集合与函数的概念的导学案
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文档简介
第一章 集合与函数的概念
§1.1.1《集合的含义与表示》（1）导学案
【学习目标】
1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.
【重点难点】
重点：掌握集合的基本概念。 难点：元素与集合的关系。
【自主学习】
认真阅读教材P1-P3，对照【学习目标】，完成导学案，适当总结。
（预习教材P2- P3，找出疑惑之处）
讨论：军训前学校通知：8月15日上午8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体.
集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件.
【合作探究】
※ 探索新知
探究1：考察几组对象：
① 1～20以内所有的质数；
② 到定点的距离等于定长的所有点；
③ 所有的锐角三角形；
④ , , , ；
⑤ 东升高中高一级全体学生；
⑥ 方程的所有实数根；
⑦ 隆成日用品厂2008年8月生产的所有童车；
⑧ 2008年8月，广东所有出生婴儿.
试回答：
各组对象分别是一些什么？有多少个对象？
新知1：一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些元素组成的总体叫做集合（set）.
试试1：探究1中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么？
探究2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？
新知2：集合元素的特征
对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征.
确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.
无序性：集合中的元素没有顺序.
只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 .
试试2：分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：
① 不等式的解；
② 3的倍数；
③ 方程的解；
④ a，b，c，x，y，z；
⑤ 最小的整数；
⑥ 周长为10 cm的三角形；
⑦ 中国古代四大发明；
⑧ 全班每个学生的年龄；
⑨ 地球上的四大洋；
⑩ 地球的小河流.
探究3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？
新知3：集合的字母表示
集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示.
如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作：a∈A；
如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作：aA.
试试3： 设B表示“5以内的自然数”组成的集合，则5 B，0.5 B， 0 B， －1 B.
探究4：常见的数集有哪些，又如何表示呢？
新知4：常见数集的表示
非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N；
正整数集：所有正整数的集合，记作N*或N+；
整数集：全体整数的集合，记作Z；
有理数集：全体有理数的集合，记作Q；
实数集：全体实数的集合，记作R.
试试4：填∈或：0 N，0 R，3.7 N，3.7 Z， Q， R.
探究5：探究1中①～⑧分别组成的集合，以及常见数集的语言表示等例子，都是用自然语言来描述一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方法呢？
新知5：列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.
注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a与{a}不同.
试试5：试试2中，哪些对象组成的集合能用列举法表示出来，试写出其表示.
【展示点拨】
1、用列举法表示下列集合：
① 15以内质数的集合；
② 方程的所有实数根组成的集合；
③ 一次函数与的图象的交点组成的集合.
变式：用列举法表示“一次函数的图象与二次函数的图象的交点”组成的集合.
【达标检测】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列说法正确的是（ ）.
A．某个村子里的高个子组成一个集合 B．所有小正数组成一个集合
C．集合和表示同一个集合 D．这六个数能组成一个集合
2. 给出下列关系：
① ；② ；③；④
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3. 直线与y轴的交点所组成的集合为（ ）.
A. B. C. D.
4. 设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：
深圳 A； 广州 A. （填∈或）
5. “方程的所有实数根”组成的集合用列举法表示为____________.
【拓展延伸】
1. 用列举法表示下列集合：
（1）由小于10的所有质数组成的集合；
（2）10的所有正约数组成的集合；
（3）方程的所有实数根组成的集合.
2. 设x∈R，集合.
（1）求元素x所应满足的条件；
（2）若，求实数x.
【学习反思】
1.集合的概念
2.集合元素的三个特征：其中“集合中的元素必须是确定的”应理解为：对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的.“集合中的元素必须是互异的”应理解为：对于给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
3.常见数集的专用符
§1.1.1 《集合的含义与表示》（2）导学案
【学习目标】
1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.
【重点难点】
重点：集合的两种表示方法。 难点：对描述法的理解。
【自主学习】
（预习教材P4-P5，找出疑惑之处）
复习1：一般地，指定的某些对象的全体称为 .其中的每个对象叫作 .
集合中的元素具备 、 、 特征.
集合与元素的关系有 、 .
复习2：集合的元素是 ，若1∈A，则x= .
复习3：集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？四个集合有何关系？
【合作探究】
思考：
① 你能用自然语言描述集合吗？
② 你能用列举法表示不等式的解集吗？
探究：比较如下表示法
① {方程的根}；
② ；
③ .
新知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为，其中x代表元素，P是确定条件.
试试：方程的所有实数根组成的集合，用描述法表示为 .
【展示点拨】
1、试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）方程的所有实数根组成的集合；
（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.
2、试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）抛物线上的所有点组成的集合；
（2）方程组解集.
变式一：用描述法表示下列集合.
（1）方程的所有实数根组成的集合；
（2）所有奇数组成的集合.
变式二：已知集合，集合. 试用列举法分别表示集合A、B.
变式三：以下三个集合有什么区别.
（1）；
（2）；
（3）.
点拨：
① 描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如与不同.
② 只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如，.
③ 集合的{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集Z，所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集}，{R}也是错误的.
④ 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.
【达标检测】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 设，则下列正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
2. 下列说法正确的是（ ）.
A.不等式的解集表示为
B.所有偶数的集合表示为
C.全体自然数的集合可表示为{自然数}
D. 方程实数根的集合表示为
3. 一次函数与的图象的交点组成的集合是（ ）.
A. B.
C. D.
4. 用列举法表示集合为
.
5.集合A＝{x|x=2n且n∈N}， ，用∈或填空：
4 A，4 B，5 A，5 B.
【拓展延伸】
1. （1）设集合 ，试用列举法表示集合A.
（2）设A＝{x|x＝2n，n∈N，且n<10}，B＝{3的倍数}，求属于A且属于B的元素所组成的集合.
2. 若集合，集合，且，求实数a、b.
【学习反思】
※ 学习小结
1. 集合的三种表示方法（自然语言、列举法、描述法）；
2. 会用适当的方法表示集合；
※ 知识拓展
1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如：
（1）所有直角三角形的集合可以表示为：，也可以写成：{直角三角形}；
（2）集合与集合是同一个集合吗？
2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合，即：文氏图，或称Venn图.
§1.1.2 《集合间的基本关系》导学案
【学习目标】
1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
2. 理解子集、真子集的概念；
3. 能利用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；
4. 了解空集的含义.
【重点难点】
重点：子集与空集的概念；能利用Venn图表达集合间的关系。
难点：弄清属于与包含的关系。
【自主学习】
（预习教材P6- P7，找出疑惑之处）
复习1：集合的表示方法有 、 、
. 请用适当的方法表示下列集合.
（1）10以内3的倍数；（2）1000以内3的倍数.
复习2：用适当的符号填空.
（1） 0 N； Q； -1.5 R.
（2）设集合，，则1 A；b B； A.
思考：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？
【合作探究】
探究：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：
与；
与；与.
新知：子集、相等、真子集、空集的概念.
① 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset），记作：，读作：A包含于（is contained in）B，或B包含(contains)A.
当集合A不包含于集合B时，记作.
② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系为：
.
③ 集合相等：若，则中的元素是一样的，因此.
④ 真子集：若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作：A B（或B A），读作：A真包含于B（或B真包含A）.
⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
试试：用适当的符号填空.
（1） ， ；
（2） ， R；
（3）N ，Q N；
（4） .
反思：思考下列问题.
（1）符号“”与“”有什么区别？试举例说明.
（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.
（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？
① 若；
② 若.
【展示点拨】
1、写出集合的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.
变式：写出集合的所有真子集组成的集合.
2、判断下列集合间的关系：
（1）与；
（2）设集合A={0,1}，集合，则A与B的关系如何？
变式：若集合，，且满足，求实数的取值范围.
【达标检测】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列结论正确的是（ ）.
A. A B.
C. D.
2. 设，且，则实数a的取值范围为（ ）.
A. B.
C. D.
3. 若，则（ ）.
A. B.
C. D.
4. 满足的集合A有 个.
5. 设集合，，则它们之间的关系是 ，并用Venn图表示.
