数学人教A版（2019）必修第一册4.5.2 用二分法求方程的近似解 （共24张ppt）

(共24张PPT)
用二分法求方程的近似解
新课程标准 核心素养
1.探索用二分法求方程近似解的思路； 逻辑推理
2.能借助计算工具用二分法求方程近似解； 数学运算
3.了解用二分法求方程近似解具有一般性； 数学抽象
受第九号台风“利奇马”影响，八月十日夜间到十一日夜间滕州出现了暴雨并伴有大风天气，造成了荆河中路一段长2千米的电路发生了故障．如果你是一名维修工人如何迅速查出故障所在点？
生活中的二分法
放在银行门口电动车在早7：00到19:00，12小时内被盗，
正好被监控器拍到。请你化身为小侦探，用最快的方法检索
监控视频，将小偷逃跑时间提供给警察。
看商品，猜价格
游戏规则：
给出一件商品，请你猜出它的准确价格，我们给的提示只有“高了”和“低了”。给出的商品价格在100 ~ 200之间的整数，如果你能在规定的次数之内猜中
价格，这件商品就是你的了。
设出现故障线路的起点和终点分别为A、B,
A
B
取中点
这样每查一次,就可以把故障点所在的范围缩减一半
这种解决问题的方法，就是二分法.
知识点1
二分法的概念
对于在区间[a，b]上____________且_____________________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法．
连续不断
f(a)·f(b)<0
是否所有的函数都可以用二分法求函数的零点？
思考1：
不是，只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点．
例1.图象如下的函数能用二分法求零点近似值的是( )
D
B
A
C
问题:你会解下列方程吗
2x-6=0; 2x2-3x+1=0; lnx+2x-6=0
lnx+2x-6=0，我们不会解这个方程，怎么办？我们会什么？
把方程lnx+2x-6=0等价变形为lnx= -2x+6
在同一直角坐标系内做函数y=lnx和y=-2x+6的图象.
y=lnx
y=-2x+6
观察图象可知，y=lnx和y=-2x+6的图象交点的横坐标x0∈(2,3). 而x0就是方程lnx+2x-6=0的实数根，进而就是函数f(x)=lnx+2x-6的零点
你会求方程lnx+2x-6=0的近似解吗
计算，f(2)=ln2+2×2-6= ln2-2= ln2- lne <0, f(3)=ln3+2×3-6ln3>ln1=0所以， f(2)·f(3)<0，根据函数零点存在性定理，x0∈(2,3)是正确的.
这只是确定了函数f(x)=lnx+2x-6的零点，即方程lnx+2x-6=0的
实数根的范围，这个x0的值究竟是多少呢？
可以转化为函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内零点的近似值。
在已知存在零点的区间确定函数的零点的近似值，实际上就是如何
缩小零点所在的范围，或是如何得到一个更小的区间，使得零点
还在里面，从而得到零点的近似值
思考：如何缩小零点所在的区间？
对于一个已知零点所在区间[a,b],取其中点 c ,计算f(c),如果f(c)=0，那么 c 就是函数的零点；如果不为0，通过比较中点与两个端点函数值的正负情况，即可判断零点是在（a,c)内，还是在（c,b)内，从而将范围缩小了一半，以此方法重复进行……
f(x)=lnx+2x-6
∵f(2)<0， f(3)>0∴x0∈(2,3)
2.5
∵f(2.5)<0， f(3)>0∴x0∈(2.5,3)
2.75
∵f(2.5)<0， f(2.75)>0∴x0∈(2.5,2.75)
2.5
2.5
2.75
2.625
∵f(2.5)<0， f(2.625)>0∴x0∈(2.5,2.625)
2.5
2.625
∵f(2.5)<0， f(2.5625)>0∴x0∈(2.5,2.5625)
……
零点所在区间 中点的值 中点函数近似值
(2,3) 2.5 -0.084
(2.5,3) 2.75 0.512
(2.5,2.75) 2. 625 0.215
(2.5,2.625) 2.562 5 0.066
(2.5,2.5625) 2. 531 25 -0.009
(2.53125,2.5625) 2. 546 875 0.029
(2.53125,2.546875) 2. 539 062 5 0.010
(2.53125,2.5390625) 2. 535 156 25 0.001
也可以将x = 2.531 25作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值，也即方程
lnx+2x-6=0的近似解.
