长沙市重点中学2022-2023学年高一上学期8月开学考试
数学 参考答案
一、单选题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C A D C A B B B
2．【解析】解：如图，，，
，
，
，
故选：．
6．【解析】解：本题有两种情形：
（1）当点在线段上时，如图，；
（2）当点在线段上时，如图，．
故答案为：23或1．
故选：C．
7．【解析】解：由题意，得
由（3）得，（5）
由（1）（5）得，，即，
（6）
由（2）（6）得，
由（4）（6）得，
，，
故选：．
8．【解析】解：、由反比例函数的图象可知，即，由一次函数的图象可知，两结论矛盾，故本选项错误；
、由反比例函数的图象可知，即，由一次函数的图象可知，当时，，故，两结论一致，故本选项正确；
、由反比例函数的图象可知，即，由一次函数的图象可知，两结论矛盾，故本选项错误；
、由反比例函数的图象可知，即，由一次函数的图象可知，两结论矛盾，故本选项错误．
故选：．
9．【解析】解：由题意知，第1个图形需要6根小木棒，
第2个图形需要根小木棒，
第3个图形需要根小木棒，
按此规律，第个图形需要个小木棒，
当时，
解得，
故选：．
10．【解析】解：如图，连接，
是的切线，为半径，
，
即，
，
又，即，
，
是的直径，
，即，
又，而，
，
在和中，
，
，
又，
，
，
即和面积之比为，
故选：．
二、填空题（本大题8小题，每小题4分，共32分）
11． 12．
13．94米 14．
15． 16．1
15． 16．
17．【解析】解：连接，作轴于点，
由题意知，是中点，，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
在反比例函数上，
．
故答案为：．
18．【解析】解：由题意，设，
则，
，
，
，，
．
故答案是：．
三、解答题（本大题共7小题，其中19~24题每小题8分，25题10分，共58分）
19．或
20．【解析】解：由题意得：
，，，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
，
凉亭的高约为．
21．【解析】（1）证明：如图，连接交于点，
四边形是正方形，
垂直平分，
；
（2）证明：，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在上截取，连接，则是等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
22．【解析】解：（1）设时的抛物线为
由图象知抛物线过，，三点
，解得
，．
（2）由图象知，当时，
当时，令，得
解得，（舍去）
当时，另，得
解得
老师可以通过适当的安排，在学生的注意力指标数不低于36时，讲授完这道数学综合题．
23．
24．【解析】证明：（1）如图，连接，
是的直径，，
，
，
，
；
（2）如图，连接，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
为半径，
直线为的切线．
25．【解析】解：（1）当时，，
解得：，，
点的坐标为，点的坐标为；
当时，，
点的坐标为．
（2）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
，．
点的坐标为，，
，，
．
，
当时，取得最大值，
即当取最大值时，的值为1．
（3）存在，设点的坐标为．
在图（2）中，连接，过点作轴于点，过点作轴，过点作轴交于点．
，，
为等腰直角三角形，
，．
抛物线的顶点为，
点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
，
．
，
．
，，，
．
又，
．
又，
，
，即，
解得：（不合题意，舍去），，
点的坐标为．长沙市重点中学2022-2023学年高一上学期8月开学考试
数学
满分：120分 考试时间：120分钟
一、单选题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为（ ）
A．5° B．10°
C．15° D．20°
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．世界近代三大数学难题之一哥德巴赫猜想于1742年由哥德巴赫在给欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个奇素数之和。这个猜想至今没有完全证明，目前最前沿的成果是1966年我国数学家陈景润证明了“1+2”，即他证明了任何一个充分大的偶数，都可以表示为两个数之和，其中一个是素数，另一个或为素数，或为两个素数的乘积，被称为“陈氏定理”。我们知道素数又叫质数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其他自然数整除的数。请问同学们，如果我们从不大于8的自然数中任取两个不同的数，这个两个数都是素数有多少种不同的情况？（ ）
A．6 B．10 C．12 D．16
5．如果，且．则下列说法中不可能成立的是（ ）
A．b为正数，c为负数 B．a为正数，b为负数
C．a为正数，c为负数 D．c为正数，a为负数
6．在线段AB上有P、Q两点，AB=26，AP=14，PQ=11，求BQ的长（ ）
A．1 B．23 C．1或23 D．12
7．一条抛物线的顶点为（4，），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的（ ）
A．只有a B．只有b
C．只有c D．只有a和b
8．反比例函数与一次函数（，）在同一坐标系中的图象只能是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14．根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
10．如图所示，已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE=90°，BC为圆O切线，C为切点，CA=CD，则△ABC和△CDE面积之比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．：2 D．：1
第10题图 第17题图
二、填空题（本大题8小题，每小题4分，共32分）
11．按一定规律排列的数据依次为，，，，…按此规律排列，则第30个数是________．
12．对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当时，min{a，b}=b；当时，min{a，b}=a．例如：min{，1}=，若关于x的函数y=min{，}，则该函数的最大值为________．
13．火车匀速通过长82米的铁桥用了22秒，如果它的速度加快1倍，通过162米长的铁桥就只用了16秒，求这列火车的长度为________．
14．直线过点A（0，2）、B（2，0），直线：过点C（1，0），且把△AOB分成面积相等的两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，则直线的方程为________．
15．已知：，且，求________．
16．正方形边长等于1，通过它的中心引一条直线，已知正方形的四个顶点到这条直线的距离的平方之和恒为定值，则这个定值为________．
17．如图，已知直角三角形ABO中，AO=1，将△ABO绕点O点旋转至△A'B'O的位置，且A'在OB的中点，B'在反比例函数上，则k的值为________．
18．在△ABC中，∠ABC=60°，点P是△ABC内的一点，使得∠APB=∠BPC=∠CPA，且PA=8，PC=6，则PB=________．
三、解答题（本大题共7小题，其中19~24题每小题8分，25题10分，共58分）
19．解方程：．
20．如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得∠ADC=31°，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得∠AFC=42°．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，AB⊥BE，AC⊥CD，CD=BE，BC=DE．结果精确到0.1m）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
21．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE=15°，连接BE．
（1）证明：BE=DE；
（2）延长BE至F，使CF=BC，连接CF，求证：CE+DE=EF．
22．通过实验研究，专家们发现：初中生听课的注意力指标数是随老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）．当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分；当10≤x≤20和20≤x≤40时，图象是线段．
（1）当0≤x≤10时，求y关于x的函数关系式；
（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟，问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36？
23．若一元二次方程的两个根都大于2，求实数a的取值范围．
24．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．
（1）求证：∠BOD=2∠A；
（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．
25．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC．
（1）求点B，点C的坐标；
（2）如图1，点E（m，0）在线段OB上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，OE=OF，连接AF，BF，EF，设△ACF的面积为S1，△BEF的面积为S2，S=S1+S2，当S取最大值时，求m的值；
（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接CD，BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC=∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
