北师大版 数学七年级下册 第四章 三角形中的常用辅助线 讲义（pdf版、含答案）

F002-三角形中的常用辅助线
三角形中常见辅助线的作法：
①延长中线构造全等三角形；
②利用翻折，构造全等三角形；
③引平行线(或平移)构造全等三角形；
④作连线构造等腰三角形。
若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线
段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维
模式是全等变换中的“旋转”（中心对称）。
如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是
BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。
证明：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。
又因为AD是BC边上的中线，
∴BD=DC
又∠BDE=∠CDA，
...... ,
ΔBED≌ΔCAD，
故EB=AC，∠E=∠2，
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，
∴AB=EB，
从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。
过图形上某一点作特定的平行线，构造全
等三角形，利用的思维模式是全等变换中的
“平移”或“翻转折叠”。
全等三角形常见辅助线：作平行线
如图，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC
延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。
求证：DE=DF。
证明：过E作EG//AC交BC于G， 则
∠EGB=∠ACB，
又AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EGB，
∴∠EGD=∠DCF，
∴EB=EG=CF，
∵∠EDB=∠CDF，
∴ΔDGE≌ΔDCF，
G
∴DE=DF。
如图，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一
点，连EF交BC于D，若EB=CF。 求证：DE=DF。
此题的辅助线还可以有以下几种作法：
截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条
线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定
线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种
作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一
般方法是截长法或补短法：
截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，
然后证明剩下部分等于另一条；
补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短
线段，然后证明新线段等于长线段。
如图，D为等腰 ABC底边BC上任意一点，DE⊥AB于E,DF ⊥ AC于
F,BH为腰AC上的高，求证：DE+DF=BH.
截长 A
H
E
F
B
D C
如图，D为等腰 ABC底边BC上任意一点，DE⊥AB于E,DF ⊥ AC于
F,BH为腰AC上的高，求证：DE+DF=BH.
补短 A
H
E
F
B
D C
如图，D为正 ABC内部任意一点，DE⊥AB于E,DF⊥BC于F, DG⊥AC
于G, BH为边AC上的高，求证：DE+DF+DG=BH.
A
H
E
G
D
B C
F
#面积桥
如图，D为正 ABC内部任意一点，DE⊥AB于E,DF⊥BC于F, DG⊥AC
于G, BH为边AC上的高，求证：DE+DF+DG=BH.
A
H
E
G
D
B C
F
#面积桥
如图，D为等腰 ABC底边BC上任意一点，DE⊥AB于E,DF ⊥ AC于
F,BH为腰AC上的高，求证：DE+DF=BH.
A
H
E
F
B
D C
ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，
BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。
证明：如图（1），过O作OD∥BC交AB于D，
∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°， D
又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，
∴∠ADO=∠AQO，
又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，.....
∴ ADO≌ AQO，
∴OD=OQ，AD=AQ，
又∵OD∥BP， ∴∠PBO=∠DOB，
又∵∠PBO=∠DBO， ∴∠DBO=∠DOB，
∴BD=OD，
又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，
∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，
∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，
∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。
ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于
P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。 D
本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，
构造全等三角形，即“截长法”。
ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC
于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。
本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：
① 如 图 （ 2 ） ， 过 O 作 OD∥BC 交 AC 于 D ， 则
ADO≌ ABO从而得以解决。
ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分
∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，
E
求证： DAB+BP=BQ+AQ。
ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交
BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：
AB+BP=BQ+AQ。
ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC
于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。
④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则
ABP≌ ADP从而得以解决。
小 结
通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三
角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造
的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行
线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变
换或是以某一直线为轴对三角形进行翻折构造了全等三角形。
已知：如图，AD ∕ ∕ BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的延长线交
AP于D, 求证：AD+BC=AB.
辅助线作法之“截长补短”
“截长”：
在AB上取点F，使AF=AD，连EF,……
F
已知：如图，AD ∕ ∕ BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的延长线交
AP于D, 求证：AD+BC=AB.
辅助线作法之“截长补短”
F “补短”: 延长BE交AP于F，……
已知：如图，AD ∕ ∕ BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的延长线交
AP于D, 求证：AD+BC=AB.
辅助线作法之“截长补短”
“补短”: 延长AE交BC延长线于F，……
F
如图, 在三角形ABC中，BC上的高为AD，且∠B=2∠C, “截长补短”
求证：CD=AB＋BD.
A
“截长”：
B D E C
“截长补短”
如图, 在三角形ABC中，BC上的高为AD，且∠B=2∠C,
求证：CD=AB＋BD.
“补短”:
延长DB至F，使BF=BA，连接AF……
A
F B D C
如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE并延长AE交BC的
延长线于点F，给出下列5个关系式：：①AD∥BC，②DE=EC，③
∠1=∠2，④∠3=∠4，⑤AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知，另外
两个作为结论，构成正确的命题。请用序号写出两个正确的命题：（书写
形式：如果……那么……）（1） ；（2） .
如果①②③, 那么④⑤. A D
1
如果①③④, 那么②⑤. 2
E
3
B 4 F
（第18题） C
已知，ΔABC和ΔECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上，
AC与BE相交于M，CE与AD相交于N，试判定ΔCMN的形状.
E
A
解：ΔCMN是等边三角形.
M N
证明：
B D
（１）先证∠ACE＝60°; C
（２）证明ΔBCE≌ΔACD→∠BEC＝∠ADC;
（３）在证ΔMCE≌ΔNCD→CM=CN.
已知：如图，∠1=∠2 ，CD=DE，EF ∕ ∕ AB，求证：EF=AC。
证明：延长FD至G，使 DG=DF， 连接 CG，
……
G
在ΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
直线MN经过点C，AD⊥MN于D，
BE⊥ MN于E ，
（1）当MN绕点C旋转到图1位置时，
求证：
①ΔADC≌ΔCEB;
②DE=AD+BE;
（2）当MN绕点C旋转到图2位置时，
(1)中的结论还成立呢？若成立，请
给出证明，若不成立，说明理由。
在ΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线
MN经过点C，AD⊥MN于D，BE⊥ MN于E ，
（1）当MN绕点C旋转到图1位置时，求证：
①ΔADC≌ΔCEB;
②DE=AD+BE;
（2）当MN绕点C旋转到图2位置时，(1)中的 B
结论还成立呢？若成立，请给出证明，若不
成立，说明理由。
DE=AD-BE
已知点A，E，F，C在同一条直线上，且AE＝CF，过E F两点分别作DE⊥AC，
BF⊥AC，且AB＝CD，（１）求证：BD平分 EF；（2）若将ΔDEC的边EC沿AC
方向移动，变化为2时，其余条件不变，上述结论是否成立，说明理由.
B
B
F E C
E F C
A G
A G
图2
D
图1
D
知识小结
1、全等三角形的概念—— 能够重合的三角形
2、全等三角形的性质—— 对应边相等、对应角相等
3、全等三角形的判定方法
（SSS） （SAS）（ASA）（AAS）（ＨＬ）
有何共性？
要判定两个三角形全等，至少要有一组对应边相等。
判定思路小结
三角形全等判定方法的思路：
已知条件 可选择的判定方法
两组边对应相等 SSS SAS HL
两组角对应相等 ASA AAS
一边一角对应相等 SAS ASA AAS
三角形全等的证题思路：
找夹角→ SAS

①已知两边 找另一边→ SSS

找直角→HL
边为角的对边→找任一角→ AAS

②已知一边一角 找夹角的另一边→ SAS


边为角的邻边 找边的对角→ AAS

找夹角的另一角→ ASA
找夹边→ ASA
③已知两角
找任一边→ AAS
1.证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判
定方法
2.全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证
明时
①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。
②分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。
③有公共边的，公共边一定是对应边，有公共角的，公共角一
定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角
总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。