7.4 事件的独立性同步练习-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册（Word含答案）

《第四节　事件的独立性》同步练习
一、基础巩固
知识点1　事件的独立性的判断
1.一袋中装有100个球,其中有20个白球,在有放回地摸球中,用A1表示第一次摸得白球,A2表示第二次摸得白球,则事件A1与是(　　)
A.相互独立事件 B.对立事件
C.互斥事件 D.无法判断
2.[2022山西高一下期末考试]若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是(　　)
A.互斥 B.相互独立
C.对立 D.无法判断
知识点2　相互独立事件概率的求解
3.[2022河南开封高二联考]某工厂有A,B两条生产线,需要维护的概率分别为0.2,0.25,且A,B两条生产线是否需要进行维护是相互独立的,则至多有一条生产线需要维护的概率为(　　)
A.0.95 B.0.45 C.0.55 D.0.05
4. 中秋节放假,甲、乙、丙回老家过节的概率分别为,,.假定3人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为(　　)
A. B. C. D.
5.某零件的加工共需四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别为2%,3%,5%,3%,假设各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率约为(　　)
A.22.5% B.15.5%
C.15.3% D.12.4%
6.[2022上海延安中学高二上期末考试]甲、乙两人比赛,每局甲获胜的概率为,各局的胜负之间是独立的.某天两人要进行一场三局两胜的比赛,先赢得两局者为胜,无平局.若第一局比赛甲获胜,则甲获得最终胜利的概率为(　　)
A. B. C. D.
7.(多选)[2022广东广州高一下期末考试]袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球,3个黄球,从中不放回地依次随机摸出2个球,下列结论正确的是(　　)
A.第一次摸到红球的概率为
B.第二次摸到红球的概率为
C.两次都摸到红球的概率为
D.两次都摸到黄球的概率为
8.某自助银行有A,B,C,D四台ATM,在任一时刻这四台ATM被占用的概率分别为,,,.
(1)若某客户只能使用四台ATM中的A或B,则该客户需要等待的概率为　　　　　;
(2)若某客户使用ATM取款时,恰好有两台ATM被占用的概率为　　　　　.
9.已知某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出2个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答4个问题就晋级下一轮的概率为　　　　.
10.[2022辽宁重点高中协作体高一上期末考试]投壶是中国古代宴饮时的一种投掷游戏.假设甲、乙两人进行投壶,每人各投壶两次,规定投中次数多者获胜,投中次数相同则为平局.已知甲、乙每次投中的概率分别为,,每人每次投壶相互独立.
(1)求甲投中两次获胜的概率;
(2)求结果不是平局的概率.
11.[2022湖南长沙一中高一月考]常言道:“三个臭皮匠,赛过诸葛亮.”假设诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠A,B,C独立解出问题的概率分别为P(A)=0.5,P(B)=0.48,P(C)=0.45,且每个臭皮匠解出问题是相互独立的,试用两种计算概率的方法来加以论证.
二、能力提升
1.[2022广东江门高一下期末考试]高一年级某同学为了丰富自己的课外活动,参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔,该同学能否成功进入这三个社团相互独立.假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为a,b,,该同学可以进入两个社团的概率为,三个社团都进不了的概率为,则ab=(　　)
A. B. C. D.
2.荷花池中,有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一叶跳到另一叶),而且沿逆时针方向跳的概率是沿顺时针方向跳的概率的2倍,如图所示.假设现在青蛙在A叶上,则跳三次之后停在A叶上的概率是(　　)
A. B. C. D.
3.(多选)某工厂制造一种零件,甲机床的正品率是0.9,乙机床的正品率为0.8,分别从它们制造的产品中任意抽取一件,则(　　)
A.两件都是次品的概率为0.28
B.至多有一件正品的概率为0.72
C.恰有一件正品的概率为0.26
D.至少有一件正品的概率为0.98
4.(多选)[2022广东佛山高二上期末考试]对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A,B,C,其中样本点数n(Ω)=24,n(A)=12,
n(B)=4,n(C)=8,n(A∪B)=n(A∪C)=16,则(　　)
A.事件A与B互斥
B.事件A与B相互独立
C.事件A与C互斥
D.事件A与C相互独立
5.[2022陕西榆林市第十中学高三月考改编]产品质量检验按过程划分,主要包括进货检验(IQC),生产过程检验(IPQC),出货检验(OQC).已知某产品IQC单独通过率为,IPQC单独通过率为p(06.[2022陕西西安唐南中学高二期中考试]三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为,,,将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路.
