对顶角、余角和补角
一、选择题
1.下列图形中,∠1与∠2是对顶角的是 ( )
2.如果两个角互补,那么这两个角可能符合的条件是 ( )
①均为钝角;②一个为锐角,一个为钝角;③均为直角;④以上三者都有可能.
A.①③ B.①②
C.②③ D.④
3.如图直线AB,CD,EF相交于点O,则∠1+∠2+∠3等于 ( )
A.90° B.150° C.180° D.210°
4.因为∠1+∠3=180°,∠2+∠3=180°,所以∠1=∠2,其推理依据是 ( )
A.同角的余角相等 B.对顶角相等
C.同角的补角相等 D.等角的补角相等
5.贝贝家刚买了一个如①所示的马扎,图②是马扎撑开后的侧面示意图,其中∠DOB=100°,则∠AOC的度数比∠AOD的度数大 ( )
A.40° B.30° C.20° D.10°
二、填空题
6.如图已知∠AOB=60°,OC平分∠AOB,那么∠BOC的补角是 °.
7.数学在我们的生活中无处不在,就连台球桌上都有数学问题.如图所示,∠1=∠2,若∠3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,则击打白球时,必须保证∠1等于 °.
8.如图直线AB,CD,EF相交于点O,∠AOF=3∠BOF,∠AOC=90°,则∠COE= °.
9.将两个三角尺的直角顶点重合按如图所示的位置放置,若∠AOD=108°,则∠COB= °.
三、解答题
10.一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍,求这个角的度数.
11.如图直线AB,CD相交于点O,∠BOC=70°,OE是∠BOC的平分线,OF是OE的反向延长线.
(1)求∠1,∠2,∠3的度数;
(2)判断OF是否平分∠AOD,并说明理由.
12.如图直线AB和CD相交于点O,∠COE=90°,OD平分∠BOF,∠BOE=50°.
(1)求∠AOC的度数;
(2)求∠EOF的度数.
13.如图所示,∠AOC和∠BOD都是直角.
(1)填空:图中与∠BOC互余的角有 ;
(2)∠AOD与∠BOC互补吗 为什么
(3)若∠AOB∶∠AOD=3∶13,求∠BOC与∠AOD的度数.
(规律型题)观察中的各图,寻找对顶角(不含平角):
(1)如图①,图中共有多少对对顶角
(2)如图②,图中共有多少对对顶角
(3)如图③,图中共有多少对对顶角
(4)研究(1)~(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系,回答:若有n条直线相交于一点,则可形成多少对对顶角
答案
1.C 根据对顶角的特征:有公共顶点,且角的两边互为反向延长线,对各选项分析判断后利用排除法求解.A项中∠1和∠2没有公共顶点,故不是对顶角;B项中∠1和∠2的两边不互为反向延长线,故不是对顶角;C项中∠1和∠2有公共顶点,且两边互为反向延长线,故为对顶角;D项中∠1和∠2的两边不互为反向延长线,故不是对顶角.故选C.
2.C 3.C
4.C 因为∠1+∠3=180°,∠2+∠3=180°,所以∠1=∠2(同角的补角相等).
5.C 由对顶角的性质知∠AOC=∠BOD=100°,由平角的定义知∠AOD=180°-∠BOD=80°,所以∠AOC-∠AOD=100°-80°=20°.
6.150
7.60 因为由题意可得∠2+∠3=90°,∠3=30°,所以∠2=60°.又因为∠1=∠2,所以∠1=60°.故答案为60.
8.45 因为∠AOF=3∠BOF,∠AOF+∠BOF=180°,所以∠AOF=135°,∠BOF=45°.因为∠AOC=90°,∠AOE=∠BOF=45°,所以∠COE=45°.
9.72
10.解:设这个角的度数为x°.依题意,有
180-x+10=3(90-x),解得x=40.
故这个角的度数为40°.
11.解:(1)因为∠BOC+∠2=180°,∠BOC=70°,所以∠2=180°-70°=110°.