例如，当精确度为0.01时，因为|2.539 062 5-2.531 25|=0.007 812 5<0.01，
所以区间(2.531 25, 2.539 062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值，
二分法求函数y=f(x)零点的步骤：
知识点2
(1) 确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
(2) 求区间(a,b)的中点c；
(3) 计算f(c) ；
若f(c)=0，则c就是函数的零点c ；
若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a,c))；
若f(b)·f(c)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c,b))；
(4) 判断是否达到精度ε，若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，
否则重复(2) (3) (4) ；
例1. 借助信息技术，用二分法求方程 2x+3x=7函数的近似解
（精确度为0.1）
解：原方程即2x+3x-7=0 ，令f(x) =2x+3x-7，用信息技术画出函数y=f(x)的图象，并列出它的对应值表.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
观察函数图象和上表，可知f(1)·f(2)<0.
取区间（1，2）的中点x1=1.5，f(1.5)≈ 0.33，因为f(1)·f(1.5)<0，
所以x0 ∈（1，1.5），取区间（1，1.5）的中点x2=1.25 ,
f(1.25)≈-0.87，因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈（1.25，1.5）同理可得，
x0∈（1.375，1.5），x0∈（1.375，1.437 5），
由于|1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1，所以，原方程的近似解可取为1.437 5.
判断方程lg x=3-x解的个数，并说明理由，若有解，用二分法求其近似解.（精确度0.1）.
解：画出g(x)=lgx及h(x)=3-x的图象，观察图象得，方程lgx=3-x有唯一解，记为x1，且这个解在区间（2，3）内.
y
1
3
3
x
o
设 f(x)=lgx+x-3，因为f(x)在定义域内为增函数且f(2)<0,f(3)>0，所以f(x)在（2,3）有唯一零点，方程lg x=3-x有唯一解
列出下表：
根所在区间 区间端点函数值符号 中点值 中点函数值符号
（2，3）
（2.5，3）
（2.5，2.75）
（2.5，2.625）
（2.562 5，2.625）
f(2)<0，f(3)>0
f(2.5)<0，f(3)>0
f(2.5)<0，f(2.75)>0
f(2.5)<0，f(2.625)>0
f(2.562 5)<0，
f(2.625)>0
2.5
2.75
2.625
2.562 5
f(2.5)<0
f(2.75)>0
f(2.625)>0
f(2.562 5)<0
因为|2.625-2.562 5|=0.062 5<0.1，所以可以将x=2.625作为原方程的一个近似解.
1．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　)
A．[－2,1]　　　 B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
2．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为 (　　)
A．0.68 B．0.72
C．0.7 D．0.6
精确到0.1所取的近似值都是0.7
已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点
的初始区间为(0.64,0.72)，又因为0.68＝ ×(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间
(0.68，0.72)上
1
2
3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
(0，0.5)
f(0.25)
4．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是____________．
解析：∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b图象与x轴有且仅有一个交点．∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.
a2＝4b
5．某方程有一无理根在区间D＝(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D等分________次后，所得近似值可精确到0.1.
5
6.方程3x＋m＝0的根在(－1,0)内，则m的取值范围为________.
[解析]　解法一：∵f(x)＝3x＋m单调递增，∴只要满足
( )
0(0,3)
解法二：由3x＋m＝0得m＝－3x，∵x∈(－1,0)，∴－3x∈(0,3)，
二分法思想的实际应用
问题：现有12个小球，体积均匀外表一致，但是其中有一个小球却比别的球重。如果给你一天平，最少要称几次才可以找出这个比较重的球？
第一次，两端各放6个小球，低的那一端一定有重球；
第二次，两端各放3个小球，低的那一端一定
有重球；
第三次，两端各放1个小球，
如果平衡，剩下的就是重球；
如果不平衡，则低的那一端
就是重球。
某娱乐节目有一个给选手在限定时间内猜一物品的售价的环节，某次猜一品牌手机的价格，手机价格在500～1 000元，选手开始报价1 000元，主持人回答高了；紧接着报900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你猜中了，
[解析]　取价格区间[500,1 000]的中点750元，低了；
就再取[750,1 000]的中点875，高了；就取[750,875]
的中点，遇到小数，则取整数，照此猜下去，可以猜价：
750,875,812,843,859,851，经过6次即能猜中价格
证明方程6－3x＝2x在(1,2)内有惟一一个实数解，并求出这个实数解的一个近似值(精确到0.1)．
设f(x)＝6－3x－2x，
∵f(1)＝6－3－2＝1＞0，f(2)＝6－6－22＝－4＜0，
∴f(1)·f(2)<0又f(x)在定义域内是减函数，
故方程在(1,2)内有惟一的解．
中点的值 中点函数值的符号 取区间
＝1.5 f(1.5)＜0 (1,1.5)
＝1.25 f(1.25)＜0 (1,1.25)
＝1.125 f(1.125)>0 (1.125,1.25)
＝1．187 5 f(1.187 5)＞0 (1.187 5,1.25)
＝1．218 75 f(1.218 75)＞0 (1.218 75,1.25)
＝1．234 375 f(1.234 375)＜0 (1.218 75，1．234 375)