠PDC，
在△APD和△CPD中，
，
∴△APD≌△CPD（SAS）．
（2）证明：如图，∵CD∥AB，
∴∠F＝∠PCD，
∵∠PAE＝∠PCD，
∴∠PAE＝∠F，
∵∠PAE＝∠FPA，
∴△APE∽△FPA．
（3）解：如图，∵△APE∽△FPA，
∴＝，
∵PE＝4，PF＝12，
∴PA2＝PE PF＝4×12＝48，
∴PA＝＝4，
∴PC＝PA＝4．
∴PC的长为4．
17．（1）证明：如图，∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠A，
∵∠CBD＝∠A，
∴∠EDC＝∠CBD，
即∠EDC＝∠EBD，
∵∠E＝∠E，
∴△ECD∽△EDB；
（2）解：∵DE∥AB，
∴△DCE∽△ACB，
∵AC＝3CD，
∴△DCE的周长：△ACB的周长＝CD：AC＝1：3＝，
∴△DCE与△ACB的周长比为．
18．解：（1）∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC，
又∵∠ABD＝∠BCD＝90°，
∴△ADB∽△BDC，
∴，
∵CD＝6，AD＝8，
∴，
；
（2）∵BM∥CD，DB平分∠ADC，
∴∠MBD＝∠BDC，∠BDC＝∠BDM，
∴∠MBD＝∠BDM，
∴MB＝MD，
又∵∠MBD+∠MBA＝∠ABD＝90°，∠BDM+∠A＝90°，
∴∠MBA＝∠A，
∴MB＝MA，
∴，
∵BM∥CD，
∴△MNB∽△CND，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即DN的长是．
19．解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
∴．
∵AD＝4，AC＝6，
∴．
∴BD＝AB﹣AD＝5．
20．（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
又∵∠D＝∠ACB＝90°，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB＝＝，
∵△ABC∽△ACD，
∴，
∴，
∴AD＝．
21．解：∵AG＝BG，
∴∠BAG＝∠ABG，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠BAG＝∠ADB，
∴△BAG△BDA，
∴，即，
∴，
∴．
22．（1）证明：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE+∠ECA＝∠ACD+∠ACE，
即∠BCA＝∠ECD．
又∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEC．
（2）解：∵△ABC∽△DEC，S△ABC：S△DEC＝4：9，
∴（）2＝，
即（）2＝，
∴EC＝6或EC＝﹣6（不合题意，舍去），
∴EC的长为6．
23．（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠BEC＝72°，
∴∠BEC＝∠C，
∴BE＝BC；
（2）证明：由（1）知∠C＝∠C，∠BEC＝∠ABC，
∴△BEC∽△ABC，
∴，
∴BC2＝AC EC，
∵BC＝BE，BE＝AE，
∴BC＝AE，
∴AE2＝AC EC．
24．（1）证明：∵∠A＝∠A，∠ABC＝∠ACD，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴＝，即＝，
∴AC＝±，
经检验，AC＝是原方程的解，且符合题意；AC＝﹣是原方程的解，不符合题意，舍去，
∴AC的长为．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠EDB＝∠C，
∴∠A＝∠EDB，
又∠E＝∠E，
∴△ADE∽△DBE；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，
由（1）得△ADE∽△DBE，
∴，
∵DC＝10cm，BE＝18cm，
∴AB＝DC＝10cm，AE＝AB+BE＝28cm，
即，
∴DE＝6cm．