13.4.2多项式除以单项式
教学目的：
1．能够进行多项式除以单项式的运算，并且理解除法运算的算理，发展思维能力和表达能力．
2.知道多项式除以单项式的法则，会运用法则进行多项式除以单项式的运算.
3培养运算能力，渗透转化思想.，激发学习兴趣
教学分析：
重点：多项式除以单项式的运算法则的推导，以及法则的正确使用
难点：会运用法则进行多项式除以单项式的运算
一．复习引入
1、单项式与单项式相除法则：
2．练一练
(1)–12a5b3c÷(–4a2b)= (2) (–5a2b)2÷5a3b2 =
(3)4(a+b)2 ÷ 0.5(a+b)3 = (4) (–3ab2c)3÷(–3ab2c)2 =
3.计算
(1)3a2b3+5a2b3 = (2)3a2b3×5a2b3 =
(3)3a2b3 ÷ 5a2b3= (4)(2x2-3x-1) 3x2=
4．单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，就是用 去乘 的每一项，再把所得的积 。
二、探索新知
1.我们知道m(a+b+c)= am+bm+cm
那么反之(am+bm+cm)÷m= (每一项都除以m)
=
如果式子中的“＋”换成“－”，计算仍成立吗 （你会计算吗？）
2.你能否计算下列各题？说说你的理由，你是怎么计算的？
（1）(ad+bd)÷d=______ （2）(a2b+3ab)÷a=____
（3）(xy3-2xy)÷(xy)=_______
3.你找到了多项式除以单项式的规律吗？
三、巩固与总结：
多项式除以单项式：
先把这个多项式 分别除以 ，再把所得的商 。
1、计算：
(1)、(9x4-15x2+6x) ÷3x (2)、(28a3b3c+a2b3-14a2b2) ÷(-7a2b)
2. 在计算单项式除以单项式时，要注意什么？
(1)先定商的符号(同号得正,异号得负)；
(2)注意添括号，（连同前面的符号）。
3.练习（严格按照步骤来写）
（1）（9x2y-6xy2）÷3xy (2)(3x2y-xy2+0.5xy) ÷(-0.5xy)
(3)(12a3-8a2-3a) ÷4a (4)(6a2b-2ab2-b3) ÷(-3b)
小结：（1）单项式相除
（2）多项式除以单项式
四．检测与提高
1．计算： （试着独立完成）
（1）（14a2b2－21ab2）÷7ab2 (2) (12x3-8x2+16x)÷(-4x)
（3） (4)
(5)(12a3-6a2+3a)÷3a； (6)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)
（7） (8)［(x+y)2-y(2x+y)-8x］÷2x
（9） (10)（a3－3a2b）÷3a2－（3ab2－b2）÷b2．
2.化简求值：
（1）[4（x2+y）（x2－y）－（2x2－y）2]÷y，其中x=，y=3．
（2）（-2a4x2+4a3x3-0.75a2x4）÷(-a2x2),其中a=0.5,x=-4
3.
4.已知多项式3x3+ax2+bx+1能被x2+1整除且商式是3x+1，求代数式（-a）b2.单项式乘多项式
学习目标：
1、会利用乘法分配律可以将单项式乘多项式转化成单项式乘单项式。
2、会利用法则进行单项式乘多项式的运算。
3、经历探索单项式乘多项式法则的过程，发展有条理的思考及语言表达能力。
重点难点1.会进行单项式与多项式相乘的运算.
2. 单项式的系数的符号是负数时的处理.
[一、复习回顾]:1,同底数幂的乘法
2，幂的乘方
3，积的乘方
4.单项式与单项式相乘法则：
(1)各单项式的 相乘; (2)相同 分别相乘;
(3)只在一个单项式因式里含有的字母, 的一个因式。
5. 什么叫多项式 几个 和叫做多项式。
6. 什么叫多项式的项 在多项式中,每个 叫做多项式的项。
7. 乘法对加法的分配律：m(a+b+c)= .
[二、探究新知]
（一）探究单项式乘多项式的法则：
（1）如果把上图看成一个大长方形，
那么它的长为__________,
面积可表示为________
（2）如果把上图看成是由三个小长方形组成的，那么三个小长方形的面积可分别表示为____、_____，____，这个大长方形的面积又可表示为 .
一般地，对于任意的a、b、c、d，由乘法分配律可以得到a（b+c+d）=___________.
（3）根据（1）（2）中的结果中可列等式：
（4）这一结论与乘法分配律有什么关系？
（5）根据以上探索你认为应如何进行单项式与多项式的乘法运算？
单项式乘多项式法则：
讨论：单项式与多项式相乘是依据 律，把单项式与多项式相乘转化 为 乘法来做。
例1 计算：(1)(-4x)·(2x2+3x-1)；
2下面计算各错在哪里？
（1）（-3x2)(4x2-x+1)=-12x4+x3 (2)(4ab-b2)(-2ab)=-8a2b2-2ab3
单项式与多项式相乘时，分三个阶段：
①按乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；
②单项式的乘法运算;
③再把所得的积相加.
例2. (-2ab)(5ab–2b) -2a2·(ab+b2)-5a(a2b-ab2)
总结：1.单项式乘多项式的结果仍是 ，积的项数与原多项式的项数 。
2.单项式分别与多项式的每一项相乘时,要注意积的各项符号的确定：
同号相乘得 ，异号相乘得
3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序。
（二）巩固练习①判断：1.m(a+b+c+d)=ma+b+c+d( ) （ ）
②填空1.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的________,
再把所得的积________
2.4（a-b+1)=___________________
③.计算： (1)3a(5a-2b) (2)(x-3y)·(-6x)
④.化简 x(x-1)+2x(x+1)-3x(2x-5)
小结:1.单项式乘多项式法则:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加
2.单项式乘多项式的步骤：
3.单项式乘多项式需注意:
三，达标测试
（一）、细心填一填 我会填：
1. ； ．
2. ； ．
3. ； ．
4. ； .
5.如果，那么A＝ .
6. .
（二）、认真选一选 相信自己：
1、单项式乘以多项式依据的运算律是（ ）
A．加法结合律 B．加法交换律 C．乘法结合律 D．乘法分配律
2、（09眉山）下列运算正确的是（ ）
A B. C． D． ( http: / / www. / )
3、(a2)2(a2+2a+1)的结果是 （ ）
A、a4+2a3+a2 B、a6+2a5+a4 C、a8+2a5+a4 D、a6+2a4+a2
4、下列给出的四个算式中正确的有 （ ）
①x(x2-1)=x3-1 ②x2+x2=2x2 ③-x(x-3)=-x2+3x ④x2-x(x-1)=x
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
5、一个长方形的长、宽、高分别是3a-4, 2a, a它的体积等于 ( )
A、3a3-4a2 B、a2 C、6a3-8a2 D、6a2-8a
6、下列说法正确的是 ( )
A、单项式乘以多项式，积可以是多项式，也可以是单项式
B、单项式乘以多项式，积的次数等于单项式的次数与多项式次数的积
C、单项式乘以多项式，积的项数与多项式的项数相等
D、单项式乘以多项式，积的系数是单项式与多项式系数的和
7、不等式x2(x+1)－(x2－1)x>－x2+5的解集是 （ ）
A、x>－5 B、x<－5 C、x>5 D、x<5
（三）、认真解答 我能行
1、计算：
（1）－5a2b·(－3a2b＋2a) （2）(3x2y－2xy2)·(－3x3y2)6
(2)x3(xn－1＋xn－2－x) （4）2x·(9x2－2x＋3)－(3x)2·(2x－1)
2、先化简再求值，2x2(x2－x＋1)－x(2x3－10x2－2x－3).其中x=－.
3、解不等式
【思考】：
阅读：已知x2y=3，求2xy（x5y2－3x3y－4x）的值．
分析：考虑到x、y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y=3整体代入．
解：2xy(x5y2－3x3y－4x)=2x6y3－6x4y2－8x2y
=2(x2y)3－6(x2y)2－8x2y
=2×33－6×32－8×3=－24
你能用上述方法解决以下问题吗？试一试!
