人教A版（2019）选择性必修第一册第一章1.3空间向量及其运算的坐标表示 A（Word版含解析）

高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章——1.3空间向量及其运算的坐标表示A
未命名
一、单选题
1．已知，，是空间直角坐标系中轴、轴、轴正方向上的单位向量，且，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．0
4．已知，，若与共线，则实数（ ）
A．-2 B． C． D．2
5．已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
6．在空间直角坐标系中，已知长方体的顶点，，，，则直线与平面之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知空间直角坐标系中，点A的坐标为，坐标原点为O，且与方向相反，则（ ）
A．x+y+z=0 B．x=3y C．x+z=0 D．4y+z=0
8．已知向量，则与共线的单位向量（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．在空间直角坐标系中，点与点关于坐标原点对称，则______．
10．在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，，，且的面积为，则的长为___________.
11．若 ，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是___________.
12．如图，在正方体中，，点在线段上，且，点是正方体表面上的一动点，点是空间两动点，若且，则的最小值为 .
四、解答题
13．在空间直角坐标系中，分别求点关于x轴、平面、坐标原点对称的点的坐标．
14．如图，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，如何建立空间直角坐标系呢？
15．（1）已知，，求，，；
（2）已知空间内三点，，.求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积.
16．在中，，，.
（1）求顶点、的坐标；
（2）求；
（3）若点在上，且，求点的坐标.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】由题设易知，，由，设结合空间向量线性运算的坐标表示求的坐标.
【详解】由题设知：，，
∴，若，则，易得，
∴.
故选：D
2．C
【分析】设出在基底下的坐标为，利用对照系数，得到方程组，求出结果.
【详解】∵在基底下的坐标为
∴
设在基底下的坐标为
则
对照系数，可得：
解得：
∴在基底下的坐标为
故选：C
3．B
【解析】根据空间向量数量积的坐标表示求解.
【详解】，，
则.
故选：B
4．B
【分析】由空间向量线性运算的坐标表示可得、，再由向量共线的性质即可得解.
【详解】∵，，
∴，.
∵与共线，
∴，即.
故选：B.
【点睛】本题考查了空间向量线性运算及共线的坐标表示，考查了运算求解能力，属于基础题.
5．A
【分析】夹角为钝角，由求解，但要排除两向量反向的情形．
【详解】∵，的夹角为钝角，∴，即.∴.
又当，的夹角为时，存在，使，∴，此方程组无解.综上，.
故选：A.
【点睛】本题考查用数量积确定向量的夹角，当向量，的夹角为时，也成立，所以求解此类问题时，要注意检验.
6．A
【分析】根据题意可知，，，直线与平面之间的距离可转化为点到平面的距离，结合线面垂直的性质与三角形面积公式，即可求解.
【详解】由，，，，得，，且.如图所示，连接，过点作，垂足在上.
由长方体的性质易得，又因且，所以平面，因此直线与平面之间的距离为线段的长.
因，所以，
因此直线与平面之间的距离为.
故选：A.
7．ABD
【分析】先由向量反向得到，，，再验证每个选项即可求解.
【详解】由题意，得：，
且，
其中，则，，，
则：，即选项A正确；
，即选项B正确；
，即选项C错误；
，即选项D正确.
故选：ABD.
8．AC
【分析】根据向量数乘的概念，可知单位向量的求法， ，即可求出．
【详解】设与共线的单位向量为，所以，因而，得到．
故，而，所以或．
故选：AC．
【点睛】本题主要考查单位向量的求法以及共线向量定理的应用．
9．
【分析】根据对称得到，计算得到答案.
【详解】点与点关于坐标原点对称，
则，故.
故答案为：.
10．2
【解析】依题意建立空间直角坐标系，设，表示出，，根据得到方程，计算可得；
【详解】解：依题意建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，所以，，所以，即，所以，解得
故答案为：
【点睛】本题考查空间向量的应用，对于三角形的面积可以利用向量法进行转化计算；
11．
【分析】设点的坐标为，由题意可得，即可得到方程组，解得即可求得的坐标．
【详解】解：点 ，为线段上一点，且，
所以，
设点的坐标为，则，
则，即，
解得，即；
故答案为：．
12．
【分析】先建立空间直角坐标系，得出的轨迹，再运用向量及几何关系求解
【详解】如图,建立如图所示的空间直角坐标系
则,，设
由题设
即
也即
由此可知点都是在球心为,半径为2的球面上
又,故点是球的直径的两个端点
所以，
所以
而在正方体的表面上,故当点在正方体的顶点上时,
此时的值最小为
故答案为 ：.
13．关于x轴对称，关于平面对称，关于坐标原点对称
【分析】根据空间直角坐标系中点关于x轴、平面、坐标原点对称的点的特征即可得出答案.
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为，
关于平面对称的点的坐标为，
关于坐标原点对称的点的坐标为.
14．取中点，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系.
【分析】由题意可证得,又因为底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，所以,所以以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标.
【详解】底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，
则，所以
设，
由为线段的中点，
则，
由，
所以，
以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
15．（1），，（2）
【分析】（1）根据空间向量的坐标表示与线性运算和数量积运算，求解即可．
（2）由已知求出向量，的坐标，结合夹角，利用三角形面积公式，得到平行四边形的面积S；
【详解】（1），
，
又
∴.
（2）∵，，∴,
又∵，∴，∴.
【点睛】本题考查的知识点是空间向量的坐标表示与线性运算，考查了利用坐标求向量的模及夹角的问题，属于基础题．
16．（1），；（2）；（3）.
【分析】（1）利用向量的坐标运算可求得点、的坐标；
（2）计算出向量、的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值；
（3）由可得，可求得向量的坐标，进而可求得点的坐标.
【详解】（1）设点为坐标原点，，
则.
，则；
（2），则，
又，因此，；
（3）设点为坐标原点，，则，
则，
所以，点的坐标为.
【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了空间向量数量积的计算，考查计算能力，属于中等题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页