因为OE是∠BOC的平分线,
所以∠1=∠BOC=35°.
因为∠1+∠2+∠3=180°,
所以∠3=180°-∠1-∠2=180°-35°-110°=35°.
(2)OF平分∠AOD.
理由:因为∠2+∠3+∠AOF=180°,
所以∠AOF=180°-∠2-∠3=180°-110°-35°=35°,所以∠AOF=∠3,
所以OF平分∠AOD.
12.解:(1)因为∠BOE=50°,∠COE=90°,
且∠AOC+∠COE+∠BOE=180°,
所以∠AOC=180°-50°-90°=40°.
(2)由题意知∠DOE=90°,
所以∠BOD=90°-50°=40°.
因为OD平分∠BOF,
所以∠BOD=∠DOF=40°,
所以∠EOF=50°+40°+40°=130°.
13.解:(1)∠AOB,∠COD
(2)∠AOD与∠BOC互补.理由如下:
因为∠AOC和∠BOD都是直角,
所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=90°.
又因为∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD,
所以∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC=180°,
所以∠AOD与∠BOC互补.
(3)设∠AOB=3x°,则∠AOD=13x°,
所以∠BOD=∠AOD-∠AOB=13x°-3x°=10x°=90°,
即x=9,所以∠AOD=13x°=117°.
由(2)可知∠AOD与∠BOC互补,
所以∠BOC=180°-117°=63°.
[素养提升]
解:(1)有2对对顶角.
(2)有6对对顶角.
(3)有12对对顶角.
(4)若有n条直线相交于一点,则可形成n(n-1)对对顶角.平行线性质与判定的综合应用
一、选择题
1.有下列说法:①两直线平行,同旁内角互补;②同位角相等,两直线平行;③内错角相等,两直线平行;④两直线平行,同位角相等.其中是平行线的性质的是 ( )
A.① B. ②③ C.④ D. ①④
2.如图AB与CD相交于点O,如果∠D=∠C=40°,∠A=80°,那么∠B的度数是 ( )
A.40° B.80° C.60° D.无法确定
3.如图已知∠AEF=∠EGH,AB∥CD,则下列判断中不正确的是 ( )
A.∠BEF=∠EGH B.∠AEF=∠EFD
C.AB∥GH D.GH∥CD
4.如图已知AB⊥GH于点M,CD⊥GH,直线CD,EF,GH相交于一点O,直线EF,AB相交于点P.若∠1=42°,则∠2等于( )
A.130° B.138° C.140° D.142°
5.如图把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后,点D,C分别落在点D',C'的位置.若∠EFB=58°,则∠AED'等于 ( )
A.58° B.32° C.122° D.64°
二、填空题
6.如图点D在EF上,∠A=120°,∠B=60°,∠EDA=55°,则∠F= °.
7.如图已知∠1+∠2=180°,∠3=124°,则∠4的度数是 .
8.看图填空:(请将不完整的解题过程及根据补充完整)
已知:如图AC∥ED,∠A=∠EDF.
试说明:∠B=∠CDF.
解:因为AC∥ED,所以根据“两直线平行,同位角相等”,可得∠A= .
又因为∠A=∠EDF,所以∠BED=∠EDF.
根据“ ”,
可得AB∥FD.
根据“ ”,
可得∠B=∠CDF.
三、解答题
9.如图EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°.求∠AGD的度数.
10.如图AD∥BE,∠1=∠2,则∠A与∠E相等吗 说明理由.
11.如图所示,已知∠1=∠2,∠A=∠C.试说明:AE∥BC.
12.如图已知∠AGF=∠ABC,∠1+∠2=180°.
(1)试判断BF与DE的位置关系,并说明理由;
(2)若DE⊥AC,∠2=140°,求∠AFG的度数.
(动点问题)如图已知直线AB∥CD,∠A=∠C=100°,点E,F在CD上,且满足∠DBF=∠ABD,BE平分∠CBF.
(1)直线AD与BC有何位置关系 请说明理由.