已知a b =3，求（2 a3 b2－3a2 b + 4a）·(－2 b)的值．
mc
mbb
ma
c
a
m
b
注意：有乘方的先进行乘方运算
3.(-2x) （ax+b-3)=-2ax2-2bx-6x( )
3.3x（2x-y2)=___________________
4. -3x（2x-5y+6z)=_______________
5. (-2a2)2（-a-2b+c)=___________________幂的运算 4. 同底数幂的除法
学习目标
1、了解同底数幂的除法法则；
2、会运用公式am÷an=am-n（m，n为正整数，m＞n，a≠0）进行简单的整式除法运算.
重点：同底数幂的除法法则的推导过程及其应用.
难点：同底数幂的除法法则的推导过程.
预习
1、同底数幂的乘法法则的内容是什么？应如何表示？
2、口算：
（1）(-2)3·(-2)2； （2） a5·a2 ；
（3）(-2)4·22 ； （4）-a2·a3；
（5）(-a)2·a3； （6）-a2·(-a)3；
（7）(a-b)·(a-b)2 ； （8）3a5+a2·a4 -2a3·a2
感受新知
一、探索
1填空
（1）( )×103= 105 （2）23× ( )= 27
（3）a4 × ( )= a9 （4）( ) ×(-a)2 =(-a)10
2：你能根据上题的答案来求出下面的结果吗？
（1）105÷103 =
（2）27 ÷ 23 =
（3）a9÷ a4 =
（4）(-a)10 ÷ (-a) 2 =
二. 发现
根据上题从左到右的变化，请猜想下题的结果
(其中a≠0, m,n都是正整数，且m＞n)
思考：
（1）你能说明你的理由吗？
（2）讨论为什么a≠0？m>n？
（3）你能归纳出同底数幂相除的法则吗？
同底数幂相除的法则：同底数幂相除，底数 ，指数 。
三、实例。
1、计算:
（1）212÷27； （2）(-3)5÷(-3)2；
（3）(- x)4÷(- x)； （4）(-a)4÷ (-a)2；
（5）(-t)11÷(-t)2； （6）(ab)6÷ (ab)2 ；
（7）(xy)8 ÷(xy)3； （8）(2a2b)5÷ (2a2b)2；
（9）(a+b)6÷(a+b)4； （10）(a-b)6÷(a-b)4.
2、计算
（1）t2m+3 ÷ t2(m是正整数）； （2）a8÷ (-a)5； （3） (-a)4÷ a3 ； （4） (a-b)5÷(b-a)2； （5） (a-b)9÷(b-a)3
※3. 逆 用 法 则 进 行 计 算
我们知道 am ÷ an=
那么 ＝am ÷ an
例：已知：am=3,an=5. 求：
（1）am-n的值 (2)a3m-2n的值
解：（1） am-n= am ÷ an=
（2）a3m-2n= a3m ÷ a3n
= (am)3 ÷(an)3
=
=
试一试： 已知 ax=2,ay=3,那么 ax-y= ；
a2x-y= ；a2x-3y= .
你会写步骤吗？
1、同底数幂的除法性质：底数 ，指数 .
am ÷ an =am-n(m,n都是正整数,a≠0)
2、已学过的幂运算性质：（指出分别是那种运算）
（1）am·an=am+n
（2）am÷an=am-n
（3）(am)n=amn
（4）(ab)n=anbn
(其中a≠0 、m、n为正整数)
自我检测
1、判断：
（1）a3·a2=a3×2=a6；（ ） （2）a5·a3=a5+3=a8；（ ）
（3）a9÷a3=a9÷3=a3；（ ） （4）a6÷ a3 = a2；（ ）
（5）a5÷ a = a5； （ ） （6）-a6÷ a5 = -1。（ ）
2、计算下列各式：
（1） x5÷x4÷x； （2）y8÷y6÷y2； （3）a5÷a4.a2 ； （4）y8÷（y6÷y2)；
（5）(a3)5÷(a2)3； （6）xn-1÷x·x3-n； （7）-(y5 y2)÷(y3 y4)； （8）(-x)8÷(-x)2-x4 x2
3、填空：
（1）x7.( )=x8； （2）( ).a3=a8；
（3）b4.b3.( )=b21； （4）c8÷( )=c5；
（5）( ) ÷ a3 = a4 ； （6）(-a)7 ÷ ( )= -a4
4、给出下列计算，结果正确的是（ ）
A、x8÷x2=x4 B、(-a)6÷(-a)3=a3 C、m4÷m=m3 D、(-2)10÷(-2)5=(-2)5=-10
5、已知 2x-5y-4=0,求4x÷32y的值？
6、已知：812x÷92x÷3x=729，求x的值.
7、 已知am=2，an=3，求：（1）am-n的值；（2）a2m-n的值.
※8、若（xmx2n）÷xm+n=x12，am+nam÷（－a2m）=－a2.求：m，n.
9、一种液体1升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀虫剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀虫剂可以杀死109个此种细菌，要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？
观察结果中幂的指数与原式中幂的指数，猜想它们之间有什么关系 结果中的底数与原式的底数之间有什么关系 幂的运算 1. 同底数幂的乘法
学习目标：
1、能讲出同底数幂的乘法性质并会用式子表示；
2、能主动探索并判断两个幂是否是同底数幂，并能掌握指数是正整数时底数的幂的乘法；
3、能根据同底数幂乘法性质进行简单的计算；
4、能在已有知识的基础上，通过自主探索，获得幂的各种运算感性认识，进而上升到理性上来获得运算法则；
重点：同底数幂的乘法法则；
难点：对同底数幂的乘法的理解；
预习
知识回顾：
1、什么叫乘方？ 2、表示的意义是什么？
你会做吗？
已知的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤所产生的能量,那么我国的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤多少千克？
一、感悟新知
例 （1）2×2 ×2 × 2×2=
（2）3 ×3 ×3 ×3 ×3 ×3=
（3） =
二、试一试
（1）23×24＝（2×2×2）×（2×2×2×2）=2×2×2×2×2×2×2=2（ ）
按照上面的做法，你能做下面试题吗？
(2）53×54＝
（3）a3 a4＝
你能发现一些规律吗？
三 归纳总结
am an＝ =am+n
即，同底数幂相乘，底数不变，指数 。
四、例题
解：
判 断 正 误
（1） a3 a3 = a9 （ ）
( 2 ) a3 a= a3 （ ）
（3）a3 a3 a3 ＝3ａ3 （ ）
（4）－ｘ3 （－ｘ）2 （－ｘ）＝（－ｘ）5 （ ）
（5） －ｘ2 （－ｘ）3 （－ｘ）=－x6 （ ）
你能说出你判断的理由
五、拓展延伸
我们知道，am an＝am＋n
那么 am＋n ＝ am an （m、n为正整数）
例 已知ａｍ＝3，ａｎ＝8，则
ａｍ＋ｎ＝
概括小结
1、同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2、注意问题：
①底数不同的幂相乘，不能运用法则；
②不要忽视指数为1而省略不写的因式；
③法则可以逆用。（规律技巧）
自我检测
一、填空题：
1. =________,=______.毛
2. =________,=_________________.
3. =___________.
4. 若,则x=________.
5. 若,则m=________;若,则a=__________;
若,则y=______;若,则x=_______.
6. 若,则=________.
二、选择题:(每题6分,共30分)
7. 下面计算正确的是( )
A．； B．； C．； D．
8. 81×27可记为( )
A.; B.; C.; D.
9. 若,则下面多项式不成立的是( )
A.; B.;
C.; D.
※10. 计算等于( )
A.; B.-2; C.; D.
※11. 下列说法中正确的是( )
A. 和 一定是互为相反数 B. 当n为奇数时, 和相等
C. 当n为偶数时, 和相等 D. 和一定不相等
三、解答题:(每题8分,共40分)
12.计算下列各式,结果用幂的形式表示
(1) 7 8 × 7 3 (2) (-2) 8 × (-2)7 (3) x3 · x5 (4) (a-b)2 (a-b)
13.计算下列各题:
（1）； （2）
（3）； （4）
14． (1) 计算并把结果写成一个底数幂的形式:①；②
(2)求下列各式中的x: ①；②
15．计算
16. 若，求x的值.
