利用轴对称进行设计
一、选择题
1.窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计,窗棂上雕刻有线槽和各种花纹,构成种类繁多的优美图案.下列表示我国古代窗棂样式结构图案中,不是轴对称图形的是 ( )
2.如图所示,将正方形纸片三次对折后,沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形,展开铺平得到的图形是中的 ( )
二、填空题
3.如是由的五种基本图形中的两种拼接而成的,这两种基本图形是 .
三、解答题
4.小明把一张长方形纸片对折两次,画上一个四边形,再剪去这个图形(镂空),展开长方形纸片,得到如下的图案,设折痕为l1,l2,l3,观察图形并填空:
(1)图中有 条对称轴;
(2)四边形①与四边形②关于 所在的直线成轴对称,折痕l2所在的直线既是
与 的对称轴,又是 与 的对称轴,整体上看也是 与
的对称轴;
(3)若小明把纸片对折三次,展开后,得到的四边形有 个,有 条对称轴.
5.仔细观察①②③中阴影部分图案的共同特征,在图④⑤中再设计两幅具备上述特征的图案.(每个小方格的面积为1)
答案
1.A 2.A 3.②⑤
4.解:(1)3
(2)l1 ② ③ ① ④ ①② ③④
(3)8 7
5.解:如图所示(答案不唯一).等腰三角形
一、选择题
1.下列说法中错误的是 ( )
A.等腰三角形的两个底角相等
B.等边三角形有一条对称轴
C.等腰三角形底边上的中线平分顶角
D.等边三角形每个内角都等于60°
2.如图在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,下列结论中不正确的是( )
A.∠B=∠C B.AD⊥BC
C.AD平分∠BAC D.AB=2BD
3.如图在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是AC边上的高,则∠DBC的度数是 ( )
A.18° B.24° C.30° D.36°
4.若等腰三角形有一个内角为80°,则它的底角度数为 ( )
A.80° B.50° C.40° D.80°或50°
5.等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
6.如图AD是等腰三角形ABC的高,AB=AC,点E在AB上,点F在AC上,且DA平分∠EDF,则下列结论错误的是 ( )
A.AE=AF B.∠BDE=∠CDF
C.∠BED=∠CFD D.∠BDE=∠DAE
二、填空题
7.如图小艾同学坐在秋千上,秋千旋转了80°,小艾同学的位置也从A点运动到了A'点,则∠OAA'的度数为 .
8. 如图所示,在△ABC中,AB=AC,CD平分∠ACB,交AB于点D,∠A=36°,则∠BDC的度数为 .
9.如图在△ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,∠BAD=∠CAE,若BD=7,则CE的长为 .
10.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°,则该等腰三角形顶角的度数为 .
11.有一个三角形纸片ABC,∠C=36°,D是AC边上一点,沿BD方向剪开三角形纸片后,发现所得的两纸片均为等腰三角形,则∠A的度数是 .
三、解答题
12.如图在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,∠B=30°.求∠ADC和∠BAD的度数.
13.如图在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数;
(2)试说明:∠FBE=∠FEB.
14.如图所示,要在公路MN旁修建一个货物中转站,分别向A,B两个开发区运货,若要求货物中转站到A,B两个开发区的距离和最小,则货物中转站P应修建在何处 说明理由.
如图在△ABC中,AB=AC.
(1)如图①,如果∠BAD=30°,AD是BC边上的高,AD=AE,那么∠EDC= °;
(2)如图②,如果∠BAD=40°,AD是BC边上的高,AD=AE,那么∠EDC= °;
(3)思考:通过以上两题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系 请用式子表示: ;
(4)如图③,如果AD不是BC边上的高,AD=AE,是否仍有上述关系 如有,请说明理由.
答案
1.B 2.D 3.A 4.D 5.C 6.D
7.50° 8.72° 9.7
10.110°或70°
11.18°或36°或54°或72°
12. 由已知AB=AC,D是BC边的中点,可得AD为△ABC的高,在Rt△ABD中,可求解∠BAD的度数.
解:因为AB=AC,D是BC边的中点,
所以AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°.
又因为∠B=30°,所以∠BAD=60°.
