4.1
一、选择题
1.下列关于三角形的分类不正确的是(整个大方框表示全体三角形) ( )
2.下列各组数中,不可能成为一个三角形三边长的是 ( )
A.5,6,12 B.2,3,4 C.5,7,7 D.6,8,10
3.若△ABC的三个内角∠A,∠B,∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A,则此三角形 ( )
A.一定是直角三角形 B.一定是钝角三角形
C.一定有一个内角为45° D.一定有一个内角为60°
4.若线段AM,AN分别是△ABC的BC边上的高和中线,则 ( )
A.AM>AN B.AM≥AN C.AM
5.把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上,摆放成如图所示的形状,使两个直角顶点重合,两条斜边平行,若∠B=25°,∠D=58°,则∠BCE的度数是 ( )
A.83° B.57° C.54° D.33°
6.如图在△ABC中,∠A=20°,∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1,∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点D2,依此类推,∠ABD4与∠ACD4的平分线交于点D5,则∠BD5C的度数是 ( )
A.24° B.25° C.30° D.36°
二、填空题
7.△ABC的重心是点O,连接AO并延长交BC于点D.若BC=10 cm,则CD= cm.
8.我们定义三边长均为整数的三角形叫做整三角形.已知△ABC是整三角形,其周长为偶数,若AC-BC=3,则边长AB的最小值是 .
9.如图BD平分∠ABC,∠ADB=60°,∠BDC=80°,∠C=70°,则△ABD是 三角形.
10.生活中到处都存在着数学知识,只要同学们学会用数学的眼光观察生活,就会有许多意想不到的收获,如①②都是由同一副三角尺拼凑得到的.
(1)图①中∠ABC的度数为 ;
(2)图②中已知AE∥BC,则∠AFD的度数为 .
三、解答题
11.如图在△ABC中,∠A=60°,∠B∶∠C=1∶5,求∠B的度数.
12.等腰三角形的两边长分别为7和3,求这个等腰三角形的周长.
13.如图所示,已知△ABC.
(1)画出BC边上的高AD和中线AE;
(2)若∠B=30°,∠ACB=130°,求∠BAD和∠CAD的度数.
14.如图所示,在△ABC中,D是BC边上一点,已知E,F分别为AD,CE的中点,且S△ABC=4 cm2.求△BEF的面积.
15.如图在△ABC中,AD,BE分别平分∠BAC,∠ABC,BE交AD于点E.
(1)若∠C=70°,∠BAC=60°,则∠BED的度数是 °;
(2)探究∠BED与∠C的数量关系,并说明理由.
答案
1.C 2.A 3.C 4.D 5.B 6.B
7.5 8.5 9.直角
10.(1)75° (2)75° (1)因为∠BCF=60°,∠EAC=45°,
所以∠ABC=180°-60°-45°=75°.
(2)因为∠C=30°,AE∥BC,
所以∠CAE=30°.
因为∠DAE=45°,所以∠DAF=15°,
所以∠AFD=90°-15°=75°.
11.解:因为∠B∶∠C=1∶5,所以∠C=5∠B.
又因为∠A+∠B+∠C=180°,∠A=60°,
所以60°+∠B+5∠B=180°,
所以∠B=20°.
12.解:若腰长为7,则底边长为3,可以构成三角形,此时周长=7+7+3=17;
若腰长为3,则底边长为7,
因为3+3<7,
所以不能构成三角形,故舍去.
所以这个等腰三角形的周长为17.
13.解:(1)如图所示.
(2)在Rt△ABD中,∠B=30°,则∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°.
因为∠ACB=130°,
所以∠ACD=180°-130°=50°.
在Rt△ACD中,∠CAD=90°-50°=40°.
14.解:因为E是AD的中点,
所以S△BDE=S△ABD,S△CDE=S△ACD,
所以S△BEC=S△BDE+S△CDE=S△ABD+S△ACD=S△ABC=2 cm2.
因为F是CE的中点,
所以S△BEF=S△BEC=1 cm2.
15.(1)因为∠C=70°,∠BAC=60°,
所以∠ABC=50°.
因为AD,BE分别平分∠BAC,∠ABC,
所以∠BAD=∠BAC=30°,∠ABE=∠ABC=25°,
所以∠AEB=180°-∠BAD-∠ABE=125°,
所以∠BED=180°-∠AEB=55°.
解:(1)55
(2)∠BED=90°-∠C.
