频率的稳定性
一、选择题
1.关于频率和概率的关系,下列说法正确的是 ( )
A.频率等于概率
B.当试验次数很大时,频率稳定在概率附近
C.当试验次数很大时,概率稳定在频率附近
D.试验得到的频率与概率不可能相等
2.在做抛硬币试验时,甲、乙两位同学画出“正面朝上”的频率折线统计图后发现频率的稳定值分别是50.00%和50.02%,则下列说法错误的是( )
A.乙同学的试验结果是错误的
B.这两种试验结果都是正确的
C.增加试验次数可以减小稳定值的差异
D.同一个试验的稳定值不是唯一的
3.为了看图钉落地后钉尖着地的概率有多大,小明做了大量重复试验,发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%,则下列说法错误的是( )
A.钉尖着地的频率约为0.4
B.随着试验次数的增加,钉尖着地的频率稳定在0.4附近
C.钉尖朝上的频率约为0.6
D.前20次试验结束后,钉尖着地的次数一定是8次
二、填空题
4.如是一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率和抛掷次数变化趋势图,则一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率稳定值约是 .
5.某种绿豆在相同条件下发芽的试验结果如下表:
每批的粒数 2 10 50 100 500 1000 2000 3000
发芽的粒数 2 9 44 92 463 930 1862 2793
发芽率 1.000 0.900 0.880 0.920 0.926 0.930 0.931 0.931
根据表中的数据,我们会发现:当参与试验的这种绿豆的粒数很多时,它的发芽率会在一个常数 附近摆动(精确到0.01),即这种绿豆发芽的频率具有 .
三、解答题
6.在一个不透明的盒子中有2个白球和1个黄球,每个球除颜色外其余都相同,每次从该盒中摸出1个球,然后放回,搅匀后再摸,在摸球试验中得到下表部分数据:
试验次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
摸出黄球的次数 14 24 38 52 67 97 111 120 136
摸出黄球的频率 0.35 0.32 0.33 0.34 0.35 0.35 0.35 0.33 0.34
(1)将表中的数据补充完整;
(2)根据上表中的数据在中绘制折线统计图;
(3)观察以上图表可以发现,随着试验次数的增加,摸出黄球的频率有何特点
(4)请你估计从该盒中随机摸出1个球是黄球的可能性.
答案
1.B
2.A
3.D
4.0.46
5.0.931 稳定性
6.解:(1)表中从上到下依次填:84 0.30
(2)绘制折线统计图如图所示.
(3)从图表可以看出,随着试验次数的增加,摸出黄球的频率逐渐平稳.
(4)观察折线统计图可知从盒中摸出1个球是黄球的频率逐渐稳定在0.34,故从盒中随机摸出1个球是黄球的可能性约是0.34.感受可能性
一、选择题
1.下列事件中,属于必然事件的是 ( )
A.三天后是晴天
B.a2<0(a为有理数)
C.直角三角形两锐角互为余角
D.射击运动员射击一次命中靶心
2.如图所示的四个转盘中,转盘③④被分成8等份,若让转盘自由转动一次停止后,指针落在阴影区域的可能性从大到小排列为 ( )
A.①②④③ B.③②④①
C.③④②① D.④③②①
二、填空题
3.“抛掷一枚质地均匀的硬币,正面向上”是 事件(填“必然”“随机”或“不可能”).
4.用一副去掉大、小王的扑克牌中的10张设计一个翻牌游戏,要求同时满足以下三个条件:
(1)翻出“黑桃”和“梅花”的可能性相同;
(2)翻出“方块”的可能性比翻出“梅花”的可能性小;
(3)翻出黑颜色牌的可能性比翻出红颜色牌的可能性小.
答案:我设计的方案如下:“红桃” 张,“黑桃” 张,“方块” 张,“梅花” 张.
三、解答题
5.下列事件中,哪些是不可能事件 哪些是必然事件 哪些是随机事件
(1)抛掷一枚质地均匀的骰子,6点朝上;
(2)367人中至少有2人的出生日期相同;
(3)1+3>2;
(4)打开电视,正在播放广告.
(5)太阳从东边落下.
6.请用“一定”“很可能”“不太可能”“不可能”等语言来描述下列事件的可能性.
(1)买20注彩票,获特等奖500万;
(2)袋中有20个球,1个红色的,19个白色的,从中任取一球,取到红色的球;
(3)100件产品中有2件次品,98件正品,从中任取一件,刚好是正品;
(4)早晨太阳从东方升起.