可得：am an＝am＋n（m、n为正整数）
例1 计算：
（1）103×104
（2）a a3
（3）a a3 a5本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
强化训练二 解答题
类型一 单项式与多项式的次数
1、已知-7x2ym是7次单项式，求m的值
2、已知单项式的次数与多项式的次数相同，求的值。
3、多项式是关于x的二次多项式，求的值
4、若单项式是关于的三次单项式，求n的值
5、若多项式是关于的四次二项式，求的值
6、已知、、满足：⑴；⑵是7次单项式；求多项式的值．
类型二 同类项
1、已知-5xmy3与4x3yn能合并，则mn
2、已知2 x2y3与－xy是同类项，求4m2－6mn+7的值
3、若的和是单项式，求的值
4、若与是同类项，求的值
5已知是同类项，求的值
6、若与是同类项，求的值
7、若单项式与单项式的和是一个单项式，求
8、如果－ab与ab是同类项且m与n互为倒数，求n-mn－3（－4）－ 的值。
类型三 整式的加减
1已知三角形的第一边长是，第二边比第一边长，第三边比第二边小5。求三角形的周长。
2已知，且A＋B＋C＝0.求:（1）多项式C;（2）若，求A＋B的值.
3已知A=2x3－xyz，B=y3－z2＋xyz，C=－x2＋2y2－xyz，且(x＋1)2＋＋=0。求：A－(2B－3C)的值。
4已知，求：HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.3 的值
5若a是绝对值等于的有理数，b是倒数等于的有理数。求代数式的值。
6下面是小芳做的一道多项式的加减运算题,但她不小心把一滴墨水滴在了上面. ，阴影部分即为被墨迹弄污的部分.求被墨汁遮住的一项
7一位同学做一道题：已知两个多项式A、B，计算2A+B，他误将“A+B”看成“A+2B”求得的结果为9x2－2x+7，已知B=x2+3x－2，求正确答案．
8有这样一道题: “计算下列代数式的值HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.3 ，其中”。甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果？
9已知，求
10李明在计算一个多项式减去时，误认为加上此式，计算出错误结果为，试求出正确答案。
11有一道题“当时，求多项式的值”，马小虎做题时把错抄成时，王小明没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由。
类型四 缺项与无关
1多项式化简后不含项，求值
2若多项式的值与x的值无关，求m的值
3如果关于x的二次多项式－3x2＋mx＋nx2－x＋3的值与x无关，求m,n的值
4已知关于x、y的多项式ax2+2bxy+x2-x-2xy+y不含二次项，求5a-8b 的值。
5如果多项式x4－(a－1)x3＋5x2＋(b＋3)x－1不含x3和x项，求a，b的值
6试说明代数式x3y3－x2y+y2－2x3y3+0.5x2y+y2+x3y3－2y2－3的值与字母x的取值无关.
7若(x2＋ax－2y＋7)―(bx2―2x＋9y－1)的值与字母x的取值无关，求a、b的值。
8试说明：不论x取何值代数式的值是不会改变的。
类型五 整体代入法
一、
1当时，求代数式的值。
2、已知m-n=3,求代数式3-m+n的值。
3、当时，求代数式的值。
4、当2y－x＝5时，的值是
5、已知,求代数式3的值
6、已知ab=3,a+b=4，求3ab－[2a - (2ab-2b)+3]的值。
二、
7、已知的值为3，求的值
8已知，求的值
9、已知式子，求的值。
10若代数式的值为8，求代数式的值。
11、当时，求的值。
12、已知x2＋y2 =7, xy = -2，求5x2 -3xy -4y2 -11xy -7x2＋2y2的值.
三、
13已知，求代数式的值。
14、已知，求代数式的值
15、已知，求代数式的值。
16、已知，求代数式的值。
四、
17若时，代数式的值为5，则当时，代数式的值为多少？
18、若时，代数式的值为9，则时，代数式的值是多少？
19、当时 ，求时 的值。
20、当时，代数式的值等于，那么当时，求代数式的值。
五、
21如果，并且，求的值
22、如果，，求和的值
23、已知a+2=b+1=c+3,求代数式的值
24、已知x+4y=－1，xy=5，求(6xy＋7y)＋[8x－(5xy－y＋6x)]的值。
类型六 化简绝对值
1、若a+b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜
2、a、b、c三个数在数轴上对应的位置如图所示，化简
3、有理数a、b、c在数轴上的位置如图如所示，试化简︱a＋c︳－︱a＋b＋c︱－︱b－a︱＋︱b＋c︱
4、已知有理数在数轴上的位置如图所示且。化简
5、当a＝-2，b=0．87，c =－2.18时，求代数式｜c+b｜-｜a-b｜+｜c-b｜的值。
6、当ｘ>0，ｙ<0时 化简 １）︱５－ｙ︱＋︱ｙ－２︱＋︱１＋；
２）︱６－５ｙ︱－︱３ｘ－２ｙ︱－︱８ｙ－１︱；
类型七 自定义计算
1、“”是新规定的这样一种运算法则：比如
①试求的值； ②若，求的值；
③若（－2）＝+9，求的值。
2、对正整数a，b，aΔb等于由a开始的的连续b个正整数之和，如：2Δ3=2+3+4，又如：5Δ4=5+6+7+8=26。若1Δx=15，求x。
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教学目的：
1．会进行单项式除以单项式运算，
2理解整式除法运算的算理，发展有条理的思考及语言表达能力
教学分析：
重点：单项式除以单项式的运算法则的灵活应用
难点：单项式除以单项式的运算法则的推导过程
1、 复习引入
1.计算：（1） （2）
（3） （4）
2.填空( )·a3=a5；( )·b2=b3 ( )·2a3b2=6a5b3
二、探索新知
请同学们思考问题：
（ ）·3ab2=12a3b2x3，同学们根据单项式乘以单项式的法则，考虑( )内应该是什么？这个问题就相当于是让我们去求一个单项式，使它与3ab2相乘，积为12a3b2x3，这个过程能列出一个算式吗？
那么由12a3b2x3 ÷3ab2得到4a2x3，4a2x3就是我们所要求的商式，在商式中，系数4＝ ÷ ；因式a2＝ ÷ ；因式x3＝ ÷ ；?在商式中为什么没有字母b呢？从上述分析中，你可以归纳出单项式除以单项式的法则吗？
归纳总结：一般地，单项式与单项式相除，分别把系数、同底数幂相除，作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
三 、练习
例1：计算：
(1)28x4y2÷7x3y (2)-5a5b3c÷15a4b (3)-a2x4y3÷(—axy2)；
(4)(6x2y3)÷(3xy2)2? （5）
四、牛刀小试
1、计算：
(1)10ab3÷(-5ab)= (2)-8a2b3÷6ab2=
(3)6x2y÷3xy= ； (4)-21x2y4÷(-3x2y2) =
(5)(6×108)÷(3×105) = ；(6)(4×109)÷(-2×103)= ；
2、计算：
(1)9x3y2÷(-9x3y2) (2)(-0.5a2bx2)÷(-ax2)
(3)(-a2b2c)÷(3a2b) (4)(4x2y3)2÷(-2xy2)2
（5）28x 4y2÷7x3y （6）-5a 5b3c÷15a 4b
（7） （8）（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3
（9） （10）5（2a+b）4÷（2a+b）2
3、把图中左圈里的每一个代数式分别除以2x2y，然后把商式写在右圈里。
五、自主检测
1．（1）200xy÷（－8y）=___．
（2）（－3ax）3÷（___）=－3ax；
（3）（_____）÷（－5ab3）=3ac．
2．－x6y4z2÷2x2y2z的结果是
3、计算：
(1)-12a5b3c÷(-3a2b) = (2)42x6y8÷(-3x2y3)= ；
(3)24x2y5÷(-6x2y3) = (4)-25t8k÷(-5t5k)= ；
4、计算：
(1)［(—38x4y5z)÷19xy5］·(—x3y2)；
(2)(2ax)2·( -a4x3y3)÷( -a5xy2)
5.填表：
被除式 6x3y3 -42x3y3
除式 2xy -6x2y2
商 7x3 7xy
6、已知10m=5，10n=4，求102m－3n的值．
7、木星的质量约是1．90×1024吨．地球的质量约是5.08×1021吨．你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？
8.小明在进行两个单项式相除时，不小心把除以7ab看成乘以7ab结果是-21a2b3，求相除的结果是多少？
4x3y
-12x4y3
-16x2y3z
x2y幂的运算 3.积的乘方
学习目标：
1、理解、掌握和运用积的乘方的法则；
2、通过探索，明确积的乘方是通过乘方的意义和乘法的交换律以及同底数幂的运算法则推导而得的；
3、通过类比，对三个幂的运算法则在应用时进行选择和区别
重点：积的乘方法则的理解和应用；
难点：积的乘方法则的推导过程的理解
预习
1、口述同底数幂的运算法则；
2、口述幂的乘方运算法则；
3、根据要求完成下列各小题
（1）若x3·xa =x5，则a= ；
（2）（ ）·x5 =x8；