【拓展延伸】
1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格. 若用A表示合格产品的集合，B表示质量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？
试用Venn图表示这三个集合的关系.
2. 已知，且，求实数p、q所满足的条件.
【学习反思】
※ 学习小结
1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn图图示；一些结论.
2. 两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，特别要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法.
※ 知识拓展
如果一个集合含有n个元素，那么它的子集有个，真子集有个.
§1.1.3 《集合的基本运算》（1）导学案
【学习目标】
1. 理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；
2. 会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题；
3. 能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
【重点难点】
重点：交集与并集的概念，数形结合的思想。
难点：理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系。
【自主学习】
（预习教材P8- P9，找出疑惑之处）
复习1：用适当符号填空.
0 {0}； 0 ； {x|x＋1＝0,x∈R}；
{0} {x|x<3且x>5}；{x|x>－3} {x|x>2}；
{x|x>6} {x|x<－2或x>5}.
复习2：已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5}，则A S， {x|x∈S且xA}= .
思考：实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？
【合作探究】
探究：设集合，.
（1）试用Venn图表示集合A、B后，指出它们的公共部分（交）、合并部分（并）；
（2）讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并？
新知：交集、并集.
① 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作A、B的交集（intersection set），记作A∩B，读“A交B”，即：
Venn图如右表示.
② 类比说出并集的定义.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集（union set），记作：，读作：A并B，用描述法表示是：
.
Venn图如右表示.
试试：
（1）A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝ ；
（2）设A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝ ；
（3）A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝ ，A∩B＝ .
（4）分别指出A、B两个集合下列五种情况的交集部分、并集部分.
反思：
（1）A∩B与A、B、B∩A有什么关系？
（2）A∪B与集合A、B、B∪A有什么关系？
（3）A∩A＝ ；A∪A＝ .
A∩＝ ；A∪＝ .
【展示点拨】
1、设，，求A∩B、A∪B.
变式：若A＝{x|-5≤x≤8}，，则A∩B= ；
A∪B= .
2、设，，求A∩B.
变式：
（1）若，，则 ；
（2）若，，则 .
点拨：
1、有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究.
2、第2题及变式的结论说明了什么几何意义？
【达标检测】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 设那么等于（ ）.
A． B．
C． D．
2. 已知集合M＝｛(x, y)|x+y=2｝，N={(x, y)|x－y=4},那么集合M∩N为（ ）.
A. x=3, y=－1 B. (3，－1)
C.｛3，－1｝ D.｛(3，－1)｝
3. 设，则等于（ ）.
A. {0,1,2,6} B. {3,7,8,}
C. {1,3,7,8} D. {1,3,6,7,8}
4. 设，，若，求实数a的取值范围是 .
5. 设，则= .
【拓展延伸】
1. 设平面内直线上点的集合为，直线上点的集合为，试分别说明下面三种情况时直线与直线的位置关系？
（1）；
（2）；
（3）.
2. 若关于x的方程3x2+px－7=0的解集为A，方程3x2－7x+q=0的解集为B，且A∩B={}，求.
【学习反思】
※ 学习小结
1. 交集与并集的概念、符号、图示、性质；
2. 求交集、并集的两种方法：数轴、Venn图.
※ 知识拓展
，
，
，
，
.
你能结合Venn图，分析出上述集合运算的性质吗？
§1.1.3 《集合的基本运算》（2）导学案
【学习目标】
1. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
2. 能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
【重点难点】
重点：补集的有关运算及数轴的应用。 难点：对补集概念的理解。
【自主学习】
（预习教材P10- P11，找出疑惑之处）
复习1：集合相关概念及运算.
① 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的 ，记作 .
若集合，存在元素，则称集合A是集合B的 ，记作 .
若，则 .
② 两个集合的 部分、 部分，分别是它们交集、并集，用符号语言表示为：
；
.
复习2：已知A＝{x|x＋3>0}，B＝{x|x≤－3}，则A、B、R有何关系？
【合作探究】
探究：设U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、B={全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系？
新知：全集、补集.
① 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U.
② 补集：已知集合U, 集合AU，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作A相对于U的补集（complementary set），记作：，读作：“A在U中补集”，即.
补集的Venn图表示如右：
说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，补集的概念必须要有全集的限制.
试试：
（1）U={2,3,4}，A={4,3}，B=，则= ，= ；
（2）设U＝{x|x<8，且x∈N}，A＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则＝ ；
（3）设集合，则= ；
（4）设U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则＝ .
反思：
（1）在解不等式时，一般把什么作为全集？在研究图形集合时，一般把什么作为全集？
（2）Q的补集如何表示？意为什么？
【展示点拨】
1、设U＝{x|x<13，且x∈N}，A＝{8的正约数}，B＝{12的正约数}，求、.
2、设U=R，A＝{x|－1变式一：分别求、.
变式二： 分别用集合A、B、C表示下图的阴影部分.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
点拨：
结合Venn图分析，如何得到性质：
（1） ， ；（2） .
【达标检测】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 设全集U=R，集合，则=（ ）
A. 1 B. －1，1
C. D.
2. 已知集合U=，，那么集合（ ）.
A. B.
C. D.
3. 设全集,集合,
，则（ ）.
A．｛０｝ B．
C． D．
4. 已知U={x∈N|x≤10}，A={小于11的质数}，则= .
5. 定义A—B={x|x∈A，且xB}，若M={1,2,3,4,5}，N={2,4,8}，则N—M= .
【拓展延伸】
1. 已知全集I=，若，，求实数.
2. 已知全集U=R，集合A=， 若，试用列举法表示集合A
【学习反思】
※ 学习小结
1. 补集、全集的概念；补集、全集的符号.
2. 集合运算的两种方法：数轴、Venn图.
※ 知识拓展
试结合Venn图分析，探索如下等式是否成立？
（1）；
（2）.
§1.2.1 《函数的概念》（1）导学案
【学习目标】
1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
2. 了解构成函数的要素；3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合.
【重点难点】
重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念；
难点：对函数概念及符号y=f(x)的理解。
【自主学习】
（预习教材P15- P17，找出疑惑之处）
复习1：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？
复习2：（初中对函数的定义）在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.
【合作探究】
探究任务一：函数模型思想及函数概念
问题：研究下面三个实例：
A. 一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是.
B. 近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.
C. 国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低. “八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表.
年份 1991 1992 1993 1994 1995 …
恩格尔系数% 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 …
讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？
归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：.
新知：函数定义.
设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：.
其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）.
试试：
（1）已知，求、、、的值.
（2）函数值域是 .
反思：
（1）值域与B的关系是 ；构成函数的三要素是 、 、 .
（2）常见函数的定义域与值域.
函数 解析式 定义域 值域
一次函数
二次函数 ，其中
反比例函数
探究任务二：区间及写法
新知：设a、b是两个实数，且a叫闭区间；
叫开区间；
，都叫半开半闭区间.
实数集R用区间表示，其中“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”.
试试：用区间表示.
（1）{x|x≥a}= 、{x|x>a}= 、
{x|x≤b}= 、{x|x（2）= .
（3）函数y＝的定义域 ，
值域是 . （观察法）
【展示点拨】
1、已知函数.
（1）求的值；
（2）求函数的定义域（用区间表示）；
（3）求的值.
变式一：已知函数.
（1）求的值；
（2）求函数的定义域（用区间表示）；
（3）求的值.
变式二： 已知函数，求、、的值.
【达标检测】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 已知函数，则（ ）.
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 函数的定义域是（ ）.
A. B.
C. D.
3. 已知函数，若，则a=（ ）.
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
4. 函数的值域是 .
5. 函数的定义域是 ，值域是 .
（用区间表示）
【拓展延伸】
1. 求函数的定义域与值域.
2. 已知，.
（1）求的值；
（2）求的定义域；
（3）试用x表示y.
【学习反思】
※ 学习小结
①函数模型应用思想；②函数概念；③二次函数的值域；④区间表示.
※ 知识拓展
求函数定义域的规则：
① 分式：，则；
② 偶次根式：，则；
③ 零次幂式：，则.
