7.2 古典概型 同步练习-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册（Word含答案）

《第二节　古典概型》同步练习
一、基础巩固
知识点1　古典概型的特征
1.下列有关古典概型的说法中,错误的是(　　)
A.试验的样本空间的样本点总数有限
B.每个事件出现的可能性相等
C.每个样本点出现的可能性相等
D.已知样本点总数为n,若随机事件A包含k个样本点,则事件A发生的概率P(A)=
2.[2022四川绵阳南山中学高一月考]下列试验是古典概型的是(　　)
A.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B.某射手射击一次,可能命中0环,1环,2环,…,10环
C.某小组有男生5人,女生3人,从中任选1人做演讲
D.在适宜的条件下,种下一粒种子,观察它是否发芽
知识点2　古典概型的应用
3.现将三张分别印有数字“1”“2”“3”的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入一个盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片,则一张为“1”,一张为“2”的概率是(　　)
A. B. C. D.
4.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校大一新生中进行了抽样调查.已知在被调查的新生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品.现在从这5名学生中随机抽取3人,则至多有1人喜欢甜品的概率为(　　)
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
5.某天放学后,教室里还剩下2位男同学和2位女同学.若他们随机依次走出教室,则第2位走出的是男同学的概率是(　　)
A. B. C. D.
6.一个袋子中有号码分别为1,2,3,4,5的五个小球(除号码不同,其他完全相同),现从袋中任意取出一个球,取出后不放回,然后再从袋中任取一个球,则第一次取出的号码为奇数,第二次取出的号码为偶数的概率为(　　)
A. B. C. D.
7.饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一.将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上,如图所示,每个小方格的边长为一个单位长度,有一点P从点A出发,每次向右或向下跳一个单位长度,且向右或向下跳是等可能的,那么点P经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为(　　)
A. B. C. D.
8.费马小定理:若p是质数,且a,p互质,那么a的(p-1)次方除以p所得的余数恒等于1.依此定理,若在数集{2,3,5,6}中任取两个数,其中一个作为p,另一个作为a,则所取的两个数符合费马小定理的概率为(　　)
A. B. C. D.
9.[2022福建厦门高二上期末考试]班级新年晚会设置抽奖环节.不透明纸箱中有大小、质地相同的红球3个(编号为1,2,3),黄球2个(编号为4,5),有如下两种方案可供选择:
方案一:一次性抽取2个球,若颜色相同,则获得奖品;
方案二:依次无放回地抽取2个球,若颜色相同,则获得奖品;
方案三:依次有放回地抽取2个球,若编号的数字之和大于5,则获得奖品.
(1)分别写出按方案一和方案二抽奖的所有样本点.
(2)哪种方案获得奖品的可能性更大 并说明理由.
知识点3　互斥事件的概率加法公式
10.[2022安徽亳州一中高二上月考]中国空间站“天宫课堂”第一课以天地互动的方式,与设在北京、香港、澳门等地的地面课堂进行实时交流.假设香港、澳门参加互动的学生人数之比为5∶3,其中香港课堂中女生占,澳门课堂中女生占,若主持人向这两个课堂中的一名学生提问,则该学生恰好为女生的概率是(　　)
A. B. C. D.
11.(多选)黄种人群中各种血型的人所占的比例如表:
血型 A B AB O
该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35
已知同种血型的人可以互相输血,O型血可以输给任何一种血型的人,任何血型的人都可以给AB型血的人输血,其他不同血型的人不能互相输血,则任找一人(　　)
A.其血可以输给B型血的人的概率是0.64
B.B型血的人能为其输血的概率是0.29
C.其血可以输给O型血的人的概率为1
D.其血可以输给AB型血的人的概率为1
12.若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是　　　　.
13.某商场有奖销售中,购物满100元可得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个、一等奖10个、二等奖50个.甲有1张奖券,设事件A,B,C分别表示“甲中特等奖、一等奖、二等奖”,求:
(1)甲中奖的概率;
(2)甲不中特等奖且不中一等奖的概率.
二、能力提升
1.如图,在A,B两点间有6条网线并联,它们通过的信息量分别为1,1,2,2,3,4,现从中任取3条网线,则选取的3条网线由A到B可通过的信息总量为6的概率是(　　)
A. B. C. D.
2.A,B,C,D四位妈妈相约各带一个小孩去观看花展,她们选择共享电动车出行,每辆车只能载一位妈妈和一个小孩,其中孩子们都不坐自己妈妈的车,则A的小孩坐C的车的概率是(　　)
A. B. C. D.
3.古埃及人在进行分数运算时,只使用分子为1的分数,因此这种分子为1的分数往往被称为埃及分数.现有5个埃及分数,,,,,从中随机抽取2个进行加法运算,则所得结果超过这5个埃及分数中最大数的概率为(　　)
A. B. C. D.
4.(多选)某次数学考试的一道多项选择题的要求是:在给出的四个选项中,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.已知该多项选择题的正确答案是CD,且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做,下列表述正确的是(　　)
A.甲同学仅随机选一个选项,能得3分的概率是
B.乙同学仅随机选两个选项,能得5分的概率是
C.丙同学随机至少选择一个选项,能得分的概率是
D.丁同学随机至少选择两个选项,能得分的概率是
5.[2022广东佛山一中高二上期中考试]某校高二的学生会主席团共有5名成员,其中女生比男生多,现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动,若抽到1男1女的概率为,则抽到2名女生的概率为　　　　　.
