云南省弥勒市第四中学2022-2023学年高二上学期收假收心考试数学试题（Word版含解析）

弥勒四中2024届高二上学期收假收心考试
数学试卷
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数满足（是虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
4.某校高一年级15个班参加合唱比赛，得分从小到大排序依次为：，，则这组数据的分位数是（ ）
A.90 B. C.86 D.93
5.已知单位向量满足，则（ ）
A. B.0 C. D.1
6.“为整数”是“为整数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不允分也不必要条件
7.如图，已知通过斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形，则为（ ）
A.面积为的等腰三角形 B.面积为的等腰三角形
C.面积为的直角三角形 D.面积为的直角三角形
8.为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）
A.向左平行移动个单位 B.向右平行移动个单位
C.向左平行移动个单位 D.向右平行移动个单位
9.设，则（ ）
A. B.
C. D.
10.在中，角所对的边分别是，且，则的形状为（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
11.已知表示不同的直线，表示不同的平面，下列正确的为（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
12.在正方体中，设正方体的棱长为为的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题共90分）
二，填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.为了研究疫情病毒和人的血型间的关系，在被感染的2400人中，型血有800人，型血有600人，B型血有600人，型血有400人.在这2400人中，采用分层抽样的方法抽取一个容量为120人的样本，则应从型血中抽取的人数为__________.
14.抛掷2枚硬币，至少有1枚正面向上的概率等于__________.
15.在中，点满足，若，则__________.
16.已知直三棱柱的侧棱长为2，且，若四点均在球的球面上，则球的表面积等于__________.
三 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知向量满足，且.
（1）求与的大角；
（2）求.
18.（12分）某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间.
（1）求频率分布直方图中的值，并估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率；
（2）从评分在的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率；
（3）估计这50名学生对个性化作业评分的平均数.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
19.（12分）如图在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小.
20.（12分）已知向量，函数.
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的值域.
21.（12分）的内角所对的边分别为，已知.
（1）若，求；
（2）设为边的中点，，求的面积.
22.（12分）设函数且是定义域为的奇函数.
（1）求的值；
（2）若，试判断函数的单调性（不需要证明），并求不等式的解集.
弥勒四中2024届高二上学期收假收心考试
数学参考答案
一，选择题：
1.【答案】A
【解析】
【分析】解不等式，得到，从而求出交集.
【详解】因为，所以
2.【答案】C
3.【答案】A
【解析】
【分析】将特称命题否定为全称命题即可.
【详解】命题“”的否定是.
4.【答案】B
【解析】
【分析】根据分位数的定义逐个求解即可
【详解】因为，所以这组数据的分位数是第12个数和第13个数的平均数，即
5.【答案】C
【解析】
【分析】直接由求出即可.
【详解】由题意知，，即，解得.
6.【答案】A
7.【答案】D
【详解】如图因为斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形，故，将直观图还原，则故所得三角形为直角三角形，面积为.
8.【答案】B
【解析】
【分析】利用两角和差公式先将函数化简为，然后再通过三角函数图像的伸缩平移得出答案.
【详解】由题意得，
所以应把函数的图像向右平移个单位.
9.【答案】D
【解析】
【分析】根据对数函数的性质即可得到结果.
【详解】因为，
又由对数函数的性质：当时，底数越大，图像越低，可得，所以.
10.【答案】A
【详解】
因为，所以，
即，
整理得到，
因为，所以，
即为等腰三角形.
11.【答案】B
【解析】
【分析】利用平行与垂直的判定定理与性质定理进行判定.
【详解】对于选项，也可能，故错误；
对于B选项，由线面平行的性质定理可知B正确；
对于选项，也可能，故错误；
对于选项，若不垂直于与的公共棱，则不垂直于，故错误；
故选：B
12.【答案】A
【详解】
在正方体中，连接，如图，
，且，则四边形是平行四边形，，
则是异面直线与所成的角或其补角，
因为的中点，则有，而平面平面，
则，又平面平面平面，即有，而，即，因此，，
所以异面直线与所成的角为.
二，填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】40
14.【答案】
【解析】
【分析】利用古典概型的概率和对立事件的概率求解.
【详解】解：抛掷2枚硬币，没有1枚正面向上的概率为，
所以至少有1枚正面向上的概率等于，
故答案为：
15.【答案】
【解析】
【分析】先由题设得，再由平面向量的线性运算及平面基本定理得出，即可求解.
【详解】
由可知，则
，
则，则.
故答案为：.
16.【答案】
【解析】因为，所以是直角三角形，
所以，即外接球的半径为：，
所以外接球的表面积为，
故答案为：.
三 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
【解析】（1）由，
得，因为，
所以.
（2）由题意得
18.（12分）
【解析】（1）由题意得：，
解得：，
由频率分布直方图知，不低于70分的三组频率之和为，
因此估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率为.
（2）评分在的人数为2人，设为，在的人数为3人，设为，
从这5人中随机抽取2人，共10个等可能的基本事件，
分别为，
记事件为“2人评分都在”，包含3个基本事件，分别为，所以，
因此2人评分都在的概率为.
（3）这50名学生对个性化作业评分的平均数为：.
19.（12分）
【解析】
（1）因为四边形为正方形，连接，则为中点，为中点，所以在中，且平面平面，
所以平面.
（2）因为，
所以直线与平面所成角的大小等于直线与平面所成角的大小，
因为侧面底面，所以就是直线与平面所成角，
在中，，所以，
所以直线与平面所成角的大小为.
20.（12分）
【解析】
【小问1详解】
，
所以；
【小问2详解】
由得，
所以，
，
所以的值域为.
21.（12分）
【解析】
【小问1详解】
解：由余弦定理，
得，
解得或（舍去），
所以.
【小问2详解】
解：由为边的中点，所以，
所以，
即，所以，
所以，
所以.
22.（12分）
【解析】
解：（1）因为函数且是定义域为的奇函数，所以，所以，即，解得.
（2）由于，所以，所以，所以.由此可知在上是增函数.
由得，以及在上是增函数.所以，解得.所以不等式的解集是.