5.2 实际问题中的函数模型 同步练习（Word版含答案）

《第二节　实际问题中的函数模型》同步练习
一、基础巩固
知识点1　一次、二次、反比例、幂函数模型的应用
1.据调查,某存车处(只存放自行车和电动车)在某天的存车量为400辆次,其中电动车存车费是每辆一次2元,自行车存车费是每辆一次1元.若该天自行车存车量为x辆次,存车总收入为y元,则y关于x的函数关系式是(　　)
A.y=x+400(0≤x≤400)
B.y=x+800(0≤x≤400)
C.y=-x+400(0≤x≤400)
D.y=-x+800(0≤x≤400)
2.(多选)[2022江西九江高二上期末考试]某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关,采用新工艺将二氧化碳转化为一种可利用的化学品.已知该单位每月二氧化碳的处理量最少为400 t,最多为600 t,月处理成本y(元)与月处理量x(t)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80 000,且每处理1 t二氧化碳得到的化学品的价值为100元.以下判断正确的是(　　)
A.该单位二氧化碳的月处理量为400 t时,才能使每吨的平均处理成本最低
B.该单位每月最低可获利20 000元
C.该单位每月不获利,也不亏损
D.需要国家每月至少补贴40 000元才能使该单位不亏损
3.在固定压力差(即压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量R(单位:cm3/s)与管道半径r(单位:cm)的四次方成正比.若气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s,则当管道半径为5 cm时,该气体的流量为　　　　cm3/s(结果保留整数).
4.某地上年度电的价格为0.8元/度,年用电量为1亿度.本年度计划将电的价格调至0.55元/度~0.75元/度(包含0.55元/度和0.75元/度),经测算,若电的价格调至x元/度,则本年度新增用电量y(亿度)与(x-0.4)(元/度)成反比,且当x=0.65时,y=0.8.
(1)y与x之间的函数关系式为　　　　;
(2)若电的成本价为0.3元/度,则电的价格调至　　　　元/度时,电力部门本年度的收益将比上一年增加20%.(收益=用电量×(实际电的价格-成本价))
5.[2022安徽六安高一上联考]某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券类产品的年收益f(x)(单位:万元)与投资额x(单位:万元)成正比,其关系如图1;投资股票类产品的年收益g(x)(单位:万元)与投资额x(单位:万元)的算术平方根成正比,其关系如图2.
(1)分别写出两种产品的年收益f(x)和g(x)的函数关系式;
(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大年收益,其最大年收益是多少万元
知识点2　指数型函数模型的应用
6.[2022江西高一上期末联考]考古科学家在测定良渚古城遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间t(单位:年)的衰变规律满足N=N0·(N0表示碳14原有的质量).经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至,据此推测良渚古城存在的时期距今约在　　　　年到5 730年之间,则“　　　　”为(　　)
(参考数据:log2 3≈1.6,log2 5≈2.3)
A.4 011 B.3 438
C.2 865 D.2 292
7. [2022山东威海高一上期末考试]若物体的初始温度为θ1 ℃,环境温度为θ0 ℃(θ1>θ0),则经过t min后物体的温度
θ(t) ℃满足θ(t)-θ0=(θ1-θ0)e-kt(k为常数).若经过h min后物体的温度θ(h) ℃满足θ(h)-θ0=(θ1-θ0),则称h为半衰期,经测定h=12.
(1)求k的值;
(2)中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶用85 ℃的水泡制,等茶水降至60 ℃时饮用,可以达到最佳饮用口感,那么在20 ℃的环境温度下,用85 ℃的水泡制该绿茶,大约需要放置多长时间茶水才能达到最佳饮用口感 (附:lg 2≈0.3,lg 13≈1.1)
知识点3　对数型函数模型的应用
8.据统计,第x年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)近似满足y=alog3(x+2).观测发现第1年有越冬白鹤3 000只,估计第7年有越冬白鹤(　　)
A.4 000只 B.5 000只
C.6 000只 D.7 000只
9.[2022江西南昌高一上期末考试]某学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼,每天能用于锻炼的课余时间有90 min,现需要制订一个课余锻炼考核评分制——每天得分y与当天锻炼时间x(单位:min)的函数关系,要求:
(1)是区间[0,90)上的增函数;(2)每天锻炼时间为0 min时,当天得分为0分;(3)每天锻炼时间为30 min时,当天得分为3分;(4)每天得分不超过6分.