6.现将三阶魔方(如图)中1面有色的小正方体称为中心方块,2面有色的小正方体称为边缘方块,3面有色的小正方体称为边角方块,若从这些小正方体中任取一个,恰好抽到边缘方块的概率为　　　　,若抽到的是中心方块或边角方块的概率为　　　　.
7.[2022福建晋江一中高三上月考]在编号分别为i(i=0,1,2,…,n-1)的n名同学中挑选1名参加某项活动,挑选方法如下:抛掷两枚骰子,若两枚骰子的点数之和除以n所得的余数为i,则选编号为i的同学.当n=6时,这种规则对每名参加活动的同学公平吗 请说明理由.
8.书架上有《西游记》《水浒传》《三国演义》《红楼梦》4本名著,按任意顺序摆放,求下列事件的概率:
(1)《西游记》摆在两端;
(2)《西游记》和《水浒传》不相邻;
(3)《西游记》和《水浒传》之间相隔一本书;
(4)《西游记》或《水浒传》摆在两端;
(5)《三国演义》摆在《红楼梦》的左边且这两本书不相邻.
9.某次联欢会上设有一个抽奖游戏,抽奖箱中共有16个四种颜色且形状大小完全相同的小球,四种颜色的小球分别代表一等奖、二等奖、三等奖、无奖,其中红球代表一等奖且只有1个,黄球代表三等奖.从抽奖箱中任取1个小球,中二等奖或三等奖的概率为.小华有一次抽奖机会.
(1)求小华不能中奖的概率;
(2)若小华中一等奖或二等奖的概率是,试计算抽奖箱中黄球的个数.
10.[2022广东湛江高二上期末考试]为增强市民的环境保护意识,某市面向全市征召若干名宣传志愿者,成立环境保护宣传小组.现把该小组的成员按年龄(单位:岁)分成[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45]这5组,得到的频率分布直方图如图所示,已知年龄在[20,25)内的人数为5.
(1)若用分层随机抽样的方法从年龄在[30,35),[35,40),[40,45]内的志愿者中抽取6名参加某社区的宣传活动,再从这6名中随机抽取2名做环境保护知识宣讲,求这2名环境保护知识宣讲志愿者中至少有1名年龄在[35,40)内的概率;
(2)在(1)的条件下,记抽取的2名志愿者分别为甲、乙,该社区为了感谢甲、乙作为环境保护知识宣讲的志愿者,从纪念品盒中随机抽取2件纪念品分别赠给甲、乙,已知纪念品盒中装有价值分别为50元、80元、100元的3种纪念品,且均有5件,求甲的纪念品价值不高于乙的纪念品价值的概率.
参考答案
一、基础巩固
1.B 2.C 3.C 4.D
5.A 6.D 7.B 8.A
9.(1)记摸到1,2,3号红球分别为A1,A2,A3,摸到4,5号黄球分别为B1,B2,
则按方案一一次性抽取2个球的所有样本点为
(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10个.
按方案二依次无放回地抽取2个球的所有样本点为
(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),
(A3,A1),(A3,A2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,A1),(B1,A2),(B1,A3),(B1,B2),(B2,A1),(B2,A2),(B2,A3),(B2,B1),共20个.
(2)方案一中,设事件A表示“一次性抽取的2个球颜色相同”,
则由(1)知事件A包含(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(B1,B2),共4个样本点,
故P(A)=.
方案二中,设事件B表示“依次无放回抽取的2个球颜色相同”,
则由(1)知事件B包含(A1,A2),(A1,A3),(A2,A1),(A2,A3),(A3,A1),(A3,A2),(B1,B2),(B2,B1),共8个样本点,
故P(B)=.
方案三中,依次有放回地抽取2个球的所有可能情况如下表,共有25个样本点.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)
在方案三中,设事件C表示“抽取的2个球编号的数字之和大于5”,
则事件C包含(1,5),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共15个样本点,
故P(C)=.
因为P(A)=P(B)10.C 11.AD
12.(,]
13.(1)设事件M表示“甲中奖”,则M=A∪B∪C.