13.解:(1)因为AB=AC,所以∠C=∠ABC.
因为∠C=36°,所以∠ABC=36°.
因为BD=CD,AB=AC,
所以AD⊥BC,所以∠ADB=90°,
所以∠BAD=90°-36°=54°.
(2)因为BE平分∠ABC,
所以∠ABE=∠CBE.
因为EF∥BC,所以∠FEB=∠CBE,
所以∠FBE=∠FEB.
14. 要在MN上求一点P,使得PA+PB最小.因为两点之间线段最短,为此可作点A(或B)关于直线MN的对称点A'(或B'),连接BA'(或AB')交MN于点P,则P就是所求作的点,利用三角形三边关系定理可以说明这样做的理由.
解:①作点A关于直线MN的对称点A';
②连接BA'交MN于点P,
则点P就是货物中转站的位置(如图所示).
理由:在直线MN上另取任意一点P',连接A'P',AP',BP'.
因为直线MN是点A,A'的对称轴,点P,P'在直线MN上,
所以PA=PA',P'A=P'A',
所以PA+PB=PA'+PB=A'B.
在△A'P'B中,
因为A'B
所以PA+PB[点析] 解决这类题时,应先把实际问题转化为数学问题,然后用相关的数学知识来解决,而利用对称性又是解决这类距离和最小问题的常用技巧.
[素养提升]
(1)因为在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,所以∠ADC=90°,∠BAD=∠CAD.因为∠BAD=30°,所以∠CAD=∠BAD=30°.因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED=75°,所以∠EDC=90°-75°=15°.故答案为15.
(2)因为在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,所以∠ADC=90°,∠BAD=∠CAD.因为∠BAD=40°,所以∠CAD=∠BAD=40°.因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED=70°,所以∠EDC=90°-70°=20°.故答案为20.
解:(1)15 (2)20 (3)∠BAD=2∠EDC
(4)仍有上述关系.理由如下:
因为∠AED+∠CED=180°,∠EDC+∠C+∠CED=180°,
所以∠AED=∠EDC+∠C.
同理,∠ADC=∠B+∠BAD.
因为AD=AE,
所以∠AED=∠ADE,
所以∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠C+∠EDC.
因为AB=AC,
所以∠B=∠C,
所以∠BAD=2∠EDC.轴对称现象
一、选择题
1.下列倡导节约的图案中,是轴对称图形的是 ( )
2.是由“○”和“□”组成的轴对称图形,该图形的对称轴是直线 ( )
A.l1 B.l2 C.l3 D.l4
3.下列几组图案中成轴对称的有 ( )
A.3组 B.2组 C.1组 D.0组
4.将一张正方形纸片按如图所示的步骤①②对折两次,然后沿③中的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是 ( )
二、填空题
5.如图所示的四个汽车标志图案中是轴对称图形的有 (填序号).
6.下列说法中,正确的是 (填序号).
①轴对称图形只有一条对称轴;②轴对称图形的对称轴是一条线段;③若两个图形成轴对称,则这两个图形是全等图形;④全等的两个图形一定成轴对称;⑤轴对称图形是指一个图形,而成轴对称是对于两个图形而言的.
三、作图题
7.如图所示的是由四个相同的小正方形组成的图形,请你在3个图形中的不同位置分别添加一个小正方形,使它成为一个轴对称图形.
如图所示的图形分别是正三角形、正方形、正五边形、正六边形.
(1)分别说出它们各有几条对称轴;
(2)分别作出各图形的所有对称轴;
(3)通过作图与思考,你发现了什么规律 试写出几条.
答案
1.C 2.C 3.A 4.B 5.①③ 6.③⑤
7.解:如图所示.
[素养提升]
弄清正多边形的形状特征,注意细心观察,发现规律.
解:(1)正三角形有3条对称轴,正方形有4条对称轴,正五边形有5条对称轴,正六边形有6条对称轴.
(2)略.