§1.2.1 《函数的概念》（2）导学案
【学习目标】
1. 会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；
2. 掌握判别两个函数是否相同的方法.
【重点难点】
重点：用区间符号正确表示数的集合，求简单函数定义域和值域及函数相等的判断。
难点：求函数定义域和值域。
【自主学习】
（预习教材P18-P19，找出疑惑之处）
复习1：函数的三要素是 、 、 .函数与y＝3x是不是同一个函数？为何？
复习2：用区间表示函数y＝kx＋b、y＝ax＋bx＋c、y＝的定义域与值域，其中，.
【合作探究】
探究任务：函数相同的判别
讨论：函数y=x、y=()、y=、y=、y=有何关系？
试试：判断下列函数与是否表示同一个函数，说明理由？
① = ； = 1.
② = x； = .
③ = x 2； = .
④ = | x | ；= .
小结：
① 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
【展示点拨】
1、 求下列函数的定义域 （用区间表示）.
（1）；
（2）；
（3）.
变式：求下列函数的定义域 （用区间表示）.
（1）；
（2）.
点拨：
（1）定义域求法（分式、根式、组合式）；
（2）求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）.
2、求下列函数的值域（用区间表示）：
（1）y＝x－3x＋4； （2）；
（3）y＝； （4）.
变式：求函数的值域.
点拨：
求函数值域的常用方法有：
观察法、配方法、拆分法、基本函数法.
【达标检测】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 函数的定义域是（ ）.
A. B. C. R D.
2. 函数的值域是（ ）.
A. B.
C. D. R
3. 下列各组函数的图象相同的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 函数f(x) = +的定义域用区间表示是 .
5. 若，则= .
【拓展延伸】
1. 设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积y关于x的函数的解析式，并写出定义域.
2. 已知二次函数f(x)=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f(x－1)=f(3－x)且方程f(x)=2x有等根，求f(x)的解析式.
【学习反思】
※ 学习小结
1. 定义域的求法及步骤；
2. 判断同一个函数的方法；
3. 求函数值域的常用方法.
※ 知识拓展
对于两个函数和，通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称它为函数和的复合函数，记作. 例如由与复合.
§1.2.2 《函数的表示法》（1）导学案
【学习目标】
1. 明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
2. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
【重点难点】
重点：函数的表示方法，根据具体问题选择合适的方法来表示两个变量之间的函数关系。
难点：函数三种表示方法的选择。
【自主学习】
（预习教材P19- P21，找出疑惑之处）
复习1：
（1）函数的三要素是 、 、 .
（2）已知函数，则 ，= ，的定义域为 .
（3）分析二次函数解析式、股市走势图、银行利率表的表示形式.
复习2：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.
【合作探究】
探究任务：函数的三种表示方法
讨论：结合具体实例，如：二次函数解析式、股市走势图、银行利率表等，说明三种表示法及优缺点.
小结：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值.
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值.
【展示点拨】
1、 某种笔记本的单价是2元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数.
变式一：作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）. 试用三种方法表示此实例中的函数.
点拨：
上题及变式的函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？
2、 邮局寄信，不超过20g重时付邮资0.5元，超过20g重而不超过40g重付邮资1元. 每封x克（0变式二： 某水果批发店，100 kg内单价1元／kg，500 kg内、100 kg及以上0.8元／kg，500 kg及以上0.6元／kg，试写出批发x千克应付的钱数y（元）的函数解析式.
变式三：画出函数f(x)=|x－1|＋|x＋2|的图象.
点拨：
分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）. 在生活实例有哪些分段函数的实例？
【达标检测】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 如下图可作为函数的图象的是（ ）.
A. B. C. D.
2. 函数的图象是（ ）.
A. B. C. D.
3. 设，若，则x=（ ）
A. 1 B. C. D.
4. 设函数f（x）＝，则＝ .
5. 已知二次函数满足，且图象在轴上的截距为0，最小值为－1，则函数的解析式为 .
【拓展延伸】
1. 动点P从单位正方形ABCD顶点A开始运动一周，设沿正方形ABCD的运动路程为自变量x，写出P点与A点距离y与x的函数关系式，并画出函数的图象.
2. 根据下列条件分别求出函数的解析式.
（1）； （2）.
【学习反思】
※ 学习小结
1. 函数的三种表示方法及优点；
2. 分段函数概念；
3. 函数图象可以是一些点或线段.
※ 知识拓展
任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系.
§1.2.2 《函数的表示法》（2）导学案
【学习目标】
1. 了解映射的概念及表示方法；
2. 结合简单的对应图示，了解一一映射的概念；
3. 能解决简单函数应用问题.
【重点难点】
重点、难点：分段函数的理解，分段函数的图象及简单应用。
【自主学习】
（预习教材P22- P23，找出疑惑之处）
复习：举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：
① 对于任何一个 ，数轴上都有唯一的点P和它对应；
② 对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的
和它对应；
③ 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
④ 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应.
你还能说出一些对应的例子吗？
讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？
【合作探究】
探究任务：映射概念
探究 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意.
① , ，对应法则：开平方；
② ，，对应法则：平方；
③ , , 对应法则：求正弦.
新知：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“”
关键：A中任意，B中唯一；对应法则f.
试试：分析例1 ①～③是否映射？举例日常生活中的映射实例？
反思：
① 映射的对应情况有 、 ，一对多是映射吗？
② 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射.
【展示点拨】
1、探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？
（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R；
（2）A={三角形}，B={圆}；
（3）A={ P | P是平面直角体系中的点}，；
（4） A={高一学生}，B= {高一班级}.
变式一：如果是从B到A呢？
变式二：下列对应是否是集合A到集合B的映射
（1），对应法则是“乘以2”；
（2）A= R*，B=R，对应法则是“求算术平方根”；
（3）R，对应法则是“求倒数”.
【达标检测】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在映射中，，且，则与A中的元素对应的B中的元素为（ ）.A. B. C. D.
2.下列对应：
① ②
③不是从集合A到B映射的有（ ）.
A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③
3. 已知，则=（ ）
A. 0 B. C. D.无法求
4. 若， 则= .
5. 已知f(x)=x21，g(x)=则f[g(x)] = .
【拓展延伸】
1. 若函数的定义域为[1，1]，求函数的定义域.
2. 中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x分钟，两种通讯方式费用分别为（元）.
（1）写出与x之间的函数关系式？
（2）一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？
（3）若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？
【学习反思】
※ 学习小结
1. 映射的概念；
2. 判定是否是映射主要看两条：一条是A集合中的元素都要有对应，但B中元素未必要有对应；二条是A中元素与B中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式．
§1.3.1 《单调性与最大（小）值》（1）导学案
【学习目标】
1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
2. 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性；
3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
【重点难点】
重点：理解增函数、减函数的概念。 难点：单调性概念的形成与应用。
【自主学习】
（预习教材P27- P29，找出疑惑之处）
引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？
复习1：观察下列各个函数的图象.
探讨下列变化规律：
① 随x的增大，y的值有什么变化？
② 能否看出函数的最大、最小值？
③ 函数图象是否具有某种对称性？
复习2：画出函数、的图象.
小结：描点法的步骤为：列表→描点→连线.
【合作探究】
探究任务：单调性相关概念
思考：根据、的图象进行讨论：随x的增大，函数值怎样变化？当x>x时，f(x)与f(x)的大小关系怎样？
问题：一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？
新知：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1试试：仿照增函数的定义说出减函数的定义.
新知：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间.
反思：
① 图象如何表示单调增、单调减？
② 所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？
③ 函数的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
试试：如图，定义在[-5,5]上的f(x)，根据图象说出单调区间及单调性.
【展示点拨】
1、 根据下列函数的图象，指出它们的单调区间及单调性，并运用定义进行证明.
（1）； （2）.
变式一：指出下列函数的单调区间及单调性.
（1）； （2）.
变式二：指出、的单调性.
2、 物理学中的玻意耳定律（k为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明.
