江苏省昆山市兵希中学九年级数学上学期期末复习 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系教学案 苏科版
【知识回顾】
1.一元二次方程的根的判别式为 .
(1)>0一元二次方程有两个 实数根,即 .
(2)=0一元二次方程有 相等的实数根,即 .
(3)<0一元二次方程 实数根.
注意:在使用根的判别式解决问题时,如果二次项系数中含有字母,要加上二次项系数不为零这个限制条件.
2.一元二次方程根与系数的关系:
(1)若关于x的一元二次方程有两根分别为,,那么
, .
注意:在应用一元二次方程根与系数的关系时,应满足①;②.
(2)两根分别为,的一元二次方程可写为: .
3.设m、n是方程的两根,则
反之也成立().
【基础训练】
1、关于x的方程ax2-2x+1=0中,如果a<0,那么根的情况是( )
(A)有两个相等的实数根 (B)有两个不相等的实数根(C)没有实数根(D)不能确定
2、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是( )
A. B.且 C. D. 且
3、设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两根,则x12+x22= .
4、设是方程的两个实数根,则的值为( )
A.2006 B.2007 C.2008 D.2009
5、已知一元二次方程的两根分别为 —5、3,则此方程为 .
【例题讲解】
例1已知:关于的方程
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)若方程的一个根是,求另一个根及值.
例2 已知,是一元二次方程的两个实数根,求下列代数式的值:
①; ②; ③; ④.
例3已知是方程的两个实数根,且.
(1)求及a的值;(2)求的值.
例4已知关于x的方程.
(1)若这个方程有实数根,求k的取值范围;
(2)若这个方程有一个根为1,求k的值;
(3)若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上,求满足条件的m的最小值.
例5已知△ABC的两边AB、AC的长是关于的一元二次方程的两个实数根,第三边BC的长是5。
(1)为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形;
(2)为何值时,△ABC是等腰三角形,并求△ABC的周长。
【练习巩固】
1、已知一元二次方程的两根为、,则_________.
2、已知2是关于的一元二次方程x2+4x-p=0的一个根,则p= ,另一个根= .
3、已知关于的一元二次方程(为常数).
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)设,为方程的两个实数根,且,试求出方程的两个实数根和的值.
【课外作业】
一、选择题:
1、下列方程中,有两个不相等实数根的是( ).
A. B. C. D.
2、如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2,x2=1,那么p,q的值分别是( )
(A)-3,2 (B)3,-2 (C)2,-3 (D)2,3
3、已知方程的两个解分别为、,则的值为( )
A. B. C.7 D.3
4、已知a、b、c分别是三角形的三边,则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)=0的根的情况是( )
A.没有实数根 B.可能只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根
5、若n()是关于x的方程的根,则m+n的值为( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
6、关于x的方程只有一解(相同解算一解),则a的值为( )
A. B. C. D.或
7、关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且,则的值是( )
A.1 B.12 C.13 D.25
二、填空题:
1、已知关于x的一元二次方程有实数根,则m的取值范围是 .
2、方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1,x2,则(x1-1)(x2-1)=_________.
3、一元二次方程的一个根为,则另一个根为 ;m= .
4、写出一个实数根为的一元二次方程__________________.
5、已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根,则x13+8x2+20=__________.
三、解答题:
1、已知关于x的一元二次方程x -4x+m-1=0有两个相等实数根,求的m值及方程的根.
2、已知关于x的一元二次方程x2 = 2(1-m)x-m2 的两实数根为x1,x2.
(1)求m的取值范围;
(2)设y = x1 + x2,当y取得最小值时,求相应m的值,并求出最小值.
3、已知关于的函数(为常数)的图象与轴恰有一个交点,求的值.
4、已知关于的一元二次方程有两个实数根和.
(1)求实数的取值范围;
(2)当时,求的值.
已知关于x的方程,若等腰三角形ABC的一边长a=4,另一边长b、c恰好是这个方程的两个实数根,求ΔABC的周长。
6、如图,已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、,与轴的交点为.设的外接圆的圆心为点.
(1)求与轴的另一个交点D的坐标;
(2)如果恰好为的直径,且的面积等于,求和的值.