(3)答案不唯一,如:①正n(n≥3且n为整数)边形有n条对称轴.②正多边形的对称轴都交于同一点.探索轴对称的性质
一、选择题
1.下列关于轴对称性质的说法中,不正确的是 ( )
A.对应线段互相平行 B.对应线段相等
C.对应角相等 D.对应点的连线与对称轴垂直
2.如图△ABC和△AB'C'关于直线l对称,有下列结论:
①△ABC≌△AB'C';②∠BAC'=∠B'AC;③直线l垂直平分线段CC';
④直线BC和B'C'的交点不一定在直线l上.其中正确的有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题
3.中的两个四边形关于某直线对称,根据图形提供的条件,可得x= ,y= .
4.将五边形纸片按所示的方式折叠,折痕为AF,点E,D分别落在点E',D'处,已知∠AFC=76°,则∠CFD'的度数为 .
5.如图直线AC是四边形ABCD的对称轴,若AC=10 cm,BD=8 cm,则阴影部分的面积为 .
三、解答题
6.如图△ABC与△DEF关于直线MN对称,其中∠C=90°,AC=8 cm,DE=10 cm,BC=6 cm.
(1)连接AD,线段AD与直线MN的关系是什么
(2)求∠F的度数;
(3)求△ABC的周长和△DEF的面积.
7.如图D是△ABC的边BC上一点,以直线AD为对称轴作出△ABC的对称图形.
(转化思想)如图∠MON内有一点P,点P关于OM的对称点是G,点P关于ON的对称点是H,连接GH分别交OM,ON于A,B两点.若GH的长为10 cm,求△PAB的周长.
答案
1.A
2.B
3.80° 3
4.28°
5.20 cm2
6.解:(1)因为△ABC与△DEF关于直线MN对称,所以直线MN垂直平分线段AD.
(2)因为△ABC与△DEF关于直线MN对称,所以△ABC≌△DEF,所以∠F=∠C=90°.
(3)由题意得AB=DE=10 cm,所以△ABC的周长=6+8+10=24(cm);
△DEF的面积=△ABC的面积=×6×8=24(cm2).
7.解:如图所示,△AB'C'即为所求.
[素养提升]
解:因为点P关于OM的对称点是G,点P关于ON的对称点是H,所以PA=GA,PB=HB,
所以PA+AB+PB=GA+AB+HB=GH=10 cm,即△PAB的周长为10 cm.角平分线
一、选择题
1.如图∠1=∠2,PD⊥AB,PE⊥BC,垂足分别为D,E,则下列结论中错误的是 ( )
A.PD=PE B.BD=BE C.∠BPD=∠BPE D.BP=BE
2.如图在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DB=5,BC=8,则DE的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.用直尺和圆规作一个角的平分线如图所示,能说明∠AOC=∠BOC的依据是 ( )
A.角平分线上的点到角两边的距离相等 B.ASA
C.SSS D.AAS
4.如图AB∥CD,O为∠BAC,∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于点E,且OE=3,则AB与CD之间的距离为( )
A.3 B.3.5 C.4 D.6
二、填空题
5.如图∠B=∠C=90°,根据角平分线的性质填空:
(1)若∠1=∠2,则 = ;
(2)若∠3=∠4,则 = .
6.如图在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,过点D作DE⊥AB于点E.若BC=9,BE=3,则△BDE的周长是 .
7.如图在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,△ABC的面积是14 cm2,AB=9 cm,AC=5 cm,则DE的长是 cm.
8.在Rt△ABC中,已知∠ACB=90°,AB=13,AC=12,BC=5.在△ABC的内部找一点P,使得点P到△ABC的三边的距离相等,则这个距离是 .
9.如图l1,l2,l3是三条两两相交的公路,现需修建一个仓库,要求仓库到三条公路的距离相等,则仓库的可能地址有 处.
10.如图在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=8.BD⊥CD,P是BC边上一动点,连接PD.若∠ADB=∠C,则PD长的最小值为 .
三、解答题
11.如图在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,交AC于点E,DE垂直平分AB,垂足为D.试说明:BE+DE=AC.
12.如图P是∠AOB的平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D,连接CD交OP于点E.试说明:CE=DE.
13.把两个同样大小的含30°角的三角尺如图所示放置,其中M是AD与BC的交点.