P(A)=,P(B)=,P(C)=.
∵A,B,C两两互斥,
∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=.
故甲中奖的概率为.
(2)设事件N表示“甲不中特等奖且不中一等奖”,则事件N与“甲中特等奖或中一等奖”互为对立事件,
∴P(N)=1-P(A∪B)=1-()=.
故甲不中特等奖且不中一等奖的概率为.
二、能力提升
1.A 2.A 3.A 4.ABC
5.
6.　
7.当n=6时,设事件Ai表示“所得的余数为i,i=0,1,2,3,4,5”.
由题意知抛掷两枚骰子的所有可能的情况如下表.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
两枚骰子的点数之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.
设事件Bj表示“两枚骰子的点数之和为j,j=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12”,则P(B2)=,
P(B3)=,P(B4)=,P(B5)=,P(B6)=,P(B7)=,P(B8)=,P(B9)=,P(B10)=,P(B11)=,P(B12)=.
所以P(A0)=P(B6)+P(B12)=,
P(A1)=P(B7)=,
P(A2)=P(B2)+P(B8)=,
P(A3)=P(B3)+P(B9)=,
P(A4)=P(B4)+P(B10)=,
P(A5)=P(B5)+P(B11)=,
所以当n=6时,这种规则对每名参加活动的同学都是公平的.
8.(1)设《西游记》为A,《水浒传》为B,《三国演义》为C,《红楼梦》为D,按顺序摆放的所有可能情况用树状图表示,如图所示:
由树状图,得4本书的摆放顺序共有24种可能的情况,即样本空间共含有24个样本点.
记事件M表示“《西游记》摆在两端”,则由树状图知事件M包含的样本点有12个,故《西游记》摆在两端的概率P(M)=.
(2)记事件N表示“《西游记》和《水浒传》不相邻”,则由(1)中的树状图知事件N包含的样本点有12个,故《西游记》和《水浒传》不相邻的概率P(N)=.
(3)记事件Q表示“《西游记》和《水浒传》之间相隔一本书”,则由(1)中的树状图知事件Q包含的样本点有8个,故《西游记》和《水浒传》之间相隔一本书的概率P(Q)=.
(4)记事件R表示“《西游记》或《水浒传》摆在两端”,则由(1)中的树状图知事件R包含的样本点有20个,故《西游记》或《水浒传》摆在两端的概率P(R)=.
(5)记事件S表示“《三国演义》摆在《红楼梦》的左边且这两本书不相邻”,则由(1)中的树状图知事件S包含的样本点有6个,故《三国演义》摆在《红楼梦》的左边且这两本书不相邻的概率P(S)=.
9.(1)设小华从抽奖箱中任取1个小球,抽得一等奖、二等奖、三等奖、无奖分别为事件A,B,C,D,则它们两两互斥.
由题意,得P(A)=,P(B+C)=P(B)+P(C)=.
由对立事件的概率公式,得P(D)=1-P(A+B+C)=1-P(B+C)-P(A)=1-.
∴小华不能中奖的概率为.
(2)方法一(直接法)　∵P(A+B)=,P(A+B)=P(A)+P(B),
∴P(B)=.
又P(B+C)=P(B)+P(C)=,
∴P(C)=,即小华中三等奖的概率为,
∴抽奖箱中黄球的个数为16×=4.
方法二(间接法)　由(1)知小华不能中奖的概率为,
又小华中一等奖或二等奖的概率是,
∴小华中三等奖的概率为1-.
∴抽奖箱中黄球的个数为16×=4.
10. (1)因为志愿者的年龄在[30,35),[35,40),[40,45]内的频率分别为0.3,0.2,0.1,
所以用分层随机抽样的方法抽取的6名志愿者的年龄在[30,35),[35,40),[40,45]内的人数分别为3,2,1.
年龄在[30,35)内的3名志愿者分别记为A1,A2,A3,年龄在[35,40)内的2名志愿者分别记为B1,B2,年龄在[40,45]内的1名志愿者记为C,
则从中抽取2名志愿者的所有可能的情况有
(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C),(A3,B1),
(A3,B2),(A3,C),(B1,B2),(B1,C),(B2,C),共15种,
至少有1名志愿者的年龄在[35,40)内的情况有
(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),(B1,C),(B2,C),共9种.
所以至少有1名志愿者的年龄在[35,40)内的概率为.
(2)甲、乙获得纪念品价值的所有可能的情况有
(50,50),(50,80),(50,100),(80,50),(80,80),(80,100),(100,50),
(100,80),(100,100),共9种,
甲的纪念品价值不高于乙的纪念品价值的情况有
(50,50),(50,80),(50,100),(80,80),(80,100),(100,100),共6种.
故甲的纪念品价值不高于乙的纪念品价值的概率为.