现有三个函数模型:
①y=kx+b(k>0);
②y=k·1.2x+b(k>0);
③y=klog2(+2)+n(k>0).
(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由,再根据所给信息求出函数的解析式.
(2)若每天得分不少于4.5分,则至少需要锻炼多少分钟 (保留整数)
知识点4　分段函数模型的应用
10.[2022湖北新高考联考协作体高一下联考]某企业承接了北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”玩偶的生产,已知生产此玩偶的固定成本为200万元,每生产x万个,需投入成本h(x)万元,当产量小于或等于50万个时,h(x)=180x+100;当产量大于50万个时,h(x)=x2+60x+3 500.若每个玩偶售价200元,通过市场分析,该企业生产的玩偶可以全部销售完.(利润=销售总价-成本总价,销售总价=销售单价×销售量,成本总价=固定成本+生产中投入成本)
(1)求“冰墩墩“玩偶销售利润y(万元)关于产量x(万个)的函数关系式;
(2)当产量为多少万个时,该企业在生产中所获得的利润最大
11.某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其注意力指数p与听课时间t(单位:min)之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈(0,14]时,曲线是二次函数图象的一部分,当t∈[14,40]时,曲线是函数y=loga(t-5)+
83(a>0且a≠1)图象的一部分.根据专家研究,当p≥80时听课效果最佳.
(1)试求注意力指数p关于听课时间t的函数解析式.
(2)一道数学难题讲解需要22 min,问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完 请说明理由.
二、能力提升
1.[2022北京平谷区高三零模]生物学家认为,睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量,主要是为了保持恒温.根据生物学常识,采集了一些动物体重和脉搏率对应的数据,经过研究,得到体重和脉搏率的对数型模型为ln f=ln k-(其中f是脉搏率(心跳次数/min),W是体重(g),k为正的常数).已知一只体重为300 g的豚鼠脉搏率为300/min,如果一只小狗的体重为5 000 g,那么与这只小狗的脉搏率最接近的是(　　)
A.130/min B.120/min
C.110/min D.100/min
2.[2022北京清华附中高一上期末考试]某种药在病人血液中的含量不低于2 g时,才能起到有效的治疗作用,已知一次服用m(1≤m≤4,m∈R)个单位的药剂,药剂在血液中的含量y(g)随着时间x(h)变化的函数关系式近似为y=mf(x),其中f(x)=.
(1)若病人一次服用3个单位的药剂,则有效治疗时间可达　　　　h;
(2)若病人第一次服用2个单位的药剂,6 h后再服用n个单位的药剂,要使接下来的2 h中能够持续有效治疗,则n的最小值为　　　　.
3.环保生活,低碳出行,电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车在一段平坦的国道上进行测试,国道限速80 km/h.经多次测试得到该汽车每小时耗电量M(单位:Wh)与速度v(单位: km/h)的数据如下表所示:
v 0 10 40 60
M 0 1 325 4 400 7 200
为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系,现有以下三种函数模型供选择:M(v)=v3+bv2+cv,M(v)=1 000()v+a,M(v)=300logav+b.
(1)当0≤v≤80时,请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型,并求出相应的函数解析式.
(2)根据(1)中所得函数解析式,求解问题:现有一辆同型号电动汽车从A地驶到B地,前一段是200 km的国道,后一段是50 km的高速路,若高速路上该汽车每小时耗电量N(单位:Wh)与速度v(单位: km/h)的关系满足N(v)=2v2-10v+200(80≤v≤120),则如何行驶才能使得总耗电量最少,最少为多少
参考答案
一、基础巩固
1.D 2.AD
3.3 086
4.(1)y=(0.55≤x≤0.75) (2)0.6
5.(1)依题意可设f(x)=k1x(x≥0),g(x)=k2(x≥0).