(1)试说明MC的长度等于点M到AB的距离;
(2)求∠AMB的度数.
如图在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠B和∠D都是直角.
(1)试说明:BC=CD;
(2)若将原题中的已知条件“∠B和∠D都是直角”放宽为“∠B和∠D互为补角”,其余条件不变,猜想:BC与CD的长度是否一定相等 请说明理由.
答案
1.D 2.A 3.C 4.D
5.(1)BD CD (2)AB AC
6.12 7.2 8.2
9.4 如图所示,满足条件的有:(1)三角形两个内角平分线的交点,共1处;(2)任意两条外角平分线的交点,共3处.故答案为4.
10.8
11.解:因为∠ACB=90°,所以AC⊥BC.
又因为DE⊥AB,BE平分∠ABC,
所以CE=DE.
因为DE垂直平分AB,所以AE=BE.
因为AE+CE=AC,所以BE+DE=AC.
12.解:因为P是∠AOB的平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,
所以PC=PD,∠POC=∠POD.
因为∠POC+∠CPE=90°,∠POD+∠DPE=90°,所以∠CPE=∠DPE.
在△CPE和△DPE中,
因为PC=PD,∠CPE=∠DPE,PE=PE,
所以△CPE≌△DPE(SAS),所以CE=DE.
13.解:(1)如图,过点M作MN⊥AB于点N.
由题意可得∠CAD=∠DAB=30°.
因为∠C=90°,MN⊥AB,
所以MC=MN(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等),
则MC的长度等于点M到AB的距离.
(2)由题意知∠MAB=∠MBA=30°,所以∠AMB=180°-30°-30°=120°.
[素养提升]
解:(1)因为∠B=∠D=90°,
所以BC⊥AB,CD⊥AD.
又因为AC平分∠BAD,所以BC=CD.
(2)一定相等.
理由:如图,设∠B为锐角,过点C作CE⊥AB于点E,则点E必在线段AB上.
因为∠B和∠ADC互为补角,∠B为锐角,
所以∠ADC是钝角.
过点C作CF⊥AD于点F,则点F必在线段AD的延长线上,所以∠CDF与∠ADC互补,所以∠B=∠CDF.
因为AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD,
所以CE=CF.
又因为∠CEB=∠CFD=90°,
所以△BCE≌△DCF(AAS),
所以BC=CD.
同理可证当∠B为钝角时,BC=CD,由(1)可知当∠B为直角时,BC=CD.
综上可得,BC与CD的长度一定相等.线段的垂直平分线
一、选择题
1.如图所示,直线l是线段AB的垂直平分线,O,P是直线l上的两点,则线段PA,PB,OA,OB的关系是 ( )
A.PA=OA,PB=OB B.PA=PB=OA=OB
C.PA=OB,PB=OA D.PA=PB,OA=OB
2.如图在△ABC中,∠ABC=90°,∠C=20°,DE是边AC的垂直平分线,交BC于点E,连接AE,则∠BAE等于 ( )
A.20° B.40° C.50° D.70°
3.如图在△ABC中,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点E,F,连接AE,BE,作直线EF交AB于点M,连接CM,则下列判断不正确的是 ( )
A.AB=2CM B.EF⊥AB
C.AE=BE D.AM=BM
4.如图在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E.若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为 ( )
A.8 B.11 C.16 D.17
5.如图∠A=80°,O是AB,AC垂直平分线的交点,则∠BCO的度数是 ( )
A.40° B.30° C.20° D.10°
6.如图在暑假期间,某学校对其校内的高中楼(图中的点A),临建楼(图中的点B)和图书馆(图中的点C)进行装修,装修工人小明需要放置一批装修物资,使得装修物资到点A,B,C的距离相等,则装修物资应该放置在 ( )
A.AC,BC两边高线的交点处
B.AC,BC两边中线的交点处
C.∠BAC,∠ABC两内角平分线的交点处
D.AC,BC两边垂直平分线的交点处
二、填空题
7.如图在△ABC中,∠BAC=90°,AC=8 cm,DE是BC边的垂直平分线,△ABD的周长为14 cm,则△ABC的面积是 cm2.