(2)求∠DBE的度数.
(3)若平行移动AD,在平行移动AD的过程中,是否存在某种情况,使∠BEC=∠ADB 若存在,求出∠BEC的度数;若不存在,请说明理由.
答案
1.D 平行线的性质是已知两直线平行,得到角与角之间的数量关系;平行线的判定是由角与角之间的数量关系得到两直线之间的位置关系.
2.B
3.A
4.B 因为AB⊥GH,CD⊥GH,所以∠GMB=∠GOD=90°,
所以AB∥CD,所以∠BPF=∠1=42°,
所以∠2=180°-∠BPF=180°-42°=138°.
5.D 因为四边形ABCD是长方形,所以AD∥BC,所以∠DEF=∠EFB=58°.因为沿EF折叠,所以∠FED'=∠DEF=58°,所以∠AED'=180°-58°-58°=64°.
故选D.
6.55 因为∠A=120°,∠B=60°,所以∠A+∠B=180°,所以AD∥BF,所以∠EDA=∠F.因为∠EDA=55°,所以∠F=55°.
7.56°
8.∠BED 内错角相等,两直线平行
两直线平行,同位角相等
9.解:因为EF∥AD,所以∠1=∠BAD.
又因为∠1=∠2,所以∠2=∠BAD,
所以AB∥DG,所以∠BAC+∠AGD=180°.
因为∠BAC=70°,所以∠AGD=110°.
10.解:∠A=∠E.
理由:因为AD∥BE,
所以根据“两直线平行,同位角相等”,
可得∠A=∠EBC.
因为∠1=∠2,
所以根据“内错角相等,两直线平行”,
可得DE∥AC.
所以根据“两直线平行,内错角相等”,
可得∠E=∠EBC.
所以根据等量代换,
可得∠A=∠E.
11. 要说明AE∥BC,需推出∠ADC+∠C=180°,而∠A=∠C,也就是要推出∠ADC+
∠A=180°,也就是要推出AB∥CD,而利用已知条件易得AB∥CD.
解:因为∠1=∠2(已知),
所以CD∥AB(同位角相等,两直线平行),
所以∠ADC+∠A=180°(两直线平行,同旁内角互补).
又因为∠A=∠C(已知),
所以∠ADC+∠C=180°(等量代换),
所以AE∥BC(同旁内角互补,两直线平行).
12.解:(1)BF∥DE.理由如下:
因为∠AGF=∠ABC,
所以GF∥BC,
所以∠1=∠FBC.
因为∠1+∠2=180°,
所以∠FBC+∠2=180°,
所以BF∥DE.
(2)因为BF∥DE,DE⊥AC,
所以∠AFB=∠AED=90°.
因为∠1+∠2=180°,∠2=140°,
所以∠1=40°,
所以∠AFG=90°-40°=50°.
[素养提升]
解:(1)AD∥BC.
理由:因为AB∥CD,
所以∠A+∠ADC=180°.
又因为∠A=∠C,所以∠ADC+∠C=180°,
所以AD∥BC.
(2)因为AB∥CD,
所以∠ABC=180°-∠C=80°.
因为∠DBF=∠ABD,BE平分∠CBF,
所以∠DBE=∠ABF+∠CBF=∠ABC=40°.
(3)存在.
因为AB∥CD,所以∠ABD=∠BDC.
设∠ABD=∠DBF=∠BDC=x°.
因为AB∥CD,
所以∠BEC=∠ABE=x°+40°,
∠ADC=180°-∠A=80°,
所以∠ADB=80°-x°.