（3）若 ， ， ，则 ＝（ ）；
A、20 B、9 C、54 D、45
（4）若 ， ，则 =( )；
A、2a+b B、a2b C、ab2 D、2ab
感受新知
一、探索
（1）(ab)2 = (ab) (ab) = aa bb = a ( )b( )
根据上面的推理过程，请把下面两道题做出来
（2）（ab）3＝__________________________
＝__________________________
＝ a ( )b( )
二、发现 积的乘方 试猜想：
（ab）n = 其中 n是正整数
※证明：（ab）n＝
＝
＝ anbn
∴（ab）n ＝ anbn （n为正整数）
语言叙述积的乘方法则：
推广：1.三个或三个以上的积的乘方等于什么？
2.逆运用可进行化简：anbn = (ab)n （n为正整数）
三、实例
例 计算 (1) (-2a)2 (2) (-5ab)3 (3) (xy2)2 (4) (-2xy3z2)4
解：
1计算：
(1)、(ab)8 (2)、(2m)3 (3) 、(-xy)5 (4)、(5ab2)3 (5)、(2×102)2 (6) (-3×103)3
2..判断下列计算是否正确，并说明理由：
(1)（ab2)3=ab6 ( ) (2) (3xy)3=9x3y3 ( )
(3) (-2a2)2=-4a4 ( ) (4) -(-ab2)2=a2b4 ( )
（ ）
※3. 逆 用 法 则 进 行 计 算
我们知道 （ab）n ＝ a nbn 那么 a nbn＝（ab）n
例： 24×44×0.1254
解：24×44×0.1254
＝(2×4×0.125)4
＝ 1
（1） (－4)2005×(0.25)2005 （2）－82000×(－0.125)2001
四、巩固 直接写出结果
①(5ab)2= ②(－xy2)3=
③(－2xy3)4 = ④(－2×10) 3=
⑤(－3x3)2－[(2x)2]3 = ⑥(－3a3b2c)4=
⑦(－anbn+1)3 = ⑧0.52009×22009=
⑨ (－0.25)3×26 = ⑩ (－0.125) 8×230=
1、积的乘方使用范围：底数是积的乘方
2、在运用幂的运算法则时，注意知识拓展，底数和指数可以是数，也可以是整式
3、要注意运算过程和符号
自我检测
1、下列各式中，与x5m+1相等的是（ ）
A、（x5)m+1 B、（xm+1)5 C、 x · (x5)m D、 x · x5 · xm
2、x14不可以写成（ ）
A、x5 · (x3)3 B、 (－x) · (－x2) · (－x3) · (－x8) C、(x7)7 D、x3 · x4 · x5 · x2
3、若 ，则m= ；
4、若n是正整数，且m=-1，则 的值是 ；
5、（1）a6y3=( )3；(2)81x4y10=( )2 ；
(3)若(a3ym)2=any8, 则m= ,n=
6、计算
(1)（-2x2y3)3 (2) (-3a3b2c)4
7、先化简，再求值： ，其中a=1,b=-1；
8、如果（an bm b)3=a9b15,求m, n的值
9、试比较47，164，85 的大小
10、试比较3555,4444,5333的大小.
EMBED Equation.3 \* MERGEFORMAT
观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数，猜想它们之间有什么关系 结果中的底数与原式的底数之间有什么关系
根据例题，试求下面两题的解
（9）2(x3)2 · x3－(3x3)3＋(5x)2 ·x7※13.5.4因式分解 （分组分解法，十字相乘法分解因式）
知识要点：
1、分组分解法：适用于四项以上的多项式。
如多项式a2-b2+a-b中没有公因式，又不能直接利用公式分解。但是如果前两项和后两项分别结合，把多项式分成两组，再提公因式，即可达到分解因式的目的。
例1分解因式：
a2-b2+a-b =（a2-b2）+ （a-b）
=（a+b）（a-b）+（a-b）
=（a-b）(a+b+1)
⑴这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
⑵原则：分组后可直接提取公因式或直接利用公式，但必须各组之间能继续分解。
⑶有些多项式在用分组分解法时，分组方法不唯一。无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
练习： 把下列多项式分解因式
⑴a2-ab+ac-bc ⑵2ax-10ay+5by-bx ⑶m2-5m-mn+5n
⑷3ax+4by+4ay+3bx ⑸1-4a2-4ab-b2 ⑹a2-b2-c2+2bc
⑺x2-2x+1-y2 ⑻x2-y2-z2-2yz ⑼a2+2ab+b2-ac-bc
2、十字相乘法
二次项系数为1的二次三项式x2+px+q中若能把常数项q分解成两个因式a,b的积，且a+b等于一次项系数中的p，则就可以分解成
x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
㈠x2+(a+b)x+ab型式的因式分解
注意：此公式的三个条件要理解
·二次项系数是1
·常数项是两个数之积。
·一次项系数是常数项的两个因数之和。
㈡ 对于x2+（a+b）x+ab
=（x+a）（x+b）
例如 x2+3x+2因式分解
解：∵2=1×2且3=1+2
∴x2+3x+2=(X+1)(X+2)
此方法称为十字相乘法
十字相乘法分解因式时常数项因数分解的一般规律:
★常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们的符号与
一次项系数符号相同。
★常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的
因数的符号与一次项系数的符号相同。
例2把下列多项式分解因式
1 x2+9x+14 ②x2+8x+12 ③ x2-7x+10
④x2-2x-8 ⑤x2-x-12 ⑥x2-9x-22
⑦x2-4x-21 ⑧x2+4xy-21y2 ⑨x2+5x-6
3.本节达标测试：
5.若x2-px+q=(x+a)(x+b),则p=( )
A ab B a+b C -ab D –(a+b)
6.若x2+(a+b)x+5b=x2-x-30,则b=( )
A 5 B -6 C -5 D 6
7.多项式x2-3x+a可分解为（x-5）（x-b）,则a,b的值分别为（ ）
A 10，-2 B -10， 2 C 10，2 D -10，-2
8.不能用十字相乘法分解的是（ ）
A x2+x-2 B 3x2-10x+3 C 5x2-6xy-8y2 D 4x2+x+2
9.下述多项式分解后，有相同因式（x-1）的多项式有（ ）个
①x2-7x+6 ② 3x2+2-1 ③x2+5x-6 ④ 4x2-5x-9 ⑤x4+11x2-12
A 、 2 B 、 3 C 、4 D 、 5
10.若m2-5m-6=(m+a)(m+b)，求a，b的值。
11.若x-y=6, xy=,则代数式x3y-2x2y2+xy3的值为？
12.已知x+y=2, xy=a+4 ，x2+y2=1 求a的值,13.5.1因式分解 （第一课时：提公因式法）
教学目标：
1、能明确因式分解与整式乘法之间的关系，在探索中进行新知识的比较，理解因式分解的过程，发现因式分解的基本方法；
2、明白可以将因式分解的结果先乘出来就能检验因式分解的正确性。
3、激发兴趣，体会到数学的应用价值。
重点：掌握提公因式法，公式法进行因式分解；
难点：怎么样进行多项式的因式分解，如何能将多项式分解彻底；
关键：灵活应用因式分解的常用方法，对于每个多项式分解因式分解彻底。
教学过程：
一、知识回顾：
运用前两节课的知识填空：
1、 ；
2、 ；
3、 ；
二、探索问题：
请完成以下填空：
1． 2、
3．
4. 观察以上两组题目有什么不同点？又有什么联系？
探究新知
概括：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解
比较判断：下列各式由左到右变形，那些是因式分解？（是的打对号）
(1)3(x+2)=3x+6 （ ） (2)5a3b-10a2bc=5a2b(a-2c) （ ）
(3)x2+1=x(x+) （ ） (4)y2+x2-4=y2+(x+2)(x-2) （ ）
(5)x2-4y2=(x+4y)(x-4y) （ ）
三 、典例解读
怎样分解多项式: ma+mb+mc=
公因式：多项式中的每一项都含有一个相同的因式，我们称之为公因式。
用心观察，找到答案
多项式 公因式
8x+12y
8ax+12ay
8a3bx+12a2b2y
9x2-6xy+3x
试一试，填空：(1)2x-6xy=2x ( ) (2)-6x3+9x2 =-3x2 ( )
提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。简称提公因式法。
4、巩固提高
例 1：用提公因式法分解因式（先找公因式）
（1）3a2- 9ab2 （2）-5x2 + 25x3 （3）4x3y+2x2y2-6xy3
（4）-9m2n-3mn2+27m3n4 （5）2(x+y)2-4x(x+y) （6）2(a-1)+a(1-a)
五、 课堂小结
1、确定公因式的一般方法：
①各项系数都是整数时，因式的系数应取各项系数的最大公约数；
②字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的.