(1)在如图所示的一段电路中,该电路是通路的概率是多少
(2)三个元件按要求连成怎样的一段电路时,才能使电路是通路的概率最大 请画出此时的电路图,并说明理由.
7. 某校举行了一次航天知识竞赛,经过初赛,最终甲、乙两人进入决赛,争夺冠、亚军,决赛规则如下:①比赛共设有五道题;②双方轮流答题,每次回答一道,两人答题的先后顺序通过抽签决定;③若答对,自己得1分,若答错,则对方得1分;④先得3分者获胜.
已知甲、乙各参加了三场初赛,答题情况统计如下表:
第一场 第二场 第三场
甲 8对2错 7对3错 9对1错
乙 7对3错 10对0错 8对2错
以甲、乙初赛三场答题的平均正确率作为他们决赛答题正确的概率,且他们每次答题的结果相互独立.
(1)若甲先答题,求甲以3∶0获得冠军的概率;
(2)若甲先答题,求甲获得冠军的概率;
(3)甲获得冠军是否与谁先答题有关
参考答案
一、基础巩固
1.A 2.B 3.A 4.B 5.D 6.B 7.ABC
8.(1);(2)
9.0.128
10.(1)设“甲投中两次获胜”为事件A,则P(A)=()2×[1-()2]=.
(2)设“结果是平局”为事件B,则
P(B)=()2×()2+2××2×()2+()2×()2=,
所以P()=1-P(B)=,即结果不是平局的概率为.
11.方法一(间接法)　由题意知三个臭皮匠不能解出问题的概率P1=P( )=(1-0.5)(1-0.48)(1-0.45)=0.143,
所以三个臭皮匠解出问题的概率P=1-P1=1-0.143=0.857.
因为0.857>0.8,所以“三个臭皮匠,赛过诸葛亮”.
方法二(直接法)　由题意知三个臭皮匠解出问题的概率P=P(ABC)+P(A )+P( C)+P(B )+P(A B )+P(A C)+P( B C)=0.5×0.48×0.45+0.5×(1-0.48)×(1-0.45)+(1-0.5)×(1-0.48)×0.45
+(1-0.5)×0.48×(1-0.45)+0.5×0.48×(1-0.45)+0.5×(1-0.48)×0.45+(1-0.5)×0.48×0.45=0.108+0.143
+0.117+0.132+0.132+0.117+0.108=0.857.
因为0.857>0.8,所以“三个臭皮匠,赛过诸葛亮”.
二、能力提升
1.B 2.A 3.CD 4.AD
5.
6. (1)记“三个元件T1,T2,T3正常工作”分别为事件A1,A2,A3,则电路是通路的事件为(A2∪A3)∩A1,
所以电路是通路的概率为P1=P[(A2∪A3)∩A1]=P(A2∪A3)P(A1)=[1-P()P()]P(A1)=(1-)×.
(2)当T1和T2并联后再和T3串联或T1和T3并联后再和T2串联接入电路时,电路是通路的概率最大,分别画出此时的电路图,如图1和图2.
理由如下:
图1中电路是通路的事件为(A1∪A2)∩A3,
此时电路是通路的概率为P2=P[(A1∪A2)∩A3]=P(A1∪A2)P(A3)=[1-P()P()]P(A3)=(1-)×,所以P2>P1.
图2中电路是通路的事件为(A1∪A3)∩A2,此时电路是通路的概率为
P3=P[(A1∪A3)∩A2]=P(A1∪A3)P(A2)=[1-P()P()]P(A2)=(1-)×,所以P3=P2>P1.
7.(1)由题意,知甲、乙初赛三场答题的平均正确率分别为,,所以甲、乙决赛答题正确的概率分别为,.
设A:甲答题正确,B:乙答题正确, 则P(A)=,P(B)=,
设C:甲以3∶0获得冠军,则P(C)=P(A)[1-P(B)]P(A)=,
所以若甲先答题,则甲以3∶0获得冠军的概率为.
(2)由(1)知,甲以3∶0获得冠军的概率P1=,
甲以3∶1获得冠军的概率P2=()×,
甲以3∶2获得冠军的概率P3=()×,
所以,即甲获得冠军的概率为.
(3)由(2)知≠,所以甲获得冠军与谁先答题有关系.