(5)小丽能跳100 m高.
(方案设计题)一个不透明的盒中装有红球、黄球共10个,每个球除颜色外其余都相同,每次从盒中随机摸出一个球,摸三次,不放回,请你按要求写出盒中各球的个数情况(写出一种即可):
(1)“摸到三个球都是红球”是不可能事件;
(2)“摸到红球”是必然事件;
(3)“摸到两个黄球”是随机事件.
答案
1.C 2.A 3.随机
4.答案不唯一,如5 2 1 2
5. (1)抛掷一枚质地均匀的骰子,1,2,3,4,5,6点都有可能朝上,故6点朝上是随机事件;
(2)一年有365(或366)天,故367人中至少有2人的出生日期相同;
(3)1+3>2一定成立;
(4)打开电视,有可能在播放新闻,也有可能在播放广告等;
(5)太阳不可能从东边落下.
解:(5)是不可能事件,(2)(3)是必然事件,(1)(4)是随机事件.
6.解:(1)不太可能;(2)不太可能;(3)很可能;(4)一定;(5)不可能.
[素养提升]
解:(1)(答案不唯一)盒中装有红球2个、黄球8个,则“摸到三个球都是红球”是不可能事件.
(2)(答案不唯一)盒中装有红球8个、黄球2个,则“摸到红球”是必然事件.
(3)(答案不唯一)盒中装有红球8个、黄球2个,则“摸到两个黄球”是随机事件.判断游戏的公平性
一、选择题
1.一个箱子中放有红、黄、黑三种小球各1个,三个人先后去摸球,一人摸一次,一次摸出1个小球,摸出后放回,摸出黑色小球为赢,这个游戏是 ( )
A.公平的 B.不公平的
C.先摸者赢的概率大 D.后摸者赢的概率大
2.小明准备用6个球设计一个摸球游戏,下列四个方案中,你认为不能成功的是 ( )
A.P(摸到白球)=,P(摸到黑球)=
B.P(摸到白球)=,P(摸到黑球)=,P(摸到红球)=
C.P(摸到白球)=,P(摸到黑球)=P(摸到红球)=
D.摸到白球、黑球、红球的概率都是
二、填空题
3.甲、乙两人玩抽扑克牌游戏,游戏的规则是从一副去掉大、小王的扑克牌中,随机抽取一张,若所抽取的牌面数字为奇数,则甲获胜;若所抽取的牌面数字为偶数,则乙获胜(A,J,Q,K分别代表1,11,12,13).这个游戏 .(填“公平”或“不公平”)
4.一个不透明的口袋中有20个球,其中白球x个、绿球2x个,其余为黑球(这些球除颜色外其余都相同).甲从口袋中任意摸出一个球,若为绿球则甲获胜,将甲摸出的球放回袋中搅匀,乙从袋中摸出一个球,若为黑球则乙获胜.则当x= 时,游戏对甲、乙双方公平.
三、解答题
5.一个不透明的袋中装有5个黄球、13个黑球和22个红球,它们除颜色外其他都相同.
(1)小明和小红玩摸球游戏,规定每人摸球后再将摸到的球放回去为一次游戏.若小明摸到黑球小明获胜,小红摸到黄球小红获胜,则这个游戏对双方公平吗 请说明你的理由;
(2)现在裁判想从袋中取出若干个黑球,并放入相同数量的黄球,使得这个游戏对双方公平,则要取出多少个黑球
在一个不透明的袋中放入12个除颜色外其他都相同的球,请你设计一个摸球游戏,使:
(1)从中任意摸出一个球,摸到白球的概率为,摸到红球的概率为;
(2)从中任意摸出一个球,摸到白球的概率为,摸到红球的概率为,摸到黄球的概率为.
答案
1.A 2.C 3.不公平
4.4 根据题意,得=,即2x=x,解得x=4.
5.解:(1)不公平.理由如下:
因为不透明的袋中装有5个黄球、13个黑球和22个红球,小明摸到黑球小明获胜,小红摸到黄球小红获胜,所以小明获胜的概率为,小红获胜的概率为=.因为≠,所以这个游戏对双方不公平.
(2)设要取出x个黑球,由题意可得13-x=5+x,解得x=4.
所以要取出4个黑球.
[素养提升]
解:(1)由概率的定义可知,P(摸到白球)=,所以摸到白球可能出现的结果数=所有可能出现的结果数×P(摸到白球)=12×=3,摸到红球可能出现的结果数=所有可能出现的结果数×P(摸到红球)=12×=9,所以只要使得白球的数目为3个,红球的数目为9个,就能满足题目要求.