若∠BEC=∠ADB,则x°+40°=80°-x°,
解得x=20,
所以存在使∠BEC=∠ADB的情况,
此时∠BEC=∠ADB=60°.用尺规作角
一、选择题
1.下列各选项中,属于尺规作图的是 ( )
A.利用三角尺画45°的角
B.用直尺和三角尺画平行线
C.用直尺画一工件边缘的垂线
D.用尺规作一条线段等于已知线段
2.用尺规作一个角等于已知角,如图下列叙述正确的有 ( )
①OA=O'A';②OB=O'B';③CD=C'D';④∠AOB=∠A'O'B'.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图过点P画直线a的平行线b的作法依据是 ( )
A.两直线平行,同位角相等 B.同位角相等,两直线平行
C.两直线平行,内错角相等 D.内错角相等,两直线平行
二、填空题
4.如图用尺规作∠DEC=∠BAC,作图痕迹弧MN的正确作法是以点 为圆心,线段 长为半径作弧.
5.如图已知∠MAN=55°,B为AN上一点.用尺规按如下过程作图:以点A为圆心,以任意长为半径作弧,交AN于点D,交AM于点E;以点B为圆心,以AD长为半径作弧,交AB于点F;以点F为圆心,以DE长为半径作弧,交前面的弧于点G;连接BG并延长,交AM于点C.则∠NBC的度数为 .
三、解答题
6.尺规作图:如图已知直线AB和AB外一点P,利用尺规作一条经过点P的直线CD,使得CD平行于AB.(不写作法,保留清晰、完整的作图痕迹)
作图技能题(用尺规作图,保留痕迹,不写作法):
已知:小亮的一张地图上有A,B,C三个城市,但地图上的C城市被污渍污染了(如),但知道∠BAC=∠1,∠ABC=∠2,请你用尺规作图法帮他确定C城市的具体位置.
答案
1.D 2.B 3.D
4.G PQ 5.125°
6.略
[素养提升]
解:如图所示.连接AB.根据作一个角等于已知角的方法分别以AB为边,在AB的右侧作∠BAP=∠1,∠ABQ=∠2,则射线AP与BQ的交点处就是C城市的位置.平行线的性质
一、选择题
1.如图a∥b,c与a,b都相交,∠1=50°,则∠2的度数是 ( )
A.40° B.50° C.100° D.130°
2.如图直线a,b被直线c所截,若直线a∥b,∠1=108°,则∠2的度数为 ( )
A.108° B.82° C.72° D.62°
3.如图直线AB∥CD,则下列结论正确的是 ( )
A.∠1=∠2 B.∠3=∠4
C.∠1+∠3=180° D.∠3+∠4=180°
4.如图AB∥CD,DE⊥CE,∠1=34°,则∠DCE的度数为 ( )
A.34° B.54° C.66° D.56°
5.如图将一块含有30°角的三角尺的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠2=44°,那么∠1的度数是 ( )
A.14° B.15° C.16° D.17°
6.如图小明从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处,又沿北偏西20°方向行走至C处,则∠ABC的度数是 ( )
A.80° B.90° C.100° D.95°
二、填空题
7.如图点D,E,F分别在BC,AC,AB上,如果DE∥AB,那么∠A+ =180°或∠B+ =180°,根据是 ;如果∠CED=∠FDE,那么 ∥ ,根据是 .
8.如图直线a∥b∥c,三角尺的直角顶点落在直线b上.若∠1=35°,则∠2等于 °.
9.如图所示,点A在直线a上,射线AB,AC分别交直线b于点B,C.若a∥b,∠1=70°,∠2=40°,则∠3的度数为 .
10.如图所示,已知AB∥CD,BE平分∠ABC,交CD于点D.若∠CDE=150°,则∠C的度数为 .
11.如图已知AD∥EF∥BC,BD∥GF,且DB平分∠ADC,则图中与∠1相等的角共有
个.
三、解答题
12.如图点D在射线AE上,AB∥CD,∠CDE=140°.求∠A的度数.
13.如图AB∥DC,AD∥BC,则∠A与∠C,∠B与∠D的大小有何关系 为什么
14.如图直线AB∥CD,BC平分∠ABD,∠1=54°.求∠2的度数.
(创新题)如②为图①所示台灯的示意图,其中灯头连接杆DE始终和桌面FG平行,灯脚AB始终和桌面FG垂直.