③它们的乘积就是多项式的公因式
2、提公因式法分解因式的一般步骤：
①找出公因式；
②提公因式（即用多项式除以公因式）
六 、检测与提高
（一）、做一做
1、.对下列多项式进行因式分解
①－20a－25ab ②－ ③
④ ⑤3a2- 9ab
2.、填一填：
（1）、 = （2）.代数式与的公因式为____________
（3）、; （4）.
（5） 3a+3b的公因式是： （6）-24m2x+16n2x公因式是：
（7）2x(a+b)+3y(a+b)的公因式是： (8) 4ab-2a2b2的公因式是：
3.、（分一分）把下列各式分解因式
①3 x3 -3x2 –9x ② 8a 2c+ 2b c
③ -4a 3b3 +6 a2 b-2ab ④ a(x-y)+by-bx
（二）查一查：
1、判断下列各题是否为因式分解：
①m(a+b+c)= ma+mb+mc. ②a2-b2 = (a+b)(a-b) ③a2-b2 +1= (a+b)(a-b)+1
2．试一试：请找出下列多项式中各项的相同因式（公因式）
（1） 3a+3b的公因式是： （2）-24m2x+16n2x公因式是：
（3）2x(a+b)+3y(a+b)的公因式是： (4) 4ab-2a2b2的公因式是：
（三）学一学
例1 把下列多项式分解因式：
（1）-5a2+25a （2）3a2-9ab
分析第（1）题：由公因式的几个特征，我们可以这样确定公因式：
①定系数：∵系数-5和25的最大公约数为5，∴公因式的系数为（ ）
②定字母：∵两项中的相同字母是（ ），∴公因式的字母取（ ）；
③定指数：∵相同字母a的最小指数为（ ），∴a的指数取为（ ）；
-5a2+25a的公因式为：（ ）
(2)解法：
（四）练一练:
1. 把下列多项式分解因式
① 2p3q2+p2q3 ② xn-xny ③ a(x-y)-b(x-y)
④ 4a3b-2a2b2 ⑤ ⑥
（五）解答
已知,x+y=2,xy=-3,求x2y+xy2的值.3．多项式与多项式相乘
学习目标：
1. 探索多项式乘法的法则过程，理解多项式乘法的法则，并会进行多项式乘法的运算；
2. 进一步体会乘法分配律的作用和转化的思想，发展有条理的思考和语言表达能力.
重点：多项式乘法的运算
难点;探索多项式乘法的法则，注意多项式乘法的运算中“漏项”、“负号”的问题
一、知识回顾
1、如何进行单项式乘多项式的运算？
单项式与多项式相乘,只要将 分别乘以 的各项,再将所得的积
m（a+b+c）=
计算; x(x-1)+2x(x+1)-3x(2x-5)
二、新知引入
问题：为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a米、宽m米的长方形绿地，长增加了b米，加宽了n米，你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？
如图（1）长为 宽为 .S =
如图（2）S =
则由（1（2）可得
多项式的乘法
多项式与多项式相乘, 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项, 再把所得的积相加.
提示：运算还未熟练时，算之前先把多项式的每个单项式拆分出来
例1：(1) (x+2y)(5a+3b)
提示：拆分成多个单项式：
按法则算得：
积相加得：
(2) (2x–3)(x+4) ;
提示：拆分成多个单项式：
按法则算得：
积相加得：
(3) (3x+y)(x–2y) ；
提示：拆分成多个单项式：
按法则算得：
积相加得：
练一练：
：1、漏乘
2、符号问题 3、最后结果应化成最简形式。
你还能总结一下吗
延伸训练:填空
观察上面四个等式，你能发现什么规律？你能根据这个规律解决下面的问题吗？
口答：
根据上述结论计算：
(1) (x+1)(x+2)=
(2) (x+1)(x-2)=
(3) (x-1)(x+2)=
(4) (x-1)(x-2)=
确定下列各式中m与p的值:
(1) (x+4)(x+9) = x2 + m x + 36
(2) (x-2)(x-18) = x2 + m x + 36
(3) (x+3)(x+p) = x2 + m x + 36
(4) (x-6) (x-p) = x2 + m x + 36
小结：1.运用多项式的乘法法则时，必须做到不重不漏.
2.多项式与多项式相乘，仍得多项式.
3.注意确定积中的每一项的符号，
多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负”.
4.多项式与多项式想乘的展开式中，有同类项要合并同类项.
三：达标测试
一、选择题
1．下列各式计算正确的是（ ）
A．（x+5）（x-5）=x2-10x+25 B．（2x+3）（x-3）=2x2-9
C．（3x+2）（3x-1）=9x2+3x-2 D．（x-1）（x+7）=x2-6x-7
2．一个长方体的长、宽、高分别是3x-4、2x-1和x，则它的体积是（ ）
A．6x3-5x2+4x B．6x3-11x2+4x
C．6x3-4x2 D．6x3-4x2+x+4
3．已知（x+3）（x-2）=x2+ax+b，则a、b的值分别是（ ）
A．a=-1，b=-6 B．a=1，b=-6 C．a=-1，b=6 D．a=1，b=6
4．计算（a-b）（a2+ab+b2）的结果是（ ）
A．a3-b3 B．a3-3a2b+3ab2-b3 C．a3+b3 D．a3-2a2b+2ab2-b3
5.若 ，则k的值为（ ）
（A） a+b （B） －a－b （C）a－b （D）b－a
二、填空题
6．计算：（x+7）（x-3）=__________，（2a-1）（-2a-1）=__________．
7．将一个长为x，宽为y的长方形的长减少1，宽增加1，则面积增加________．
8．三个连续奇数，中间的一个是x，则这三个奇数的积是_________．
9．四个连续自然数，中间的两个数的积比前后两个数的积大_________．
10.若 则m=_____ ， n=________
11.当k＝__________时，多项式x－1与2－kx的乘积不含一次项．
12.若(x2＋ax＋8)(x2－3x＋b)的乘积中不含x2和x3项，则a＝_______，b＝_______．
13.如果三角形的底边为(3a＋2b)，高为(9a2－6ab＋4b2)，则面积＝________
14.已知 则a=______ b=______
15.计算下列各题：
①（2a+b）（a-2b） ②（a+b）2
③（x2+xy+y2）（x2-xy+y2） ④（2x4-3x3+5x2+x）（-x+1）
[来源:21世纪教育网]
16.解下列方程：
（x+1）（x-1）+2x（x+2）=3（x2+1） （x+1）（x-4）-（x-5）（x-1）=0
17.（x2+mx+8）（x2-3x+n）的展开式中不含x3和x2项，求m和n的值．
18. 求m，n的值.