点拨：
① 比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号；
② 证明函数单调性的步骤：
第一步：设x、x∈给定区间，且x第二步：计算f(x)－f(x)至最简；
第三步：判断差的符号；
第四步：下结论.
【达标检测】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 函数的单调增区间是（ ）
A. B. C. R D.不存在
2. 如果函数在R上单调递减，则（ ）
A. B. C. D.
3. 在区间上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4. 函数的单调性是 .
5. 函数的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
【拓展延伸】
1. 讨论的单调性并证明.
2. 讨论的单调性并证明.
【学习反思】
※ 学习小结
1. 增函数、减函数、单调区间的定义；
2. 判断函数单调性的方法（图象法、定义法）.
3. 证明函数单调性的步骤：取值→作差→变形→ 定号→下结论.
※ 知识拓展
函数的增区间有、，减区间有、 .
§1.3.1 《单调性与最大（小）值》（2）导学案
【学习目标】
1. 理解函数的最大（小）值及其几何意义；
2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
【重点难点】
重点：应用函数单调性求函数最值。 难点：理解函数最值可取性的意义。 ( http: / / www. )
【自主学习】
（预习教材P30- P32，找出疑惑之处）
复习1：指出函数的单调区间及单调性，并进行证明.
复习2：函数的最小值为 ，的最大值为 .
复习3：增函数、减函数的定义及判别方法.
【合作探究】
探究任务：函数最大（小）值的概念
思考：先完成下表，
函数 最高点 最低点
,
,
讨论体现了函数值的什么特征？
新知：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0) = M. 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）.
试试：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value）的定义．
反思：
一些什么方法可以求最大（小）值？
【展示点拨】
1、一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是，那么什么时刻距离地面的高度达到最大？最大是多少？
变式一：经过多少秒后炮弹落地？
变试二：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？
点拨：
数学建模的解题步骤：审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值.
2、求在区间[3，6]上的最大值和最小值.
变式一：求的最大值和最小值.
变式二：求的值域.
点拨：
先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值.
【达标检测】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 函数的最大值是（ ）.
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 函数的最小值是（ ）.
A. 0 B. －1 C. 2 D. 3
3. 函数的最小值是（ ）.
A. 0 B. 2 C. 4 D.
4. 已知函数的图象关于y轴对称，且在区间上，当时，有最小值3，则在区间上，当 时，有最 值为 .
5. 函数的最大值为 ，最小值为 .
【拓展延伸】
1. 作出函数的简图，研究当自变量x在下列范围内取值时的最大值与最小值．
（1）； （2） ；（3）.
2. 如图，把截面半径为10 cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为，面积为，试将表示成的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？
【学习反思】
※ 学习小结
1. 函数最大（小）值定义；.
2. 求函数最大（小）值的常用方法：配方法、图象法、单调法.
※ 知识拓展
求二次函数在闭区间上的值域，需根据对称轴与闭区间的位置关系，结合函数图象进行研究. 例如求在区间上的值域，则先求得对称轴，再分、、、等四种情况,由图象观察得解.
§1.3.2 《奇偶性》导学案
【学习目标】
1. 理解函数的奇偶性及其几何意义；
2. 学会判断函数的奇偶性；
3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
【重点难点】
重点：函数的奇偶性的概念。 难点：函数奇偶性的判断。
【自主学习】
（预习教材P33- P36，找出疑惑之处）
复习1：指出下列函数的单调区间及单调性.
（1）； （2）
复习2：对于f(x)＝x、f(x)＝x、f(x)＝x、f(x)＝x，分别比较f(x)与f(－x).
【合作探究】
探究任务：奇函数、偶函数的概念
思考：在同一坐标系分别作出两组函数的图象：
（1）、、；
（2）、.
观察各组图象有什么共同特征？函数解析式在函数值方面有什么特征？
新知：一般地，对于函数定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫偶函数（even function）.
试试：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function）的定义.
反思：
① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别？
② 奇函数、偶函数的定义域关于 对称，图象关于 对称.
试试：已知函数在y轴左边的图象如图所示，画出它右边的图象.
【展示点拨】
1、 判别下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
点拨：
判别方法，先看定义域是否关于原点对称，再计算，并与进行比较.
变试：判别下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝|x＋1|+|x－1|； （2）f(x)＝x＋；
（3）f(x)＝； （4）f(x)＝x, x∈[-2,3].
2、已知f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断f(x)的(-∞,0)上的单调性，并给出证明.
点拨：
设→转化→单调应用→奇偶应用→结论.
变式：已知f(x)是偶函数，且在[a,b]上是减函数，试判断f(x)在[-b,-a]上的单调性，并给出证明.
【达标检测】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 对于定义域是R的任意奇函数有（ ）.
A． B．
C． D．
2. 已知是定义上的奇函数，且在上是减函数. 下列关系式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列说法错误的是（ ）.
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 既是奇函数，又是偶函数
D.既不是奇函数，又不是偶函数
4. 函数的奇偶性是 .
5. 已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是 函数，且最 值为 .
【拓展延伸】
1. 已知是奇函数，是偶函数，且，求、.
2. 设在R上是奇函数，当x>0时，， 试问：当<0时，的表达式是什么？
【学习反思】
※ 学习小结
1. 奇函数、偶函数的定义及图象特征；
2. 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.
3. 判断函数奇偶性的方法：图象法、定义法.
※ 知识拓展
定义在R上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.
第一章 《集合与函数的概念（复习）》导学案
【学习目标】
1. 理解集合有关概念和性质，掌握集合的交、并、补等三种运算的，会利用几何直观性研究问题，如数轴分析、Venn图；
2. 深刻理解函数的有关概念，理解对应法则、图象等有关性质，掌握函数的单调性和奇偶性的判定方法和步骤，并会运用解决实际问题.
【自主学习】
（复习教材P2- P45，找出疑惑之处）
复习1：集合部分.
① 概念：一组对象的全体形成一个集合
② 特征：确定性、互异性、无序性
③ 表示：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}
④ 关系：∈、、、、=
⑤ 运算：A∩B、A∪B、
⑥ 性质：AA； A，….
⑦ 方法：数轴分析、Venn图示.
复习2：函数部分.
① 三要素：定义域、值域、对应法则；
② 单调性：定义域内某区间D，，
时，，则的D上递增；
时，，则的D上递减.
③ 最大（小）值求法：配方法、图象法、单调法.
④ 奇偶性：对定义域内任意x，
奇函数；
偶函数.
特点：定义域关于原点对称，图象关于y轴对称.
【合作探究】
1. 判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）（R）； （4）
2. 将长度为20 cm的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为多少？
【展示点拨】
1、设集合，
，.
（1）若=，求a的值；
（2）若，且=，求a的值；
（3）若=，求a的值.
2、 已知函数是偶函数，且时，.
（1）求的值； （2）求时的值；
（3）当>0时，求的解析式．
3、 设函数．
（1）求它的定义域； （2）判断它的奇偶性；
（3）求证：；
（4）求证：在上递增.
【达标检测】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若，则下列结论中正确的是（ ）.
A. B. 0A
C. D. A
2. 函数，是（ ）.
A．偶函数 B．奇函数
C．不具有奇偶函数 D．与有关
3. 在区间上为增函数的是（ ）.
A． B．
C． D．
4. 某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有 人.
5. 函数在R上为奇函数，且时，，则当， .
【拓展延伸】
1. 数集A满足条件：若，则.
（1）若2，则在A中还有两个元素是什么；
（2）若A为单元集，求出A和.
2. 已知是定义在R上的函数，设
，.
（1）试判断的奇偶性；
（2）试判断的关系；
（3）由此你猜想得出什么样的结论，并说明理由？
【学习反思】
※ 学习小结
1. 集合的三种运算：交、并、补；
2. 集合的两种研究方法：数轴分析、Venn图示；
3. 函数的三要素：定义域、解析式、值域；
4. 函数的单调性、最大（小）值、奇偶性的研究.
※ 知识拓展
要作函数的图象，只需将函数的图象向左或向右平移个单位即可. 称之为函数图象的左、右平移变换.