∵f(1)=k1=,g(1)=k2=,
∴f(x)=x(x≥0),g(x)= (x≥0).
(2)设投资债券类产品x万元,股票类产品(20-x)万元,年收益为y万元,
则由题意得y=f(x)+g(20-x)=(0≤x≤20),
令t=,则x=20-t2,t∈[0,2],
∴y==-(t-2)2+3,t∈[0,2],
∴当t=2,即x=16时,ymax=3.
∴投资债券类产品16万元,股票类产品4万元时可获得最大年收益,且最大年收益为3万元.
6.A
7.(1)由题意,知,所以=e-12k,解得k=.
(2)设刚泡好的茶水大约需要放置a min才能达到最佳饮用口感,
由题意,可知θ1=85,θ0=20,θ(a)=60,
所以60-20=(85-20),
解得a=≈8,
所以刚泡好的茶水大约需要放置8 min才能达到最佳饮用口感.
8.C
9. (1)由题意,得当锻炼时间从0 min增长到30 min时,得分从0分增长到3分,当锻炼时间从30 min增长到90 min时,得分从3分增长到6分,增长速度先快后慢,故选y=klog2(+2)+n(k>0).
将(0,0),(30,3)代入解析式得到,即,
解得k=3,n=-3,即y=3log2(+2)-3.
经验证,当x=90时,y=3log2(6+2)-3=6,
满足每天得分不超过6分的条件.
所以函数的解析式为y=3log2(+2)-3.
(2)令3log2(+2)-3≥4.5,得log2(+2)≥2.5=log2,
所以+2≥=4≈5.656,解得x≥54.84,
故要使每天得分不少于4.5分,则至少需要锻炼55 min.
10.(1)当x≤50时,y=200x-200-180x-100=20x-300;
当x>50时,y=200x-200-x2-60x-3 500=-x2+140x-3 700.
综上,销售利润y(万元)关于产量x(万个)的函数关系式为y=.
(2)当x≤50时,y≤20×50-300=700;
当x>50时,y=-(x-70)2+1 200,易得当x=70时,y取到最大值1 200.
综上,当产量为70万个时,该企业在生产中获得的利润最大,为1 200万元.
11.(1)当t∈(0,14]时,设p=c(t-12)2+82(c<0),将点(14,81)的坐标代入得c=-,
所以当t∈(0,14]时,p=-(t-12)2+82;
当t∈[14,40]时,将点(14,81)的坐标代入y=loga(t-5)+83,得a=.
所以p=.
(2)当t∈(0,14]时,令-(t-12)2+82≥80,
解得12-2≤t≤12+2,所以t∈[12-2,14];
当t∈(14,40]时,令lo (t-5)+83≥80,解得5综上,当t∈[12-2,32]时学生听课效果最佳.
又32-(12-2)=20+2>22,所以老师能经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完.
二、能力提升
1.B
2.(1);(2)
3.(1)若选M(v)=300logav+b,则当v=0时,该函数无意义,不合题意.
若选M(v)=1 000()v+a,显然该函数是减函数,这与M(40)故选择M(v)=v3+bv2+cv.
由表中数据,得,解得,
所以当0≤v≤80时,M(v)=v3-2v2+150v.
(2)由题可知该汽车在国道路段所用时间为(0≤v≤80)h,
所耗电量f(v)=·M(v)=·(v3-2v2+150v)=5(v2-80v+6 000)=5(v-40)2+22 000(0≤v≤80),
所以当v=40时,f(v)min=22 000.
该汽车在高速路段所用时间为(80≤v≤120)h,
所耗电量g(v)=·N(v)=·(2v2-10v+200)=100(v+)-500(80≤v≤120),
易知g(v)在[80,120]上单调递增,所以g(v)min=g(80)=100(80+)-500=7 625.
故当该汽车在国道上的行驶速度为40 km/h,在高速路上的行驶速度为80 km/h时,总耗电量最少,最少为22 000+7 625=29 625(Wh).