n
m
a
b
an
bn
bm
am
b
n
a
m
（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na+nb＋nb
（4）
（3）
（2）
（1）
需要注意的几个问题13.3.1平方差公式
教学目的：
1、从已有的整式乘法的知识中提炼出两数和乘以它们的差这一乘法公式，明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式的乘法的辩证思想；
2、掌握两数和乘以它们的差的公式的结构，并能正确地运用；
重点：掌握两数和乘以它们的差的结构特征；
难点：正确理解两数和乘以它们的差的公式意义。
1、 引入
王剑同学去商店买了单价是9.8元／千克的糖块10.2千克，售货员刚拿起计算器，王剑就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。售货员惊讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快 ”王剑同学说：“我利用了在数学上刚学过的一个公式。”
你知道王剑同学用的是一个什么样的公式吗 你现在能算出来吗 学了本节之后，你就能解决这个问题了。
复习
1、多项式与多项式相乘法则
2．利用多项式与多项式的乘法法则写出 (x＋a)(x＋b)的结果。
3.计算：
(1)(x＋3)(x－3)； (2)(a＋2b)(a－2b)；
(3)(4m＋n)(4m－n)； (4)(5＋4y)(5－4y)。
(x ＋ 3)(x － 3)=
(a＋2b)(a－2b)=
(4m＋n)(4m－n)=
(5＋4y)(5－4y)=
(a ＋ b)(a－b)=
二、探索
1、做一做，计算
归纳总结
也就是说，
这个公式叫做两数和与两数差的乘法公式，简称为平方差公式
2.平方差公式的特征：
（1）等式左边是两个数
（2）等式右边是两个数
3.需要注意的几个问题
(1)公式中的字母的意义很广泛,可以代表常数,单项式或多项式
(2)必须符合平方差公式特征的代数式才能用平方差公式
4.平方差公式的几何意义
三、例题
例1、计算：（1） （2）
例2 、运用平方差公式计算 1998×2002
解：1998×2002 =（2000- ）×(2000+ )
=
=
例3 、街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米，问改造后的长方形草坪的面积是多少？
四、练习（1）a(a－5)－(a+6)(a－6) （2） ( x+y)( x－y)( x2+y2)
我们今天学到了什么
1、本课内容，两数和与它们的差的积，公式指出了具有特殊关系的两个二项式的性质；
2、应用本节课公式应满足：找出公式中的第一个数，第二个数，两数和乘以这两数差。
自我检测
一．选择，填空
1.下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( )
A.(x+y)(- x - y) B.(2 x + 3 y)(2 x -3 z)
C.(－a－b)(a－b) D.(m－n)(n－m)
2.下列计算正确的是( )
A.(2x+3)(2x－3)=2x2－9 B.(x+4)(x－4)=x2－4
C.(5+x)(x－6)=x2－30 D.(－1+4b)(－1－4b)=1－16b2
3.下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( )
A.(－a－b)(－b+a) B.(xy+z)(xy－z)
C.(－2a－b)(2a+b) D.(0.5x－y)(－y－0.5x)
4.(4x2－5y)需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算( )
A.－4x2－5y B.－4x2+5y C.(4x2－5y)2 D.(4x+5y)2
5.a4+(1－a)(1+a)(1+a2)的计算结果是
6.下列各式运算结果是x2－25y2的是( )
A.(x+5y)(－x+5y) B.(－x－5y)(－x+5y)
C.(x－y)(x+25y) D.(x－5y)(5y－x)
7．下列式子中，不成立的是：（ ）
A． B．
C． D．
二．计算
（1）； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） （6）
三．先化简，再求值 ，其中
四 计算
（1）．（2）
五、新颖题
1．你能求出的值吗？
2．观察下列各式：
； ；
根据前面的规律，你能求出 的值吗？
=
平方差公式
(a+b)(a-b)=本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第13章 整式的乘除复习导学案
一、学习目标：1. 对全章内容进行梳理，突出知识间的内在联系和递进关系. 2. 进一步提高学生综合应用整式乘除法公式进行运算的能力.
二、知识结构：
三、专题演练
㈠ 幂的运算
例1 计算下列各式：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸ ⑹
例2 计算下列各式：
⑴ ⑵ ⑶
㈡ 整式的乘法
例3 计算：
⑴ ⑵
例4 计算：
⑴ ⑵
㈢ 乘法公式
例5 计算：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
例6 计算：
⑴ ⑵ ⑶
㈣ 整式的除法
例7 先化简，再求值：，其中
㈤ 因式分解
例8 分解因式：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
五、能力提升
1.已知，求的值.
2.已知，求代数式的值.
3.已知一个多项式除以多项式，所得商式是，余式为，求这个多项式.
4. 已知与的乘积中不含有和项，求、的值.
八年级上学
期数学学案
幂的运算
a·a＝a a÷a＝a
（a）＝a （ab）＝ab
单项式乘以单项式
单项式乘以多项式
多项式乘以多项式
因式分解
提公因式法
公式法
单项式除以单项式
多项式除以单项式
乘法公式（a＋b）（a－b）＝a－b
（a＋b）＝a＋2ab＋b
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强化训练一 选择、填空
一．选择题
1、下列各对式子是同类项的是（ ）
A． 4x2y与4y2x B.2abc与2ab C. 与-3a D.-x3y2与y2x3
2、下列各式中，正确的是 （ ）
A. B.2a＋3b＝5ab
C.7ab－3ab＝4 D.
3、下列各组中不是同类项的（ ）
A． B. C.D.
4、一个长方形的周长为30，若它的一边为x，则此长方形的面积为 （ ）
（A）x（15-x） （B）x（30-x）
（C）x（30-2x） （D）x（15+x）
5. 设x表示两位数, y表示三位数, 如果把x放在y的左边组成一个五位数, 可表示为( )
A. xy B. 1000x+y C. x+y D. 100x+y
6．下列结论错误的是 （ ）
A．若a=b，则a—c=b—c B．若a=b，则ax=bx
C．若x=2，则x=2x D．若ax=bx，则a=b
7．与a2b是同类项的是（ ）
A．22b B. -3ab2 C．-a2b D．a2c
8．小华有x元，小林的钱数是小华的一半还多2元，小林的钱数是 （ ）
A． +2 B．(x+2 ) C．(x一2) D. (x—2)
9．下列各选项中的两个项是同类项的是( )
A．a3b2和a2b3 B．和3ba3 C．3abc2和3a2bc D．2a和a2
10．去括号后等于( )
A． B． C． D．
11．若和都是五次多项式，则( )
A．一定是多项式 B．一定是单项式
C．是次数不高于的整式 D．是次数不低于的整式
12．下列计算中，错误的是( )
A． B．
C． D．
13．若与互为相反数，那么的值为( )
A． B． C． D．
14．如果定义运算符号“”为，那么的值为( )
A．11 B．12 C．9 D．10
15、已知，则的值为（ ）A、 B、 1 C、 D、0
16. 若A和B都是五次多项式，则( )
A．A+B一定是多项式 B．A-B一定是单项式
C．A-B是次数不高于的整式 D．A+B是次数不低于的整式
17.下列说法中正确的是【 】
（A）代数式一定是单项式 （B）单项式一定是代数式
（C）单项式x的次数是0 （D）单项式－π2x2y2的次数是6
18、若、都是自然数，多项式的次数是( )
A． B． C． D．、中较大的数
19、两个四次多项式的和的次数是（ ）
A．八次 B．四次 C．不低于四次 D．不高于四次
20小亮从一列火车的第m节车厢数起，一直数到第n节车厢（n>m），他数过的车厢节数是（ ）
A.m+n B.n-m C.n-m-1 D.n-m+1
21.如果一个多项式的次数是4，那么这个多项式任何一项的次数是（ ）
A. 都小于4 B. 都不大于4 C. 都大于4 D. 无法确定
二、填空题
1、把4a－（a－3b）去括号，并合并同类项，正确的结果是 。
2、如果3x2ym与-2xn-1y3是同类项，那么m= ，n= 。
3、某校去年初一招收新生x人，今年比去年增加20％，用代数式表示今年该校初一学生人数为 。
4、如果多项式是关于x的三次多项式，那么a=___, b=___.
5、3a－4b＋5的相反数是_______________
6、已知一个多项式与的和等于，则此多项式是______________
7、若，则=________
8．单项式的系数是______,次数是_______.
9． .
10．若，那么 .
11．m和n均不为零，若和是同类项，则______
12.单项式的系数是______，次数是______
13．若a、b互为倒数，c、d互为相反数，那么3ab+2c+2d=_______
15．当x= 时，代数式—1等于零
16、梯形上底，下底是上底的2倍，高比上底小1，用代数式表示其面积 。
17、若，代数式的值为0，则= 。
18、已知2x-y=3,则1-4x+2y=
19、已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，则代数式的值为
20、当,则代数式的值为
21、当 时代数式有最 值，且为 。代数式 (x－a)2－9有最 值为_______，这时x=_______.
22、若互为相反数，则的值是
23、已知,则的值为
24多项式的值与x的值无关，则m等于
25、已知单项式3与－的和是单项式，那么m＝ ，n＝ ．
26、单项式与是同类项，则
27、如果，，则 ， 。
28、一个关于b的二次三项式的二次项系数是-2，一次项系数是-0.5，常数项是3，则这个多项式是_____________。
29、7-2xy-3x2y3+5x3y2z-9x4y3z2是 次 项式，其中最高次项是 ，最高次项的系数是 ，常数项是 ，是按字母 作 幂排列。
30、x是两位数，y是三位数，y放在x左边组成的五位数是_________
31.如果多项式x4－(a－1)x3＋5x2＋(b＋3)x－1不含x3和x项，则a=________, b=_________
32、电影院第一排有a个座位，后面每排比前一排多2个座位，则第x排的座位有____________个.
33、一台电视机成本价为元，销售价比成本价增加了25％，因库存积压，所以就按销售价的70％出售，那么每台实际售价为________________元.
34. x是两位数，y是三位数，y放在x左边组成的五位数是______________
35有棵树苗，刚栽时高2.1米，以后每年长0.3米，则n年后的树高为______.
36、已知x：y：z=1：2：3，代数式的值是
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网13.5.3因式分解 （完全平方公式法）
教学目标：
1、能熟练运用公式将多项式进行因式分解.
2、能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底.
3、提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力.
重点： 掌握公式法进行因式分解.
难点： 找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底.
学习过程:
一、课前导入：
1、分解因式学了哪些方法
⑴提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)
⑵运用公式法： ①a2-b2=(a+b)(a-b)
练习 把下列各式分解因式
① ② x4-16
2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？
完全平方式: 用公式法正确分解因式关键是什么？
(一数) 2 ± 2(一数)(另一数) + (另一数)2 = (一数 ±另一数)2
仔细观察，试着发现以上式子所具有的特征：
从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数
(或整式)的乘积的2倍.
从符号看：平方项符号相同（即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项）
二、讨论探究：
填一填
多项式 是否是完全平方式 a、b各表示什么 表示（a+b）2或（a－b）2
4、巩固提高
练习填空：
（1）a2+ +b2=(a+b)2 （2）a2-2ab+ =(a-b) 2
（3）m2+2m+ =( ) 2 （4）n2-2n + =( ) 2
（5）x2-x+0.25=( ) 2 （6）4x2+4xy+( ) 2=( ) 2
例题（先观察再因式分解）
① x2＋14x＋49 ② ③ 3ax2＋6axy＋3ay2
④ -x2-4y2＋4xy ⑤ ⑥ 16x4-8x2＋1
判断因式分解正误，并写出正确过程
(1） -x2-2xy-y2= -(x-y)2 （2）a2+2ab-b2
五、总结与反思：
1:、整式乘法的完全平方公式是：
2:、利用完全平方公式分解因式的公式形式是：
3:、完全平方公式特点：
①含有三项；②两平方项的符号同号；③首尾2倍中间项
六、检测与提高
1、知识检测：
（1）25x2＋10x＋1
（4）-a2-10a -25
（5）-a3b3+2a2b3-ab3 （6）9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2
（7）x2-12xy+36y2 (8)16a4+24a2b2+9b4
(9) -2xy-x2-y2 (10)4-12(x-y)+9(x-y)2
2、知识提高：
（1）若x2-8x+m是完全平方式,则m=
（2） 若9x2+axy+4y2是完全平方式,则a=( )
A. 6 B. 12 C. ±6 D. ±12
（3）提高计算：
(y2 + x2 )2 - 4x2y2 （a+1)2-2(a2-1) ＋(a-1)2
（4）已知x2+4x+y2-2y+5=0,求 x-y 的值
a2 ± 2 a b + b2 = （ a ± b ）213.3乘法公式
2.两数和（差）的平方
教学目的：1、理解两数和的平方的公式，掌握公式的结构特征，并熟练地应用公式进行计算；
2、培养探索能力和概括能力，体会数形结合的思想；
重点：掌握两数的平方这一公式的结构特征；
难点：对具体问题会运用公式以及理解字母的广泛含义。
关键：对本节课公式结构特征进行理解，并注意同两数与这两数差的积的公式进行区分。
1、 复习引入
1． 平方差公式：
公式的结构特征:等式左边
等式右边
２.计算下列各题:（1）（2x-3）（2x+3）
（2）（-3x+y）(3x+y)
(3) (m+2) (m+2)
二．探索新知
1.一块边长为a米的实验田，因需要其边长增加b米，如图的四块实验田，以种植不同的新品种
用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.
方法一（直接求）：
方法二（间接法）：
探索: 你发现了什么？
2.
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗
（2）某学生写出了如下的算式，他是怎么想的？你能继续做下去吗？
3．完全平方公式
（1） 结构特征: 左边是
右边是
（2）语言表述:
4. 判断下列各式是否正确，如果错误并加以改正：
(1) (2a 1)2＝2a2 2a+1;
(2) (2a+1)2＝4a2 +1；
(3) (a 1)2＝a2 2a 1.
5. 例1 利用完全平方公式计算：
(1) (2x 3)2 ；(2)(4m+n)2 （3）（x-2y）2
注意：先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确哪个是 a ,哪个是 b.
6．计算：
（1） （2） （3）
（4） (5) (6)
7．拓展（1）计算
(2) 已知x+y=4 xy=-12求下列各式的值：（1）（2）
小结：两数和的完全平方公式：
两数差的完全平方公式：
他们的特征是：
三、牛刀小试
1.填空题
(1)a2-4ab+( )＝(a-2b)2 (2)(a+b)2-( )＝(a-b)2
(3)( -2)2＝ -4x+
(4)(3x+2y)2-(3x-2y)2＝ (5)(3a2-2a+1)(3a2+2a+1)＝
(6)( )-24a2c2+( )＝( -4c2)2
2.选择题
(1)下列等式能成立的是( ).
A.(a-b)2＝a2-ab+b2 B.(a+3b)2＝a2+9b2
C.(a+b)2＝a2+2ab+b2 D.(x+9)(x-9)＝x2-9
(2)(a+3b)2-(3a+b)2计算的结果是( ).
A.8(a-b)2 B.8(a+b)2 C.8b2-8a2 D.8a2-8b2
(3)在括号内选入适当的代数式使等式(5x-y)·( )＝25x2-5xy+y2成立.A.5x-y B.5x+y C.-5x+y D.-5x-y
(4)(5x2-4y2)(-5x2+4y2)运算的结果是( ).
A.-25x4-16y4 B.-25x4+40x2y2-16y2
C.25x4-16y4 D.25x4-40x2y2+16y2
(5)如果x2+kx+81是一个完全平方式，那么k的值是( ).
A.9 B.-9 C.9或-9 D.18或-18
(6)边长为m的正方形边长减少n(m＞n)以后，所得较小正方形的面积比原正方形减少了( )
A.n2 B.2mn C.2mn-n2 D.2mn+n2
3.化简或计算
(1)(3y+2x)2 (2)-(- x3n+2 - x2+n)2
(3)(3a+2b)2-(3a-2b)2 (4)(x2+x+6)(x2-x+6)
(5)(a+b+c+d)2 (6)(9-a2)2-(3-a)(3-a)(3+a)2
4.先化简，再求值.(x2+2)2-2(x+2)(x-2)(x2+4)-(x2-2)2，其中x=- .
5.(1)已知a(a－1)－(a2－b)=4,求代数式－ab的值.
(2)已知，，求的值
(3) 已知，求的值
四．能力素质提高
1.运用完全平方公式计算：(1)20012 (2)1.9992
2.证明：(m-9)2-(m+5)2是28的倍数，其中m为整数.(提示：只要将原式化简后各项均能被28整除)
3.设a、b、c是不全相等的数，若x＝a2-bc，y＝b2-ac，z＝c2-ab，则x、y、z( )
A.都不小于0 B.至少有一个小于0 C.都不大于0 D.至少有一个大于0
（提示：求x+y+z）
（
b
a
b
（
a13.5.2因式分解 （第二课时：平方差公式法）
教学目标：
1、使学生能明确因式分解与整式乘法之间的关系，让学生在探索中进行新知识的比较，理解因式分解的过程，发现其第二种基本方法；
2、使学生明白可以将因式分解的结果先乘出来就能检验因式分解的正确性。
3、激发学生的兴趣，让学生体会到数学的应用价值
重点：掌握平方差公式法，用公式法进行因式分解；
难点：怎么样进行多项式的因式分解，如何能将多项式分解彻底；
关键：灵活应用因式分解的常用方法，对于每个多项式分解因式分解彻底。
教学过程：
一、知识回顾：
1、口述多项式与多项式相乘法则；
2、计算：
① ②
③ ④
二、观察探究：
1、小试身手：
总结a2-b2 =（ ）（ ）
2.观察变形：
整式乘法：(a+b) (a-b)= a2-b2 因式分解：a2-b2=(a+b) (a-b)
我们可以运用平方差公式来分解因式
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
3.庖丁解牛： a2 - b2 = ( a + b) ( a - b)
16a2-1 =(4a)2-12=(4a+ 1) ( 4a- 1)
3、试着讨论下列多项式能否用平方差公式分解因式？说说你的理由。
①4x2+y2 ②4x2-(-y)2 ③-4x2-y2 ④-4x2+y2 ⑤ a2-4 ⑥a2+3
总结：
能用平方差公式分解因式的多项式的特征：
1 由两部分组成 ；②两部分符号相反； ③每部分都能写成某个式子的平方。
小试牛刀
运用a2-b2=(a+ b)(a- b)
例1 、把下列各式进行分解因式：
①-m2n2+4p2 ②x2 - y2 ③(x+z)2-(y+z)2
注意：
①公式中的a、b可以是单项式(数字、字母)、还可以是多项式。
②分解因式最后结果中如果有同类项，一定要合并同类项。
③一定要分解到每个因式都不能再分解为止。
三、智能巩固：
(1) x2-1 (2)m2-9
(3)x2-4y2 (4) 25x2-4
(5) 0.01s2-t2 (6) 121-4a2b2
(7) a6-81 (8) –x2+25
(9) 16a2-9b2 (10) - 4a2b2+c2
四、小结与反思：通过本节课的学习,你有哪些收获
分解因式的步骤：
(1)优先考虑提取公因式法。
(2)其次看是否能用公式法。（如平方差公式）
(3)务必检查是否分解彻底了。
五、检测与提高
1.、请问993-99能否被100整除？
温馨提示：（1）能否提取公因式？
（2）提取公因式后，还能继续分解于因式吗？
请解答：
2、怎样把多项式4x3y - 9xy3分解因式？
3、判对错，并改正
（1）分解因式：
4x2–y2=(4x+y)(4x-y )（ ）
正确分解：
（2）分解因式
①x4–y4=(x2+y2)(x2–y2)（ ）
②(4a+5b)2–(2a-b)2=(6a+4b)(2a+6b)（ ）
正确分解：
诊断分析：
综合运用提公因式，公式法公解因式时，提公因式后，另一个因式还可以继续分解，同学们千万要注意分解完毕后对结果进行检查，看是否分解彻底了。
4、提高（注意分解彻底）
分解因式：
（1）4x3-x ( 2 ) (3x－4y)2－（4x+3y）2
（3）a4-81 （4）16（3m－2n）2－25（m－n）2
计算：（1）9992－9982 （2）25×2652－1352×25 （3） 91×89
（4） ( x + z ）2- ( y + z )2 （5）4( a + b)2 - 25(a - c)2
a
b
a
b
女子组
男子组幂的运算 2幂的乘方
学习目标：
1、掌握幂的乘方的法则，并能够用式子表示；
2、通过自主探索，明确幂的乘方法则是根据乘方的意义和同底数幂法则推导出来的，并能利用乘方的法则熟悉地进行幂的乘方运算；
重点：幂的乘方法则的应用；
难点：理解幂的乘方的意义
预习
1．如果—个正方体的棱长为16厘米，即42厘米，那么它的体积是多少
2．计算：
(1)a4·a4·a4；
(2)x3·x3·x3·x3。
3．你会计算(a4)3与(x3)5吗
感受新知
一． 我们知道 x5=x﹒x﹒x﹒x﹒x
如果把x换成a2, 这个式子该怎么写？
（a2）5=（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）= a（ ）
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空。
(1) (23)2＝23×23＝2( )；
(2) (32)3＝( )×( )×( )＝3( )；
(3) (a3)5＝a3×( ) ×( ) ×( ) ×( )=a( )。
二．归纳
(am)n＝am·n (m、n是正整数)
幂的乘方，底数 ，指数 ．
你能证明出来吗？
三、例题
例1下列计算过程是否正确
（1）a5+a5=2a10 （ ）
（2）（x3）3=x6 （ ）
（3）（－3）2·（－3）4=（－3）6=－36 （ ）
（4）x3+y3=（x+y）3 （ ）
（5）[（m－n）3]4－[（m－n）2]6=0 （ ）
例2 计算：
(1) (103)5; (2) (a4)4; (3) (am)2; (4) -(x4)3.
例3 填空。
(1) a12＝(a3)( )＝(a2)( )＝a3 ·a( )＝(a( ) )2；
(2) 93＝3( )；
(3) 32×9n＝32×3( )＝3( )。
四．
同底数幂的乘法 幂的乘方
把 指数相加、指数相乘、底数不变 这三个词填入上图三个方框内
五、看看谁做得快
计算：（ 口答）
（1） 105×106 （2） (105)6 （3） a7 ·a3 （4） (a7)3
（5） x5 ·x5 （6） (x5)5 （7） x5 ·x ·x3 （8）(y3)2· (y2)3
我们今天学到了什么
1、幂的乘方的法则是：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
2、知识拓展：这里的底数、指数可以是数，可以是字母。
3、幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于，一个是“指数相乘”，一个是“指数相加”。
自我检测
1．计算（102）3=_______，（103）2=________．
2．计算（－x5）2=_______，（－x2）5=________，[（－x）2] 5=______．
3．下列运算正确的是（ ）．
A．（x3）3=x3·x3; B．（x2）6=（x4）4; C．（x3）4=（x2）6; D．（x4）8=（x6）2
4．下列计算错误的是（ ）．
A．（a5）5=a25; B．（x4）m=（x2m）2; C．x2m=（－xm）2; D．a2m=（－a2）m
5．计算下列各题:
（1）（a5）3 （2）（an－2）3 （3）（43）3
（4）（－x3）5 （5）[（－x）2] 3 （6）[（x－y）3] 4
6．x3·（xn）5=x13，则n=_______．
7．（x3）4+（x4）3=________，（a3）2·（a2）3=_________．
8．下列各题中，运算正确的是（ ）．
A．a4+a5=a9 B．a·a3·a7=a10
C．（a3）2·（－a4）3=－a18 D．（－a3）2=－a6
9．计算a·（－a3）·（a2）5的结果是（ ）．
A．a14 B．－a14 C．a11 D．－a11
10．（1）已知am=3，an=2，求am+2n的值;（2）已知a2n+1=5，求a6n+3的值．
11．已知a=3555，b=4444，c=5333，试比较a，b，c的大小．
12．当n为奇数时，（－a2）n·（－an）2=_________．
13．已知164=28m，则m=________．
14．－{－[（－a2）3] 4}2=_________．
15．1010可以写成（ ）．
A．102×105 B．102+105 C．（102）5 D．（105）5
16．比较（27）4与（34）3的大小，可以得到（ ）．
A．（27）4=（34）3 B．（27）4>（34）23
C．（27）4<（34）3 D．无法判断
17．已知n为正整数，且x2n=3，求9（x3n）2的值．
18．若│a－2b│+（b－2）2=0，求a5b10的值．
19．已知3x+4y－5=0，求8x×16y的值．
※20．若n为自然数，试确定34n－1的末位数字．
观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数，猜想它们之间有什么关系 结果中的底数与原式的底数之间有什么关系
EMBED Equation.3 \* MERGEFORMAT
(乘方的意义)
(同底数幂的乘法法则)
(乘法的定义)
想一想：同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点和不同点？
公式
公式