要作函数的图象，只需将函数的图象向上或向下平移个单位即可. 称之为函数图象的上、下平移变换.
B
A
A
B
A
B
A
A(B)
A
B
B A
A B
B
A
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
§1.1.1《集合的含义与表示》（1）导学案
【学习目标】
1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.
【重点难点】
重点：掌握集合的基本概念。 难点：元素与集合的关系。
【自主学习】
认真阅读教材P1-P3，对照【学习目标】，完成导学案，适当总结。
（预习教材P2- P3，找出疑惑之处）
讨论：军训前学校通知：8月15日上午8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体.
集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件.
【合作探究】
※ 探索新知
探究1：考察几组对象：
① 1～20以内所有的质数；
② 到定点的距离等于定长的所有点；
③ 所有的锐角三角形；
④ , , , ；
⑤ 东升高中高一级全体学生；
⑥ 方程的所有实数根；
⑦ 隆成日用品厂2008年8月生产的所有童车；
⑧ 2008年8月，广东所有出生婴儿.
试回答：
各组对象分别是一些什么？有多少个对象？
新知1：一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些元素组成的总体叫做集合（set）.
试试1：探究1中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么？
探究2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？
新知2：集合元素的特征
对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征.
确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.
无序性：集合中的元素没有顺序.
只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 .
试试2：分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：
① 不等式的解；
② 3的倍数；
③ 方程的解；
④ a，b，c，x，y，z；
⑤ 最小的整数；
⑥ 周长为10 cm的三角形；
⑦ 中国古代四大发明；
⑧ 全班每个学生的年龄；
⑨ 地球上的四大洋；
⑩ 地球的小河流.
探究3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？
新知3：集合的字母表示
集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示.
如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作：a∈A；
如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作：aA.
试试3： 设B表示“5以内的自然数”组成的集合，则5 B，0.5 B， 0 B， －1 B.
探究4：常见的数集有哪些，又如何表示呢？
新知4：常见数集的表示
非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N；
正整数集：所有正整数的集合，记作N*或N+；
整数集：全体整数的集合，记作Z；
有理数集：全体有理数的集合，记作Q；
实数集：全体实数的集合，记作R.
试试4：填∈或：0 N，0 R，3.7 N，3.7 Z， Q， R.
探究5：探究1中①～⑧分别组成的集合，以及常见数集的语言表示等例子，都是用自然语言来描述一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方法呢？
新知5：列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.
注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a与{a}不同.
试试5：试试2中，哪些对象组成的集合能用列举法表示出来，试写出其表示.
【展示点拨】
1、用列举法表示下列集合：
① 15以内质数的集合；
② 方程的所有实数根组成的集合；
③ 一次函数与的图象的交点组成的集合.
变式：用列举法表示“一次函数的图象与二次函数的图象的交点”组成的集合.
【达标检测】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列说法正确的是（ ）.
A．某个村子里的高个子组成一个集合 B．所有小正数组成一个集合
C．集合和表示同一个集合 D．这六个数能组成一个集合
2. 给出下列关系：
① ；② ；③；④
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3. 直线与y轴的交点所组成的集合为（ ）.
A. B. C. D.
4. 设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：
深圳 A； 广州 A. （填∈或）
5. “方程的所有实数根”组成的集合用列举法表示为____________.
【拓展延伸】
1. 用列举法表示下列集合：
（1）由小于10的所有质数组成的集合；
（2）10的所有正约数组成的集合；
（3）方程的所有实数根组成的集合.
2. 设x∈R，集合.
（1）求元素x所应满足的条件；
（2）若，求实数x.
【学习反思】
1.集合的概念
2.集合元素的三个特征：其中“集合中的元素必须是确定的”应理解为：对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的.“集合中的元素必须是互异的”应理解为：对于给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
3.常见数集的专用符
§1.1.1 《集合的含义与表示》（2）导学案
【学习目标】
1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.
【重点难点】
重点：集合的两种表示方法。 难点：对描述法的理解。
【自主学习】
（预习教材P4-P5，找出疑惑之处）
复习1：一般地，指定的某些对象的全体称为 .其中的每个对象叫作 .
集合中的元素具备 、 、 特征.
集合与元素的关系有 、 .
复习2：集合的元素是 ，若1∈A，则x= .
复习3：集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？四个集合有何关系？
【合作探究】
思考：
① 你能用自然语言描述集合吗？
② 你能用列举法表示不等式的解集吗？
探究：比较如下表示法
① {方程的根}；
② ；
③ .
新知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为，其中x代表元素，P是确定条件.
试试：方程的所有实数根组成的集合，用描述法表示为 .
【展示点拨】
1、试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）方程的所有实数根组成的集合；
（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.
2、试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）抛物线上的所有点组成的集合；
（2）方程组解集.
变式一：用描述法表示下列集合.
（1）方程的所有实数根组成的集合；
（2）所有奇数组成的集合.
变式二：已知集合，集合. 试用列举法分别表示集合A、B.
变式三：以下三个集合有什么区别.
（1）；
（2）；
（3）.
点拨：
① 描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如与不同.
② 只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如，.
③ 集合的{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集Z，所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集}，{R}也是错误的.
④ 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.
【达标检测】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 设，则下列正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
2. 下列说法正确的是（ ）.
A.不等式的解集表示为
B.所有偶数的集合表示为
C.全体自然数的集合可表示为{自然数}
D. 方程实数根的集合表示为
3. 一次函数与的图象的交点组成的集合是（ ）.
A. B.
C. D.
4. 用列举法表示集合为
.
5.集合A＝{x|x=2n且n∈N}， ，用∈或填空：
4 A，4 B，5 A，5 B.
【拓展延伸】
1. （1）设集合 ，试用列举法表示集合A.
（2）设A＝{x|x＝2n，n∈N，且n<10}，B＝{3的倍数}，求属于A且属于B的元素所组成的集合.
2. 若集合，集合，且，求实数a、b.
【学习反思】
※ 学习小结
1. 集合的三种表示方法（自然语言、列举法、描述法）；
2. 会用适当的方法表示集合；
※ 知识拓展
1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如：
（1）所有直角三角形的集合可以表示为：，也可以写成：{直角三角形}；
（2）集合与集合是同一个集合吗？
2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合，即：文氏图，或称Venn图.
§1.1.2 《集合间的基本关系》导学案
【学习目标】
1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
2. 理解子集、真子集的概念；
3. 能利用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；
4. 了解空集的含义.
【重点难点】
重点：子集与空集的概念；能利用Venn图表达集合间的关系。
难点：弄清属于与包含的关系。
【自主学习】
（预习教材P6- P7，找出疑惑之处）
复习1：集合的表示方法有 、 、
. 请用适当的方法表示下列集合.
（1）10以内3的倍数；（2）1000以内3的倍数.
复习2：用适当的符号填空.
（1） 0 N； Q； -1.5 R.
（2）设集合，，则1 A；b B； A.
思考：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？
【合作探究】
探究：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：
与；
与；与.
新知：子集、相等、真子集、空集的概念.
① 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset），记作：，读作：A包含于（is contained in）B，或B包含(contains)A.
当集合A不包含于集合B时，记作.
② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系为：
.
③ 集合相等：若，则中的元素是一样的，因此.
④ 真子集：若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作：A B（或B A），读作：A真包含于B（或B真包含A）.
⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
试试：用适当的符号填空.
（1） ， ；
（2） ， R；
（3）N ，Q N；
（4） .
反思：思考下列问题.
（1）符号“”与“”有什么区别？试举例说明.
（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.
（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？
① 若；
② 若.
【展示点拨】
1、写出集合的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.
变式：写出集合的所有真子集组成的集合.
2、判断下列集合间的关系：
（1）与；
（2）设集合A={0,1}，集合，则A与B的关系如何？
变式：若集合，，且满足，求实数的取值范围.
【达标检测】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列结论正确的是（ ）.
A. A B.
C. D.
2. 设，且，则实数a的取值范围为（ ）.
A. B.
C. D.
3. 若，则（ ）.