(1)当∠EDC=∠DCB=120°时,求∠CBA的度数;
(2)设∠EDC,∠DCB,∠CBA的度数分别为α,β,γ,试写出图②中α,β,γ之间的数量关系.
答案
1.B 2.C
3.D 如图,因为AB∥CD,所以∠3+∠5=180°.又因为∠5=∠4,所以∠3+∠4=180°.故选D.
4.D
5.C 如图,因为∠ABC=60°,∠2=44°,所以∠EBC=16°.因为BE∥CD,所以∠1=∠EBC=16°.故选C.
6.C 如图,因为向北的方向线是平行的,
所以∠A+∠ABF=180°,所以∠ABF=180°-60°=120°,
所以∠ABC=∠ABF-∠CBF=120°-20°=100°.
7.∠AED ∠BDE 两直线平行,同旁内角互补
AC DF 内错角相等,两直线平行
8.55 9.70° 10.120° 11.7
12.解:因为∠CDE=140°,
所以∠CDA=180°-140°=40°.
因为AB∥CD,所以∠A=∠CDA=40°.
13.解:∠A=∠C,∠B=∠D.理由如下:
因为AD∥BC,所以∠A+∠B=180°.
因为AB∥DC,所以∠C+∠B=180°,
所以∠A=∠C.同理可得∠B=∠D.
14.解:如图,因为直线AB∥CD,所以∠3=∠1=54°,∠2=∠5.
因为BC平分∠ABD,所以∠4=∠3=54°,所以∠2=∠5=180°-54°-54°=72°.
[素养提升]
解:(1)如图,过点C作CP∥DE,过点B作BH∥DE,则CP∥BH,∠PCD+∠EDC=180°.
因为∠EDC=∠DCB=120°,
所以∠PCD=60°,
所以∠PCB=120°-∠PCD=120°-60°=60°.
又因为CP∥BH,所以∠CBH=∠PCB=60°.
因为AB⊥FG,所以∠BAG=90°.
因为DE∥FG,BH∥DE,所以BH∥FG,
所以∠HBA=180°-∠BAG=180°-90°=90°,
所以∠CBA=∠CBH+∠HBA=60°+90°=150°.
(2)因为CP∥DE,BH∥DE,DE∥FG,
所以DE∥CP∥BH∥FG,
所以∠EDC+∠PCD=180°,∠CBH=∠PCB,∠HBA+∠BAG=180°,
则∠PCD=180°-∠EDC,
所以∠PCB=∠DCB-∠PCD=∠DCB-(180°-∠EDC)=∠DCB+∠EDC-180°.
因为AB⊥FG,
所以∠BAG=90°,
所以∠HBA=90°,
所以∠CBH=∠CBA-90°.
因为∠PCB=∠CBH,
所以∠DCB+∠EDC-180°=∠CBA-90°,
所以∠EDC+∠DCB-∠CBA=90°,
即α+β-γ=90°.利用同位角判定两直线平行
一、选择题
1.下列结论错误的是 ( )
A.同位角相等,两直线平行
B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C.同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线
D.如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也平行
2.中∠1与∠2是同位角的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图下列说法正确的是 ( )
A.若∠1=∠2,则a∥b B.若∠1=∠3,则c∥d
C.若∠1=∠4,则a∥b D.若∠1=∠2,则c∥d
4.如图已知直线c与直线a,b分别交于点A,B,且∠1=120°,若要使直线a∥b,则∠2的度数为 ( )
A.60° B.120° C.30° D.150°
二、填空题
5.如图根据“同位角相等,两直线平行”,可判定AB∥CE的条件是 .
6.如图若∠1=∠2,则 ∥ ;若∠2=∠3,则 ∥ .
7.如图直线a∥c,∠1=∠2,那么直线b,c的位置关系是 .
8.如图∠A=70°,O是射线AB上一点,直线OD与AB所夹角∠BOD=82°,要使OD∥AC,则直线OD应绕点O按逆时针方向至少旋转 °.