理由:因为AD,BE分别平分∠BAC,∠ABC,
所以∠ABE=∠ABC,∠BAD=∠BAC,
所以∠AEB=180°-∠ABE-∠BAD=180°-(∠ABC+∠BAC)=180°-(180°-∠C)=90°+∠C,
所以∠BED=180°-∠AEB=180°-90°+∠C=90°-∠C.用尺规作三角形
一、选择题
1.用尺规作图,下列条件中可能作出两个不同三角形的是 ( )
A.已知两边及其夹角 B.已知两边及其中一边的对角
C.已知两角及其夹边 D.已知三条边
2.如是作△ABC的作图痕迹,则此作图的已知条件是 ( )
A.已知两边及夹角 B.已知三边
C.已知两角及夹边 D.已知两边及一边的对角
3.如①,已知线段a,∠1,求作△ABC,使BC=a,∠ABC=∠BCA=∠1,张蕾的作法如图②所示,则下列说法中一定正确的是 ( )
A.作△ABC的依据为ASA
B.弧EF是以AC长为半径画的
C.弧MN是以点A为圆心,a为半径画的
D.弧GH是以CP长为半径画的
二、填空题
4.已知线段a,b,c,求作△ABC,使BC=a,AC=b,AB=c,下列作法的合理顺序为 (填序号).
①分别以点B,C为圆心,c,b为半径在BC的同侧作弧,两弧交于点A;
②作射线BM,在BM上截取BC=a;
③连接AB,AC,则△ABC就是所求作的三角形.
三、解答题
5.已知:线段a,∠α(如).
求作:△ABC,使AB=AC=a,∠B=∠α.
6.如图△ABC被污渍污染了,请你重新作一个△A1B1C1,使△A1B1C1≌△ABC(要求:用尺规作图,不写作法,但要保留作图痕迹).
如图已知∠α,线段b,按要求完成下列各小题.
(1)求作△ABC,使得∠BAC=∠α,AB=2b,AC=b;
(2)在(1)的基础上,作△ABD,使得∠ABD=∠α,BD=AC;
(3)AD=BC吗 为什么
答案
1.B 2.C 3.A
4.②①③
5.解:作法:(1)作∠DBF=∠α;
(2)在射线BD上截取BA=a;
(3)以点A为圆心,a为半径画弧交BF于另一点C.连接AC.
则△ABC即为所求作的三角形(如图).
6.解:如图所示,△A1B1C1即为所求.
[素养提升]
解:(1)如图.作∠EAF=∠α,在AE上截取AB=2b,在AF上截取AC=b.连接BC,则△ABC就是所求作的三角形.
(2)如图.作出∠ABM=∠α,在BM上截取BD=AC,连接AD,则△ABD就是所求作的三角形.
(3)AD=BC.
理由:根据作图可知AC=BD,∠CAB=∠DBA.
又因为AB=BA,
所以△ABD≌△BAC,
所以AD=BC.三角形的高
一、选择题
1.画△ABC的边AB上的高,下列画法中,正确的是 ( )
2.若一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的顶点,则这个三角形是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
3.如图AD⊥BC于点D,那么图中以AD为高的三角形有 ( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
二、填空题
4.如图∠CBD=∠E=∠F=90°,则线段 是△ABC中BC边上的高.
5.如图在△ABC中,AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC.若∠1=30°,∠2=20°,则∠B= °.
三、解答题
6.如图已知△ABC和△EFD,在图中分别画出这两个三角形的三条高.
7.如图在△ABC中,∠ACB=90°,∠1=∠A.
(1)试说明CD是△ABC的高;
(2)如果AC=8,BC=6,AB=10,求CD的长.
(分类讨论思想)已知AD是△ABC的高,∠BAD=70°,∠CAD=20°,求∠BAC的度数.
答案
1.D 2.B 3.D
4.AE
5.50 因为AE平分∠BAC,所以∠1=∠EAD+∠2,所以∠EAD=∠1-∠2=30°-20°=10°.因为AD⊥BC,所以∠ADB=90°.在Rt△ABD中,∠B=180°-90°-30°-10°=50°.故答案为50.
6.解:△ABC和△EFD的三条高如图所示.
7.解:(1)因为∠ACB=∠1+∠ACD=90°,∠1=∠A,
所以∠A+∠ACD=90°,
所以∠ADC=90°,即CD⊥AB,
所以CD是△ABC的高.
(2)因为∠ACB=∠ADC=90°,
所以S△ABC=AC·BC=AB·CD.
又因为AC=8,BC=6,AB=10,
所以CD===.
[素养提升]
解:分以下两种情况:
(1)如图①,若高AD在△ABC的内部,则∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°.
(2)如图②,若高AD在△ABC的外部,则∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°.