A. B.
C. D.
4. 满足的集合A有 个.
5. 设集合，，则它们之间的关系是 ，并用Venn图表示.
【拓展延伸】
1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格. 若用A表示合格产品的集合，B表示质量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？
试用Venn图表示这三个集合的关系.
2. 已知，且，求实数p、q所满足的条件.
【学习反思】
※ 学习小结
1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn图图示；一些结论.
2. 两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，特别要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法.
※ 知识拓展
如果一个集合含有n个元素，那么它的子集有个，真子集有个.
§1.1.3 《集合的基本运算》（1）导学案
【学习目标】
1. 理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；
2. 会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题；
3. 能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
【重点难点】
重点：交集与并集的概念，数形结合的思想。
难点：理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系。
【自主学习】
（预习教材P8- P9，找出疑惑之处）
复习1：用适当符号填空.
0 {0}； 0 ； {x|x＋1＝0,x∈R}；
{0} {x|x<3且x>5}；{x|x>－3} {x|x>2}；
{x|x>6} {x|x<－2或x>5}.
复习2：已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5}，则A S， {x|x∈S且xA}= .
思考：实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？
【合作探究】
探究：设集合，.
（1）试用Venn图表示集合A、B后，指出它们的公共部分（交）、合并部分（并）；
（2）讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并？
新知：交集、并集.
① 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作A、B的交集（intersection set），记作A∩B，读“A交B”，即：
Venn图如右表示.
② 类比说出并集的定义.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集（union set），记作：，读作：A并B，用描述法表示是：
.
Venn图如右表示.
试试：
（1）A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝ ；
（2）设A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝ ；
（3）A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝ ，A∩B＝ .
（4）分别指出A、B两个集合下列五种情况的交集部分、并集部分.
反思：
（1）A∩B与A、B、B∩A有什么关系？
（2）A∪B与集合A、B、B∪A有什么关系？
（3）A∩A＝ ；A∪A＝ .
A∩＝ ；A∪＝ .
【展示点拨】
1、设，，求A∩B、A∪B.
变式：若A＝{x|-5≤x≤8}，，则A∩B= ；
A∪B= .
2、设，，求A∩B.
变式：
（1）若，，则 ；
（2）若，，则 .
点拨：
1、有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究.
2、第2题及变式的结论说明了什么几何意义？
【达标检测】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 设那么等于（ ）.
A． B．
C． D．
2. 已知集合M＝｛(x, y)|x+y=2｝，N={(x, y)|x－y=4},那么集合M∩N为（ ）.
A. x=3, y=－1 B. (3，－1)
C.｛3，－1｝ D.｛(3，－1)｝
3. 设，则等于（ ）.
A. {0,1,2,6} B. {3,7,8,}
C. {1,3,7,8} D. {1,3,6,7,8}
4. 设，，若，求实数a的取值范围是 .
5. 设，则= .
【拓展延伸】
1. 设平面内直线上点的集合为，直线上点的集合为，试分别说明下面三种情况时直线与直线的位置关系？
（1）；
（2）；
（3）.
2. 若关于x的方程3x2+px－7=0的解集为A，方程3x2－7x+q=0的解集为B，且A∩B={}，求.
【学习反思】
※ 学习小结
1. 交集与并集的概念、符号、图示、性质；
2. 求交集、并集的两种方法：数轴、Venn图.
※ 知识拓展
，
，
，
，
.
你能结合Venn图，分析出上述集合运算的性质吗？
§1.1.3 《集合的基本运算》（2）导学案
【学习目标】
1. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
2. 能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
【重点难点】
重点：补集的有关运算及数轴的应用。 难点：对补集概念的理解。
【自主学习】
（预习教材P10- P11，找出疑惑之处）
复习1：集合相关概念及运算.
① 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的 ，记作 .
若集合，存在元素，则称集合A是集合B的 ，记作 .
若，则 .
② 两个集合的 部分、 部分，分别是它们交集、并集，用符号语言表示为：
；
.
复习2：已知A＝{x|x＋3>0}，B＝{x|x≤－3}，则A、B、R有何关系？
【合作探究】
探究：设U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、B={全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系？
新知：全集、补集.
① 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U.
② 补集：已知集合U, 集合AU，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作A相对于U的补集（complementary set），记作：，读作：“A在U中补集”，即.
补集的Venn图表示如右：
说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，补集的概念必须要有全集的限制.
试试：
（1）U={2,3,4}，A={4,3}，B=，则= ，= ；
（2）设U＝{x|x<8，且x∈N}，A＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则＝ ；
（3）设集合，则= ；
（4）设U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则＝ .
反思：
（1）在解不等式时，一般把什么作为全集？在研究图形集合时，一般把什么作为全集？
（2）Q的补集如何表示？意为什么？
【展示点拨】
1、设U＝{x|x<13，且x∈N}，A＝{8的正约数}，B＝{12的正约数}，求、.
2、设U=R，A＝{x|－1
变式二： 分别用集合A、B、C表示下图的阴影部分.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
点拨：
结合Venn图分析，如何得到性质：
（1） ， ；（2） .
【达标检测】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 设全集U=R，集合，则=（ ）
A. 1 B. －1，1
C. D.
2. 已知集合U=，，那么集合（ ）.
A. B.
C. D.
3. 设全集,集合,
，则（ ）.
A．｛０｝ B．
C． D．
4. 已知U={x∈N|x≤10}，A={小于11的质数}，则= .
5. 定义A—B={x|x∈A，且xB}，若M={1,2,3,4,5}，N={2,4,8}，则N—M= .
【拓展延伸】
1. 已知全集I=，若，，求实数.
2. 已知全集U=R，集合A=， 若，试用列举法表示集合A
【学习反思】
※ 学习小结
1. 补集、全集的概念；补集、全集的符号.
2. 集合运算的两种方法：数轴、Venn图.
※ 知识拓展
试结合Venn图分析，探索如下等式是否成立？
（1）；
（2）.
§1.2.1 《函数的概念》（1）导学案
【学习目标】
1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
2. 了解构成函数的要素；3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合.
【重点难点】
重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念；
难点：对函数概念及符号y=f(x)的理解。
【自主学习】
（预习教材P15- P17，找出疑惑之处）
复习1：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？
复习2：（初中对函数的定义）在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.
【合作探究】
探究任务一：函数模型思想及函数概念
问题：研究下面三个实例：
A. 一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是.
B. 近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.
C. 国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低. “八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表.
年份 1991 1992 1993 1994 1995 …
恩格尔系数% 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 …
讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？
归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：.
新知：函数定义.
设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：.
其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）.
试试：
（1）已知，求、、、的值.
（2）函数值域是 .
反思：
（1）值域与B的关系是 ；构成函数的三要素是 、 、 .
（2）常见函数的定义域与值域.
函数 解析式 定义域 值域
一次函数
二次函数 ，其中
反比例函数
探究任务二：区间及写法
新知：设a、b是两个实数，且a
叫开区间；
，都叫半开半闭区间.
实数集R用区间表示，其中“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”.
试试：用区间表示.
（1）{x|x≥a}= 、{x|x>a}= 、
{x|x≤b}= 、{x|x
（3）函数y＝的定义域 ，
值域是 . （观察法）
【展示点拨】
1、已知函数.
（1）求的值；
（2）求函数的定义域（用区间表示）；
（3）求的值.
变式一：已知函数.
（1）求的值；
（2）求函数的定义域（用区间表示）；
（3）求的值.
变式二： 已知函数，求、、的值.
【达标检测】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 已知函数，则（ ）.
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 函数的定义域是（ ）.
A. B.
C. D.
3. 已知函数，若，则a=（ ）.
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
4. 函数的值域是 .
5. 函数的定义域是 ，值域是 .
（用区间表示）
【拓展延伸】
1. 求函数的定义域与值域.
2. 已知，.
（1）求的值；
（2）求的定义域；
（3）试用x表示y.
【学习反思】
※ 学习小结
①函数模型应用思想；②函数概念；③二次函数的值域；④区间表示.
※ 知识拓展
求函数定义域的规则：
① 分式：，则；
② 偶次根式：，则；
③ 零次幂式：，则.
§1.2.1 《函数的概念》（2）导学案
【学习目标】
1. 会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；
2. 掌握判别两个函数是否相同的方法.
【重点难点】
重点：用区间符号正确表示数的集合，求简单函数定义域和值域及函数相等的判断。
难点：求函数定义域和值域。
【自主学习】
（预习教材P18-P19，找出疑惑之处）
复习1：函数的三要素是 、 、 .函数与y＝3x是不是同一个函数？为何？
复习2：用区间表示函数y＝kx＋b、y＝ax＋bx＋c、y＝的定义域与值域，其中，.
【合作探究】
探究任务：函数相同的判别
讨论：函数y=x、y=()、y=、y=、y=有何关系？
试试：判断下列函数与是否表示同一个函数，说明理由？
① = ； = 1.
② = x； = .
③ = x 2； = .
④ = | x | ；= .
小结：
① 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
【展示点拨】
1、 求下列函数的定义域 （用区间表示）.
（1）；
（2）；
（3）.
变式：求下列函数的定义域 （用区间表示）.
（1）；
（2）.
点拨：
（1）定义域求法（分式、根式、组合式）；
（2）求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）.
2、求下列函数的值域（用区间表示）：
（1）y＝x－3x＋4； （2）；
（3）y＝； （4）.
变式：求函数的值域.
点拨：
求函数值域的常用方法有：
观察法、配方法、拆分法、基本函数法.
【达标检测】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 函数的定义域是（ ）.
A. B. C. R D.
2. 函数的值域是（ ）.
A. B.
C. D. R
3. 下列各组函数的图象相同的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 函数f(x) = +的定义域用区间表示是 .
5. 若，则= .
【拓展延伸】
1. 设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积y关于x的函数的解析式，并写出定义域.
2. 已知二次函数f(x)=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f(x－1)=f(3－x)且方程f(x)=2x有等根，求f(x)的解析式.
【学习反思】
※ 学习小结
1. 定义域的求法及步骤；
2. 判断同一个函数的方法；
3. 求函数值域的常用方法.
※ 知识拓展
对于两个函数和，通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称它为函数和的复合函数，记作. 例如由与复合.
§1.2.2 《函数的表示法》（1）导学案
【学习目标】
1. 明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
2. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
【重点难点】
重点：函数的表示方法，根据具体问题选择合适的方法来表示两个变量之间的函数关系。
难点：函数三种表示方法的选择。
【自主学习】
（预习教材P19- P21，找出疑惑之处）
复习1：
（1）函数的三要素是 、 、 .
（2）已知函数，则 ，= ，的定义域为 .
（3）分析二次函数解析式、股市走势图、银行利率表的表示形式.
复习2：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.
【合作探究】
探究任务：函数的三种表示方法
讨论：结合具体实例，如：二次函数解析式、股市走势图、银行利率表等，说明三种表示法及优缺点.
小结：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值.
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值.
【展示点拨】
1、 某种笔记本的单价是2元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数.
变式一：作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）. 试用三种方法表示此实例中的函数.
点拨：
上题及变式的函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？
2、 邮局寄信，不超过20g重时付邮资0.5元，超过20g重而不超过40g重付邮资1元. 每封x克（0
变式三：画出函数f(x)=|x－1|＋|x＋2|的图象.
点拨：
分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）. 在生活实例有哪些分段函数的实例？
【达标检测】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 如下图可作为函数的图象的是（ ）.
A. B. C. D.
2. 函数的图象是（ ）.
A. B. C. D.
3. 设，若，则x=（ ）
A. 1 B. C. D.
4. 设函数f（x）＝，则＝ .
5. 已知二次函数满足，且图象在轴上的截距为0，最小值为－1，则函数的解析式为 .
【拓展延伸】
1. 动点P从单位正方形ABCD顶点A开始运动一周，设沿正方形ABCD的运动路程为自变量x，写出P点与A点距离y与x的函数关系式，并画出函数的图象.
2. 根据下列条件分别求出函数的解析式.
（1）； （2）.
【学习反思】
※ 学习小结
1. 函数的三种表示方法及优点；
2. 分段函数概念；
3. 函数图象可以是一些点或线段.
※ 知识拓展
任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系.
§1.2.2 《函数的表示法》（2）导学案
【学习目标】
1. 了解映射的概念及表示方法；
2. 结合简单的对应图示，了解一一映射的概念；
3. 能解决简单函数应用问题.
【重点难点】
重点、难点：分段函数的理解，分段函数的图象及简单应用。
【自主学习】
（预习教材P22- P23，找出疑惑之处）
复习：举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：
① 对于任何一个 ，数轴上都有唯一的点P和它对应；
② 对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的
和它对应；
③ 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
④ 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应.
你还能说出一些对应的例子吗？
讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？
【合作探究】
探究任务：映射概念
探究 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意.
① , ，对应法则：开平方；
② ，，对应法则：平方；
③ , , 对应法则：求正弦.
新知：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“”
关键：A中任意，B中唯一；对应法则f.
试试：分析例1 ①～③是否映射？举例日常生活中的映射实例？
反思：
① 映射的对应情况有 、 ，一对多是映射吗？
② 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射.
【展示点拨】
1、探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？
（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R；
（2）A={三角形}，B={圆}；
（3）A={ P | P是平面直角体系中的点}，；
（4） A={高一学生}，B= {高一班级}.
变式一：如果是从B到A呢？
变式二：下列对应是否是集合A到集合B的映射
（1），对应法则是“乘以2”；
（2）A= R*，B=R，对应法则是“求算术平方根”；
（3）R，对应法则是“求倒数”.
【达标检测】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在映射中，，且，则与A中的元素对应的B中的元素为（ ）.A. B. C. D.
2.下列对应：
① ②
③不是从集合A到B映射的有（ ）.
A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③
3. 已知，则=（ ）
A. 0 B. C. D.无法求
4. 若， 则= .
5. 已知f(x)=x21，g(x)=则f[g(x)] = .
【拓展延伸】
1. 若函数的定义域为[1，1]，求函数的定义域.
2. 中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x分钟，两种通讯方式费用分别为（元）.
（1）写出与x之间的函数关系式？
（2）一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？
（3）若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？
【学习反思】
※ 学习小结
1. 映射的概念；
2. 判定是否是映射主要看两条：一条是A集合中的元素都要有对应，但B中元素未必要有对应；二条是A中元素与B中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式．
§1.3.1 《单调性与最大（小）值》（1）导学案
【学习目标】
1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
2. 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性；
3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
【重点难点】
重点：理解增函数、减函数的概念。 难点：单调性概念的形成与应用。
【自主学习】
（预习教材P27- P29，找出疑惑之处）
引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？
复习1：观察下列各个函数的图象.
探讨下列变化规律：
① 随x的增大，y的值有什么变化？
② 能否看出函数的最大、最小值？
③ 函数图象是否具有某种对称性？
复习2：画出函数、的图象.
小结：描点法的步骤为：列表→描点→连线.
【合作探究】
探究任务：单调性相关概念
思考：根据、的图象进行讨论：随x的增大，函数值怎样变化？当x>x时，f(x)与f(x)的大小关系怎样？
问题：一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？
新知：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
新知：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间.
反思：
① 图象如何表示单调增、单调减？
② 所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？
③ 函数的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
试试：如图，定义在[-5,5]上的f(x)，根据图象说出单调区间及单调性.
【展示点拨】
1、 根据下列函数的图象，指出它们的单调区间及单调性，并运用定义进行证明.
（1）； （2）.
变式一：指出下列函数的单调区间及单调性.
（1）； （2）.
变式二：指出、的单调性.
2、 物理学中的玻意耳定律（k为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明.
点拨：
① 比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号；
② 证明函数单调性的步骤：
第一步：设x、x∈给定区间，且x
第三步：判断差的符号；
第四步：下结论.
【达标检测】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 函数的单调增区间是（ ）
A. B. C. R D.不存在
2. 如果函数在R上单调递减，则（ ）
A. B. C. D.
3. 在区间上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4. 函数的单调性是 .
5. 函数的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
【拓展延伸】
1. 讨论的单调性并证明.
2. 讨论的单调性并证明.
【学习反思】
※ 学习小结
1. 增函数、减函数、单调区间的定义；
2. 判断函数单调性的方法（图象法、定义法）.
3. 证明函数单调性的步骤：取值→作差→变形→ 定号→下结论.
※ 知识拓展
函数的增区间有、，减区间有、 .
§1.3.1 《单调性与最大（小）值》（2）导学案
【学习目标】
1. 理解函数的最大（小）值及其几何意义；
2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
【重点难点】
重点：应用函数单调性求函数最值。 难点：理解函数最值可取性的意义。 ( http: / / www. )
【自主学习】
（预习教材P30- P32，找出疑惑之处）
复习1：指出函数的单调区间及单调性，并进行证明.
复习2：函数的最小值为 ，的最大值为 .
复习3：增函数、减函数的定义及判别方法.
【合作探究】
探究任务：函数最大（小）值的概念
思考：先完成下表，
函数 最高点 最低点
,
,
讨论体现了函数值的什么特征？
新知：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0) = M. 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）.
试试：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value）的定义．
反思：
一些什么方法可以求最大（小）值？
【展示点拨】
1、一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是，那么什么时刻距离地面的高度达到最大？最大是多少？
变式一：经过多少秒后炮弹落地？
变试二：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？
点拨：
数学建模的解题步骤：审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值.
2、求在区间[3，6]上的最大值和最小值.
变式一：求的最大值和最小值.
变式二：求的值域.
点拨：
先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值.
【达标检测】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 函数的最大值是（ ）.
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 函数的最小值是（ ）.
A. 0 B. －1 C. 2 D. 3
3. 函数的最小值是（ ）.
A. 0 B. 2 C. 4 D.
4. 已知函数的图象关于y轴对称，且在区间上，当时，有最小值3，则在区间上，当 时，有最 值为 .
5. 函数的最大值为 ，最小值为 .
【拓展延伸】
1. 作出函数的简图，研究当自变量x在下列范围内取值时的最大值与最小值．
（1）； （2） ；（3）.
2. 如图，把截面半径为10 cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为，面积为，试将表示成的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？
【学习反思】
※ 学习小结
1. 函数最大（小）值定义；.
2. 求函数最大（小）值的常用方法：配方法、图象法、单调法.
※ 知识拓展
求二次函数在闭区间上的值域，需根据对称轴与闭区间的位置关系，结合函数图象进行研究. 例如求在区间上的值域，则先求得对称轴，再分、、、等四种情况,由图象观察得解.
§1.3.2 《奇偶性》导学案
【学习目标】
1. 理解函数的奇偶性及其几何意义；
2. 学会判断函数的奇偶性；
3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
【重点难点】
重点：函数的奇偶性的概念。 难点：函数奇偶性的判断。
【自主学习】
（预习教材P33- P36，找出疑惑之处）
复习1：指出下列函数的单调区间及单调性.
（1）； （2）
复习2：对于f(x)＝x、f(x)＝x、f(x)＝x、f(x)＝x，分别比较f(x)与f(－x).
【合作探究】
探究任务：奇函数、偶函数的概念
思考：在同一坐标系分别作出两组函数的图象：
（1）、、；
（2）、.
观察各组图象有什么共同特征？函数解析式在函数值方面有什么特征？
新知：一般地，对于函数定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫偶函数（even function）.
试试：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function）的定义.
反思：
① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别？
② 奇函数、偶函数的定义域关于 对称，图象关于 对称.
试试：已知函数在y轴左边的图象如图所示，画出它右边的图象.
【展示点拨】
1、 判别下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
点拨：
判别方法，先看定义域是否关于原点对称，再计算，并与进行比较.
变试：判别下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝|x＋1|+|x－1|； （2）f(x)＝x＋；
（3）f(x)＝； （4）f(x)＝x, x∈[-2,3].
2、已知f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断f(x)的(-∞,0)上的单调性，并给出证明.
点拨：
设→转化→单调应用→奇偶应用→结论.
变式：已知f(x)是偶函数，且在[a,b]上是减函数，试判断f(x)在[-b,-a]上的单调性，并给出证明.
【达标检测】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 对于定义域是R的任意奇函数有（ ）.
A． B．
C． D．
2. 已知是定义上的奇函数，且在上是减函数. 下列关系式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列说法错误的是（ ）.
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 既是奇函数，又是偶函数
D.既不是奇函数，又不是偶函数
4. 函数的奇偶性是 .
5. 已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是 函数，且最 值为 .
【拓展延伸】
1. 已知是奇函数，是偶函数，且，求、.
2. 设在R上是奇函数，当x>0时，， 试问：当<0时，的表达式是什么？
【学习反思】
※ 学习小结
1. 奇函数、偶函数的定义及图象特征；
2. 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.
3. 判断函数奇偶性的方法：图象法、定义法.
※ 知识拓展
定义在R上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.
第一章 《集合与函数的概念（复习）》导学案
【学习目标】
1. 理解集合有关概念和性质，掌握集合的交、并、补等三种运算的，会利用几何直观性研究问题，如数轴分析、Venn图；
2. 深刻理解函数的有关概念，理解对应法则、图象等有关性质，掌握函数的单调性和奇偶性的判定方法和步骤，并会运用解决实际问题.
【自主学习】
（复习教材P2- P45，找出疑惑之处）
复习1：集合部分.
① 概念：一组对象的全体形成一个集合
② 特征：确定性、互异性、无序性
③ 表示：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}
④ 关系：∈、、、、=
⑤ 运算：A∩B、A∪B、
⑥ 性质：AA； A，….
⑦ 方法：数轴分析、Venn图示.
复习2：函数部分.
① 三要素：定义域、值域、对应法则；
② 单调性：定义域内某区间D，，
时，，则的D上递增；
时，，则的D上递减.
③ 最大（小）值求法：配方法、图象法、单调法.
④ 奇偶性：对定义域内任意x，
奇函数；
偶函数.
特点：定义域关于原点对称，图象关于y轴对称.
【合作探究】
1. 判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）（R）； （4）
2. 将长度为20 cm的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为多少？
【展示点拨】
1、设集合，
，.
（1）若=，求a的值；
（2）若，且=，求a的值；
（3）若=，求a的值.
2、 已知函数是偶函数，且时，.
（1）求的值； （2）求时的值；
（3）当>0时，求的解析式．
3、 设函数．
（1）求它的定义域； （2）判断它的奇偶性；
（3）求证：；
（4）求证：在上递增.
【达标检测】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若，则下列结论中正确的是（ ）.
A. B. 0A
C. D. A
2. 函数，是（ ）.
A．偶函数 B．奇函数
C．不具有奇偶函数 D．与有关
3. 在区间上为增函数的是（ ）.
A． B．
C． D．
4. 某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有 人.
5. 函数在R上为奇函数，且时，，则当， .
【拓展延伸】
1. 数集A满足条件：若，则.
（1）若2，则在A中还有两个元素是什么；
（2）若A为单元集，求出A和.
2. 已知是定义在R上的函数，设
，.
（1）试判断的奇偶性；
（2）试判断的关系；
（3）由此你猜想得出什么样的结论，并说明理由？
【学习反思】
※ 学习小结
1. 集合的三种运算：交、并、补；
2. 集合的两种研究方法：数轴分析、Venn图示；
3. 函数的三要素：定义域、解析式、值域；
4. 函数的单调性、最大（小）值、奇偶性的研究.
※ 知识拓展
要作函数的图象，只需将函数的图象向左或向右平移个单位即可. 称之为函数图象的左、右平移变换.
要作函数的图象，只需将函数的图象向上或向下平移个单位即可. 称之为函数图象的上、下平移变换.
B
A
A
B
A
B
A
A(B)
A
B
B A
A B
B
A
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