三、解答题
9.如图已知AE∥BC,AD∥BC,那么∠DAE=180°,为什么
10.如图已知AB⊥MN,垂足为B,CD⊥MN,垂足为D,∠1=∠2,那么EB与FD平行吗 请说明理由.
11.如图所示,∠A=70°,∠BGE=70°,∠CHG=110°,试说明:AM∥EF,AB∥CD.
12.如图AB⊥BC于点B,∠1+∠2=90°,∠2=∠3,BE与DF平行吗 为什么
13.如图直线EF与直线AB,CD分别相交于点P,Q,PG平分∠APQ,QH平分∠CQF,并且∠1=∠2,说出图中哪些直线平行,并说明理由.
如图∠1=∠3,∠1+∠2=180°,则AB,CD,EF的位置关系如何 请说明理由.
答案
1.B 2.D 3.D
4.B 如图,因为∠1=120°,∠1与∠3是对顶角,所以∠3=∠1=120°.当∠2=120°时,∠2=∠3,此时直线a∥b.故选B.
5.∠B=∠ECD
6.AB DE BC EF
7.b∥c 因为∠1=∠2,所以a∥b.又因为a∥c,所以b∥c.故答案为b∥c.
8.12
9.解:由题意,得在直线BC外有一点A,过点A有两条直线,AD,AE使AE∥BC,AD∥BC,由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行可知AD,AE为一条直线,即D,A,E三点在同一直线上,所以∠DAE=180°.
10.解:EB∥FD.
理由:因为AB⊥MN,CD⊥MN(已知),
所以∠ABM=∠CDM=90°(垂直的定义).
因为∠1=∠2(已知),
所以∠ABM-∠1=∠CDM-∠2(等式的性质),即∠EBM=∠FDM,
所以EB∥FD(同位角相等,两直线平行).
11.解:因为∠A=∠BGE=70°,
所以AM∥EF(同位角相等,两直线平行).
又因为∠CHG=110°,所以∠EHD=70°,
所以∠EGB=∠EHD,
所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行).
12.解:BE∥DF.理由如下:
因为AB⊥BC,所以∠3+∠EBC=90°.
又因为∠1+∠2=90°,∠2=∠3,
所以∠EBC=∠1,
所以BE∥DF.
13.解:AB∥CD,PG∥QH.
理由:因为∠1和∠2是同位角,且∠1=∠2,
所以PG∥QH.
因为PG平分∠APQ,QH平分∠CQF,
所以∠APQ=2∠1,∠CQF=2∠2,
所以∠APQ=∠CQF,
所以AB∥CD.
[素养提升]
解:AB∥CD∥EF.理由如下:如图,
因为∠1=∠3,
所以AB∥EF(同位角相等,两直线平行).
又因为∠1+∠2=180°(已知),
∠1+∠4=180°(平角的定义),
所以∠2=∠4(同角的补角相等),
所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行),
所以AB∥CD∥EF.利用内错角、同旁内角判定两直线平行
一、选择题
1.如图所示,下列说法中正确的是 ( )
①∠1与∠3是同位角;②∠3与∠5是同位角;③∠1与∠2是同旁内角;④∠1与∠5是同旁内角.
A.①和③ B.②和③ C.②和④ D.③和④
2.如图所示,一个合格的弯形管道ABCD要求AB∥CD.现测得∠ABC=135°,若这个管道符合要求,则∠BCD的度数为 ( )
A.25° B.45° C.55° D.65°
3.根据,明明写出了以下四个条件,其中能判定EB∥AC的是 ( )
A.∠C=∠ABE B.∠A=∠EBD
C.∠C=∠ABC D.∠A=∠ABE
4.如图下列说法错误的是 ( )
A.若∠A=∠3,则AD∥BE B.若∠2=∠E,则DB∥CE
C.若∠1+∠2+∠A=180°,则AD∥BE D.若∠2+∠C=180°,则DB∥CE
5.将一块三角尺ABC按所示的方式放置,其中∠ABC=30°,A,B两点分别落在直线m,n上,∠1=20°,若要直线m∥n,则∠2的度数为 ( )
A.20° B.30° C.50° D.60°
6.如图在三角形ABC中,点D,E,F分别在AB,AC,BC上.连接DE,CD,DF,则下列条件中,不能判定AC∥DF的有 ( )
①∠1=∠3;②∠2=∠4;③∠ACB=∠5;④∠ADE=∠B;⑤∠ACB+∠CED=180°.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
7.如图所示,∠B的同位角是 , ;内错角是 ;同旁内角是 , , .
8.如图所示,在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路,从甲地测得公路的走向是北偏东68°,现在甲、乙两地同时开工,为使若干天后公路能准确在途中接通,乙地所修公路的走向应是南偏西 .
9.如图已知直线EF⊥MN,垂足为F,且∠1=140°,则当∠2= °时,AB∥CD.
10.如果两条直线被第三条直线所截,一组同旁内角的度数比为3∶2,差为36°,那么这两条直线的位置关系是 ,依据是 .
三、解答题
11.已知:如图∠1=∠2,∠3+∠4=180°,试确定直线a与直线c的位置关系,并说明你的理由.
解:a c.
理由:因为∠1=∠2( ),
所以a∥ ( ).
因为∠3+∠4=180°,
所以c∥ ( ).
因为a∥ ,c∥ ,
所以 ∥ ( ).
12.如图∠1=47°,∠2=133°,∠D=47°,那么AB与CD平行吗 BC与DE呢 为什么
13.如图∠ABC=∠ADC,BF,DE分别是∠ABC,∠ADC的平分线,∠1=∠2,试说明:DC∥AB.
14.如图在三角形ABC中,点D,E,F分别在边BC,AC,AB上,∠1∶∠2∶∠3=2∶3∶4,∠AFE=60°,∠BDE=120°,写出图中平行的直线,并说明理由.
(分类讨论)如图在直角三角形AOB和直角三角形COD中,∠AOB=∠COD=90°,∠B=40°,∠C=60°,点D在边OA上,将图中的三角形COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周,当旋转了多少秒时,边CD恰好与边AB平行
答案
1.A 2.B 3.D 4.D
5.C 若要直线m∥n,则需满足∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°.故选C.
6.C
7.∠FAD ∠FAC ∠EAB ∠C ∠CAB ∠DAB
8.68° 9.50
10.平行 同旁内角互补,两直线平行
11.∥ 已知 b 内错角相等,两直线平行 b 同旁内角互补,两直线平行 b b a c 平行于同一条直线的两条直线平行
12.解:AB∥CD,BC∥DE.
理由:因为∠1=47°,所以∠ABC=∠1=47°.
又因为∠2=133°,
所以∠ABC+∠2=180°,所以AB∥CD.
因为∠2=133°,所以∠BCD=180°-∠2=47°.
又因为∠D=47°,
所以∠BCD=∠D,所以BC∥DE.
13.解:如图,因为BF,DE分别是∠ABC,∠ADC的平分线,
所以∠2=∠ABC,∠3=∠ADC.
因为∠ABC=∠ADC,所以∠2=∠3.
又因为∠1=∠2,所以∠1=∠3,
所以DC∥AB.
14.解:DE∥AB,EF∥BC.理由如下:
因为∠1∶∠2∶∠3=2∶3∶4,∠1+∠2+∠3=180°,
所以∠1=40°,∠2=60°,∠3=80°.
因为∠AFE=60°,∠BDE=120°,
所以∠AFE=∠2,∠BDE+∠2=180°,
所以DE∥AB,EF∥BC.
[素养提升]
解:分两种情况:(1)当两个三角形在点O的同侧时,如图①,设CD与OB相交于点E.
若要AB∥CD,则需满足∠CEO=∠B=40°.
因为∠C=60°,所以∠COE=180°-60°-40°=80°,
所以∠DOE=∠COD-∠COE=10°,
所以旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°.
因为每秒旋转10°,
所以此时所用的时间为100÷10=10(秒).
(2)当两个三角形在点O的异侧时,如图②,延长BO与CD相交于点E.
若要AB∥CD,则需满足∠CEO=∠B=40°.
因为∠C=60°,
所以∠COE=180°-60°-40°=80°,
所以∠DOE=∠COD-∠COE=10°,
所以旋转角为180°+90°+10°=280°.
因为每秒旋转10°,
所以此时所用的时间为280÷10=28(秒).
综上所述,当旋转了10秒或28秒时,边CD恰好与边AB平行.垂直
一、选择题
1.如图直线AB,CD相交于点O,下列条件中,不能说明AB⊥CD的是 ( )
A.∠AOD=90°
B.∠AOC=∠BOC
C.∠BOC+∠BOD=180°
D.∠AOC+∠BOD=180°
2.如图在立定跳远中,体育老师这样测量运动员的成绩:将一块三角尺的一条直角边靠在起跳线上,拉直的皮尺与另一条直角边重合,则皮尺测量的AB的长度即为运动员的成绩,这样做的理由是 ( )
A.两点之间线段最短
B.过两点有且只有一条直线
C.垂线段最短
D.过一点可以作无数条直线
3.P为直线l外一点,A,B,C为直线l上的三点,PA=3 cm,PB=4 cm,PC=5 cm,则点P到直线l的距离 ( )
A.等于2 cm B.等于3 cm
C.小于3 cm D.不大于3 cm
4.如图所示,OB⊥OD,OC⊥OA,∠BOC=32°,那么∠AOD等于 ( )
A.148° B.132° C.128° D.90°
二、填空题
5.如图已知点O在直线AB上,CO⊥DO.若∠1=155°,则∠3的度数为 .
6.如图所示,∠BAC=90°,AD⊥BC,则下列结论中正确的是 .(填序号)
①AB⊥AC;②AD与AC互相垂直;③点C到AB的垂线段是线段AB;④点A到BC的距离是线段AD的长度;⑤线段AB的长度是点B到AC的距离.
三、解答题
7.如图过点A画CB的垂线,并指出哪条线段的长度表示点A到直线CB的距离.
如图直线EF,CD相交于点O,OA⊥OB,垂足为O,且OC平分∠AOF.
(1)若∠AOE=40°,则∠BOD= °;
(2)若∠AOE=α,则∠BOD= (用含α的代数式表示);
(3)从(1)(2)的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系
答案
1.C
2.C
3.D 连接直线外一点P与直线上任意一点,所得线段中垂线段最短.因为PA=3 cm,PB=4 cm,PC=5 cm,三条线段中最短的是3 cm,所以点P到直线l的距离不大于3 cm.故选D.
4. A 因为OB⊥OD,OC⊥OA,所以∠AOC=∠BOD=90°.由∠BOC=32°,得∠AOB=58°,则∠AOD=90°+58°=148°.
5.65°
6.①④⑤
7.解:如图,过点A画CB的垂线,交CB的延长线于点E.根据点到直线的距离的定义:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫这点到这条直线的距离.可得AE的长度即为点A到直线CB的距离.
[素养提升]
(1)因为∠AOE+∠AOF=180°,∠AOE=40°,所以∠AOF=140°.又因为OC平分∠AOF,所以∠FOC=∠AOF=70°,
所以∠EOD=∠FOC=70°.
因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°.
所以∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-40°=50°,
所以∠BOD=∠EOD-∠BOE=70°-50°=20°.
故答案为20.
(2)因为∠AOE+∠AOF=180°,∠AOE=α,
所以∠AOF=180°-α.
又因为OC平分∠AOF,
所以∠FOC=∠AOF=90°-α,
所以∠EOD=∠FOC=90°-α.
因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°.
所以∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-α,
所以∠BOD=∠EOD-∠BOE=α.
故答案为α.
解:(1)20
(2)α
(3)∠AOE=2∠BOD.