(2)同(1)可得,只要使得白球的数目为3个,红球的数目为6个,黄球的数目为3个,就能满足题目要求.和面积有关的概率(2)
一、选择题
1.如的四个转盘中,若让转盘自由转动一次,停止后,指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是 ( )
2.自由转动如图所示的转盘甲和转盘乙,如果想让指针停在黑色区域,选取哪个转盘成功的机会比较大 ( )
A.转盘甲 B.转盘乙 C.两个一样大 D.无法确定
3.某公司的班车在7:30,8:00,8:30从某地发车,小李在7:50至8:30之间到达车站乘坐班车.如果他到达发车站的时刻是随机的,那么他等车时间不超过10分钟的概率是 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
4.如是一个游戏转盘,自由转动转盘,当转盘停止转动后,指针落在数字Ⅱ所示区域内的概率是 .
5.若一包糖果共有5种颜色(糖果只有颜色有差别),如是这包糖果各颜色数量百分比的统计图,在这包糖果中任意取一粒,则取出糖果的颜色为绿色或棕色的概率是 .
三、解答题
6.请设计一个转盘:自由转动这个转盘,当它停止转动时,指针落在红色区域的概率为,落在白色区域的概率为,落在黄色区域的概率为.
7.十一黄金周期间,某购物广场举办迎国庆有奖销售活动,每购物满100元,就会有一次转动大转盘的机会,大转盘如图所示,求每转动一次转盘:
(1)享受7折优惠的概率;
(2)得20元的概率;
(3)得10元的概率;
(4)中奖得现金的概率.
答案
1.A 2.C 3.B 4. 5. 6.略
7.解:(1)享受7折优惠的概率为=.
(2)得20元的概率为=.
(3)得10元的概率为=.
(4)中奖得现金的概率为=.和面积有关的概率(1)
一、选择题
1.如图一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形网格构成.向游戏板随机投掷一枚飞镖,击中阴影区域的概率是 ( )
A. B. C. D.
2.自由转动下列转盘(四个转盘均被等分),指针停在白色区域的概率为的转盘是 ( )
二、填空题
3.如图一个可以自由转动的转盘被分成了6个相同的扇形,转动转盘,当转盘停止时,指针落在红色区域的概率等于 .
4.某商场为了吸引顾客,设立了一个转盘,如图所示,转盘被平均分为16份.规定:当顾客购物累计超过500元时,就能获得一次转动机会,如果转盘的指针正好对准红、黄、蓝区域,可分别获得100元、50元、20元的购物券,甲顾客购物花费530元,他获得购物券的概率为 ,他得到100元的购物券的概率为 .
三、解答题
5.如是一个材质均匀的转盘,转盘被分成8个全等的扇形,颜色分为红、绿、黄三种,指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止(若指针指向两个扇形的交线时,当作指向右边的扇形),转动一次转盘:
(1)求指针指向绿色扇形的概率;
(2)指针指向红色扇形的概率大,还是绿色扇形的概率大 为什么
如图所示的三个转盘均被等分成6个扇形,你能否在转盘上涂上适当的颜色,使得自由转动转盘,当它停止转动时,分别满足下面的条件:
(1)指针停在红色区域和停在黄色区域的概率相同;
(2)指针停在蓝色区域的概率大于停在红色区域的概率;
(3)同时满足上面两个要求.
答案
1.B
2.C
3.
4.
5.解:按颜色把8个扇形分为2红、3绿、3黄,所有可能结果的总数为8种.
(1)指针指向绿色扇形的结果有3种,则P(指针指向绿色扇形)=.
(2)指针指向绿色扇形的概率大.
理由:由题意得指针指向红色扇形的结果有2种,则P(指针指向红色扇形)=<.
故指针指向绿色扇形的概率大.
[素养提升]
解:如图所示(答案不唯一).简单概率的计算
一、选择题
1.从标有a,b,c,1,2的五张卡牌中随机抽取一张,抽到数字卡牌的概率是 ( )
A. B. C. D.
2.有10名学生的身高(单位:cm)如下:160,170,166,165,170,152,159,175,158,160.从中任选一名学生,他的身高不到161 cm的概率是 ( )
A. B. C. D.
3.在分别标有数字0,-2,1,3,-1的五张卡片(这些卡片除数字不同外其他均相同)中任抽一张,那么抽到的卡片上的数字为负数的概率是 ( )
A. B. C. D.
4.社会主义核心价值观中:“富强、民主、文明、和谐”是国家层面的价值目标;“自由、平等、公正、法治”是社会层面的价值取向;“爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人层面的价值准则.现将12个词语分别写在12张不透明的卡片上(背面完全一样),背面朝上放在桌面上,从中随机抽取一张,抽到社会层面价值取向的卡片的概率为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
5.给甲、乙、丙三人发微信,若发微信的顺序是任意的,则第一个给甲发微信的概率为 .
6.某商店实行有奖销售,印有1万张消费券,其中有10张一等奖,50张二等奖,500张三等奖,其余均无奖,任意抽取一张,获得一等奖的概率为 ,获奖的概率为 .
三、解答题
7.把一副普通的扑克牌中的13张黑桃牌(A,J,Q,K分别代表1,11,12,13)洗匀后正面向下放在桌面上,从中随机抽取一张,求下列事件发生的概率:
(1)抽得点数6;
(2)抽得人头像;
(3)抽得点数小于5;
(4)抽得点数不小于8;
(5)抽得黑桃.
一个不透明的布袋中有8个红球和16个白球,它们除颜色不同外其余都相同.
(1)求从布袋中任意摸出一个球是红球的概率;
(2)现从布袋中取走若干个白球,并放入相同数量的红球,搅拌均匀后,再从布袋中摸出一个球是红球的概率是,则取走了多少个白球
答案
1.B 2.D 3.B 4.C
5. 6.
7.解:(1)因为点数为6的只有1张,所以抽得点数6的概率=.
(2)因为有人头像的共有3张,所以抽得人头像的概率=.
(3)因为点数小于5的有1,2,3,4,共4张,所以抽得点数小于5的概率=.
(4)因为点数不小于8的有6张,即8,9,10,J,Q,K,所以抽得点数不小于8的概率=.
(5)因为13张牌全部是黑桃,所以从中随机抽取一张抽得黑桃的概率为1.
[素养提升]
解:(1)布袋中有8个红球和16个白球,共24个球,故P(从布袋中任意摸出一个球是红球)==.
(2)设取走了x个白球,
则=,解得x=7.
故取走了7个白球.频率估计概率
一、选择题
1.下列说法中错误的是 ( )
A.必然事件发生的概率为1
B.不可能事件发生的概率为0
C.概率很小的事件不可能发生
D.随机事件发生的概率大于0且小于1
2.若从一个袋子里摸到红球的概率为1%,则下列说法中正确的是 ( )
A.摸1次一定不会摸到红球
B.摸100次一定能摸到红球
C.摸1次有可能摸到红球
D.摸100次一定能摸到1次红球
3.在利用正六面体骰子进行频率估计概率的试验中,小闽同学统计了某一结果朝上的频率,绘出的统计图如图所示,则符合这一结果的试验可能是 ( )
A.朝上的点数是6的概率 B.朝上的点数是偶数的概率
C.朝上的点数小于4的概率 D.朝上的点数是3的整数倍的概率
4.为了解某地区九年级男生的身高情况,随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据,他们的身高x(cm)统计如下:
组别(cm) x<160 160≤x<170 170≤x<180 x≥180
人数 60 260 550 130
根据以上结果,抽查该地区一名九年级男生,估计他的身高不低于170 cm的概率是 ( )
A.0.32 B.0.55 C.0.68 D.0.87
二、填空题
5.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下:
射击次数 20 40 100 200 400 1000
“射中9环以 上”的次数 15 33 78 158 321 801
“射中9环以上”的 频率(结果保留 小数点后两位) 0.75 0.83 0.78 0.79 0.80 0.80
根据频率的稳定性,估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是 (结果保留小数点后一位).
三、解答题
6.某市林业局要移植一种树苗,对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计,并绘制了折线统计图(如).
(1)这种树苗成活概率的估计值为 ;
(2)若移植这种树苗6000棵,估计可以成活 棵;
(3)若计划成活9000棵这种树苗,则需移植这种树苗大约多少棵
答案
1.C 2.C 3.D 4.C
5.0.8
6. (1)从折线统计图中的趋势可知,随着移植数量的增加,成活频率在0.9附近波动.故答案为0.9.
(2)6000×0.9=5400(棵).故答案为5400.
解:(1)0.9 (2)5400
(3)9000÷0.9=10000(棵).
故需移植这种树苗大约10000棵.