综上所述,∠BAC的度数为90°或50°.利用“边角边”判定三角形全等
一、选择题
1.两个三角形有两边和一角对应相等,则这两个三角形 ( )
A.一定全等 B.一定不全等
C.可能全等,可能不全等 D.以上都不对
2.如图在△ABC和△DEF中,AB=DE,∠B=∠DEF,点B,E,C,F在同一直线上,补充下列哪一个条件后,能根据“SAS”判定△ABC≌△DEF ( )
A.∠A=∠D B.∠ACB=∠DFE
C.AC=DF D.BE=CF
3.如图在△ABC中,∠B=∠C=65°,BD=CE,BE=CF,则∠DEF的度数是 ( )
A.75° B.70° C.65° D.60°
4.如图有以下4个等式:(1)AB=AD;(2)∠BCA=∠DCA;(3)∠BAC=∠DAC;(4)BC=DC.以其中的2个等式为依据不能判定△ABC≌△ADC的是 ( )
A.(1)(2) B.(1)(3) C.(1)(4) D.(2)(3)
二、填空题
5.如图AB⊥CF,垂足为B,AB∥DE,点E在CF上,CE=FB,AB=DE,依据以上条件可以判定△ABC≌△DEF,这种判定三角形全等的方法可以简写为 .
6.如图已知AC=DC,BC=EC,请你添加一个适当的条件: ,使得△ABC≌△DEC.
7.是由6个边长相等的正方形组合成的图形,则∠1+∠2+∠3= °.
三、解答题
8.如图AB与CD相交于点E,AE=CE,DE=BE.试说明:∠A=∠C.
9.如图所示,C是线段AB的中点,CE=CD,∠ACD=∠BCE.试说明:AE=BD.
10.已知△ABN和△ACM的位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.
试说明:(1)BD=CE;
(2)∠M=∠N.
11.如图已知C是线段AE上一点,DC⊥AE于点C,DC=AC,B是CD上一点,CB=CE.
(1)若∠E=65°,求∠A的度数;
(2)若AE=11,CB=3,求BD的长.
12.如图已知在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,BD=CE,AD与BE相交于点P,求∠BPD的度数.
(分类讨论思想、动点问题)如图AB=12 m,CA⊥AB,垂足为A,DB⊥AB,垂足为B,动点P从点B沿BA方向向终点A移动,速度为1 m/min,同时,点Q从点B沿BD方向移动,速度为2 m/min,已知CA=4 m,则点P,Q移动几分钟后,△CAP与△PBQ全等
答案
1.C 2.D 3.C 4.A
5.SAS
6.答案不唯一,如∠ACB=∠DCE或AB=DE
7.135
如图,观察图形可知:△ABC≌△DEB,
所以∠1=∠DBE.又因为∠DBE+∠3=90°,所以∠1+∠3=90°.
因为∠2=45°,所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠3+∠2=90°+45°=135°.故答案为135.
8.解:在△AED和△CEB中,
因为AE=CE,∠AED=∠CEB,DE=BE,
所以△AED≌△CEB(SAS),
所以∠A=∠C.
9.解:因为C是线段AB的中点,
所以AC=BC.
因为∠ACD=∠BCE,
所以∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
即∠ACE=∠BCD.
在△ACE和△BCD中,
因为AC=BC,∠ACE=∠BCD,CE=CD,
所以△ACE≌△BCD(SAS),
所以AE=BD.
10. (1)由SAS说明△ABD≌△ACE,得出对应边相等即可.
(2)先说明∠BAN=∠CAM,再由全等三角形的性质得出∠B=∠C,由ASA说明△ACM≌△ABN,得出对应角相等即可.
解:(1)在△ABD和△ACE中,
因为AB=AC,∠1=∠2,AD=AE,
所以△ABD≌△ACE(SAS),
所以BD=CE.
(2)因为∠1=∠2,
所以∠1+∠DAE=∠2+∠DAE,
即∠BAN=∠CAM.
由(1)知△ABD≌△ACE,
所以∠B=∠C.
在△ACM和△ABN中,
因为∠C=∠B,AC=AB,∠CAM=∠BAN,
所以△ACM≌△ABN(ASA),
所以∠M=∠N.
11.解:(1)因为DC⊥AE,
所以∠ACB=∠DCE=90°.
在△ACB和△DCE中,
因为AC=DC,∠ACB=∠DCE,CB=CE,
所以△ACB≌△DCE(SAS),
所以∠ABC=∠E=65°,
所以∠A=90°-∠ABC=25°.
(2)因为CB=CE,CB=3,
所以CE=3,
所以AC=AE-CE=11-3=8,
则CD=8,所以BD=CD-CB=8-3=5.
12. 根据等边三角形的性质得出∠ABD=∠C=60°,AB=BC,说明△ABD≌△BCE.根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠CBE,根据三角形的内角和定理可推出∠BPD=∠ABE+∠BAD=∠ABE+∠CBE=∠ABC,即可得出答案.
解:因为△ABC是等边三角形,
所以∠ABD=∠C=60°,AB=BC.
在△ABD和△BCE中,
因为AB=BC,∠ABD=∠C,BD=CE,
所以△ABD≌△BCE(SAS),
所以∠BAD=∠CBE.
因为∠BPD+∠APB=180°,∠ABE+∠BAD+∠APB=180°,
所以∠BPD=∠ABE+∠BAD=∠ABE+∠CBE=∠ABC=60°.
[素养提升]
解:设x min后,△CAP与△PBQ全等.
根据题意,得BP=x m,BQ=2x m,
则AP=(12-x)m.
分两种情况:
①若BP=AC=4 m,则x=4,此时AP=12-4=8(m),BQ=8 m,所以AP=BQ.
在△CAP和△PBQ中,
因为AC=BP,∠A=∠B=90°,AP=BQ,
所以△CAP≌△PBQ(SAS);
②若BP=AP,则x=12-x,
解得x=6,则BQ=12 m,AP=6 m.
因为AC=4 m,所以AC≠BQ,
所以△CAP与△PBQ不全等.
综上所述,4 min后,△CAP与△PBQ全等.利用“边边边”判定三角形全等
一、选择题
1.如图在△ABC中,D为边BC上一点,点E在AD上,AB=AC,EB=EC,则运用“SSS”可以直接判定 ( )
A.△ABD≌△ACE B.△ABE≌△ACE
C.△BDE≌△ACD D.以上选项均不对
2.如图 已知在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,BD=CD,则下列结论错误的是 ( )
A.∠BAC=∠B B.∠BAD=∠CAD
C.AD⊥BC D.∠B=∠C
3.如图点B,F,C,D在同一直线上,AB=EF,AC=ED,BF=CD,∠A=95°,∠B=25°,则∠D的度数为 ( )
A.60° B.25° C.70° D.95°
二、填空题
4.如图一扇窗户打开后,用窗钩AB可以将其固定,这里所运用的几何原理是 .
5.如图点D,E分别在AB,AC上,AB=AC,BE=CD,要依据“SSS”判定△ABE≌△ACD,还需补充的条件是 .(填一个即可)
三、解答题
6.如图点A,D,C,F在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,BC=EF.
(1)试说明:△ABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F的度数.
7.如图AD=BC,AC=BD,AC与BD交于点O,试说明:∠DAO=∠CBO.
(动手操作)如图工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等,但他手边没有量角器,只有一个刻度尺.他是这样操作的:①分别在BA和CA上取点E,G,使BE=CG;②在BC上取点D,F,使BD=CF;③量出DE的长为a米,FG的长为b米.若a=b,则说明∠B和∠C是相等的.他的这种做法合理吗 为什么
答案
1.B
2.A
3.A
4.三角形具有稳定性
5.答案不唯一,如AE=AD
6.解:(1)因为AC=AD+DC,DF=DC+CF,且AD=CF,所以AC=DF.
在△ABC和△DEF中,因为AB=DE,BC=EF,AC=DF,所以△ABC≌△DEF(SSS).
(2)因为△ABC≌△DEF,所以∠F=∠ACB.
因为∠A=55°,∠B=88°,所以∠ACB=180°-(∠A+∠B)=180°-(55°+88°)=37°,
所以∠F=∠ACB=37°.
7.解:如图,连接CD.
在△ACD和△BDC中,
因为AD=BC,AC=BD,CD=DC,
所以△ACD≌△BDC(SSS),
所以∠DAO=∠CBO.
[素养提升]
解:合理.理由如下:
若a=b,则在△BDE和△CFG中,
因为BD=CF,BE=CG,DE=FG,
所以△BDE≌△CFG(SSS),
所以∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).利用“角边角”或“角角边”判定三角形全等
一、选择题
1.如图∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,则直接判定△ABD≌△CBD的依据是 ( )
A.SSS B.ASA C.AAS D.以上均不正确
2.如图D是AB延长线上一点,DF交AC于点E,AE=CE,FC∥AB,若AB=3,CF=5,则BD的长是 ( )
A.0.5 B.1 C.1.5 D.2
3.如图在△ABC中,F为AC的中点,E为AB上一点,D为EF延长线上一点,∠A=∠ACD,则CD与AE的关系为 ( )
A.相等 B.平行 C.平行且相等 D.以上均不正确
二、填空题
4.如图AE=AD,∠B=∠C,则△ABD≌ ,理由是 .
5.如图∠1=∠2,BC=EC,请补充一个条件: ,能直接根据“AAS”判定△ABC≌△DEC.
6.如图AC⊥BC于点C,DE⊥AC于点E,AD⊥AB于点A.若BC=AE,AD=5,则AB= .
7.如图某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带 去(填序号).
三、解答题
8.如图点A,B,C,D在同一条直线上,AB=FC,∠A=∠F,∠EBC=∠FCB.
试说明:△ABE≌△FCD.
9.如图AB=AC,AB⊥AC,AD⊥AE,且∠ABD=∠ACE.试说明:BD=CE.
10.如图点B,F,C,E在同一条直线上,FB=CE,AB∥DE,AC∥DF,AD交BE于点O.
试说明:(1)△ABC≌△DEF;
(2)AO=DO.
11.如图AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD,连接AC,过点D作DE⊥AC于点E,过点B作BF⊥AC于点F.
(1)若∠ABF=63°,求∠ADE的度数;
(2)请写出线段BF,EF,DE三者之间的数量关系,并说明理由.
(探究性问题)(1)如①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为D,E.试说明:DE=BD+CE.
(2)如图②,将(1)中的条件改为在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意钝角,则结论DE=BD+CE是否仍然成立 请说明理由.
答案
1.B 2.D 3.C
4.△ACE AAS 5.∠A=∠D
6.5 因为AC⊥BC,DE⊥AC,AD⊥AB,所以∠C=∠DEA=∠BAD=90°,所以∠D+∠DAE=90°,∠DAE+∠BAC=90°,所以∠D=∠BAC.在△ACB和△DEA中,因为∠BAC=∠D,∠C=∠DEA,BC=AE,所以△ACB≌△DEA(AAS),所以AB=DA=5.故答案为5.
7.③
8.解:因为∠EBC=∠FCB,∠EBC+∠ABE=180°,∠FCB+∠FCD=180°,
所以∠ABE=∠FCD.
在△ABE与△FCD中,
因为∠A=∠F,AB=FC,∠ABE=∠FCD,
所以△ABE≌△FCD(ASA).
9.解:因为AB⊥AC,AD⊥AE,
所以∠BAE+∠CAE=90°,∠BAE+∠BAD=90°,
所以∠CAE=∠BAD.
在△ABD和△ACE中,
因为∠BAD=∠CAE,AB=AC,∠ABD=∠ACE,
所以△ABD≌△ACE(ASA),所以BD=CE.
10.解:(1)因为AB∥DE,所以∠B=∠E.
因为AC∥DF,所以∠BCA=∠EFD.
因为FB=CE,所以BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
因为∠B=∠E,BC=EF,∠BCA=∠EFD,
所以△ABC≌△DEF(ASA).
(2)因为△ABC≌△DEF,所以AC=DF.
在△ACO和△DFO中,
因为∠AOC=∠DOF,∠ACO=∠DFO,AC=DF,
所以△ACO≌△DFO(AAS),所以AO=DO.
11.解:(1)因为AB⊥BC,所以∠ABC=90°.
又因为AD∥BC,所以∠BAD=90°,
即∠BAF+∠DAE=90°.
因为DE⊥AC,所以∠DEA=90°,
所以∠DAE+∠ADE=90°,
所以∠ADE=∠BAF.
因为BF⊥AC,∠ABF=63°,
所以∠ADE=∠BAF=90°-63°=27°.
(2)DE=BF+EF.
理由:因为DE⊥AC,BF⊥AC,
所以∠BFA=∠AED=90°.
在△ABF和△DAE中,
因为∠BFA=∠AED,∠BAF=∠ADE,AB=DA,
所以△ABF≌△DAE(AAS),
所以BF=AE,AF=DE.
因为AF=AE+EF,所以DE=BF+EF.
[素养提升]
解:(1)因为BD⊥直线m,CE⊥直线m,
所以∠BDA=∠AEC=90°,
所以∠BAD+∠ABD=90°.
因为∠BAC=90°,
所以∠BAD+∠CAE=90°,
所以∠CAE=∠ABD.
在△ADB和△CEA中,
因为∠ABD=∠CAE,∠BDA=∠AEC,AB=CA,
所以△ADB≌△CEA(AAS),
所以BD=AE,AD=CE,
所以DE=AE+AD=BD+CE.
(2)成立.理由:因为∠BDA=∠BAC=α,
所以∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠EAC=180°-α,
所以∠EAC=∠DBA.
在△ADB和△CEA中,
因为∠DBA=∠EAC,∠BDA=∠AEC,AB=CA,
所以△ADB≌△CEA(AAS),
所以BD=AE,AD=CE,
所以DE=AE+AD=BD+CE.三角形的中线和角平分线
一、选择题
1.如图D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是( )
A.DE是△ABC的中线 B.BD是△ABC的中线
C.AD=DC,BE=EC D.DE是△BCD的中线
2.如图所示,在△ABC中,D,E,F是BC边上的三点,且∠1=∠2=∠3=∠4,则AE是哪个三角形的角平分线 ( )
A.△ABE B.△ADF C.△ABC D.△ABC,△ADF
3.如图AD是△ABC的中线,已知△ABD的周长为25 cm,AB比AC长6 cm,则△ACD的周长为 ( )
A.19 cm B.22 cm C.25 cm D.31 cm
4.如图在△ABC中,∠B=46°,∠C=54°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE∥AB交AC于点E,则∠ADE的度数是( )
A.45° B.54° C.40° D.50°
二、填空题
5.如图在△ABC中,CE是△ABC的中线,BD是△ABC的角平分线,若AB=3 cm,∠A=70°,∠ACB=60°,则∠ABD= °,AE= cm.
6.如图AD,BE,CF是△ABC的三条中线,它们交于点O.若△ABD的面积是6,则△ACF的面积是 .
三、解答题
7.如图所示,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=2BD,BE=CE.设△ADC的面积为S1,△ACE的面积为S2.若S△ABC=6,求S1-S2的值.
在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12 cm和15 cm两部分,求△ABC的各边长分别是多少.
答案
1.A 2.D
3.A 因为AD是△ABC的中线,所以BD=CD,所以△ABD的周长与△ACD的周长的差为(AB+BD+AD)-(AC+AD+CD)=AB-AC.因为△ABD的周长为25 cm,AB比AC长6 cm,所以△ACD的周长为25-6=19(cm).故选A.
4.C 因为∠B=46°,∠C=54°,所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-46°-54°=80°.又因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠BAC=×80°=40°.因为DE∥AB,所以∠ADE=∠BAD=40°.故选C.
5.25 1.5 6.6
7.解:因为AD=2BD,所以S1=S△ABC=×6=4.
因为BE=CE,所以S2=S△ABC=×6=3,所以S1-S2=4-3=1.
[素养提升]
解:设AB=x cm,则AC=x cm,AD=CD= cm.
如图①,若AB+AD=12 cm,则x+x=12,
解得x=8,
所以AB=AC=8 cm,
则CD=4 cm,所以BC=15-4=11(cm).
此时AB+AC>BC,△ABC存在;
如图②,若AB+AD=15 cm,则x+x=15,解得x=10,所以AB=AC=10 cm,则CD=5 cm,
所以BC=12-5=7(cm),此时AB+BC>AC,△ABC存在.
综上所述,△ABC的各边长分别为AB=8 cm,AC=8 cm,BC=11 cm或AB=10 cm,AC=10 cm,BC=7 cm.三角形的三边关系
一、选择题
1.下列长度的三条线段,能组成三角形的是 ( )
A.3,4,8 B.5,6,10 C.5,5,11 D.5,6,11
2.如图为估计池塘岸边A,B间的距离,小方在池塘的一侧选取一点O,测得OA=15米,OB=10米,则A,B间的距离不可能是 ( )
A.20米 B.15米 C.10米 D.5米
3.已知AB=3,BC=1,则AC的长度的取值范围是 ( )
A.2≤AC≤4 B.2C.1≤AC≤3 D.14.已知三角形的三边长分别为2,x,13,若x为正整数,则这样的三角形有 ( )
A.2个 B.3个 C.5个 D.13个
5.王师傅想做一个三角形的框架,他有两根长度分别为11 cm和12 cm的细木条,需要将其中一根木条分为两段,如果不考虑损耗和接头部分,那么他可以把 分为两段 ( )
A.11 cm长的木条
B.12 cm长的木条
C.两根都可以
D.两根都不行
二、填空题
6. 一个三角形的两边长分别是2和6,第三边长为偶数,则第三边长为 .
7.选择长度分别为2 cm,3 cm,5 cm和6 cm的四根木棒中的三根,钉成一个三角形木架,可供选择的方法有 种.
8.已知等腰三角形的一边长等于7,另一边长等于8,则它的周长为 .
9.a,b,c分别为△ABC的三边长,化简|a+b+c|-|a-b-c|的结果为 .
三、解答题
10.以满足下列长度的三条线段为边,能构成三角形的有哪些
(1)6 cm,8 cm,10 cm;
(2)5 cm,8 cm,2 cm;
(3)三条线段长度之比为4∶5∶6;
(4)a+1,a+2,a+3(a>0).
小王准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的场地,用于饲养家兔.已知第一条边长为a米,由于受地势限制,第二条边长只能比第一条边长的2倍多2米.
(1)第一条边长能为8米吗 为什么
(2)能围成等腰三角形吗 若能,请求出a的值;若不能,请说明理由.
答案
1.B 2.D 3.A 4.B 5.B
6.6 设第三边长为x.
根据三角形的三边关系,得
6-2又因为第三边长是偶数,所以x=6. 故答案为6.
7.2 根据三角形三边关系知,选择长为2 cm,5 cm,6 cm和3 cm,5 cm,6 cm的三根木棒可以钉成三角形木架.故答案为2.
8.22或23
9.2a 因为△ABC的三边长分别为a,b,c,所以a+b+c>0,a-b-c<0,所以原式=a+b+c-(b+c-a)=a+b+c-b-c+a=2a.
10.解:根据三角形的三边关系:(1)6+8>10,可以构成三角形;(2)5+2<8,不能构成三角形;(3)设三角形的三边长分别为4k,5k,6k,其中k>0,因为4k+5k>6k,所以可以构成三角形;(4)a+1+a+2>a+3(a>0),可以构成三角形.
故(1)(3)(4)可以构成三角形,(2)不能构成三角形.
[素养提升]
解:(1)不能.理由:由题意可知,第二条边长为(2a+2)米,所以第三条边长为30-a-(2a+2)=(28-3a)米.
当a=8时,三边长分别为8米,18米,4米.
因为8+4<18,所以不能围成三角形,即第一条边长不能为8米.
(2)能.
当a=2a+2时,解得a=-2,不合题意,舍去;
当a=28-3a时,解得a=7,则该三角形的三边长分别为7米,16米,7米.
因为7+7<16,所以不能围成三角形;
当2a+2=28-3a时,解得a=,则该三角形的三边长分别为米,米,米.
因为+>,所以能围成三角形.
综上所述,当a=时,能围成等腰三角形.三角形与三角形的内角和
一、选择题
1.中共有 个三角形 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍,那么这个锐角的度数是( )
A.18° B.36° C.54° D.72°
3.如图在△ABC中,点D在AB上,点E在AC上,DE∥BC.若∠A=62°,∠AED=54°,则∠B的大小为 ( )
A.54° B.62° C.64° D.74°
4.如图在△ABC中,∠ACB=70°,∠1=∠2,则∠BPC的度数为 ( )
A.70° B.108° C.110° D.125°
5.一副三角尺按如图所示的方式摆放(直角顶点C重合),边AB与CE交于点F,DE∥CB,则∠BFC等于 ( )
A.105° B.100° C.75° D.60°
二、填空题
6.一个三角形中最多有 个内角是钝角,最多有 个内角是锐角.
7.如果一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3,那么这个三角形中最大的一个内角等于 度.
8.如图在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若∠ABC=25°,则∠ACD= °.
9.如图已知∠AON=40°,P是射线ON上一动点,当△AOP为直角三角形时,∠A的度数为 .
三、解答题
10.如图已知D为△ABC的边BC延长线上的一点,DF⊥AB于点F,且交AC于点E,
∠A=34°,∠D=42°.求∠ACD的度数.
(折叠问题)如图在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片,点D,E分别在边AB,AC上,将△ABC沿着DE所在直线折叠压平,点A与点A'重合.若∠A=75°,求∠1+∠2的度数.
答案
1.C 结合三角形的定义可以看出图中的三角形有△ABC,△ABD,△ADC.故选C.
2.D
3.C 因为DE∥BC,所以∠C=∠AED=54°.因为∠A=62°,所以∠B=180°-∠A-∠C=64°.故选C.
4.C
5.A 由题意知∠E=∠D=45°,∠B=30°.因为DE∥CB,所以∠BCF=∠E=45°.
在△CFB中,∠BFC=180°-∠B-∠BCF=180°-30°-45°=105°.故选A.
6.1 3 7.90
8.25 因为∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,
所以∠ABC+∠A=90°,∠A+∠ACD=90°,
所以∠ACD=∠ABC=25°.
9.50°或90°
10.解:因为DF⊥AB,所以∠AFE=90°,
所以∠A+∠AEF=90°,
所以∠AEF=90°-34°=56°.
因为∠AEF=∠CED,所以∠CED=56°.
又因为∠ACD+∠CED+∠D=180°,
所以∠ACD=180°-42°-56°=82°.
[素养提升]
解:因为△A'DE是由△ABC沿DE所在直线翻折得到的,
所以∠AED=∠A'ED,∠ADE=∠A'DE,∠A=∠A'=75°,
所以∠AED+∠ADE=∠A'ED+∠A'DE=180°-75°=105°,
所以∠1+∠2=360°-2×105°=150°.利用三角形全等测距离
一、选择题
1.利用三角形全等测量距离的原理是 ( )
A.全等三角形的对应角相等
B.全等三角形的对应边相等
C.全等三角形的周长相等
D.全等三角形的形状相同
2.A,B两点分别位于一个池塘的两端,小明想用绳子测量A,B间的距离,如图所示(AC=CD,∠ACB=∠DCB)的这种方法,是利用了三角形全等中的( )
A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS
3.如图某校学生为测量点B到河对面的目标A之间的距离,他们在点B同侧选择了一点C,测得∠ABC=70°,∠ACB=40°,然后在M处立了标杆,使∠CBM=70°,那么他们还应做什么才能测得A,B之间的距离 ( )
A.直接测量BM的长
B.测量BC的长
C.测量∠A的度数
D.作∠BCN=40°,且CN交射线BM于点N,测量BN的长
二、填空题
4.如图所示,要测量池塘的宽度AB,在池塘外选取一点P,连接AP,BP并分别延长至点C,D,使PC=PA,PD=PB,连接CD.测得CD的长为10 m,则池塘的宽度AB为 m.理由是 .
三、解答题
5.小明想知道一堵墙上点A的高度(AO⊥OE),但又无法到达A处直接测量,于是设计了下面的方案(如),请你先补全方案,再说明理由.
第一步:找一根长度大于OA的直杆AB,使直杆靠在墙上,且顶端与点A重合,记下直杆与地面的夹角∠ABO;
第二步:使直杆顶端竖直缓慢下滑,直到∠ =∠ ,标记此时直杆的底端点D;
第三步:测量 的长度,即为点A的高度.
(方案设计型题)某铁路施工队在建设铁路的过程中,需要打通一座小山(如),设计时要测量隧道AB的长度,恰好在山的前面有一片空地,测量人员想借助这个有利的地形,利用三角形全等的知识测量出需要开挖的隧道长度,请你帮助测量人员设计测量方法,画出图形,并说明理由.(要求:至少设计两种测量方法)
答案
1.B 2.D 3.D
4.10 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,全等三角形的对应边相等
5.解:DCO ABO OD
理由:在△AOB与△DOC中,
因为∠AOB=∠DOC,∠ABO=∠DCO,AB=DC,所以△AOB≌△DOC(AAS),所以OA=OD.
[素养提升]
解:答案不唯一.设计方案一:如图①.
(1)过点A作线段AD⊥AB;
(2)过点D作DM⊥AD;
(3)取AD的中点C,连接BC并延长交DM于点E,则测量出DE的长就是隧道AB的长.
理由:因为AD⊥AB,ED⊥AD,
所以∠A=∠D=90°.
因为C为AD的中点,所以AC=DC.
在△ACB和△DCE中,
因为∠A=∠D,AC=DC,∠ACB=∠DCE,
所以△ACB≌△DCE,所以AB=DE.
设计方案二:如图②.
(1)过点A作线段AD;
(2)取AD的中点C,连接BC并延长,使EC=BC;
(3)连接DE,则测量出DE的长就是隧道AB的长.
理由:因为C为AD的中点,所以AC=DC.
在△ACB和△DCE中,因为AC=DC,∠ACB=∠DCE,BC=EC,
所以△ACB≌△DCE,所以AB=DE.图形的全等
一、选择题
1.下列四个图形中,属于全等图形的是 ( )
A.③和④ B.②和③ C.①和③ D.②和④
2.下列叙述中错误的是 ( )
A.能够完全重合的图形称为全等图形
B.全等图形的形状和大小都相同
C.所有的等边三角形都是全等图形
D.形状和大小都相同的两个图形是全等图形
3.如图所示,已知两个三角形全等,则 ∠α的度数是 ( )
A.72° B.60° C.58° D.50°
二、填空题
4.如图△ABC≌△BAD,则A和 ,C和 是对应顶点,若AB=8 cm,BD=7 cm,AD=4 cm,则BC= cm.
5.如图四边形ABCD与四边形A'B'C'D'全等,则∠A'= °,∠A= °,B'C'= ,AD= .
6.如图△ECD≌△BCA,AC⊥BD于点C,AB=5 cm,∠A=40°,则DE= cm,∠CED= °.
三、解答题
7.如图点B,E,C,F在同一条直线上,△ABC≌△DEF,∠A=75°,∠B=60°,BE=5.求∠F的度数与CF的长.
8.如图点A,B,C在同一直线上,点E在BD上,且△ABD≌△EBC,AB=2 cm,BC=3 cm.
(1)求DE的长;
(2)判断AC与BD的位置关系,并说明理由;
(3)判断直线AD与直线CE的位置关系,并说明理由.
答案
1.D 2.C 3.D 4.B D 4
5.140 70 12 9
6.5 50 因为AC⊥BD,所以∠ACB=90°,所以∠B=90°-∠A=90°-40°=50°.由全等三角形的性质,知DE=AB=5 cm,∠CED=∠B=50°.
7.解:因为△ABC≌△DEF,
所以EF=BC,∠F=∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-75°-60°=45°,
所以EF-EC=BC-EC,
即CF=BE=5.
8.解:(1)因为△ABD≌△EBC,
所以BD=BC=3 cm,BE=AB=2 cm,
所以DE=BD-BE=3-2=1(cm).
(2)AC⊥BD.
理由:因为△ABD≌△EBC,
所以∠ABD=∠EBC.
又因为点A,B,C在同一直线上,
所以∠ABD+∠EBC=180°,
所以∠ABD=∠EBC=90°,
所以AC⊥BD.
(3)AD⊥CE.理由:如图,延长CE交AD于点F.
因为△ABD≌△EBC,所以∠D=∠C.
因为在Rt△ABD中,∠A+∠D=90°,
所以∠A+∠C=90°,所以∠AFC=90°,
即AD⊥CE.