8.如图已知在Rt△ABC中,斜边AB的垂直平分线DE交边AC于点D,且∠CBD∶∠ABD=4∶3,那么∠A= °.
9.如图在△ABC中,若PM,QN分别垂直平分AB,AC,点P,Q在BC上,BC=10 cm,则△APQ的周长为 cm.
10.如图在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,E是线段BC延长线上一点,连接AE,点C在AE的垂直平分线上.若DE=10 cm,则AB+BD= cm.
三、解答题
11.如图在△ABC中,∠A>∠B.
(1)作边AB的垂直平分线DE,分别与AB,BC相交于点D,E;(尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)在(1)的条件下,连接AE,若∠B=50°,求∠AEC的度数.
12.如图在△ABC中,AD垂直平分BC,垂足为D,H是AD上一点,连接BH,CH.
(1)AD平分∠BAC吗 为什么
(2)你能找出几对相等的角 请把它们写出来.(不需写理由)
13.如图在△ABC中,BC边的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E,CE平分∠ACB.
(1)若△ABC的周长为20,BD=4,求△ACE的周长;
(2)若∠B=36°,求∠A的度数.
(分类讨论思想)已知A,B两点在线段EF的中垂线上,且∠EAF=100°,∠EBF=70°,
求∠AEB的度数.
答案
1.D
2.C 因为∠ABC=90°,∠C=20°,所以∠BAC=70°.因为DE是边AC的垂直平分线,所以EC=EA,所以∠EAC=∠C=20°,所以∠BAE=∠BAC-∠EAC=50°.故选C.
3.A
4.B 因为DE垂直平分AB,所以AE=BE,所以△ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11.故选B.
5.D 6.D 7.24
8.27 因为AB的垂直平分线DE交边AC于点D,所以AD=BD,所以∠A=∠ABD.
设∠CBD=4x,则∠ABD=3x,则∠A=3x.因为∠C=90°,所以∠A+∠ABC=3x+4x+3x=90°,
解得x=9°,所以∠A=3x=27°.故答案为27.
9.10 因为PM,QN分别垂直平分AB,AC,所以AP=BP,QA=QC,所以△APQ的周长=AP+PQ+QA=BP+PQ+QC=BC=10(cm).
10.10
11.解:(1)如图所示.
(2)如图.因为DE是AB的垂直平分线,
所以AE=BE.所以∠EAB=∠B=50°.
所以∠AEC=180°-∠AEB=180°-(180°-∠EAB-∠B)=∠EAB+∠B=100°.
12.解:(1)AD平分∠BAC.理由如下:
因为AD垂直平分BC,
所以AB=AC,BD=CD,
所以∠BAD=∠CAD,即AD平分∠BAC.
(2)7对,∠BHD=∠CHD,∠ABD=∠ACD,∠HBD=∠HCD,∠BDA=∠CDA,∠ABH=∠ACH,
∠BAD=∠CAD,∠AHB=∠AHC.
13.解:(1)因为BC边的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E,BD=4,
所以BE=CE,BC=2BD=8.
又因为△ABC的周长为20,
所以AB+AC=20-8=12,
所以△ACE的周长=AE+CE+AC=AE+BE+AC=AB+AC=12.
(2)因为BE=CE,∠B=36°,
所以∠ECB=∠B=36°.
又因为CE平分∠ACB,
所以∠ACB=2∠ECB=72°,
所以∠A=180°-∠B-∠ACB=72°.
[素养提升]
解:如图.(1)若点A,B在EF的同侧.
因为A,B两点在线段EF的中垂线上,
所以AE=AF,BE=BF.
又因为∠EAF=100°,∠EBF=70°,
所以∠BEF=55°,∠AEF=40°,
所以∠AEB=∠BEF-∠AEF=15°.
(2)若点A',B在EF的异侧.
因为A',B两点在线段EF的中垂线上,
所以A'E=A'F,BE=BF.
又因为∠EA'F=100°,∠EBF=70°,
所以∠BEF=55°,∠A'EF=40°,
所以∠A'EB=∠BEF+∠A'EF=95°.
综上,∠AEB的度数为15°或95°.