1.3.1函数的单调性与导数 课件（共26张PPT）

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1.3.1函数的单调性与导数
新课标·人教版 选修2-2 第一章 《导数及其应用》
1、了解导数与函数单调性的关系.
2、掌握利用导数判断函数单调性的方法.(重点)
3、会根据导数画出函数的大致图象.
4、正确理解利用导数判断函数的单调性的原理.（难点）
函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时，
(1)都有f(x1)＜f(x2)，
(2)都有f(x1)＞f(x2)，
则f(x)在G上是减函数；
一、复习引入
1、函数单调性判定（定义法）
则f(x)在G上是增函数；
则f(x)在G上是减函数；
则f(x)在G上是增函数；
2、判断函数单调性的方法有哪些？
定义法、图像法
(2)作差(1)－(2) (作商)
3、怎样用定义判断函数的单调性？
(1)任取1、2∈D，且1< 2.
(4)定号(判断差(1)－(2)的正负)(与０比较)
(3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式)
(5)结论
图象从左往右上升增函数
图象从左往右下降减函数
4、怎样用定义判断函数的单调性？
若f(x)在G上是增函数或减函数，则f(x)在G上具有严格的单调性。G称为单调区间.
如何确定函数的单调性呢？
用单调性定义或图象显然不好确定其单调性。
于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？下面我们就研究单调性与导数有什么关系
二、新课引入
a
a
b
b
t
t
v
h
O
O
(1)
(2)
观察1、左图表示高台跳水运动员的高度h随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10图象. 右图表示函数瞬时速度v随时间变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+6.5的图象.
单调递增
>
单调递减
<
=
三、新课讲授
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
y = x
y = x2
y = x3
观察2、
观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.
函数单调性与其导函数的正负关系
单调性
导数的正负
函数及图象
切线斜率k的正负
在R上单增
正
正
负
正
负
单调递增
单调递减
归纳：
x
y
O
x0
函数单调递增
函数单调递减
f (x)>0
f (x)>0
f (x)>0
f (x)>0
f (x)<0
f (x)<0
f (x)<0
f (x)<0
f (x)>0
f (x)<0
观察3、
函数单调性的判定定理：
一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间（a , b）内
如果f (x) > 0，则函数在这个区间内单调递增；
如果f (x)< 0，则函数在这个区间内单调递减。
x
O
y
y f(x )
a
b
x
O
y
y f(x )
a
b
f (x)<0
f (x)>0
单调递增
单调减少
特别地：
如果f (x)= 0，则 f (x)= c(c为常数)， 函数为常函数。
？
问题1: f '(x)＞0是 f(x)为增函数的什么条件
(1) f '(x)＞0能推出 f(x)为增函数，但反之不一定成立.如:f(x)＝x3在R上单调递增，但 f '(x)＝3x2≥0.
∴f '(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件.
(2) f(x)为增函数，一定可以推出 f '(x)≥0，但反之不一定成立，∵f '(x)≥0，即为 f '(x)＞0或 f '(x)＝0.当函数在某个区间内恒有
f '(x)＝0时，则 f(x)为常数，函数不具有单调性.
∴ f '(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件.
问题2：f '(x) ≥ 0是 f(x)为增函数的什么条件
例1、设 是函数 的导函数， 的图象如
右图所示,则 的图象最有可能的是( )
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
2
(A)
(B)
(C)
(D)
C
原函数看增减
导函数看正负
+
-
+
四、例题讲解
题型一：函数与导函数图象关系
变式：
D
x
y
O
1
4
3
2
-3
C
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
A
D
4.如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.
(A)
(B)
(C)
(D)
h
t
O
h
t
O
h
t
O
h
t
O
(B)
(A)
(C)
(D)
如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);
如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小, 那么函数在这个范围内变化得慢,函数的图象就比较“平缓”(向上或向下).
(A)
(B)
(C)
(D)
【小结】利用函数解析式辨别函数的图象，一般从以下几个要素来进行分析：
①定义域；②函数值符号(特殊值)；③零点；④奇偶性；⑤单调性．
在考查函数的单调性时，可充分利用导数来处理，
题型二：利用导数求单调区间
例3、函数y＝ x2－ln x的单调递减区间为( )
A.(－1,1) B.(0,1)
C.(1，＋∞) D.(0，＋∞)
令y′<0，得0函数f(x)定义域为(0，＋∞)，
2°求可导函数f(x)单调区间的步骤：
归纳：
1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、单调区间较简便？
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式
在函数f(x)的定义域内解不等式，得函数的减区间；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
变式1：已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间是_________________.
f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.
令f′(x)＝xcos x>0，
注: 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间一般不能用“∪”连接，而只能用“，”或“和”分开。
例4、判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
解:(1) 因为f(x)=x3+3x, 所以f '(x)=3x2+3=3(x2+1)>0.
因此, 函数f(x)=x3+3x在x∈R上单调递增.
(2) 因为f(x)=x2-2x-3, 所以f '(x)=2x-2=(2x-1).
当f'(x)>0，即x>1时，函数f(x)=x2-2x-3单调递增;
当f'(x)<0，即x<1时，函数f(x)=x2-2x-3单调递减.
x
y
o
B
变式2：确定下列函数的单调区间: