单项式与单项式的乘法
一、选择题
1.计算2a·ab的结果是 ( )
A.2ab B.2a2b C.3ab D.3a2b
2.计算3a·(-2a)2的结果为 ( )
A.-12a3 B.-6a2 C.12a3 D.6a2
3.小刘做了四道题目:①3x3y·2xyz2=5x4y2z2;②2a2·(-3a)3=-54a6;③-m2n2·(-8mn2)=-2m5n4;④-3a3b·(-3ab)=9a4b2.他做对的题目是( )
A.①② B.③④ C.①②③ D.②③④
4.一块长方形草坪的长是3xa+1 m,宽是2xb-1 m(a,b均为大于1的正整数),则长方形草坪的面积是 ( )
A.6xa-b m2 B.6xa+b m2 C.6xa+b-1 m2 D.6xa+b-2 m2
5.若(-5am+1b2n-1)·2ab3=-10a4b4,则m-n的值为 ( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
二、填空题
6.计算:x2y3·xyz= .
7.计算:(1)(2xy2)2·x2y= ;
(2)-m3n3·(-2m2n)4= .
8.计算:3x2y·-x6y·y2z= .
9.若单项式-12x2y2m与xn-2y6是同类项,则这两个单项式的积是 .
10.计算:3(a-b)2·[9(a-b)n+2]·(b-a)5= .
三、解答题
11.计算:
(1)4xy2z·(-0.5x2y)3;
(2)3a2·-ab·(-2a2b)3;
(3)(-a4b)3·a-(2a4b)2·-a5b.
12.求中阴影部分的面积.(列式写过程)
13.已知a3m+1b2n的积与5a4b是同类项,求(m-n)2022的值.
(规律型题)若1+2+3+…+n=m,求abn·a2bn-1·…·an-1b2·anb.
答案
1.B 2.C
3.B ①中3×2=6,所以①计算错误;
②中a2·a3=a5,所以②计算错误.
[点析] 单项式与单项式相乘时,积的系数等于各因式系数的积(注意符号的确定),相同字母的幂按同底数幂乘法的运算性质“底数不变,指数相加”进行计算,对于只在一个单项式中出现的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
4.B 5.C 6.x3y4z
7.(1)2x4y5 (2)-2m17n7 8.-4x8y4z
9.-2x4y12 因为单项式-12x2y2m与xn-2y6是同类项,所以这两个单项式分别为-12x2y6,x2y6,它们的积是-2x4y12.
10.-27(a-b)n+9
11. (1)(2)先算乘方运算,再做单项式的乘法运算;(3)类比有理数的混合运算,先算乘方,再算单项式乘法,最后算加减法.
解:(1)4xy2z·(-0.5x2y)3=4xy2z·-x6y3=-x7y5z.
(2)原式=3a2·-ab·(-8a6b3)=3a9b4.
(3)(-a4b)3·a-(2a4b)2·-a5b
=(-a12b3)·a-4a8b2·-a5b
=-a13b3+3a13b3
=2a13b3.
12.解:5a·(2a+a)-2a(5a-3a)=5a·3a-2a·2a=15a2-4a2=11a2.
故阴影部分的面积为11a2.
13.解:因为a3m+1b2n的积与5a4b是同类项,所以n-6+3m+1=4,-2-n+2n=1,
解得m=2,n=3,
所以(m-n)2022=(2-3)2022=1.
[素养提升]
根据单项式的乘法法则及同底数幂相乘,底数不变,指数相加的运算性质,可得abn·a2bn-1·…·an-1b2·anb=a1+2+…+n·bn+n-1+…+1=ambm.
解:因为1+2+3+…+n=m,
所以abn·a2bn-1·…·an-1b2·anb=a1+2+…+n·bn+(n-1)+…+1=ambm.用科学记数法表示绝对值较小的数
一、选择题
1.已知某种新型感冒病毒的直径约为0.000000823米,将0.000000823用科学记数法表示为 ( )
A.8.23×10-6 B.8.23×10-7 C.8.23×106 D.8.23×107
2.-0.00035用科学记数法表示为 ( )
A.-3.5×10-4 B.-3.5×104 C.3.5×10-4 D.-3.5×10-3
3.将6.18×1化为小数是 ( )
A.0.000618 B.0.00618 C.0.0618 D.0.618
4.把0.0813写成a×10n(1≤a<10,n为整数)的形式,则a为 ( )
A.1 B.-2 C.0.813 D.8.13
5.新型冠状病毒“COVID-19”的平均半径约为50纳米(1纳米=10-9米),这一数据用科学记数法表示,正确的是 ( )
A.50×10-9米 B.5.0×10-9米
C.5.0×10-8米 D.0.5×10-7米
6.五台山景区空气清爽,景色宜人.五一小长假期间购票进山游客12万人次,再创历史新高.五台山景区门票价格旺季168元/人,以此计算,五一小长假期间,五台山景区进山门票总收入用科学记数法表示为 ( )
A.2.016×108元 B.0.2016×107元
C.2.016×107元 D.2016×104元
二、填空题
7.用科学记数法表示下列各数:
(1)0.000023= ;
(2)0.000000802= ;
(3)-0.0000002022= .
8.某颗粒物的直径是0.0000025米,把0.0000025用科学记数法表示为 .
9.据测算,5万粒芝麻的质量约为200 g,那么一粒芝麻的质量约为 g.(用科学记数法表示)
三、解答题
10.用小数表示下列各数.
(1)2.6×10-5;
(2)3.79×10-6;
(3)-2.09×10-8.
11.一个正方体集装箱的棱长为0.8 m.
(1)这个集装箱的体积是多少(用科学记数法表示)
(2)若有一个小立方块的棱长为2×10-2 m,则需要多少个这样的小立方块才能将这个集装箱装满
(应用型题)我们常用“水滴石穿”来说明一个人只要持之以恒地做某件事,就一定能成功.经测算,当水滴不断地滴在一块石头上时,经过10年,石头上可形成一个深为1 cm的小洞,那么平均每个月小洞的深度增加多少米 (结果精确到千万分位,并用科学记数法表示)
答案
1.B
2.A
3.B 把数据6.18×10-3中6.18的小数点向左移动3位就可以得到0.00618.故选B.
[点析] 本题考查写出用科学记数法表示的数的原数.将用科学记数法表示的数a×10-n(1≤<10,n为正整数)“还原”成通常表示的数,就是把a的小数点向左移动n位所得到的数.把一个数表示成科学记数法的形式与把用科学记数法表示的数还原是两个互逆的过程,这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法.
4.D
5.C 50纳米=50×10-9米=5.0×10-8米.故选C.
6.C
7.(1)2.3×10-5
(2)8.02×10-7
(3)-2.022×10-7
8.2.5×10-6
9.4×10-3 200÷50000=0.004=4×10-3(g).故答案为4×10-3.
10.解:(1)2.6×10-5=0.000026.
(2)3.79×10-6=0.00000379.
(3)-2.09×.0000000209.
11.解:(1)0.83=0.512(m3)=5.12×10-1 (m3).
故这个集装箱的体积是5.12×10-1 m3.
(2)(2×10-2)3=8×10-6(m3).
(5.12×10-1)÷(8×10-6)=6.4×104(个).
故需要6.4×104个这样的小立方块才能将这个集装箱装满.
[素养提升]
解:因为10年=120个月,1 cm=10-2 m,所以平均每个月小洞的深度增加10-2÷120=(1÷120)×10-2≈0.00833×10-2=8.33×10-3×10-2=8.33×10-5(m).多项式与多项式的乘法
一、选择题
1.计算(a-2)(a+3)的结果是 ( )
A.a2-6 B.a2+a-6 C.a2+6 D.a2-a+6
2.下列各式中,错误的是 ( )
A.(x+1)(x+2)=x2+3x+2
B.(x-4)(x+4)=x2-16
C.(2x+3)(2x-6)=2
D.(2x-1)(2x+2)=4x2+2x-2
3.若(x+5)(2x-3)=2x2+mx-15,则 ( )
A.m=7 B.m=-3 C.m=-7 D.m=10
4.设M=(x-3)(x-7),N=(x-2)(x-8),则M,N的大小关系为 ( )
A.M>N B.M=N C.M
5.若(x+q)与x+的乘积中不含x的一次项,则q的值是( )
A. B.5 C.-5 D.-
6.如果长方形的长为(4a2-2a+1),宽为(2a+1),那么这个长方形的面积为 ( )
A.8a3-4a2+2a-1 B.8a3+4
C.8a3-1 D.8a3+1
7.如图甲、乙、丙、丁四位同学各给出了一种表示该大长方形面积的式子:①(2a+b)(m+n);②2a(m+n)+b(m+n);③m(2a+b)+n(2a+b);④2am+2an+bm+bn.其中正确的是 ( )
A.①② B.③④ C.①②③ D.①②③④
二、填空题
8.若a2+a=1,则(a-5)(a+6)= .
9.a,b,c,d4个数排列成,我们称之为二阶行列式.规定它的运算法则为=ad-bc.若=13,则x= .
10.如图所示,为了扩大街心花园的绿地面积,把一块原长a m、宽m m的长方形绿地,增长了b m,加宽了n m,则扩大后的绿地的面积是 m2.
三、解答题
11.计算:
(1)(3x+2)(x+2);
(2)(3x-2y)(3x+2y);
(3)(4y-1)(5-y);
(4)(3a-2)2.
12.计算:
(1)(x+y)(x2-xy+y2);
(2)(x+2y)2-yx-8y;
(3)(2x+y-1)(2x-y+1)+2x(-3x+2y).
13.先化简,再求值:(x+y+2)(x+y-2)-(x+2y)2+3y2,其中xy=-.
14.已知A=1+2x,B=1-2x+4x2,C=1-4x3.
(1)计算:A·B-C;
(2)当x=-1时,求A·B-C的值.
15.如图正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各有若干张,如果要拼成一个长为a+2b,宽为a+b的大长方形,那么需要A,B,C类卡片各多少张
(探究型题)(1)计算下列各题:①(x+7)(x+9);②(x-10)(x+20);③(x-3)(x-2).
(2)由(1)的结果猜想(x+a)(x+b)的结果,并用多项式乘多项式的法则进行检验.
(3)请直接写出的结果.
(4)已知a,b,m均为整数,且(x+a)(x+b)=x2+mx+36,请探讨m的值.
答案
1.B (a-2)(a+3)=a2+a-6.故选B.
2.C 3.A
4.A
5.D (x+q)x+=x2+q+x+q,因为乘积中不含x的一次项,所以q+=0,解得q=-.故选D.
[点析] 本题主要考查了多项式乘多项式的运算,注意当多项式中不含有哪一项时,应让这一项的系数为0,注意不要漏项、漏字母,有同类项的合并同类项.
6.D
7.D ①大长方形的长为2a+b,宽为m+n,利用长方形的面积公式,表示即可;
②大长方形的面积等于左边、中间及右边的小长方形的面积之和,表示即可;
③大长方形的面积等于上、下两个小长方形面积之和,表示即可;
④大长方形的面积等于六个小长方形的面积之和,表示即可.
8.-29
9.- 因为=13,所以(x-2)(x-2)-(x+3)(x+1)=13,x2-4xx-3=13,-8x=12,解得x=-.
10.(am+bm+an+bn) 本题实际上是多项式乘多项式法则的推导,也是该法则的几何意义的解释.
即(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn.
11.解:(1)原式=3x2+6x+2x+4=3x2+8x+4.
(2)(3x-2y)(3x+2y)=9x2+6xy-6xy-4y2=9x2-4y2.
(3)原式=20y-4y2-5+y=-4y2+21y-5.
(4)(3a-2)2=(3a-2)(3a-2)=9a+4=9a2-12a+4.
12.解:(1)原式=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3=x3+y3.
(2)(x+2y)2-yx-8y=x2+4xy+4y2-xy+4y2=x2+xy+8y2.
(3)原式=4x2-2xy+2x+2xy-y2+y-2xx2+4xy=-2x2+4xy-y2+2y-1.
13.解:原式=x2+xy-2x+xy+y2-2y+2x+2y-+3y2=-2xy-4.
因为xy=-,
所以原式=-2×--4=-1.
14.解:(1)因为A=1+2x,B=1-2x+4x2,C=1-4x3,
所以A·B-C=(1+2x)(1-2x+4xx3)=1-2x+4x2+2x-4x2+8x3-1+4x3=12x3.
(2)当x=-1时,A·B-C=12x3=12×(-1)3=-12.
15.解:(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.故需要A类卡片1张,B类卡片2张,C类卡片3张.
[素养提升]
解:(1)①原式=x2+7x+9x+63=x2+16x+63.
②原式=x2-10x+20x-200=x2+10x-200.
③原式=x+6=x2-5x+6.
(2)猜想:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
根据多项式乘多项式的法则检验:
原式=x2+ax+bx+ab=x2+(a+b)x+ab.
(3)原式=t2+t+×=t2+t-.
(4)根据题意,知a+b=m,ab=36.因为a,b是整数,且36=1×36=-1×(-36)=2×18=-2×(-18)=3×12=-3×(-12)=4×9=-4×(-9)=6×6=-6×(-6),所以m的值可能为±37,±20,±15,±13,±12.1.1~1.3
一、选择题
1.下列运算正确的是 ( )
A.a+a=2a B.b3·b3=2b3
C.(a5)3=a8 D.(2ab)2=2a2b2
2.计算(-x5)7+(-x7)5的结果是 ( )
B.-2x70 C.0 D.-2x35
3.下列计算错误的是 ( )
A.x12÷x4=x8 B.(-x)5÷(-x)=x4
C.x-2÷x-5=x-3 D.(xy2)3÷(xy2)3=1
4.一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065 m,0.0000065用科学记数法表示为 ( )
A.6.5×10-5 B.6.5×10-6 C.6.5×10-7 D.65×10-6
5.有下列计算:①0.10=1;②10-2=0.1;③(10-5×2)0=1;④-0.00000306=3.06×10-6.其中正确的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.若3×9m×27m=321,则m的值是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题
7.计算:(1)a3·(-a)2= ;
(2)(-2xy)3·(2xy)2÷(2xy)= .
8.若a2n=3,则(a3n)4= ,(2a3n)2-(2an)4= .
9.计算:(-4×103)2×(-2×103)3= .(用科学记数法表示)
10.已知一个氧原子的质量为2.657×10-23克,那么2000个氧原子的质量用科学记数法表示为 .
三、解答题
11.计算:
(1)(-a2)·(-a)3·(-a)4;
(2)2(x3)2·x2-3(x2)4+5x2·(-x)6;
(3)(a-b)2·(b-a)2n÷(a-b)2n-3.
12.计算:
(1)-2×3-2+(π-2022)0÷-1;
(2)-82021×-2022+(-0.25)3×(-2)6.
13.已知ax=2,ay=3,求下列各式的值:
(1)a3x+2y; (2)a3x-2y;
(3)(2a2x)3-(3a3y)2.
答案
1.A 2.D 3.C 4.B 5.A 6.B 7.(1)a5 (2)-16x4y4 8.729 -36
9.-1.28×1017
10.5.314×10-20克 2.657×10-23×2000=5.314×10-20克.故答案为5.314×10-20克.
11.解:(1)(-a2)·(-a)3·(-a)4=a2+3+4=a9.
(2)2(x3)2·x2-3(x2)4+5x2·(-x)6=2x8-3x8+5x8=4x8.
(3)(a-b)2·(b-a)2n÷(a-b)2n-3=(a-b)2·(a-b)2n÷(a-b)2n-3=(a-b)2+2n-(2n-3)=(a-b)5.
12.解:(1)原式=×+1÷4=+=.
(2)原式=-82021×-2021×-+(-0.25)3×23×23
=-8×-2021×--(0.25×2×2)3
=1×--1
=-1.125.
13.解:(1)a3x+2y=a3x·a2y=(ax)3·(ay)2=23×32=72.
(2)a3x-2y=a3x÷a2y=(ax)3÷(ay)2=23÷32=.
(3)(2a2x)3-(3a3y)2=8a6x-9a6y=8(ax)6-9(ay)6=8×26-9×36=-6049.1.4
一、选择题
1.化简(-3x2)·2x3的结果是 ( )
A.-6x5 B.-3x5 C.2x5 D.6x5
2.计算(2m+3)(m-1)的结果是 ( )
A.2 B.2m2+m-3
C.2m2-m+3 D.
3.今天数学课上,老师讲了单项式乘多项式,放学回到家,小明拿出课堂笔记复习,发现一道题:-3xy()=-12xy2+6x2y+□,□的地方看不清,你认为□处应填写 ( )
A.3xy B.-3xy C.-1 D.1
4.已知xy2=-2,则-xy(x2y5-xy3-y)的值为 ( )
A.2 B.6 C.10 D.14
5.若(2x-3y)(-3x+2y)=-6x2+mxy+ny2,则m+n的值为 ( )
A.7 B.-7 C.6 D.-6
6.如图若用两种方法表示图中阴影部分的面积,则可以得到的代数恒等式是 ( )
A.(m+a)(m-b)=m2+(a-b)m-ab
B.(m-a)(m+b)=m2+(b-a)m-ab
C.(m-a)(m-b)=m2-(a-b)m+ab
D.(m-a)(m-b)=m2-(a+b)m+ab
二、填空题
7.计算:(1)-2a2(a-3ab)= ;
(2)(x2-x+1)(x+1)= .
8.一个直角三角形的两条直角边的长分别为2a+1和3a-1,则该三角形的面积S= .
9.若=0,则x(x-1)(x-2)(x-3)的值为 .
10.如图在某住房小区的建设中,为了提高业主的居住环境,小区准备在一个长为(4a+3b)m,宽为(2a+3b)m的长方形草坪上修建两条宽为b m的通道(通道均为长方形),修建后剩余草坪的面积是 m2.
三、解答题
11.计算:(1)(x+2)(x+1)-2x(x-1);
(2)(3x+1)(x+1)-(2x-1)(x-1).
12.已知多项式x-1与x2+ax-b的乘积中不含有x项和x2项,求常数a,b的值.
13.某公园中一块草坪的形状如中的阴影部分.
(1)用整式表示草坪的面积;
(2)若a=4,b=9,求草坪的面积.
答案
1.A 2.B 3.A 4.C 5.A 6.D
7.(1)-2a3+6a3b
(2)x3+1
8.3a2+a-
9.63 因为=0,所以x2=3x+7,所以原式=(x2-x)(x2-5x+6)=(2x+7)(-2x+13)=-4x2+12x+91=-4(3x+7)+12x+91=-12x-28+12x+91=63.
10.(8a2+12ab+4b2) 由题意可得修建后剩余草坪的面积为
(4a+3b-b)(2a+3b-b)
=(4a+2b)(2a+2b)
=8a2+8ab+4ab+4b2
=(8a2+12ab+4b2)m2.
故答案为(8a2+12ab+4b2).
11.解:(1)原式=x2+3x+2-2x2+2x=-x2+5x+2.
(2)原式=3x2+3x+x+1-(2x2-2x-x+1)
=3x2+3x+x+1-2x2+2x+x-1
=x2+7x.
12.解:(x-1)(x2+ax-b)=x3+ax2-bx-x2-ax+b=x3+(a-1)x2-(a+b)x+b.
因为乘积中不含有x项和x2项,
所以a-1=0,a+b=0,所以a=1,b=-1.
13.解:(1)草坪的面积为(1.5b+2.5b)(a+2a+2a+2a+a)-2.5b·2a·2=22ab(m2).
(2)当a=4,b=9时,22ab=22×4×9=792,即草坪的面积为792 m2.单项式与多项式的乘法
一、选择题
1.单项式与多项式相乘的依据是 ( )
A.加法结合律 B.乘法结合律
C.分配律 D.乘法交换律
2.计算2x(3x2+1),正确的结果是 ( )
A.5x3+2x B.6x3+1 C.6x3+2x D.6x2+2x
3.下列计算正确的是 ( )
A.(2xy2-3x2y)·2xy=4x2y2-6x3y
B.-x(2x+3x2-2)=-3x2-2x3-2x
C.·ab=an+2b-ab2
D.-2ab(ab-3ab2-1)=-2a2b2+6a2b3-2ab
4.有两个连续的奇数,若较小的奇数是n,则它们的积为 ( )
A.n2 B.n2+2n C.n2-2n D.n2-n
5.一个长方体的长、宽、高分别为3a-4,2a,a,则它的体积等于 ( )
A.3a3-4a2 B.a2 C.6a3-8a2 D.6a3-8a
6.已知单项式A,B满足3x(A-5x)=6x3y3+B,则A,B分别为 ( )
A.3xy2和15x2 B.2xy3和15x2
C.2x2y3和-15x2 D.2x3y3和-15x2
7.要使(-6x3)(x2+ax-3)的展开式中不含x4项,则a等于 ( )
A.1 B.0 C.-1 D.6
8.已知=0,则代数式x(x-4)+1的值为 ( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
二、填空题
9.计算:-3a2()= .
10.若一个直角三角形的两条直角边的长分别为4a2,8(a+b),则此直角三角形的面积是 .
11.小明外祖母家的住房装修三年后,地砖出现破损,破损部分的图形如.现有A,B,C三种地砖可供选择,则需要A砖 块,B砖 块,C砖 块.
三、解答题
12.计算:
(1)(x2-2x)·x2;
(2)-abab2-2ab+1;
(3)an+1-·a2b3.
13.计算:
(1)-2xy(x2-3y2)-4xy(2x2+y2);
(2)(-2x)32x3-x-1-(2x3+4x2)·x.
14.先化简,再求值:3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4),其中a=-2.
15.某同学在计算一个多项式乘-3x2时,因抄错运算符号,算成了加上-3x2,得到的结果是x2-4x+1,那么正确的计算结果是多少
16.(1)如图试用含a的代数式表示图形中阴影部分的面积;
(2)当a=2时,计算图中阴影部分的面积.
17.下面是小宝和小贝的一段对话:
小宝说:“我发现,对于代数式2x7x+-7x(2x+12)+7(11x+4),当x=2021和x=2022时,值居然是相等的.”
小贝说:“不可能,对于不同的x的值,应该有不同的结果.”
你认为谁说得对呢 说明你的理由.
有多张如图所示的长方形和正方形的卡片,甲是选取了2张不同的卡片拼成的一个图形,图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式a(a+b)=a2+ab成立.根据乙,利用面积的不同表示方法,写出一个代数恒等式: .
答案
1.C 2.C 3.C
4.B 两个连续奇数中较小的是n,则较大的是n+2,它们的积为n·(n+2)=n2+2n.
5.C 根据“长方体的体积=长×宽×高”列出算式,再根据单项式乘多项式的运算法则计算.由题意,知V长方体=(3a-4)·2a·a=6a3-8a2.故选C.
6.C 7.B 8.A 9.-3a4+6a3+9a2
10.16a3+16a2b 根据题意得S=×4a2·8(a+b)=16a3+16a2b.故答案为16a3+16a2b.
11.0 8 2
12. 根据单项式与多项式相乘的法则,先用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加计算即可.
解:(1)原式=x4-2x3.(2)原式=-a2b3+a2b2-ab.
(3)an+1-·a2b3=an+1·a2b3-·a2b3=an+3b3-a2b4.
13.解:(1)原式=-2x3y+6xy3-8x3y-4xy3=-10x3y+2xy3.
(2)原式=-8x32x3-x-1-(x3+2x2)·x=-16x6+4x4+8x3=-16x6+3x4+6x3.
14.解:3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)=6a3-12a2+9a-6a3-8a2=-20a2+9a.
当a=-2时,原式=-20×4-9×2=-98.
15. 用错误结果减去错加的单项式,得出原式,再乘-3x2得出正确结果.
解:这个多项式是(x2-4x+x2)=4x2-4x+1.
正确的计算结果是(4x2-4x+1)·(-3x2)=-12x4+12x3-3x2.
16.解:(1)阴影部分的面积为a(2a+3)+a(2a+3-a)=2a2+3a+a2+3a=3a2+6a.
(2)当a=2时,原式=3×22+6×2=24.
17. 将代数式化简,进而可得出结论.
解:小宝说得对.理由:原式=14x2+7x-14x2-84x+77x+28=28.
由于结果中不含字母x,所以当x=2021和x=2022时代数式的值相等,均等于28.
[素养提升]
(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2同底数幂的乘法
一、选择题
1.计算66×62的结果是 ( )
A.63 B.64 C.68 D.612
2.a16可以写成 ( )
A.a2·a8 B.a8+a8 C.a4·a8 D.a8·a8
3.下列各式中,计算正确的是 ( )
A.m2·m4=m6 B.m2·m4=m8 C.m2+m4=m6 D.m4·m4=2m8
4.下列各式中,计算结果为x7的是 ( )
A.(-x)2·(-x)5 B.(-x2)·x5 C.(-x3)·(-x4) D.(-x)·(-x)6
5.计算(a+1)(a+1)4的结果是 ( )
A.a5+1 B.(a+1)5 C.a4+1 D.(a+1)4
6.若x+2y-4=0,则22y×2x的值为 ( )
A.8 B.16 C.-16 D.-8
二、填空题
7.(1)计算:a2·a3= ;
(2)若a3·am=a9,则m= .
8.计算:(1)(-11)4×11= ;
(2)-24×23×25= .
9.已知2a=5,2b=3,则2a+b+3= .
三、解答题
10.计算下列各题,结果用幂的形式表示:
(1)104×107; (2)-25×25;
(3)-2×-3;
(4)(-0.1)2×(-0.1)3×(-0.1).
11.计算:
(1)an+1·an·a;
(2)(a+b)3m·(b+a)m+n;
(3)(m-n)5·(n-m)7.
12.计算:m3·(-m)-m2·m2.
13.已知4×2m×16=29,求m的值.
14.光在真空中的速度大约是3×105 km/s,太阳系外一颗恒星发出的光大约需要6年才能到达地球.若一年以3×107 s计算,求这颗恒星与地球的距离.
规定a*b=2a×2b.
(1)求2*3的值;
(2)若2*(x+1)=16,求x的值.
答案
1.C 2.D 3.A 4.C 5.B 6.B
7.(1)a5 (2)6 8.(1)115 (2)-212
9.120 2a+b+3=2a×2b×23=5×3×8=120.
10.解:(1)104×107=104+7=1011.
(2)-25×25=-25+5=-210.
(3)-2×-3=-2+3=-5=-5.
(4)(-0.1)2×(-0.1)3×(-0.1)=(-0.1)2+3+1=(-0.1)6=0.16.
11.解:(1)原式=an+1+n+1=a2n+2.
(2)原式=(a+b)3m+m+n=(a+b)4m+n.
(3)原式=(m-n)5·[-(m-n)]7=-(m-n)12.
12.解:原式=-m4-m4=-2m4.
13.解:因为4×2m×16=22×2m×24=22+m+4=29,
所以2+m+4=9,解得m=3.
14.解:3×105×3×107×6=(3×3×6)×(105×107)=54×1012=5.4×1013(km).
故这颗恒星与地球的距离大约是5.4×1013 km.
[素养提升]
解:(1)因为a*b=2a×2b,
所以2*3=22×23=25=32.
(2)因为2*(x+1)=16,
所以22×2x+1=24,
即22+x+1=24,
则2+x+1=4,
解得x=1.多项式除以单项式
一、选择题
1.计算(-4x3+2x)÷2x的结果正确的是( )
A.-2x2+1 B.2x2+1 C.-2x3+1 D.-8x4+2x
2.下列运算中,错误的是 ( )
A.(6a3+3a2)÷a=12a2+6a
B.(6a3-4a2+2a)÷2a=3a2-2a
C.(9a7-3a3)÷-a3=-27a4+9
D.a2+a÷-a
3.任意给定一个非零数,按如图所示的程序计算,最后输出的结果是 ( )
A.m B.m2 C.m+1 D.m-1
4.长方形的面积是3a2-3ab+6a,一边长为3a,则它的周长为 ( )
A.2a-b+2 B.8a-2b C.8a-2b+4 D.4a-b+2
二、填空题
5.计算:
(1)÷n2= ;
(2)(3x2y3-x2y2)÷(-xy)2= .
6.小亮与小明做游戏,两人各报一个整式,小明报的被除式是x3y-2xy2,若商必须是2xy,则小亮报的除式是 .
7.当a=8时,[(a+b)2-b(2a+b)-8a]÷2a= .
三、解答题
8.计算:3x2y-xy2+xy÷xy.
9.计算:[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷(-3x2y).
10.先化简,再求值:[(2a+b)(2a-b)-(2a-b)2-b(a-2b)]÷-a,其中a=,b=-.
11.小刚在做一个多项式除以单项式x的时候,不小心当成是乘x了,结果得到2x5y2-x4y3-3x3y4+4x2,请你求出正确的结果.
已知多项式2x3-4x2-1除以多项式A,得商式为2x,余式为x-1,求多项式A.
答案
1.A 2.B 3.C
4.C 长方形与已知边相邻的一边长为(3a2-3ab+6a)÷3a=a-b+2,所以长方形的周长=2(3a+a-b+2)=8a-2b+4.故选C.
5.(1)n-m+n3 (2)3y-1
6.x2-y (x3y-2xy2)÷2xy=x2-y.
故答案是x2-y.
7.0 [(a+b)2-b(2a+b)-8a]÷2a=(a2+2ab+b2-2a)÷2a=(a2-8a)÷2a=a-4.当a=8时,原式=×8-4=0.
8.解:原式=3x2y÷xy-xy2÷xy+xy÷xy=6x-2y+1.
9.解:原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2)÷(-3x2y)
=(2x3y2-2x2y)÷(-3x2y)
=-xy+.
10.解:原式=(4a2+4ab-b2-ab+2b2)÷-a=3ab÷-a=-12b.
当b=-时,原式=-12×-=8.
11.解:原多项式为(2x5y2-x4y3-3x3y4+4x2)÷x=6x4y2-3x3y3-9x2y4+12x.
所以正确的结果为(6x4y2-3x3y3-9x2y4+12x)÷x=18x3y2-9x2y3-27xy4+36.
[素养提升]
根据“除式=(被除式-余式)÷商”列式,再利用“多项式除以单项式,先把多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加”计算即可.
解:A=[(2x3-4x2-)]÷2x
=(2x3-4x2-x)÷2x
=x2-2x-.积的乘方
一、选择题
1.计算(x3y)2的结果是 ( )
A.x5y B.x6y2 C.x8y2 D.x9y2
2.下列各式计算正确的是 ( )
A.(-3x2)2=6x4 B.(-2ab)3=8a3b3
a3)2=-16a6 D.(-ab2c)3=-a3b6c
3.计算a·a5-(2a3)2的结果为 ( )
A.a6-2a5 B.-a6 C.a6-4a5 D.-3a6
二、填空题
4.计算:-m2n33= .
5.若am=2,(ab)m=6,则bm= .
6.一个正方体的棱长是1.5×102 cm,用a×10n cm3(1≤a<10,n为正整数)的形式表示这个正方体的体积是 cm3.
三、解答题
7.计算:
(1)(xy3)m; (2)-ab2c33;
(3)(2m2n2)2·3m3n5; (4)(-a3b)4+2(a6b2)2.
8.计算:(-3a3)2-2a2·a4.
9.计算:(1)(-15)3×3×-3;
(2)(-10)10×-11×(-2)3.
10.已知x+y=a,求(x+y)3·(2x+2y)3·(3x+3y)3的值.
11.已知x2m=2,求(2x3m)2-(3xm)2的值.
已知2n=a,5n=b,20n=c,试探究a,b,c之间有什么关系.
答案
1.B 2.C
3.D 原式=a6-4a6=-3a6.
故选D.
4.-m6n9
5.3 因为(ab)m=am·bm=6,am=2,所以bm=6÷2=3.
6.3.375×106 由题意,知V=(1.5×102)3=1.53×(102)3=3.375×106 (cm3).
7.解:(1)原式=xmy3m.
(2)原式=-a3b6c9.
(3)原式=4m4n4·3m3n5=12m4+3n4+5=12m7n9.
(4)原式=a12b4+2a12b4=3a12b4.
8.解:(-3a3)2-2a2·a4=9a6-2a6=7a6.
9.解:(1)原式=15××3=23=8.
(2)原式=(-10)10×-10×-×(-8)=(-10)×-10×-×(-8)=1×-×(-8)=.
10. 因为x+y=a,所以可把后面的式子整理成含(x+y)的式子,代入求值即可.
解:(x+y)3·(2x+2y)3·(3x+3y)3
=(x+y)3·[2(x+y)]3·[3(x+y)]3
=(x+y)3·8(x+y)3·27(x+y)3
=216(x+y)9.
因为x+y=a,所以原式=216a9.
11.解:(2x3m)2-(3xm)2=22·(x3m)2-32·(xm)2=4(x2m)3-9x2m.
当x2m=2时,原式=4×23-9×2=14.
[素养提升]
解:因为20n=(2×2×5)n=2n·2n·5n=a2b,
所以c=a2b.同底数幂的除法
一、选择题
1.计算(a3)2÷a2的结果是 ( )
A.a3 B.a4 C.a7 D.a8
2.下列计算正确的是 ( )
A.a6÷a3=a2 B.(-a)4÷(-a)2=-a2
C.a6-a3=a3 D.a2n÷an=an
3.若a=-0.32,,c=--2,d=-0,则 ( )
A.aC.a4.下列各式中一定正确的是 ( )
A.(2x-3)0=1 B.π0=0 C.(a2-1)0=1 D.(m2+1)0=1
5.在等式am+n÷A=am-2中,A应是 ( )
A.am+n+2 B.an-2 C.am+n+3 D.an+2
二、填空题
6.计算:(1)(-x)5÷(-x)3= ;
(2)= ;
(3)(y2)3÷y8= ;
(4)(x+y)2m+1÷(x+y)m-1= .
7.(1)若32x-1=1,则x= ;
(2)若3x=,则x= .
8.已知xa=4,xb=3,则xa-2b= .
三、解答题
9.计算下列各题:
(1)-5÷-3;
(2)a-8÷a-5;
(3)(-2x)5÷(2x)3;
(4)(ab)2÷(ab)n+2.
10.计算:(x-2y)3·(x-2y)5÷[(2y-x)2]3.
11.计算:-0÷--3+27×3-6.
12.已知x-2y+1=0,求2x÷4y的值.
阅读材料:
(1)1的任何次幂都为1;
(2)-1的奇数次幂为-1;
(3)-1的偶数次幂为1;
(4)任何不等于零的数的零次幂均为1.
请问当x为何值时,代数式(2x+3)x+2022的值为1
答案
1.B
2.D 由am÷an=am-n可知,选项A,B均不正确,而C项a6-a3不能再进行化简.故选D.
3.B 4.D 5.D
6.(1)x2 (2)9 (3) (4)(x+y)m+2
7.(1) (2)-3
8.
9.解:(1)-5÷-3=-5-3=-2=.
(2)a-8÷a-5=a)=a-3=.
(3)(-2x)5÷(2x)3=-(2x)5÷(2x)3=-(2x)5-3=-(2x)2=-4x2.
(4)(ab)2÷(ab)n+2=(ab=(ab)-n=.
10.解:(x-2y)3·(x-2y)5÷[(2y-x)2]3
=(x-2y)3·(x-2y)5÷[(x-2y)2]3
=(x-2y)8÷(x-2y)6
=(x-2y)2.
11.解:原式=-3+3-3=-+=0.
12.解:因为x-2y+1=0,所以x-2y=-1,
所以2x÷4y=2x÷22y=2x-2y=2-1=.
[素养提升]
解:分以下3种情况:
①当2x+3=1,即x=-1时,
此时x+2022=2021,
则(2x+3)x+2022=12021=1,
所以x=-1;
②当2x+3=-1,即x=-2时,
此时x+2022=2020,
则(2x+3)x+2022=(-1)2020=1,
所以x=-2;
③当x+2022=0,即x=-2022时,
此时2x+3=-4041,
则(2x+3)x+2022=(-4041)0=1,
所以x=-2022.
综上所述,当x=-1或x=-2或x=-2022时,代数式(2x+3)x+2022的值为1.平方差公式的应用
一、选择题
1.将202×198变形正确的是 ( )
A.2002-4 B.2022-4
C.2002+2×200+4 D.2002-2×200+4
2.计算5a(2-5a)-(5a+1)(-5a+1)的结果是 ( )
A.1-10a+50a2 B.1-10a C.10a-50a2-1 D.10a-1
3.如果用平方差公式计算(x-y+5)(x+y+5),则可将原式变形为 ( )
A.[(x-y)+5][(x+y)+5] B.[(x-y)+5][]
C.[(x+5)-y][(x+5)+y] D.[x-(y+5)][x+(y+5)]
4.三个连续偶数,若中间一个偶数为n,则这三个连续偶数之积为 ( )
A.4n3-n B.n3-4n C.8n2-8n D.8n3-2n
5.如图利用图①和图②中的阴影部分面积相等,写出一个正确的等式为 ( )
A.(a+2)(a-2)=a2-4 B.(a+2)(a-2)=a2-2
C.(a+2)(a+2)=a2+4 D.(a-2)(a-2)=a2-4
6.已知x2-y2=4,那么(x-y)2(x+y)2的结果是 ( )
A.4 B.8 C.16 D.32
二、填空题
7.填空:( ) (5a+1)=1-25a2.
8.计算:4x2(x-2y)(x+2y)+(4xy)2= .
9.若一个三角形的一条边长为(2a+4)cm,这条边上的高为(2a-4)cm,则这个三角形的面积为
cm2.
10.若a+2b=-3,a2-4b2=24,则a-2b+1= .
11.观察下列各式:1×3=22-1,3×5=42-1,5×7=62-1,…,请你把发现的规律用含n(n为正整数)的等式表示出来: .
12.已知(3a+3b+1)(3a+3b-1)=80,则a+b= .
三、解答题
13.利用平方差公式进行计算:
(1)1002×998; (2)-99.7×100.3.
14.计算:(1)3(a-2b);
(2)(a-2b)(2a-b)-(2a-b)(b+2a).
15.解方程:(2x+1)(2x-1)+3(x+2)(x-2)=(7x+1)(x-1).
16.已知2a2+3a-6=0,求代数式3a(2a+1)-(2a+1)(2a-1)的值.
17.小丽、小玉和小米同时计算(x+a)(x+b),下面是三人的一段对话:
小丽:我的答案中常数项是-9;
小玉:我的答案中没有一次项;
小米:你们说得都对,我还知道a>b.
请你根据他们的对话确定a,b的值.
18.计算:1-1-1-×…×1-.
(新定义型题)若一个正整数能表示为两个正整数的平方差,则称这个正整数为“智慧数”.如:3=22-12,7=42-32,8=32-12,因此3,7,8都是“智慧数”.
(1)18 “智慧数”,2023 “智慧数”;(填“是”或“不是”)
(2)除1外的所有正奇数一定是“智慧数”吗 说明理由.
答案
1.A 2.D 3.C
4.B 由于连续偶数相差2,所以当中间一个偶数为n时,前后两个偶数分别为n-2,n+2,所以这三个连续偶数之积为(n-2)·n·(n+2)=(n-2)·(n+2)·n=(n2-4)·n=n3-4n.
5.A
6.C
先逆用积的乘方法则,再将x2-y2=4整体代入.(x-y)2(x+y)2=[(x-y)(x+y)]2=(x2-y2)2=42=16.
7.1-5a 逆用平方差公式.
8.4x4
9.(2a2-8) 这个三角形的面积为×(2a+4)(2a-4)=×(4a2-16)=(2a2-8)cm2.
10.-7 因为a+2b=-3,a2-4b2=(a+2b)(a-2b)=24,所以a-2b=-8,则原式=-8+1=-7.
11.(2n-1)(2n+1)=(2n)2-1
12.±3 因为(3a+3b+1)(3a+3b-1)=80,所以(3a+3b)2-1=80,所以(3a+3b)2=81,所以3a+3b=±9,所以a+b=±3.
13.解:(1)原式=(1000+2)×(1000-2)=10002-4=999996.
(2)原式=-(100-0.3)×(100+0.3)=-1002+0.32=-9999.91.
14.解:(1)3(a-2b)=(a-2b)·3=(a-2b)(a+2b)=a2-4b2.
(2)(a-2b)(2a-b)-(2a-b)(b+2a)=2ab+2b2-[(2a)2-b2]=2a2-5ab+2b2-(4a2-b2)=2a2-5ab+2b2-4a2+b2=-2a2-5ab+3b2.
15.解:原方程变形为(2x)2-1+3(x2-4)=7,
4x2-1+3x2-12=7,6x=12,x=2.
16.解:原式=6a2+3a-4a2+1=2a2+3a+1.
因为2a2+3a-6=0,所以2a2+3a=6,
所以原式=6+1=7.
17. 本题可由小丽的说法得出ab的值,由小玉的说法知道a,b互为相反数,再由小米的说法即可确定a,b的值.
解:由题意可知(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab=x2-9,则a+b=0,ab=-9.因为a>b,所以a=3,b=-3.
18.解:1-1-1-×…×1-
=1-1+1-1+1-×1+×…×1-1+
=××××××…××
=×
=.
[素养提升]
(1)根据“智慧数”的定义判断即可.
(2)除1外的所有正奇数一定是“智慧数”,设出这个奇数,利用平方差公式验证即可.
解:(1)不是 是
(2)除1外的所有正奇数一定是“智慧数”.
理由:设这个正奇数为2n+1(n为正整数),
可得2n+1=(n+1)2-n2,
因此,除1外的所有正奇数一定是“智慧数”.幂的乘方
一、选择题
1.计算(102)4的结果是 ( )
A.106 B.108 C.109 D.105
2.下列运算正确的是 ( )
A.a2·a3=a6 B.(a2)4=a8 C.a2+a3=a5 D.(a2)3=a5
3.计算a3·(a3)2的结果是 ( )
A.a8 B.a9 C.a11 D.a18
4.计算2(a2)6+(a3)4的结果是 ( )
A.3a12 B.2a12 C.2a8 D.以上都不对
5.如果正方体的棱长为(1-2b)3,那么这个正方体的表面积为 ( )
A.(1-2b)6 B.6(1-2b)6 C.(1-2b)9 D.6(1-2b)9
二、填空题
6.计算:(am)3= .
7.若x2n=4,则x8n= .
三、解答题
8.计算:
(1)-(x4)5; (2)[(-x)7]6;
(3)-(x2n)3.
9.计算:(1)(a2n-2)2·(an+1)3;
(2)a3·a4·a+(a2)4+2(a4)2;
(3)[(x+y)3]6+[(x+y)9]2;
(4)[(b-3a)2]n+1·[(3a-b)2n+1]3.
10.已知2x+3y-2=0,求9x×27y的值.
11.若2×8n×16n=215,求n的值.
(阅读材料题)阅读下列材料,解决问题:
比较322和411的大小.
解:因为411=(22)11=222,而322>222,
所以322>411.
【运用】比较344,433,522的大小.
答案
1.B 2.B
3.B a3·(a3)2=a3·a6=a9.
故选B.
4.A 5.B 6.a3m
7.256 x8n=(x2n)4=44=256.
8.解:(1)原式=-x20.
(2)原式=(-x)42.
(3)原式=-x6n.
9.解:(1)(a2n-2)2·(an+1)3=a2(2n-2)·a3(n+1)=a4n-4+3n+3=a7n-1.
(2)原式=a8+a8+2a8=4a8.
(3)[(x+y)3]6+[(x+y)9]2=(x+y)3×6+(x+y)9×2=(x+y)18+(x+y)18=2(x+y)18.
(4)[(b-3a)2]n+1·[(3a-b)2n+1]3=(b-3a)2(n+1)·(3a-b)3(2n+1)=(3a-b)2n+2·(3a-b)6n+3=(3a-b)8n+5.
10.解:因为2x+3y-2=0,所以2x+3y=2,
所以9x×27y=(32)x×(33)y=32x×33y=32x+3y=32=9.
11.解:因为2×8n×16n=215,
所以21×23n×24n=21+3n+4n=215,
则1+3n+4n=15,解得n=2.
[素养提升]
解:344=(34)11=8111,
433=(43)11=6411,
522=(52)11=2511.
因为81>64>25,所以8111>6411>2511,
即344>433>522.完全平方公式的认识
一、选择题
1.计算(a-3)2的结果是 ( )
A.a2+9 B.a2+6a+9
C.a2-6a+9 D.a2-9
2.下列各式能用完全平方公式计算的是 ( )
A.(2a+b)(a-2b) B.(a+2b)(2b-a)
C.(2a+b)(-2a-b) D.(b-2a)(-2a-b)
3.下列各式中与2nm-m2-n2相等的是 ( )
A.(m-n)2 B.-(m-n)2 C.-(m+n)2 D.(m+n)2
4.若(x+a)2=x2-8x+b,则a,b的值分别为( )
A.4,16 C.4,-16 D.-4,16
5.如图将完全相同的四个长方形纸片拼成一个大的正方形,根据图形用两种不同的方法表示这个大正方形的面积,则可以得出一个等式为 ( )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2
B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.a2-b2=(a+b)(a-b)
D.(a+b)2=(a-b)2+4ab
二、填空题
6.计算:(ab-1)(-ab+1)= .
7.若代数式x2+kx+25可以写成一个多项式的平方,则k= .
8.若a-b=7,ab=12,则a2-3ab+b2= .
三、解答题
9.计算:
(1)(2x+5y)2; (2);
(3)(-4x+3y)2; (4)-6mn-2.
10.计算:
(1)(2x+yx)2;
(2)(-2x+3y)y)2.
11.某正方形的边长为a cm(a>3),若把这个正方形的边长减少3 cm,则面积减少了多少
12.先化简,再求值:(x+2)2+x(2-x),其中x=.
(分类讨论)将多项式4x2+1加上一个单项式后,使它能成为一个整式的平方,则添加单项式的方法共有多少种 请写出所有的式子及演示过程.
答案
1.C
2.C
3.B
4.D 因为(x+a)2=x2+2ax+a2,所以x2+2ax+a2=x2-8x+b,所以2a=-8,a2=b,所以a=-4,b=16.
5.D 由图形可得大正方形的边长为a+b,则其面积为(a+b)2,小正方形的边长为(a-b),则其面积为(a-b)2,小长方形的面积为ab,故(a+b)2=(a-b)2+4ab.故选D.
6.-a2b2+2ab-1
7.±10 因为代数式x2+kx+25是一个完全平方式,所以k=±10.
8.37 a2-3ab+b2=a2-2ab+b2-ab=(a-b)2-ab.因为a-b=7,ab=12,所以原式=72-12=37.故答案为37.
9.解:(1)(2x+5y)2=(2x)2+2·2x·5y+(5y)2=4x2+20xy+25y2.
(2)=-2·m·n+=m2-mn+n2.
(3)(-4x+3y)2=(-4x)2+2·(-4x)·3y+(3y)2=16x2-24xy+9y2.
(4)-6mn-2=(-6mn)2+2·(-6mn)·-+-2=36m2n2+6mn+.
10.解:(1)原式=(4x2+4xy+y2)-(y2-4xy+4x2)=8xy.
(2)原式=(2x-3y)2(2x+3y)2
=[(2x-3y)(2x+3y)]2
=(4x2-9y2)2
=16x4-72x2y2+81y4.
11. 先分别表示出原、现正方形的边长,再根据“正方形面积=边长×边长”表示出两个正方形的面积,用“原正方形的面积-现正方形的面积”即可得出所求.计算的关键在于完全平方式的展开.
解:原正方形的面积为a2 cm2,
现正方形的面积为(a-3)2cm2,
面积减少了)2=a2-(a2-6a+9)=
a2-a2+6a-9=(6a-9)cm2.
故面积减少了(6a-9)cm2.
12.解:原式=x2+4x+4+2x-x2=6x+4.
当x=时,原式=6×+4=6.
[素养提升]
解:添加单项式的方法共有5种,如下:
(1)添加4x,得4x2+1+4x=(2x+1)2;
(2)添加-4x,得4x2+1-4x=(2x-1)2;
(3)添加4x4,得4x2+1+4x4=(2x2+1)2;
(4)添加-4x2,得4x2+1-4x2=12;
(5)添加-1,得4x2+1-1=(2x)2.单项式除以单项式
一、选择题
1.(-6a6)÷-a2的运算结果是 ( )
A.2a3 B.2a4 C.18a3 D.18a4
2.若 ·3xy=3x2y,则 内应填的单项式是 ( )
A.xy B.3xy C.x D.3x
3.计算6m6÷(-2m2)3的结果为 ( )
A.-m B.-1 C. D.-
4.计算(2xy2)4·(-6x2y)÷(-12x3y2)的结果为 ( )
A.16x3y7 B.4x3y7 C.8x3y7 D.8x2y7
5.地球的体积约为1012 km3,太阳的体积约为1.4×1018 km3,地球的体积与太阳的体积的比值约是 ( )
A.7.1×10-6 B.7.1×10-7 C.1.4×106 D.1.4×107
6.已知28a3bm÷28anb2=b2,那么m,n的值分别为( )
A.4,3 B.4,1 C.1,3 D.2,3
二、填空题
7.计算:-ab23÷(-0.5a2b)= .
8.计算:-6xn+3ynz2÷(-3xn+1ynz)= .
9.8a6b4c÷ =4a2b2.
10.已知长方体的体积为3a3b5 cm3,它的长为ab cm,宽为ab2 cm,则这个长方体的高为
cm.
三、解答题
11.计算:(1)a2x3÷ax;
(2)-5(x2y3z3)2÷(-xy2z)2.
12.计算:(1)12x5y6z4÷(-3x2y2z)÷2x3y3z2;
(2)(-3x2y)2·6xy3÷9x3y4.
13.如①的瓶子中盛满了水,如果将这个瓶子中的水全部倒入图②的杯子中,那么一共需要多少个这样的杯子 (单位:cm)
(规律探究)观察下列单项式:x,-2x2,4x3,-8x4,16x5,….
(1)计算上面任意一个单项式(x除外)与前面相邻的单项式的商是多少,据此规律请你写出第n(n为正整数)个单项式;
(2)根据你发现的规律写出第10个单项式.
答案
1.D 2.C
3.D 原式=6m6÷(-8m6)=-.
4.C 原式=16x4y8·(-6x2y)÷(-12x3y2)=-96x6y9÷(-12x3y2)=8x3y7.故选C.
5.B 1012÷(1.4×1018)≈7.1×10-7.
6.A 28a3bm÷28anb2=a3-nbm-2,所以3-n=0,m-2=2,解得m=4,n=3.
7.ab5
8.2x2z
9.2a4b2c 根据分析,所求可转化为8a6b4c÷4a2b2=2a4b2c.
10.2ab2 根据题意得这个长方体的高为3a3b5÷ab·ab2=2ab2(cm).
故答案为2ab2.
11.解:(1)a2x3÷ax=1÷·a2-1x3-1=ax2.
(2)-5(x2y3z3)2÷(-xy2z)2=-5x4y6z6÷x2y4z2=-5x2y2z4.
12.解:(1)12x5y6z4÷(-3x2y2z)÷2x3y3z2=z3÷2x3y3z2=-2yz.
(2)(-3x2y)2·6xy3÷9x3y4
=9x4y2·6xy3÷9x3y4
=54x5y5÷9x3y4
=6x2y.
13.解:瓶子的容积为π(2a)2·2b=8πa2b(cm3),杯子的容积为π·52·b=πb(cm3).
8πa2b÷πb=a2.
因此,一共需要a2个这样的杯子.
[素养提升]
解: (1)任意一个单项式(x除外)与前面相邻的单项式的商是-2x.第n个单项式为(-2)n-1·xn.
(2)第10个单项式为-512x10.平方差公式的认识
一、选择题
1.计算(1+2c)(1-2c)的结果是 ( )
A.4c2-1 B.1-4c2
C.4c2-4c+1 D.1+4c+4c2
2.下列各式中不能用平方差公式计算的是( )
A.(x-y)(-x+y) B.(-x+y)(-x-y)
C.(-x-y)(x-y) D.(x+y)(-x+y)
3.计)(4a-1)的结果为 ( )
A.16a2-1 B.-8a2-1 C.-4a2+1 D.-16a2+1
4.若(2-x)(2+x)(4+x2)=16-xn,则n的值等于 ( )
A.6 B.4 C.3 D.2
5.对于任意的整数n,能整除(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的整数是 ( )
A.4 B.3 C.5 D.2
二、填空题
6.计算:(1)(2x+3)(3-2x)= ;
(2)y-x-y-x= .
7.若a2-b2=,a-b=,则a+b= .
8.若(x-ay)(x+ay)=x2-16y2,则a= .
9.一个长方体的池塘长为(4a2+9b2)m,宽为(2a+3b)m,高为(2a-3b)m,则这个池塘的容积是
m3.
三、解答题
10.计算:
(1);
(2)(-4x2-3y3)(4x2-3y3).
11.计算:
(1)a(1-2a)+2(a+1)(a-1);
(2)(2x-3y)(3y+2x)-(4y-3x)(3x+4y);
(3)(-am+bn)(am+bn).
12.先化简,再求值:(3-x)(3+x)+(x+1)2,其中x=2.
若a+b=1,求a2-b2+2b的值.
答案
1.B 2.A
3.D 根据平方差公式的结构特征,结果是相乘的两个二项式中“相同项的平方减去互为相反数的项的平方”.故选D.
4.B
5.C (n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)=(n2-9)-(n2-4)=n2-9-n2+4=-5.故选C.
6.(1)9-4x2
(2)x2-y2
7.
8.±4
9.(16a4-81b4)
10.解:(1)
=
=-
=b2-a2.
(2)(-4x2-3y3)(4x2-3y3)=(-3y3)2-(4x2)2=9y6-16x4.
11.解:(1)原式=a-2a2+2(a2-1)=a-2a2+2a2-2=a-2.
(2)原式=4x2-9y2-16y2+9x2=13x2-25y2.
(3)(-am+bn)(am+bn)=(bn)2-(am)2=b2n-a2m.
12.解:原式=9-x2+x2+2x+1=2x+10.
当x=2时,原式=2×2+10=14.
[素养提升]
解:因为(a+b)(a-b)=a2-b2,
所以a2-b2+2b=(a+b)(a-b)+2b.
因为a+b=1,
所以a2-b2+2b=(a+b)(a-b)+2b=a-b+2b=a+b=1.完全平方公式的应用
一、选择题
1.将9.52变形,正确的是 ( )
A.9.52=92+0.52
B.9.52=(10+0.5)(10-0.5)
C.9.52=102-2×10×0.5+0.52
D.9.52=92+9×0.5+0.52
2.下列计算正确的是 ( )
A.(b-4c)2=b2-16c2
B.(a-2bc)2=a2+4abc+4b2c2
C.(x+y)2=x2+xy+y2
D.(4m-n)2=16m2-8mn+n2
3.下列各式中,能用完全平方公式计算的有( )
①x2-x+;②m2-mn+n2;③x2+x+9;④x2+xy+y2;⑤x2+4y2+4xy;⑥x2y2-xy+1.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
4.若(a+b)2=(a-b)2+A,则A为 ( )
A.2ab B.-2ab C.4ab D.-4ab
5.一个长方形的长、宽分别为a,b,周长为14,面积为10,则a2+b2等于 ( )
A.27 B.29 C.31 D.32
6.如①,把一个长为2m,宽为2n(nA.2m B.(m+n)2 C.(m-n)2 D.m2-n2
二、填空题
7.化简:(x+2)2+4(1-x)= .
8.一个正方形的边长增加3 cm,它的面积就增加45 cm2,则这个正方形的边长是 .
9.若a+b+c=4,ab+bc+ca=4,则a2+b2+c2的值为 .
三、解答题
10.借助乘法公式计算:
(1)79.82; (2)1992-201×199.
11.计算:
(1)(x+1)2-(x+2)(x-2);
(2)(a+2b)(a-2b)+(a+2b)2-4ab.
12.计算:
(1)(x+2y-3)(x+2y+3);
(2)(2a-b+c)(2a+b-c).
13.计算:(2a-b-c)2.
14.先化简:(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)+(x+1)(x-2),再选取你所喜欢的x的值代入求值.
15.已知(a+b)2=7,(a-b)2=4,求a2+b2,ab的值.
16. 胜利公园有一块正方形草坪,需要修整成一块长方形草坪,在修整时一边加长了4 m,与其相邻的一边减少了4 m,这时得到的长方形草坪的面积与原来正方形草坪的边长减少了2 m后的面积相等,求原正方形草坪的面积是多少.
17.动手操作:
①是一个长为2a,宽为2b的长方形,沿图中的虚线剪开,把它分成四个完全相同的小长方形,然后按照图②所示拼成一个大正方形.
提出问题:
(1)观察图②,请用两种不同的方法表示阴影部分的面积;
(2)请写出(a+b)2,(a-b)2,ab三个代数式之间的一个等量关系.
问题解决:
根据上述(2)中得到的等量关系,解决下列问题:
已知x+y=6,xy=3,求(x-y)2的值.
已知a-=2,求下列各式的值:
(1)a2+; (2)a4+.
答案
1.C 2.D 3.B 4.C
5.B 因为长方形的周长为14,面积为10,所以2(a+b)=14,ab=10,所以a+b=7,ab=10,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=72-2×10=49-20=29.故选B.
6.C 由题意,可得大正方形的边长为(m+n),故大正方形的面积为(m+n)2.又因为原长方形的面积为4mn,所以中间空白部分的面积为(m+n)2-4mn=(m-n)2.故选C.
7.x2+8
8.6 cm 设这个正方形的边长是x cm.根据题意,得(x+3)2=x2+45,整理,得x2+6x+9=x2+45,即6x=36,解得x=6,则这个正方形的边长为6 cm.
9.8 因为a+b+c=4,ab+bc+ca=4,所以(a+b+c)2=42=16,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=16.因为ab+bc+ca=4,所以a2+b2+c2=8.
10.解:(1)79.82=(80-0.2)2=802-2×80×0.2+0.22=6400-32+0.04=6368.04.
(2)1992-201×199
=(200-1)2-(200+1)(200-1)
=2002-2×200+1-(2002-1)
=2002-400+1-2002+1
=-400+2
=-398.
11.解:(1)原式=x2+2x+1-x2+4=2x+5.
(2)原式=a2-4b2+a2+4ab+4b2-4ab=2a2.
12.解:(1)原式=[(x+2y)-3][(x+2y)+3]=(x+2y)2-32=x2+4xy+4y2-9.
(2)原式=[2a-(b-c)][2a+(b-c)]=(2a)2-(b-c)2=4a2-b2+2bc-c2.
13.解:(2a-b-c)2=(2a-b)2-2(2a-b)c+c2=4a2-4ab+b2-4ac+2bc+c2.
14. 本题应对整式进行多项式的乘法运算,再合并同类项,将整式化为最简形式,再将所喜欢的x的值代入即可.
解:原式=4x2+4x+1-4x2+1+=x2+3x.
代入求值不唯一,如将x=1代入,
得原式=x2+3x=1+3=4.
[点析] 本题主要考查了整式的化简求值.注意平方差公式与完全平方公式的应用,注意括号前是负号,去括号时,括号里各项都要变号.
15.解:由(a+b)2=7,得a2+2ab+b2=7.①由(a-b)2=4,得a2-2ab+b2=4.②由①+②,得2(a2+b2)=11,所以a2+b2=.由①-②,得4ab=3,所以ab=.
[点析] 在两个数的和、差、积、平方和四个量中,已知两个,必能求出另外两个.
16. 可以列方程来解,等量关系为(原正方形的边长+4)×(原正方形的边长-4)=(原正方形的边长-2)2.
解:设原正方形草坪的边长为x m.
根据题意,得(x+4)(x-4)=(x-2)2,x2-16=x2-4x+4,4x=20,x=5.
所以原正方形草坪的面积为52=25(m2).
17.解:提出问题:
(1)方法1:(a+b)2-4ab;方法2:(a-b)2.
(2)(a+b)2-4ab=(a-b)2.问题解决:由(2)得(x-y)2=(x+y)2-4xy.
因为x+y=6,xy=3,所以(x-y)2=62-4×3=36-12=24.
[点析] 本题考查了完全平方公式的几何背景.解决问题的关键是读懂题意,找到关于所求的量的等量关系.
[素养提升]
解:(1)因为a-=2,所以a-2=4,
所以a2-2+=4,所以a2+=6.
(2)由(1)得a2+=6,
所以a2+2=36,
所以a4+2+=36,
所以a4+=34.